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专题中点四大模型A在三角形中应用（知识解读）02【考敢饯明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用模型连接直角顶点,构造斜中定理【方法技巧】4模型1:倍长中线法如图，在中，是边上的中线.aABC ADBC当题中出现中线时，我们经常根据需要将延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图此时，易证进而得到二且〃AD△ACDgEDB,AC BEACB模E.型2平行线夹中点如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3中位线如图，在中，点是边的中点.可作另一边的中点，构造三角形中位线.如下图所示由中位线的性质可得，〃且AABC DAB ACDEBC DE=1/2BC【典例今析】【模型倍长中线法】1课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:【典例1】【阅读理解】图2若A3=8,AC=6,求8C边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法延长AO到点E,使请根据小明的方法思考:1由已知和作图能得到△AQC名△E03的理由是A.SSS B.SAS C.AAS2D.HL求得的取值范围是A.6AD8B.6WADW8C.1AD7解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形，把【感悟】分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】3如图2,AO是△A8C的中线，BE交AC于E,交A于尸，RAE^EF.求证AC=BF.【变式1-1]1在△ABC中，AB=5,AC=3,求3C边上的中线AO的取值范围.2受到1启发，请你证明下面的问题如图，在△ABC中，是8C边上的中点,DELDF,DE交AB于点、E,/交AC于点R连接ER求证BE+CFEF.【变式1-2]如图，在△ABC中，已知点是3C中点，连接AO并延长到点连接BE.1请你添加一个条件使△ACO也△石3D并给出证明.2若A8=5,AC=3,求3C边上的中线的取值范围.【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知如图，石是8C的中点，点A在0石上，且N8AE=NCOE.求证AB=CD.分析证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.D DD1延长OE到凡使得EF=DE；2作CG_LOE于G,5尸，石于产交石的延长线于后3过点作C/〃A3交OE的延长线于F.【模型2平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB=12,AB1BC,垂足为点8,ABA.AD,垂足为点A,AQ=5,BC=10,点E是CQ的中点，求AE的长.D【变式2-1］如图，AB//CD,ZBCD=9Q°，AB=\,BC=4,CD=3,取AD的中点E,【变式2-2】如图，公园有一条“Z字形道路A3-3C-CO,其中AB〃C，在E、M、F处各有一个小石凳，且3£=C凡M为的中点，连接EM、MR请问石凳用到石凳E、产的距离ME、M尸是否相等？说出你推断的理由.。
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