微专题23 痛点问题之概率统计解答题（原卷版）

微专题痛点问题之概率统计经典解答题23秒杀总结★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来一是统计的基本研究过程收集数据一整理数据一分析数据一统计推断.收集数据整理数据分析数据统计推断三种抽样方法简五种统计图表频率分两种数字特征集中三种统计推断单随机抽样布表，频率分布直方图，趋势（众数、中位数、用样本估计总体（抽签法、随机茎叶图，散点图，列联平均数），离散程度（估计思想），法），表.（极差、方差、标准回归分析（拟合思想），独立系统抽样，差）.性检验（检验思想）.分层抽样.二是随机事件的基本研究过程随机事件一事件概率一基本概型.随机事件事件概率基本概型八种常见事件三种常见求法七种概率模型随机事件，基本事件，用频率估计概率，古典概型，几何概型，等可,能事件，并事件，交事件，互利用基本概型的概率公互斥事件概率，对立事件概率，条斥事件，对立事件，相互独立事件.式，件概率，相互独立事件概率，独立转化为简单事件的概率.重复试验概率.三是随机变量的基本研究过程随机变量一概率分布模型一分布列及数字特征.随机变量概率分布模型分布列及数字特征两类随机变量离散型随机变量，连四种分布模型三个问题续型随机变量.两点分布，超几何分布，二概率分布列，数学期望,方差.项分布，正态分布.典型例题例

1.（2022・安徽・安庆一中高三期末（理））1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神，使“乒乓外交的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛，规则为先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王、小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛小王与小张比211赛小王获胜的概率为彳，小马与小张比赛小张获胜的概率为:，小马与小王比赛小马获胜的概率为，313⑴比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；⑵比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X,求X的分布列和期望.

（2）记A参加比赛获胜的局数为X,求X的分布列与数学期望.

16.（

2022.山东青岛.一模）规定抽球试验规则如下盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.⑴某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望；⑵为验证抽球试验成功的概率不超过有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记，表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下1234523298604020求y关于1的回归方程＞=9+4,并预测成功的总人数（精确到1）；t

（3）证明:中+[“可下+卜刃卜司尹…+（1-刃卜才[-到讲了附经验回归方程系数八七----------------l》=$-断；；£X-nx i=\参考数据£x；=L46,最=

0.46，x2=0,212（其中王=1，X=TEX/）./=13i=l

17.（2022•全国•高三专题练习）一种掷骰子走跳棋的游戏棋盘上标有第站、第1站、第2站、L、第100站，共101站，设棋子跳到第几站的概率为外，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数

1、

2、

3、

4、

5、6）.⑴求玲、耳、P并根据棋子跳到第〃站的情况，试用片一2和表示勺；29

（2）求证:仍-么|｝（〃=12,99）为等比数列;⑶求玩该游戏获胜的概率.

18.（2022・全国•模拟预测）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得分；若回答正确，填空题得30分,选择题得20分,现设置了两种活动方案供选手选择,方案一只回答填空题；方案二先回答填空题，后续选题按如下规则若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知12甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为鼻，能正确回答选择题的概率均为且能正确回答问题的概率与回答次序无关.⑴若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；

（2）乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.

19.（2022・全国•高三专题练习）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.⑴从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；⑵以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？

20.（

2022.全国.高三专题练习）某地区出现了一种病毒性传染病疫情，该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏时间长，传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行病学调查,找到其密切接触者进行隔离观察.通过病毒指标检测，每位密切接触者为阳性的概率为且每位密切接触者病毒指标是否为阳性相互独立.调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行病毒指标检测.检测方式既可以采用逐个检测，又可以采用〃合1检测法”.4合1检测法”是将氏个样本混合在一起检测，混合样本中只要发现阳性，则该组中各个样本必须再逐个检测；若混合样本为阴性，则可认为该混合样本中每个人都是阴性.⑴若逐个检测，发现恰有2个人样本检测结果为阳性的概率为/（P）,求/（P）的最大值点P;⑵若采用“5合1检测法”，总检测次数为X,求随机变量X的分布列及数学期望E（X）；

（3）若采用“10合1检测法”，总检测次数Y的数学期望为E），以

（1）中确定的Po作为〃的值，试比较E）与£”）的大小（精确到附2匕=

32768.例

2.（2022・全国•高三专题练习（理））2021年4月23日是第26个“世界读书日某校组织“阅百年历程,传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答〃次仇23,72£N*）,每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得分；挑3战题答对一个得30分，否则得分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为5,能正确回答挑战类问题的2概率为彳，且每次回答问题是相互独立的.⑴记小明前2题累计得分为X,求X的概率分布列和数学期望；1Q⑵记第2题小明回答正确的概率为即优=1，2,小〃），证明当％22时，4=-并求｛见｝的通项公式.例

3.（

2022.广东.高三开学考试）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战、另一项为“四人赛力活动规则如下一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p,李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响.

（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；⑵设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为了（〃）.求p为何值时，〃p）取得最大值.例

4.（2022・全国•高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数＞和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度%/℃21232527293133平均产卵数力个711212466115325

（1）根据散点图判断，丁=+，与＞=*（其中6=2718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数V关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概率为P.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为/（p）,求/（P）的最大值，并求出相应的概率，.Z£伍-祖必一可x^i-nxyb=卫--------------------------------------附回归方程与=机+》中,

①—

①一u=y-vx-f X七-Yxi-nxi=l i=\参考数据521517713717例

5.（2022•全国.高三专题练习）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2〜3米，全球服务可用性99%,亚太地区性能更优.（

51、（I）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足X〜N预估该地区某辆家用汽车导航精确度在口,3］的概率；（II）（i）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为V,求V的分布列和数学期望；（ii）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为鼻求4的数学期望.附:若X〜则P〃一+b卜

0.6827,P〃—2bX〃+2b卜

0.9545,夕〃-3b KX〃+3b右

0.

9973.过关测试

1.（2022・全国•高三专题练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球M/KSA-V200W，已知这种球的质量指标4（单位:g）服从正态分布N（270,52）.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为〃0p〈l.1如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在260,265］内的排球个数计算结果取整数.2第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为/p.i求出./p的最大值点P；ii若以P作为〃的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列.参考数据:〜M%，b，则pQ/-2oX〃+2C

2.山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题一十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出“加强原创性引领性科技攻关”,某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm,为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.1在试产初期，该款芯片的/批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为6=,J JJ I月」.333

①求批次/芯片的次品率5；

②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次/的芯片智能自动检测显示合格率为92%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率百分号前保留两位小数.2已知某批次芯片的次品率为设100个芯片中恰有1个不合格品的概率为0p,记°p的最大值点为《，改进生产巴=尼工艺后批次J的芯片的次品率.某手机生产厂商获得I批次与J批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装/批次有40部，其中对开机速度满意的有28人；安装,批次有60部，其中对开机速度满意的有57人.求不，并判断是否有

99.9%的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附片=_________认必-暗______〃+bc+d〃+cb+d

3.（广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题）十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组1已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学3乙答对每道题的概率分为P1，P

2.P1=-P,32

（1）若Pi=］，P2=，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组的概率；

（2）当四+P2=g,且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

4.（2022•山东潍坊•模拟预测）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第（%=12/00）个箱子中有左个数学题，100-2个物理题.每一轮竞赛活动规则如下任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.⑴已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为〃，答对每一个物理题的概率为

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知〃+9=1,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时〃、9的值.⑵若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

5.（2022・湖南•一模）甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下比赛中，以30或31取胜的运动员积3分，负者积分，以32取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为;.⑴甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；⑵甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率.

6.（

2022.福建福州.模拟预测）某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加〃（〃£N*,且2）|2次抽奖，每次中奖的概率为:，不中奖的概率为彳，且各次抽奖相互独立.规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分.第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案

①若中奖则得30分，否则得分；方案

②若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束.

（1）如果〃=2,以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；⑵记顾客甲第i次获得的分数为xg=1,2,,«）,并且选择方案

②.请直接写出石（XjJ与石（X,）的递推关（八7系式，并求E（Xg）的值.（精确到，参考数据-

0.

059.）

7.（

2022.全国.模拟预测）某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶2元，未售出的饮品降价处理，以每瓶1元的价格当天全部处理完.依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温7235c时，零售价为每瓶5元，日需求量为300瓶；当30cT35C时，零售价为每瓶4元，日需求量为200瓶；当730C时，零售价为每瓶3元，日需求量为100瓶.已知七月份每天气温7235c的概率为

0.6,30cv35c的概率为.2,Tv30c的概率为

0.

2.⑴求七月份这种饮品一天的平均需求量；⑵若七月份某连续三天每天的气温均不低于30C,求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望.

8.（2022•四川.成都七中模拟预测（理））某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据（七,％）,，=1,2,3,4,5,其中七表示连续用药i天，%表示相应的临床疗效评价指标A的数值,根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值ZLY=62，Z=i（%T（»-y）=47,£；=必=

4.79,二乙（4-y卜

19.38,其中%=In%,.⑴试判断尸+灰与y=a+〃nx哪一个适宜作为y关于％的回归方程类型？并建立y关于1的回归方程；⑵新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍,若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品约概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率;（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式对于一组数据后,,）,（々，必），…（七，％），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，TL=y-vx-X…）

9.（

2022.全国.高三专题练习）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）产品的性能指数在［50,70）的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在［70,90）的适合小班和中班幼儿使用（简称8类产品），在［90,110］的适合大班幼儿使用（简称类产品），A,C,三类产品的销售利润分别为每件，，（单B,位元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用工（单位万元）对年销售量丁（单位万件）的影响，对近5年的年营销费用升，和年销售量y（，=l,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.一15二£%表中出=In玉，=In x,4=5/=1根据散点图判断，＞=〃・一可以作为年销售量》（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.（0建立y关于X的回归方程;（”）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大（收益=销售利润-营销费用,取―的）.参考公式对于一组数据（4,必）,（〃2），」（〃，4），其回归直线=+齐〃的斜率和截距的最小二乘估计2分

10.（

2022.安徽.合肥一中模拟预测（理））11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地.安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人17都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为3，乙每次投球命中的概率为3,且各次N J投球互不影响.

（1）经过1轮投球，记甲的得分为X,求X的分布列；

（2）若经过〃轮投球，用化表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.

①求P］，P2，P3；

②规定为=0,经过计算机计算可估计得P,=可%+bp,+cPiT（b，l）,请根据

①中PP2，P3的值分别写出a,c关于匕的表达式，并由此求出数列｛凡｝的通项公式.

11.（2022・辽宁•一模）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的石G战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯.据统计，仅在万励〃i平台，S11总决赛的直播就有亿人观看.电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注.已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制、对阵表如图，赛程如下第一轮四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2）,两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.第二轮胜者组两支队伍对阵（即比赛3）,获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4）,失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.第三轮败者组两支队伍对阵（即比赛5）,失败队伍被淘汰（获得季军）;获胜队伍成为败者组第一名.第四轮败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6）,争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为，每场比赛之间相互独立.问

（1）若第一轮队伍A和队伍对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？⑵已知队伍8在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍3获得亚军的概率.

12.（2022,重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.

（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为:，求甲队最后赢得整场比赛的概率;

（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，23且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为不，乙发球时甲赢1分的概率为三，得分者获得下一个J wZ球的发球权.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.

13.（2022・全国•高三专题练习）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.（）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；1

（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数求随机变量X的分布列与数学期望.

14.（

2022.全国•高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此21往复,假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是择餐厅乙就餐的概率是三，记某同学第〃天选择甲餐厅就餐的概率为

（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列，并求反X）；

（2）请写出之与勺（〃eN*）的递推关系；

（3）求数列｛匕｝的通项公式并帮助学校解决以下问题为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.

15.（2022,全国•高三专题练习）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制.单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有301,303等等.301表示双方进行一局比赛，获胜者晋级.303表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负.现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制,A与3一组,C与一组,第一轮两组分别进行501,胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行303,胜者为冠军.已知A与反比赛，A的胜率分别为g,g,|;3与C,o比赛，B的胜率分别g,|；C与比赛，C的胜率为|•任意两局比赛之间均相互独立.

（1）在进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率;。