单元质检卷四　三角函数、解三角形

单元质检卷四三角函数、解三角形（时间分钟满:120分分）:150一,选择题:本题共小题,每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是8540符合题目要求的.A.产sin xB.尸cosjx

1.（2020北京延庆一模,5）下列函数中最小正周期为兀的函数是（）Cj=tan2x D.y=|sin x\

2.若危）=3cos（2x+s）的图像关于点（号,0）中心对称，则|矶的最小值为（）A-R-Q-n-A,6B，4U,

23.（2020湖南郴州二模，文6）某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角AC处作圆弧的切线,两条切线交于8点，测得如下数据:cm,BC=6cm,A

80.392cm（其中条

0.866）.根据测量得到的结果推算，将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于

10.392cmC-D岑2口.JA11A，

34.（2020天津和平一模,6）已知函数«¥尸sin2x-2siix+l,给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.函数“X）的最小正周期是2兀B.函数段）在区间汩上单调递减O OC.函数次x）的图像关于尸长对称loD.函数人处的图像可由函数广/sin2x的图像向左平移三个单位长度得到

5.（2019全国3,文5）函数火x）=2sinx-sin2x在［0,2兀］的零点个数为（）A.2B.3C.4D.

56.（2020湖南郴州二模，文9）函数产於）在区间

（35）上的大致图像如图所示，则於）可能是（）

14.^卷函数/（x）=2cos（2x+9）（-7iW9〈兀）的图像向右平移5个单位后得到y=2cos.2（U_L乙KJW）+J由于-兀W°WTI,所以当9=弓时,与函数y=2sin2x图像重合，所以/（x）=2cos（2x+.令2Z兀2%兀+兀（Z《Z）,O解得攵兀*WxWE+居，乙乙JL JL由于函数段:）在区间［-㈤上单调递减,,5n所以攵兀*碧（左£Z）,当k=0时,乙乙JL JLa-12所以〃的最大值为M乙JL

15.6由题意，得gx=sin0

①,由於）与g（x）的图像关于点（勒）对称，得g（x）=/4U,J J等=2攵兀+兀-

①x+等上（

①0），恒成立，即等二2攵兀或2%=2攵兀+兀+

①兀（

①〉0），叵成立,3TT,2011ixJ JJ因为2

①x=2E+兀+口兀不恒成立，

①式-飞-=2依+

①x-二一或所以等=2E«£Z，所以正数口的最小值为

6.

16.1TT+4作OMLCG交CG于点M,AP，OH交O”于点P,AQJ_CG交CG于点，图乙略.设OM=3羽则DM=5x,.OP=MQ=l-5x,.AP=7-2-3x=5-3x,AD5-3%ZtanZAOP=—7^5%又VZAOP=ZHAP.・•・tan/HA尸二相=务二1=tan/A°P,』.黑=1,解得％=

1.•:NA0P=%P=2,•OA=2VX11X2V22+1X2V2X2V2-£n=3兀+4-]=乙••S阴—S扇A08+S^AOH~~Z X7lX乙乙12——X乙乙

417.解l/x=cos2x-V^sin xcos x--乙l+cos2x V

3.1二——--------—sin2%--令2人兀-弓2E+”,Z£Z，得E WxWkit+^,keZ,ZbL o3:,工£[0,兀],•:函数/x在[0,兀]上的单调递减区间为.3一和居，兀-.J U2由1知/x=-sin2x-,・/A=-sin2A-=-1,VAABC为锐角三角形,•04吗.q2A]V处，Z o o o.2娓=:即44o z3:力sin C=asin A.•:S^ABC=-bcsin A=V

3.乙

18.解若选

①1在△ABC中由正弦定理可得sinzylcB sm/LBAC又3AB=43C,sin乙4C3=g可2得sinN84cq•/841二；.TT326又A8_LAD,・N8AD=*乙:NQACq J•2在△AC中QC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-ACADCAD,故S^DC=^ACADsinZDAC|x4x=V

3.乙乙乙当且仅当AC=AO时，等号成立，故△AQC面积的最大值为遍.若选

②⑴由tan NBAC+P二假o可得N8AC=2o乙•:ND4C4kJ2在△ACD中,OC=2,由余弦定理可得DC1=4=AC2+AD2-ACAD^ACAD,故S^Dc=^ACADsinZDAC|x4x=V

3.乙乙乙当且仅当AC=A时，等号成立，故△ADC面积的最大值为百.若选值l2BCcos ZACB=2AC-V3AB,由正弦定理得2sin ZBACcos NACB=2sin ZABC-V3sin ZACB,2sinZBACcosZACB=2sinZACB+ZBAC-V3sinZACB,可得cosN84C=噌乙.\ZBAC=^.6又A8_LAO,・N84Oq，/.ZDAC=l2在△AC中QC=2,由余弦定理可得DC2=4C2+AD2-ACADCAD.故S^Dc=^ACADsinZDAC|x4x y=遮,当且仅当AC=AD时，等号成立，故△AQC面积的最大值为百.

19.解1:Z/,c依次成等差数列，且公差为2,/.a=c-4,b=c-2,又NMCN丹，即cos C=J,O乙由余弦定理可得:2ab2将a=o4,b=c-2代入，得，-9c+14=0,解得c=7或c-

2.又c4,•:c=

7.2在△ABC中，由正弦定理可得一4^7=smz.ABC smZ.BAC smZ.ACBsinsin/-）sin空AC BCV3=2,|sin e+^cos9_+V3乙乙=2sin（0+g）+V

3.J即AC=2sin6,5c=2sin管-6）又£（0,9,J・le+1〈得当e+l=:即时次）取得最大值2+V

3.OO O乙U

20.解

（1）由题意可知,CO的外接圆半径为手,由正弦定理一^=2/=乎乂2,解得3S1I1Z.D CL/3BD=

5.

（2）（方法1）在△A3中，设NABO=a,o为锐角，则NAO3=2a,因为牛=”，483所以2sinacosa sina,sm2a sina所以AB=6cos a.因为AD2=AB2+BD2-2AB BDCOSa,即9=36cos2«+25-60cos2«,则AB=6cos（x=2V6,sin a--.所以S^ABD=^AB*BD-sm a=5y/

2.乙（方法2）在△AB中，因为NAOB=2NABQ,所以sinZAZ）B=sin2A ABD=2sin NABDeos Z.ABD,吃既产所以AB=2AD cosZABD=2AD-ZA D,DD因为6=54=3,所以43二2巡，所以cos/A3Q=■，则sinNA80=孚，所以S^BD=^AB-BD-sinZABD=

542.端

21.解⑴由题意可得EHFH gEW+FW=9,由于3E=10tan OWIOV^A/三£10V3,land所以,tanD4百，故姓［葭］363斫以T_101010sin0+cos0+l nn人物L-cos0+sine+sin0cos0-1UX sin0cos0二，？」・2设sin9+cos=乙则sin9cos由于-U-，Z O3所以U.sin6+［e［警,加〕,L=10x sine%s%l=20/1=

4.42smOcosO t-1t-1由于人兽在区间［竽,］上单调递减，L-1Z故当u竽，即或时］取得最大值为208+1米.Z O

322.解1因为〃sinA+8-C=csinB+C,由正弦定理得sin Asin兀-2C=sin Csin兀-A=sin Csin A,因为sin ARO,所以sin7i-2C=sin C,即sin2C=2sin CeosC=sin C.因为sin C#,所以cos C=

1.因为0C〈兀，所以2由S^ABC=^absin C=B,可得ab=

4.因为2a+b=6,所以2〃+±=6,解得a=l或

2.CL当a=l^,b=4,c2=a2+b2-2abcos C=13,c=VI^,所以周长为5+V

13.当a=2Hf,Z=2C2=6Z2+/2-26ZZCOS C=4,c=2,所以周长为

6.9综上,ZkABC的周长为6或5+旧.））（）A./x=ln|sin x\B.«x=ln cos xCy（x）=-sin|tan x\Dy（x）=-tan|cos x\

7.（2020北京密云一模,8）函数尸sin（

①x+e）（

①0,刷〈兀）的部分图像如图所示，则/（x）的单调递增区间为（）51A.L-T+E,・+E」,Z£Z4451B.1_-1+2也,-1+2攵兀」,攵£Z44C.-J+ZC+』Z£Z44D._±+2攵,二+2女］火£Z

448.（2020河北5月模拟，理10）已知祀是函数«x）=2sinxcosx+2Bsin2x-g,x£的极小值点，则44於0）+犬2无0）的值为（）A.O B.-3C.-2-V3D.-2+V3二选择题:本题共小题,每小题分，共分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目4520要求.全部选对的得分，有选错的得分,部分选对的得分.

5039.（2020山东济宁5月模拟」1）已知函数於尸cos（）-2sin Q+J cosQ+；）（xe R）,现给出下列四个344命题，其中正确的是（）A.函数的最小正周期为2兀B.函数犬幻的最大值为1C.函数人处在［.％」上单调递增D.将函数於）的图像向左平移5个单位长度,得到的函数解析式为g（x）=sin2x

10.在△ABC中，下列命题正确的有（）A.若4=30力=4,〃=5,则△A3C有两解B.若OvtanAtan Bvl,则△ABC一定是钝角三角形C.若cos（A-8）cos（8・C）cos（C-A）=1,则△ABC一定是等边三角形D.若a-h=c-cos8-ccos A,则△43是等腰三角形或直角三角形

11.（2020山东潍坊二模,11）在单位圆O:f+V=l上任取一点尸（xj）,圆与x轴正向的交点是A,设将04绕原点0旋转到0P所成的角为，记％,y关于的表达式分别为产/S）,产g（）,则下列说法正确的是（）A.x=/（）是偶函数,y=g（）是奇函数B.产做）在国图上单调递增尸g（）在143」上单调递减乙乙」乙乙c做）+双巨1对于目0,同恒成立D.函数U贺e）+g

（28）的最大值为孥

12.（2020山东济宁6月模拟』1）已知函数y（x）=sin[cosx]+cos[sin对,其中[幻表示不超过实数x的最大整数，下列关于./U）的结论正确的是（）A昭）=cos1B.«x）的一个周期是2兀C«x）在（0,兀）内单调递减D«r）的最大值大于企

三、填空题:本题共小题海小题分，共分.

452013.（2020山东烟台一模,13）已知tana=2,则cosJa+J=.

14.（2020山东德州二模』5）已知函数於）=2COS（2X+9）（・TE99）的图像向右平移5个单位长度后，与数学模型函数产2sin2x图像重合，则%，若函数段）在区间[-,网上单调递减，则a的最大值是.

15.（2021届河北衡水中学模拟一，理15）函数/（x）=sin

①x（

①〉0）的图像向右平移三个单位长度得到函数y=g（x）的图像，且/（x）与g（x）的图像关于点（*0）对称，那么co的最小值为.

16.（2020新高考全国1/5）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧A3与直线AG的切点乃是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形,3C，QG,垂足为C,tanNODC屋,BH〃DG,EF=12cmQE=2cm,A到直线DE和EF的J距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm

2.E

四、解答题:本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6717.（10分）已知函数f{x}=cos2x+V3sin（7r-x）cos（7r+x）-

1.⑴求函数«x）在区间［㈤上的单调递减区间；⑵在锐角△A3C中，内角A.B.C的对边分别为好C已知九4）=・1,〃=2,戾in C=asin A,求△ABC的面积.

18.（12分X2020山东济宁6月模拟,17）如图，在四边形ABCD中,AB J_AO,,DC=

2.在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中,并加以解答.2AB=4BC,s\nZACB=^

②an Na4C+p=V5;6@2BCcosZACB=2AC-V3AB.⑴求ND4C的大小；2求△ADC面积的最大值.

19.（12分）（2020山东淄博4月模拟,18）已知点A.B分别在射线CM,CN（不含端点C）上运动,NMCN=在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,⑴若a,b,c依次成等差数列，且公差为2,求c的值；⑵若试用表示△ABC的周长，并求周长的最大值.

20.B,（12分）（2020山东济南一模』8）如图，平面四边形A5C,点3,CQ均在半径为竽的圆上，且NBC*⑴求3的长度；2若AZ=3,ZADB=2ZABD^/XABD的面积.

21.12分如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（A3CD）的池底水平铺设污水净化管道（RtZ\E,”是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口”是A3的中点刀尸分别落在线段上，已知AB=2Q米/=108米，记⑴试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；⑵当取何值时,污水净化效果最好并求出此时管道的长度.

22.（12分）（2020湖南师大附中一模，理17）已知△ABC中，内角ARC所对的边分别为〃，仇c,且Qsin（A+8・C）=csin（5+C）.⑴求角的值；⑵若2i+b=6,且△ABC的面积为百，求△ABC的周长.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形

1.D A选项的最小正周期为丁二竿=2兀田选项的最小正周期为7=争=4兀;C选项的最小2正周期为T=*D选项,由其图像可知最小正周期为兀故选D.

2.A由于函数段）=3cos（2』）的图像关于点（第0）中心对称，所以J件）=0,即2x JJ粤+9=%兀+弓，9二E-等/金Z）.所以l9|min=

1.工

3.A依题意AB=BC=6,设NA3C=24则sin无空型=

0.866《R则口为口、空设o33L《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为火又A,C都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O,则Q4，A3,OUL3C,NAOC=a,所以0+28=兀则口、*故选A.

4.B函数/（x）=sin2x-2sin2x+l=sin2x+cos2x=V^sin人T=J=7i,故A不正确;由4L2E2x+乎+2E,Z£Z,解得EWxW穿+E年Z,令D,则J x某故函数於）Z4Zo o oo在区间［泉区上单调递减，故B正确;工=白时,y=V^sin（2x4+

②故C不正确;由oo16164函数厂应sin2x的图像向左平移J个单位长度得到函数启）=V^sin（2x+9,所以D不正4L确.故选B.

1.8由/（x）=2sin x-sin2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x（1-cos x）=0,得sin x=0或cos x-

1.Vx£［0,2兀］,二工二或x-n或x=2兀故«x）在区间［0,2兀］上的零点个数是

3.故选B.

1.9当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义，故排除A;又cos0=1,则y

（0）=-tan|cos0|=-tan1r0,故排除D;对于当（0#时,间川£（0,+00）,所以/

（1）=与1111H不单调,故排除C.故选B.

7.D由图像知J=）—）=1,所以7=20=§=兀,又图像过点（I）,所以-l=sin（［+J,且N44Z44|夕|〈兀，故9二乎,所以於尸sin（心+当），令2人兀-日工nx+~T42左兀+我£2，解得2后x^2k-44，4，4果e Z,则於）的单调递增区间为L»2A,4+2A」水£Z,故选D.

4448.C^^x）=2sin xcosx+2V3sin2x-V3=sin2x-V3cos2x=2sin（2x-£，xo为极小值点，•加0）=-2,即5布（240《）=-1,♦2比-3=《+2%兀,％02,即扰=-4+左兀,左£

2.30£--H，・xo=-33L1244工次2%0）守（关）=2sin（T—P=-V3,•力村）+八2次）=-2-遮,故选C.

9.BD#x）=cos（2x-p-sin（2x+P=^sin2x±cos2x=sin（2x「）,所以函数/（x）的最小正周3L LLo期为兀，最大值为1,故A不正确,B正确;当次£--%］-时,2x1J母胃_,函数尸in（2x1）44o33o在此区间不单调，故C错误;当将函数人x的图像向左平移强单位长度，得到的函数解析式JL乙为gx寸Q+春=sin2x,故D正确.故选BD.

10.BCD因为24=30°力=4,〃=5,所以由正弦定理得sin B=bs[nA=■!，》〃,所以角8只有CL5叱一个解，故A错误;0tan A-tan B1,即osin,si所以Acos B-sin Asin3〉0,即cosAcosBcosA+B0,所以A+39所以=兀-45〉:则△ABC一定是钝角三角形，故B正确;因为乙乙cosA-8cos8-CcosC-A=L所以cosA-8=cos8-C=cosC-A=l,所以A=B=C=60°，故C正确;因为a-b=c-cos B-c-cos A,所以sin A-sin B=sin CeosB-sin CeosA,所以sin A-sin CeosB=sin B-sinCeos A又因为sin A=sinB+C=sin BcosC+cos BsinC,sin B=sinA+C=sin AcosC+cos AsinC,所以sin BcosC=sin AcosC,所以sinA=sin B或cosC=0,所以A=8或C=*所以是等腰三角形或直角三角形，故D正确,故选BCD.

11.ACD由题意，得了=/e=cos e,y=g8=sin，由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误/6+g921,即sin8+cos821,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值，知选项C正确;函数t=2f^3+g23=2cos8+sin26,0W[0,2兀]，则f=-2sin6+2cos29=-2sin3+21-2sin2^=-22sin6Msin6+1,令0,则-1vsin+cosLsin-J=sin0+cos l=cos1,故A正确;乙

12.ABD:7工+2兀=sin[cosx+27i]+cos[sinx+2兀]=sin[cosx]+cos[sin x]=/x,•\fx的一个周期是2兀，故B正确；^4,cos无里时，函数t取得最大值，为2x坐+2x3x坐=始，故D正确.故选ACD.当xe0,时,0sin xl,0cosx1,[sin x]=[cosx]=0,•«x=sin[cosx]+cos[sin x]=sin0+cos0=1,故C错误；70=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1孝+1〉企,故D正确.2tana_4_442a+]=-sin2acos13T2sinacosa=-2sin ctcosa--sin2D+cos2atan2a+l4+15。