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解答题强化训练导数、已知函数/%=1e”+aln%.若在单调递增,求〃的取值范围.10,+若且求2avO,/xe,、已知函数〃,2x=%2+ax+lnx a^R.若存在两个极值,I/x求的取值范围;证明函数存在唯一零点.12/x若存在实数使广且々,求/%-/马的取值范围.II1,x,3+/%=0,
22、设函数+,仆3/x=xe72-R.讨论函数的单调性;1“X/%为/%的导函数,记证明当一时,函数有两个极值点.2g%=/%,g%、已知函数为实数.4/x=±-ax-lnx+a Qx⑴当=一时,求函数/⑴的单调区间;1⑵若函数在内存在唯一极值点,求实数的取值范围./X0,
1、已知5/x=Zsinx+2x.⑴当攵时,判断函数零点的个数;=2/x、、兀“求证2-sinx+2x lnx+l XG0,—.【力I2⑶若在恒成立,求攵的最小值./xlnx+l XE
0、已知函数/九=/〈为的导数.6+cosx—2,X“X当时,求广⑴的最小值;1X20JT当时\了恒成立,求的取值范围.2xe+xcosx—or2_220xIn、已知函数/=-7x-l⑴讨论函数的单调性;/X又/=/+]_〃〉〃所以时,为增函0,O=l—QNO,XG--,0//x0,/zx、」2L2数,故〃〈/即・〃恒成立;x zO=O,x x20当时,由可知〃在上为增函数,月411”x=e—sinx—[0,y/0=1—0,〃+1-0,故存在唯一%,使得/%=.£a+°°则当«0,冗2时,〃%,M%为减函数,所以力%/20=,此时%・力%0,与恒成立矛盾.x/x0综上所述,a\.In Y、已知函数/©=一;.7x-l⑴讨论函数的单调性;/x已知;若存在时,不等式双—独/-成立,求;的取值范围.210,X£l,+82llnx I解丁=的定义域为/内1/351,因为/%=与,所以〃幻「一」1Tn2I x-l一JQ|1令=叱则,g%=]-gx=r所以函数在区间单增;在区间位单减.y=gx0,11,又因为⑴所以当时晨尸g=0,xw0,lULy x0,所以函数在区间上均单调递减;y=M0,1,1,+8一2l]nx,-llnx当%〉时所求不等式可化为党之若,即/10,1X—10,易知:%0e1,+GC,由知,,=/幻在单调递减,故只需/〈尤在上能成立.11,+s L+8XIn两边同取自然对数,得〈即一在上能成立./U lnx,21,+8X人/、、In%/-mi〜1-Inx令贝x=——xi,Uex=———,X X当时,尤函数=工单调递增;当时,函数=工单X£l.e0,y X£e,+co00,调递减,“⑴皿⑻!所以又人,故的取值范围是〔g〜aj X、已知%为的导函数.8f%=In%+ax+la GR,f%若对任意%都有求的取值范围;10f%0,Q若〈与证明对任意常数原存在唯一的%%,使得广%=也止但20V%2,O E/,2%%1-2成立.解:因为⑺=工+@=丝匚%10,X X所以,当时,=+不符合题意.Q20/110当时,令尸%V得%,一工;aVO0,令广得所以/%在区间{上单调递增,在区间―上单调%0,0V%—%0,—1+8递减,由题得=」_£解得f_£40,QW—
1.一/%2证明:设g%=%—/Ol2,问题转化为gx在区间%L第2上有唯一的零点,Xi-x2\nx^ax-\nx-ax2/%1-f%2112=-+a—Xl-X2X Xi-x2所以综上所述a—1,a4—
1.易知在区间,上单调递减,故函数在区间上至多有个零点,g%%1%2g%%L%21由尸%匕3=%]一%一工0%1=1-02+a—―吟2X1%
1.2「]一三+]三=J__lnx In.=1n,%!X-X X-X\Xr2r2%i同理,得六管+喧,由知,当=一时,当且仅当%=时取等号,g3=—i11Inx-%+10,1因为,所以二,所以0V V%21In——-+10,%!%!X]又因为%%,即」一,所以1-20g%i0,一工1X]2因为,所以
①,0%1%201x2所以匕+即至+包—lna—10,in10,久%2%22又因为%,即」一所以,%1-20,g%2V0一久%12由函数零点存在定理知在区间比,上有唯一的零点,即存在唯一的%,,0%1%20€%1%2使得广=33成立.%%1—
2、已知函数,9x=ln2x+ax+
2.讨论〃的单调性;1x_2若函数有且只有牛马两个零点,证明+”2gx=/%—2x3”a.解因为〃%=依+所以/,11112%+2%0,X=+Q.JC若则广⑴〉恒成立;QNO,若令/解得a0,x=0,x=—Lin当xw0,一一时,kJ、综上所述,当之时,的单调递0/x增区间为,+;81A1A当时,的单调递增区间为一,单调递减区间为.0”X0,-比办角+av+1av+12gx=/x—2xe=\n2x-2or+2=ln2jce-2%e+1,令则『+t=2H0,In21-21=1mT+1,令函数,贝〃;M0=ln/T+l«U=—1,可得可在上单调递增,在上单调递减,0,1L-又由从所以可有且仅有一个零点,即㈤1=0,=1,2xea=1,故函数有且只有与当两个零点等价于函数#-有且只有玉,马两个零点,gx0x=2xe lx0可得“x=2l+oxe3i,若心则”另恒成立,在上单调递增,0,0°x0,+8则力最多只有一个零点,不符合题意;1若〃则当时,单调递增;0,XE0,—0xO#xaI当无单调递减.XW-g,+8,0’0,0%当或时,故要使有当两个零点,X.0X-+80xv0,0x5,12则需—=-------〉°,即一120,V a J a不妨令玉一,,0s a今函数一一4\”x=0x-00x--aJ=2xe“^+-+2x e-i卜则誓卜咛-],”0=1因为-所以办+2q0,0x——,11,故在[]上单调递增,x0,”x0,-\a1A/2\又因为——=,所以即芭=°仇HxJvO,00——x,\a I21\\因为---在上单调递减,%,0],+8a a\a22-------xX,X.+x——27所以-,即-a a.、已知函数10/x=asinx+sin2x,a^R.万、若在上有极值点,求的取值范围;1/x0,-I2J兀\若时,求匕的最大值.2=1,xe0,-—fxbxcosx\39解依题意,有变号零点,令光,,1/*%=6zcosx+2cos2x=4cos^x+acosx-2,/X COS=则/£」,所以=必—=在有实根,注意到△,所以,解4,2+20,1gO,gl得〃—即£—收.2,2,2a=l,/x=sinx+sin2x,乃、jr2当时,,显然成立;fx0bxcosx_23J一7l\当时,所以0,—cosx0,tan%+2sinx2bx.I2j记hx=tan x+2sinx-bx,贝恒成立,U/zxNO h\x=~\——F2COSX-Z,XCOS
3、丁兀、、上口……2Qin r2sinxl-cos A:.J-----------〃”X二———2sinx=匚-----------^〉0,/2x在,不单调递增,V27COS X COS X(兀、若〉则记Z3,/z00,cos®=,,彳,则e£°I2jh\0=b+0,h\Q=3-b9所以存在不£()使得()当尢(尢)时,〃()<()单调递减,0,8,Xo=o,£0,0x o,/z x所以工£()时,()<()不符题意,0,%/z x/z0=0,当匕=时,,()>,()即寸,力)单调递增,3/i x/z0=0,0,—H I2J所以,符合题意,/zx/z0=0,Ji当—,一时,xe/x=sinx+2sinxcosx=sinxl+2cosx,123由所以/%2cosx+l2cos——+1=0,sinx0,0,而〃时,所以成立,=3Zxcosx0,/xcosx综上所述,的最大值为
3.sin x11已知函数/%=---------,gx=mcosx-x,mQ.x讨论函数在一肛上的单调性;1/x0110,137r若方程〃矿在区间上有且只有一个实数根,求〃的取值范围.2x=gx0,—
2、“、sin r/xcosx-sinx------------------------------解的定义域为{},1“x=——x|xw.fx=5设则二一0x=xcosx-sinx,”x xsinx,当工£一肛万时,当且仅当时取“=”p\x0,x=o所以在一小上单调递减,又奴0x10=0,所以当w所肛时当乃时fx00x0,f\x0,x£0,0x0,f x0,因此在-肛上单调递增,在兀上单调递减./x00,sin x-------------即为〃22/X=gx2=mcosx-x,X两边同时乘以无得得,znsinx=znxcosx—Y,V+sinx—iwccosx=0m令2,则rhx=x+msinx-jwccosx h x=2x+mxsinx=x2+msinx,不、3由条件知飘在区间上有且只有一个零点.x0,—
①当〈根时,因为所以〉即042-lsinxl,2+/nsinx0,/zx0,37r所以〃在区间上单调递增,x0,—37r又久,于是/在区间上无零点,不合题意.0=x0,—
②当机〉时,令/=,得2sinx=——G-1,0,m所以存在唯一的七£0,,使得〃幻=,当九时,f当%单调递增;J£0,oh x0,广3当%,—时,f〃单调递减.h x0,x\2又注意到=f0=0,°万、077*22371于是当三-机即用三时,力%在区间,工上无零点,不合题意;20,244I2JqM q27r当”-加即〃〉吆上时,力在区间上有且只有一个零点,符合题意.0,2X0,—44I2J9/综上所述,实数机的取值范围是一,1+
8.I4sin x
1、已知函数=的导函数为了其中为自然对数的底数.12/x=—X,e若天使得/%求实数的取值范围;1°CR,=0,1当,时,恒成立,求实数攵的取值范围.2=2Vxe[0,+x,0叼/八4\sinx+Z cosx-sinx-t解1由,fx=——--,可得/%=------------------------------,xe e因为使得/不=,m/wR,所以使得-,=,cos%—sin%则有t=cosx-sinx=V2^-cosx-^-sinx,0000所以1=^2cosXo+—£[—/2,^/2],所以实数,的取值范围为一夜,血];当%=时,尸恒成立,22Vxe[0,+00,x+eT.0所以任二警匚+*八..对+8恒成立,0X£[0,e即kx对+00恒成立,cosx-sinx-2+e..O%e[0,令/%=cosx-sinx-2+*,XG[0,+8,吟r,曰,71721n3由/,=e2—
3..0,可得上...---------71又r,所以z己一%一F x=ke^-sin x-cos xF0=k—l,t gx=e1,mx=x-sinx,XG[0,+oo,则x r上恒成立,g\x=e-
1..0,w x=l-cosx.0^[0,+oo所以巩工在+8上均单调递增,gx,[0,所以gx..g0=0,mx..m0=0,所以・e.x+l,x..sinx xe[0,+8,9当时,k.l所以/在区间+8F\x=ke^-sinx-cosxW-smx-cosx x+l-sinx-cosx=x-sinx+l-cosy0,x[0,上单调递增,故Fx..F0=0,当网工,时,Z1FO=IvO,71记kxhx=F\x=ke-sin x-cos x,xe[0,+oo,JT则/*一在一上单调递增,hx=cosx+sinx0,kn故/生10=r—10,=865+10,277由零点存在性定理可知,存在不£不,使得〃%=,0,所以当时,X£O,Xo hXx0故力在区间玉上单调递减,即以左—所以方工在区间0,/20=IvO,xeO,x,0,%o上单调递减,从而尸%〈尸不符合题意.综上所述,0=0,k..T,故实数上的取值范围为[1,+S.、已知函数八%=半.13讨论的单调性;1/xV2cosx+—解⑴、f x=,4xe若对于公,八%工履恒成立.求实数上的取值范围.204rT[ri77令f\x20得--------F2k兀x H—W—F2kji、k eZ,242371解得——〃+兀2k x——b2kji,kez,44,7T7C3/r令/得x W05+2k7T x+—JI5解得——F2kjix—7r+2ki,k Gz,44371在一一+左肛一+左〃左£单调递增,/x22244JI5在—+左单调递减,/x1k7l^—7l+2k7l£Z44…/、sinx71cos A:-sin xtr-kx,xe0,—,g x=⑵法一设丁gx设=cosT0,7上单调递减,所以在万/zx0,JI--乂/z0=1,^—=-e2,当归时,f31g x=hx-k098网0=0恒成立,.・・221,当一时,令hx0=k,兀因此在[]单调递增,在单调递减,gx0,%X-O9所以810^=~8°=°不合题意,舍去・当左右时,单调递增,7在gx・・・不合题意,舍去,g0=0综上所述,实数左的取值范围是[方法二由了工履,1,+8,当时,恒成立,x=0当%,勺时,人=当,w32x xe,、〜sinx令xbx=-xe,x\••cos%-xe-sin x{xe+ex cosx-x sin%-sin x・・.Fx=x22xx e令九/zx=xcosx-xsinx-sinx,/./zx=cosx—sinx-xcosx-sinx-cosA=-xsinx-xcosx-sinx,71,当]时,x£0,—hx0,・•.力x单调递减,.•.力%力=,...方单调递减,X71・・•FXF0,XG0,-],―、「「sinx cosx---------F0=lim二-----------limx1°xe由洛必达法则得x xx-e+xeTT当[・・・x£0,FxF0,.Fx1,..Fx=1,.k\max综上所述,实数攵的取值范围是[l,+
8.、一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成,米,如图所示.小142A3CO AB=1球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后,以的速度沿与点切线垂直的A8u0E3y E方向弹射到落袋区内,落点记为尸.记石NAO=6,用表示小球从到所用的时间了夕;1A b当小球从到所用的时间最短时,求的值.2A bcos解依题意,半径是故到石弧长为氏通过到后弧长所用时间1ZAOE=6,1,A A是鸟,过作于则/=空=,,得族=G_LBC G,OG=1,i+_L8v sinsin sinFF1I则此时所用时间为——=——;+—211-cos3-3cos6^-8cos^3cos0-lcos^+2f0=------1-----26^24vsin038v3v3v3usin3v0I i-------------所以/e=—+—+8v3v3usin1\7171记为£,不,且则,COS4=§,jl A1当时,所以广/单调递减,cos6-,0,万、31当时,所以//夕单调递增,6—cos6»-,0,p\473所以=,时,用时最短.cos3所以,当时,小球从到尸所用的时间最短.cos8=g A、已知函数为自然对数的底数15/x=e—at2-sinx,e求在处的切线方程;1/x x=0当时,求实数的最大值;2x20/xl-x-sinx,⑶证明当时,/在处取极小值.x=0解⑴A2/%=e-ax-sinx,・・・且/则八=,所以在处的切线方程为/0=L x=—2ax—cosx,/x x=0y=
1.当时,即一/+工一]当工=时,2x20/xl-J-sinx,20,,+X—1ex-ax2+x-l=0^当x0时,ex-ax2+x-\0,即-----------------------------不,令则gx因为〉所以x0,1=0,当〉时,在上单调递增;当工时,x2g%0,,gx2,+802gx0,gx2/\r+1c+]在上单调递减,所以,所以0,2gXmin=g2=£/2e+1所以实数〃的最大值为上二.4令3/zx=/x=e-2av-cosx,已知%若存在时,不等式成立,求的取值范围.20,x£l,+8/L_2xi]nx4r、已知%为/%的导函数.8f%=In%+a%+1€R,若对任意%都有/%求的取值范围;1040,a若证明对任意常数,存在唯一的%,孙,使得尸而=止无必x x20€%1l-2成立.、已知函数9/x=ln2x+ax+
2.讨论〃的单调性;1x_2若函数有且只有不/两个零点,证明十”2gx=x-2W a.、已知函数10/X=a sin x+sin2x,awR.若,在上有极值点,求〃的取值范围;1x0,-;I2兀\若时,求的最大值.2a=l,XG0,--/xZxcosx,b\3sin x
11、已知函数/幻=2---------,gx=mcosx-x m
0.9x讨论函数在―巩〔,万上的单调性;1/x00,’37r若方程时在区间上有且只有一个实数根,求机的取值范围.2x=gx0,—\27Qin Y4-f、已知函数一—的导函数为其中为自然对数的底数.12/x=^/X,e e若天使得广%=,求实数,的取值范围;1°wR,当,时,广⑺+陵小恒成立,求实数人的取值范围.2=2V%£[0,+8,qin x、已知函数/©=.13e讨论了的单调性;1若对于/%«立恒成立.求实数人的取值范围.2Vie,,1],、一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成,米,如图所示.小球142A5co A5=l从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点£处后,以的速度沿与点£切线垂直的方向A8y O3y弹射到落袋区内,落点记为尸.记NAQ£=e,用表示小球从到方所用的时间了⑶;1A当小球从到产所用的时间最短时,求的值.2A cos17171x和都单调递增,所以x,=e y=sin x Zzx=e-2a+sin x右一,当—.—a,22单调递增,\n即时,则4e2—1
①当--e2—2a—120,,2I27,/、XC・、八717l\、、、、--------hX=e-26Z+sin A:0,x G,则飘x在xe上单调递增,而2271\/zO=O,所以当时,/zx0,所以在-不,上单调递减;当八兀一0,,所以在上单调递增;所以/%在处取极小时,/X0,-x=0I2JI2/zx0值;_三7T
②当“-「,一〃一即时,〃且210,e2—11/0=1—20兀兀、【一
1.当〃时,求函数的图象在处的切线方程;=0/x e,fe1若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.其中2X£l,+8,/x21nx+4e为自然对数的底数解⑴当〃时,〃工=二所以〃=0e=
4.Inx-4此时故以直4=44即=——;x-e\,x+8所以所求切线方程一4=——ee由题意得对对任意恒成立.2ar+4—II1—41nxN0X£l,+8令得x=e,e设gx=or+4—ln2x—41nxx£L+oo,…、、21nx+4-21+Inx---------------设,则〃/2x=x=—~~^0,x x所以人%在功递减,故〃%£1,+0x
4.
①当时,z所以在单调递增,〃所以〃满足题意.g x0,gx L+8g%gl=+4024121nxe+4
②当一工4时,存在玉〉1使得=---------J—e x即办°=且在单调递减,在%,也单调递增,2In/+4g x1,x0所以2解得一21nx+4+4-In4-41nx0,Bp In x+21nx-80,4Win x200即由力同=21nx+4在递减,JC8可知-
4.eQ综上所述可得之二.e已知函数/17x=ae-x-a.若求的值;1JXO,Q当々时,从下面
①和
②两个结论中任选其一进行证明,221;1/xA:In x-sin%@/x xlnx-l-cosx.解方法一1由〃力=枇「得/⑼又/力故/⑼而/〃一x—a,=0,20,=0,x=e”1,故/0=a-1,a=l,若则/,当时,当时,za=l,x=e—1,xvO x0/x0,所以在单调递减,在单调递增,故是的唯一最小值点,由于/X—8,00,+o x=0X/0=0,所以当且仅当时,0=1fx
0.综上,a=l.方法二由得了=,又//x=ae—x=ae—1,当时,有/恒成立,所以在上单调递减,又由则a0x0“X R/0=0,fWo不成立,则尤In工时,有了%0,x1/1A时,有/即在』单调递In—x0,|—oc n—减,当时,令得0jTx=0,x=lnL
1、1单调递增,所以/是的极小值,In-/x在,十In—\ci又因I为〃且,故即々经验证成立.xN0,/0=lnL=0,=1,选择
①作答2当时,〃,x0/x=ae-x-a=e-l-x2e-l-x,设gx=e-x-xlnx+sinx-1,当〈时,一又由知〉故〉Ovx lxlnx0,sinx0,1e-l-x0,gx0,当时,xl gx=e-2-lnx+cosx,设,,则A f/zx=-2-Inx+cosx//x=e---sinx,7z xe-l-l0,X则在单调递增,7z%1,+oo/zx7zl=e-2+cosl0,所以则在单调递增,gx0,gx l,+oo gxgl=e-2+sinl0,综上,〉即当时,gx0,.21/xxlnx-sinx.选择
②作答当时,v AAaNl,x0f x=6ze-x-a-a-1^-A:e-1-x,设gx=e-xlnx+cosx-1,当时,一x故〉OvxWl xlnx0,cosx0,e-10,gx O,当%时,1=-1-lnx-sinx,设一则x/九〉/zx=_1Inx-sinx,=e---cosx,e-l-l0,则在单调递增,妆所以则在L+oo hx l=e-l-sinl0,gx0,gx单调递增,综上,〉即当时,、1,+oo gx^l=e-l+cosl0,gx0,aNl/xxlnx-l-cosx.18设函数/犬=枇、—22e+
2.若/九有两个不同的零点,求实数的取值范围;1若函数〃一有两个极值点%,々,证明:玉二2gx=Lae2+-2e-2©g%-g21-用X CI解令=廿,则有个零点,等价于金存在两个正根,则有15/X22—2s+2=0△一=48a0八,解得20v av:,—
02.a、1所以使得了另有两个零点的的取值范围是0,-.\22依题意,g\x=ae2x+a_2e”+2ex=e^ex+l i-2ex+2,因为一”,,且有两个极值点玉,々,则与,工为西工一的两0e+l0gx2222”+2=0个不同解,221由知,且不妨设104—e+eM=—,e*e*2=—,122e^—e*a—2+a-CI-----F,2q-1要证明幽〉」,只需证122/\2a—11----------------・,而,即2q-0a5x-x x-x2l2l2a a为一炉e12只需证-----------一,因e+e2=一,只需证x.%2廿一为一1Lx+1一%因为々%,只需证巧,x2e f—lve1+19_12设,令则”“=令9—%=%«0/z«=Ke+l—2e+2,r0,e«—1+1,pt=ht=e r-l+l,则汨即在上单调递增,则有⑺因此,力⑺在上单调递增,”0=0,O,+8=000=0,0,+即力⑼当时,/1=0,0z zre+l2e-l,取/=々_司,工〉为,从而有己巧一为一/已巧一七工西成立,22+12_、已知函数〃力=其中1912-minx,m
0.⑴若相求函数的极值;=2,/x设力=#%-.若在上恒成立,求实数加的取值范围.2g1g%1,M解⑴当加时,定义域为力.=2-21nx0,+29r-2------------则・fx=2x——=,x
0.X X令解得斗二—舍去,・・rx=o,1%=1当了时,广%在上单调递减;W0,
10.•./%0,1当时,在上单调递增,所以/%的极小值为无极大值..X£1,+cc//x
0.*./%1,+81=1,已知-加2gx=xx2若在上恒成立,即2在上恒成立.gx01,+8x-minx--1,+8JC3则_2x-mx+1Gx=2x-e+4X X2x构造函数GX=A2-minx——,xl,令2HX=2A3-mx+\,x\.-6x—m若加可知〉恒成立.i46,x0在上单调递增..\Hx l,+8Hx7/1=3-/
71.
①当-根即时,320,0m3在上恒成立,即在上恒成立.Hx01,+8G x01,+8・・⑴在上恒成立,.GxG=0l+oo9・・满足条件..O vm43
②当即时,3-m03cm6,存在唯一的/使得当时、即el,2,“%o=O.X£LXo//%0,G x0・・.G%在1,%单调递减・・・.GxGl=0,这与G%0矛盾.若〃由“可得%二一不羡舍去,%ii z6,X=O,2易知”力在上单调递1,・・—机在上恒成立,即上恒成.”x”l=30Gx上单调递减.在Gx1,在上恒成立,这与矛盾.GxGl=0Gx0综上,实数机的取值范围为0,3].\x\x,k、已知函数/⑴=——攵为常数,是自然对数的底数,曲线在点20e y=/x1,e~处的切线与轴平行/1x求女的值;1求的单调区间;2/x设,/⑴,其中/为的导函数,证明对任意3gx=+x x/X x0,2gxl+e~.”,由己知,.门】-占・0,••・七
41.i-tj--•-I⑵由知,川…•1设贝即,,在』一工上是减函数,1J,X由=知,当时从而0x1Mx0,rx0,当•」时;,,从而八二.综上可知,的单调递增区间是单调递减区间是工0L,L-L3由⑵可知,当;二1时,目5=科怔/忘01+¥二,故只需证明,1-广在04〕・1时成立.当0xl时,1〉1,且gx0,••・gXTX7lTlnX
7.e设】;=』%一•,二则网明=」幻%,吏”,M-I0,当时,当时,xw017Fx0,xjjh rxo,所以当〕一?・二时,,一取得最大值个所以广;口-门.综上,对任意工gU0,gxl-u-、已知函数/-加为自然对数的底数15x=e—sinx,e求在处的切线方程;1/x x=0当入时,求实数的最大值;220/xl-x-sinx,⑶证明当〃与寸,在处取极小值./x x=0以+4/、16----------------------------------xInx当〃时丁求函数〃的图象在〃处的切线方程;1=0x Ge若对任意工£不等式恒成立,求实数的取值范围.其中21,+8,/x2lnx+4e为自然对数的底数已知函数x17/x=ae-x-a.若求的值;1“X20,Q当时,从下面
①和
②两个结论中任选其一进行证明,;2Q21@/xxlnx-sinx®/xxlnx-l-cosx.、设函数〃=求,182-2+
2.若有两个不同的零点,求实数的取值范围;若函数九公〃一卜一1/x2g=12+22©一有两个极值点石/证明2,g3—gxj21x-x a2{、已知函数其中19/x=d-minx,m
0.若加求函数的极值;1=2,设,若在上恒成立,求实数加的取值范围.2gx=4x—1gx1,+8〃In1+、已知函数二一「左为常数,是自然对数的底数,曲线在点20fx ey=fx1,e处的切线与轴平行/1x求攵的值;1求/⑴的单调区间;2设,淇中尸为的导函数,证明对任意3gx=+x/x x/x x0,2gxl+e~.参考答案、已知函数〃1x=e*+aln%.若了力在+单调递增,求的取值范围.10,若且求2avO,/xNe,a x解⑴因为〃定义域为,[同=,=三±/x=e+lnx0,+“6+3q XX若时〉,所以在单调递增,满足条件;rx=e+g Fx0,+8X若时,令%〃则所以当时”无即avO3=%]+,/x=x+le1x00,\S\一〃—J-a[in2J-a0,在上单调递增,又〃/zx0,+8-In-6Z=-h-Q=—ae+a=-a-l+e—0,所以玉当时即/所以在天上单调递减,£0,f8,X£O/o/ZXO,XO,/X0,当九,时即/%X£0+007zx0,0,所以在下,48上单调递增,不符合题意,/X综上可得〃20若由可知玉“同在上单调递减,在上20,1o£0,+oo,o,x5,y单调递增,且〃=,所以的最小值为/e+/xA/x=e+a In/=e-x eInx=el-x lnx,0o0o o令则z xgx=el_xlnx,g x=-l+xe lnx,所以当时当〉时Ovxvl g%0,x lgxvO,故在上单调递增,在上单调递减,所以〈由所以当且仅当/%gx0,11,+8gx gl=e,/x2e,=即时条件成立,所以e,/=14=—e、已知函数〃力=九22+ta+lnx,aeR.若存在两个极值,I/x求〃的取值范围;证明函数/另存在唯一零点.12若存在实数%,马,使,且々西,求的取值范围.n rx+r=o2%22x+ax+l解【⑴根据题意,二r“方程分+有个正根加,2—+1=02,解得;a—2A/2—014证明易知在时取极大值,在尢=〃时取极小值,ii x=由知加加+故/机=—机一i22+1=0,AT+in1,令故,由解得gx=—%2+lnx—1,g%=—2%g%=—2x=0,x=JC x2-3o,22故〃,至多只有个零点,0/X1又/—〃=〃故存在唯一零点;ln—0,/x由题意知玉+------^----即〃=—工]+%-------------II26/H F29+=0,2-1x2故/x1_/xj=x;_x;+ax]_xj+ln--=—1XL+ln—,%2\x2丫11设上£1,2,记力二一,十----,bln/,//=—-+10,X2V7It%x22X1X2故递增,故/z/Z1£M2M1,3,即£——+,即取值范围是一+皿/2In2,0/xj—//2,
0.\472+—ax-ax^a eR.讨论函数的单调性;1/X/%为/%的导函数,记尤=/%,证明当一时,函数有两个极值2g e-30g%点.解/%二配一+,办一办〃£氏的定义域是匕12/x—1cie-1x丁・/x=e x~xe x+办-a=x-1Q-e=-----------------------------
①当a0时,aex-10,令/,得;令/工,得x xl0x
1.
②当时,令/得或;Q0x=0,x=-lno x=l当〃〉一时,令广得;或冗;令/力〈得;x0,rv—Ina10,-Inavxvle当时,恒成立,且仅在处/力=;a=4/%20x=l0e当,时,令/得或;0a x0,xl x-lna e令/九,得lxv—Ina.综上,当〃寸,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;00/x—8,11,+8当〃,时,函数在区间一』,上单调递增,在区间0/X8—In a,+*1,—Ina e上单调递减;当时,函数/%在上单调递增;a R当时,函数在区间上单调递增,在区间』上单调递减./x—8,—Ino,1,+a—In证明由题意得雇工=.广力=一]一々%-则要使函数216X+1,gx=x-2”r+a.gx有两个极值点,则方程有两个不同的根,且这两根的左、右两侧的函数值异号.gx=o gx令,则〃%=px=gx3-£2-1令得令得px0,xv3,px0,x3,・.・函数/同在区间—8,3上单调递增,在区间3,+8上单调递减.则函数在处取得极大值,也是最大值.gx x=3当-/时,短⑶口且a0=3+0g2=a0,.•R2g©0,即函数在区间上至少存在一个零点机gx2,3又函数/%在区间上单调递增,F,3函数在区间上存在唯一的零点gx-0,3m,且当工回时,;当时,£-00,gx0,3gx0,・是函数的极小值点.•.x=m g x下面证明函数在区间上存在唯一的极大值点.先证当时,v2gx3,x3^x.令x23/zx=e—x,/z3=e—90,x f3=e-2x,h3=e—60,令9x=x,当时,一,x3x=e—2i
2..・函数”x在区间3,+刃上单调递增,//%//30,・・〃在区间上单调递增,即x2•x3,+oo/zx/z30,ex x
3.
1.当〉时,取/=—x3e3,a、X[gx=x-2e~+a=+a+a^-+a=—+a=-a+a=Q,e-e*^00由零点存在性定理,得函数在区间上至少存在一个零点.gx3,X又函数/“在区间上单调递减,3,+8在区间上存在唯一的零点,gx3,+8且在区间上,z在区间上,3,g x0,2+8gx0,・〃是函数的极大值点.•.x=gx综上,函数有两个极值点.gx、已知函数为实数.4/x=J-4x-lnx+〃X⑴当=-时,求函数的单调区间;1/X若函数在内存在唯一极值点,求实数的取值范围.2/x0,1a1X厂狗解函数的定义域为,+解.=」]=1y=/G8,/1X\X JX当时,—办=a=-1e e+x0,所以当时,当时,X£0,l0;X£l,+
80.fXfx所以/⑴的单调递减区间为递增区间为0,1,1,y.⑵由知,当凡时,在内单调递减,1/X0,1所以在内不存在极值点;/X0,1当时,要使函数/⑴在内存在唯一极值点,0,1一]©_贝幻=在内存在唯一变号零点,厂=00,16即方程在内存在唯一根,e-o¥=00,1所以〃在内存在唯一根,=10,1x即丁=〃与史的图象在内存在唯一交点,gx=0,1X因为厂g,x=0,g-e所以在内单调递减.又以gx0,1l=e,当时,X.0g Xf+8,所以」即的取值范围为e,a e,+
8.己矢口/幻=旌足工+5^2%.⑴当左时,判断函数零点的个数;=
2、、兀»求证〉2-sinx+2x lnx+l xe0,—.兀、若在恒成立,求上的最小值.3/xlnx+l0,-XE\2解⑴当%=时,在上单调递增,2ra=2cosX+220,/x=2sinx+2x R只有一个零点工=/0=0,/X0;兀、1当时,2gx=2x-sinx-lnx4-l,xw0,—gx=2—cosx----0,12J x+1兀、所以在工£上单调递增,所以=,所以0,-gxg02x-sinx-lnx+l0,-sinx+2%lnx+
1.⑶解法一当攵之一时,由得恒成立.12/x2-sinx+2xlnx+l,,1”1当左一时,设〃1x=/x-lnx+l=/2x=2+Zcosx-=A x=-Z:sinx+-—
0.3在7马上单增,%=%+,呜一点由零点定理,所1=2%=0,I2以力在上减,不恒成立,所以女的最小值为-X O,x/zx/z0=
01.o0解法二设hx=/x-lnx+1=x=2+Z cos%——
1.x+1
①当左时,〃在单增,2—1x=Zcosx+2—-—0,/zx03/=0,x+12JT----〃设2+Lcosx!-=x=-Lsinxd!--
②当左时,/zx=/x-lnx+1n//x0V-12x+1x+1在恒成立./xlnx+1X£0,R九)增,()叱)-衣〉由零点定理,(所以0=Z+l0,=2/ho,----1H2以)在(,/)上减,〃(%)V()不恒成立,所以女的最小值为X0=-
1.、已知函数()广(%)为〃力的导数.6/x=+cosx-2,()当时,求广⑴的最小值;1X20JT当工之一不时、—分一恒成立,求的取值范围.2xe+xcosx22%20解A令,-贝1/x=e-sinx,gx=e sinx,x0,ij gx=e—cosx.当兀时,为增函数,;当%兀,+时,r7tJW[0,gx gxNgO=O8g xe-l
0.故时,,为增函数,故而°=晨°=,即尸%的最小值为令〃xNO gxN0,gx gx1L2〃,x=e+cosx-2-6L¥,x=e-sinx-则本题即证当光之一5时,%・力(力)0恒成立.当时,若%则由()可知,)所以)为增函数,0,1h\xl-a0M%9故力之//()恒成立,即()恒成立;0=0x/xZ07T7T若则在上为增函数,又心n2XW--,0,/zx=e—cosx,/fx=e+sinx--,00=1,h\--=e-10,故存在唯一不£,使得/不=--,
00.Tt\/当时,为减函数;时,w为增函xw--,X/Txv0,x X£Xo,O/x0,OI27数.又〃_巴]=〉/2e-50,〃故存在唯一玉£使得〃/2o=o,--,0x=
0.、,2JT故工£时,(不),/⑴为增函数;()时,()〃()为减/2%£5,0/%0,X函数.I2J。
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