工程数学复习资料本）

工程数学复习资料9-、线性代数1矩阵的初等行变换1）两行互换，2）—某一行乘以一个非零常数，3）某一行的K倍加到另一行、18例:

32、阶梯型矩阵1）全为0的行写在最下1面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大如7解用初等行变换将矩阵化为阶梯形

3、行简化阶梯型矩阵满足下列条件的阶梯型矩阵1）首非零元全为1,2）首非零元所在列其余元素全为0如:

4、求矩阵A的秩A迎生逵换-阶梯型矩阵阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A的秩即r（A）—525求矩阵A的秩.由此可知矩阵的秩为

2.

5、求矩阵方程AX=B（A B）I X或X=A tB1-1初等行变换求矩阵A的逆矩阵（A I）»I A-1解AB1二一

12001.例设矩阵A=-12,B50，求3-4或解矩阵方程AX=BATB.二052-15-10-15—8—15-12-201220・•・A-]B=-10-151220-5—1231,，求:A-例设矩阵0-110023-1101/23/2-1解:[A/]=0-11010-11001000011/23/2-1所以A-1=0-

110016、n元线性方程组解的判定4勿=厂4=〃时，方程组有唯一解1AX=brAb=rA时,方程组有解〈«AA=rA=r＜加寸，有无穷多解,且有i-r个自由未知量rAbWrA时，方程组无解厂4=〃时，方程组有唯一零解AX=O方程组一定有解4=〃时，有非零解，且有i-r个自由未知量2求齐次线性方程组AX=O的基础解系将方程组中的自由未知量分别取k,0,解向0,0,k,0,0,0,k形式所得到的量3求AX=O的一般解和全部解求AX=b的一般解和全部解例设齐次线性方程组AX=O的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解.11/2解因为-3-3/2001~=~~X3得一般解:其中工3，14是自由元3=5%3-工4X2320]\令=2,=，得X]=[―1-101]\令匕=,Z=1，得X=[o所以，{x x}是方程组的一p2个基础解系.方程组的通解为X=k X}}+k X,其中%是任意常数.22X]—3%—2工3—工4=1例2,线性方程组4的全部解3x-8X-4X—%=0l23—2%]+%2—4工3+2%=1_X]_2%2—6工3+工4=21-3-2—1-3-2-111045—8113-8—0122-30122-304-1-210——0300210-121—258—-2003000002411——-15—58=16+15X46—8一方程组的一般解4匕=9+8与将常数项视为零,工取=1得53二-6—5X4015例当4取何值时，线性方程组16有解，在有89相应齐次方程组的一个基础解系取匕=0原方程组的一个特解故方程组的全部解解的情况下_6求方程组的全部解.01解将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当；Iwl时，方程组无解当；1=1时，方程组有解此时齐次方程组化为分别令％=1，工4=0及£=0，%4=1，得齐次方程组的一个基础解系令当=，匕=0,得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为X=X+匕X]+攵2乂2其中占，左2为任意常数

二、概率部分

1、假设A,B为两事件，已知尸4=

0.5,「3=己6,7邳同=

0.4,求尸A+B.解PAB=PAPBA=

0.5x

0.4=

0.

22、正态分布X〜NQ/,b2PX勿=

①^^,PaX与=中^^—中^^,PXb=l-P Xb=1-

①a a aa例.设X〜N2,9,试求1PX11;2P5X

8.已知

①①01I-解px〈n=

①二

①3P5X8=

①比2-

①上2=中2-033_I〃1方差已知统计量U二七型,册其中又=二2,几i=\

3、估计区间和假设检验对于正态分布N42置信区间［X——,40，X+—=•〃yjn l~2N H，假设检验若\U\=A£I-----1--2成立Y_u1«_2方差未知统计量1=:上，S2=——y X-x.2“广〃-1台z—v—vX-jLlt，则假设“o置信区间［X——・*X+—・Q］,假设检验若|丁二aN n、ln例.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为mm,若已知这批滚珠直径的方差为

0.062（=

1.96）.\-Z・7/•_»解由于已知b,故选取样本函数已知元=

15.1,经计算得滚珠直径均值的置信度为的置信区间为［元-“0975M+^0975，又由已知条件〃09乃二L96,故此置信区间为79[

15.0608,

15.1392]例对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位米）:由此计算出s=

0.0216,已知测量无系统误差，求该距离的置信度为的置信区间（测量值服从正态分布）

0.975

（3）=

3.182）.解由于未知已知s=

0.0216,经计算得该距离的置信度为的置信区间为［元—乙）975

（3）三，元+乙）975

（3）三］，又由已知条件4975

（3）=

3.182,故此置信区间V4V4为[

15.47,

15.53]例.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X）Q口975解假设H0U已知n=9,X故认为这批砖的抗断强度不合格例某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm,今对这批管材进行检验，随机取出9根，测得它们直径的平均值为U=a%o（）5⑻=

2.306）解假设H（）:口二100故认为这批管材的质量是合格的。