微专题22 计数原理与概率统计压轴小题（原卷版）

微专题计数原理与概率统计压轴小题22典型例题例

1.（

2022.全国.高三专题练习）我们想把9张写着1〜9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.例

2.（2022・全国•高三专题练习）设随机变量4服从正态分布N（0,l）,则下列结论正确的是_______.（填序号）

①尸（团V0）=p楂）+p楂-a）（a0）；

②P（何〃）=2P（J〃）_1（Q0）；（）））（）3P[^a=l-2P^a a

0.

④尸（周a）=l—尸（周〉祖心0）.例

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角1例

4.（

2022.全国.高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数禺都换成分数,就得到一个如图所示5+1）形，设尸=2”.若在大等边三角形内任取一点P,则该点取自小等边三角形内的概率为till11S〃是｛4｝的前〃项和，则S〃=3123060〃盘-5+1）盘的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出篇右人m台,令例

5.（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝,对任意〃WN+都有〃C+%c+〃C++-c=〃・2田成立，则数列的前〃项和（=__________________________%+4+2J例

6.（

2022.全国.高三专题练习）数列｛%｝共12项，且4=1,4=2,关于工的函数丫3力（力=土一2+（〃;_［卜+1,〃£N+,若X=是函数的极值点，且曲线的y=力（%）在点（生，力（生））处的切线的斜率为3,则满足条件的数列｛q｝的个数为.例

7.（2022•全国•高三专题练习）考查等式C；C\+C;Ca+,+CCL=C；（*）,其中m/£N*,Ym（建且「工〃-利某同学用概率论方法证明等式（*）如下设一批产品共有〃件，其中〃2件是次品，其余为正品.现D.为等比数列

37.2022・全国•高三专题练习随着高三毕业日期的逐渐临近，有〃〃22个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则A.当〃=4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为:O3B.当〃=5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为京40C.甲和乙恰好互换了卡片的概率为一1-，72-1nD.记几个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为4,则2+2=〃+14+%”G N*

38.2022・全国•高三专题练习已知心2,〃+q=l,设=其中4则A.=1B.£kfk=2npqk=k=0〃■ic.若叩=4,则〃攵〃8D.Z/2Z3Z〃2攵—

139.

2022.全国.高三专题练习下列命题中，正确的命题是9A.已知随机变量服从3〃,p,若石X=30,ZX=20,则〃=鼻B.已知PA4=

0.34,P5=

0.71,则尸5可=

0.37C.设随机变量4服从正态分布N0,l,若P《l=p,则Q—1J0=一〃D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X〜310,

0.8,则当X=8时概率最大

40.

2022.全国•高三专题练习信息嫡是信息论中的一个重要概念,设随机变量X所有可能的取值为1,2，…,〃，且尸X=i=Pj0l,2,.,£p,=l,定义X的信息嫡X=—fpjog2P,./=1i=\A.若〃=1,则X=0B.若n=2则HX随着Pi的增大而增大9C.若Pj=Li=l,2,,〃，则HX随着〃的增大而增大nD.若〃=2〃随机变量y所有可能的取值为1,2,,m,且Py=，=P/+P2i/C/=L2,,m,则4％学⑺

三、双空题

41.（2022・全国•高三专题练习）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1,2,9,从盒中任取3个球,则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是_______；记J为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量4的数学期望%）=.

42.（

2022.全国•高三专题练习）袋子里装有编号分别为“2,3,3,4,4,5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为X,编号之差的绝对值为乙记g=乂+乙则P（J=6）=；£（/=.

43.（

2022.浙江・舟山中学高三阶段练习）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第〃（〃£N*/N2）行的数字之和为；去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前46项和为.

四、填空题

44.（

2022.浙江.模拟预测）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛.自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目.现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有一种出场顺序与项目展示方案.（用数字作答）

45.（2022・上海•高三专题练习）对于n£N*,将n表示为n=aox2k+aix2k-1+

22、2内2+…+@八ix2i+akx2°,i=0时,ai=l,当iSiWk时,图为0或1,记I（n）为上述表示中加为0的个数;例如4=1x22+0x21+0x2，11=1X23+0X22+1x21+1x2°,故I

（4）=2,I

（11）=1；则0⑴+2】⑵+…+、

（255）=.

46.（

2022.辽宁・大连二十四中模拟预测）已知三棱锥O-ABC,P是面ABC内任意一点，数列｛4｝共9项，4=1,4+的=2a§且满足OP=（a-a_,）2OA-3a OB+3（^_,+1）OC（2W〃9,〃£N*）,满足上述条件的n fln数列共有个.

47.（

2022.江苏无锡,模拟预测）

（1）若数列｛%｝的通项公式为q=〃-76，则该数列中的最小项的值为2若2—彳3X6-]的展开式中含有常数项,则n的最小值等于

（3）如图所示的数阵中，用表示第根行的第〃个数，则以此规律4（8,2）为.

（4）ABC的内角A、B、所对的边分别为〃、b、.已知511144118411=1112:1114:111/,CACB=me2，有下列结论®2/8；

（2）-1m2；

③，=4,Q=ln2时，3ABe的面积为迎退；

④当2君/8时，98乂BC为钝角三角形.其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）

48.（2022•浙江浙江•高三阶段练习）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为4,且PC=0）=J,则随机变4量4的数学期望E（J）=.

49.（2022•浙江温州•高三开学考试）将标有1,2,3,4,5,6的6个球放入A,B,三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有种不同的放法（用数字作答）.

50.（

2022.全国•高三专题练习（理））有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为.从中随机取出〃件产品，记事件4=｛取到的一件产品中恰有攵件次品｝，则*4）=室及，^=0,1,2,...,；C C,L+CG++G1=PQ=P4+尸A+L+尸4=L CC显然4，4，…，4为互斥事件，且AuAuL^4=（必然事件），因此LCCL+CC二++〃=c,即等式（*）成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断

①等式（*）成立，

②等式（*）不成立，

③证明正确，

④证明不正确，试写出所有正确判断的序号.例

8.（2022・全国•高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的人B,C,D,E,F,G,”八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有种.过关测试

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）设石（力是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（）A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））C.E（X+sinX）＞£（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

2.（

2022.江苏•高三专题练习）已知+=7；+7；%+7；52+…+片室〃，N\其中为（1+X+/）〃HG展开式中V项系数，i=0J2,…,2〃，则下列说法不正确的有（）；；A.T=T i,i=0,12・・・,14；；；B.T+T=T146之年力，c.=2i=\/=0D.T；是T；,T；,T；,…,邛是最大值

3.（

2022.新疆.一模（理））如图，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1一3一4一5一6一7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（）A.5B.6C.7D,

84.（2022・重庆南开中学模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一,如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,L,则下列选项不正确的是（）A.在第9条斜线上，各数之和为55B.在第〃（〃25）条斜线上，各数自左往右先增大后减小C.在第八条斜线上，共有2〃+「（-1）〃个数4D.在第11条斜线上，最大的数是C；

5.（

2022.福建泉州.高三开学考试）若数列｛4｝的通项公式为%=（-1产，记在数列｛4｝的前〃+2（〃£N）项中任取两项都是正数的概率为6,则（）A.P=-113B.P2n+2C.£-iD.D/i-l+Pn+1+P2n+2・

6.（2022•全国•高三专题练习）由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”,前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）

7.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛加｝满足二=0,且对任意〃£N*,由+/等概率地取上+1或即-1,设〃的值为随机变量力，则（）（）（）A.P3=2B.E4=1C.P«5=0）P（5=2）D.P«5=0）P«3=0）

8.（2022・全国•高三专题练习）已知（1+0+4%+42X2+〃尤+6Z X2021,贝X）2°21=〃33+2021ljA.2021x22021B.2021x22020C.2020x22021D.2020X220203a+4+2020］+2021—020+2^2019+2oi8217+

9.（2022•全国•高三专题练习）已知乂y,zwN*,且x+y+z=10,记随机变量4为x,y,z中的最大值，则E©=

10.（2022・全国•高三专题练习（理））圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）A.10B.20C.40D.

6011.（

2022.全国•高三专题练习（文））已知递增正整数数列{4}满足〃+2=G，（〃£N*）,则下列结论中正确的有（）

（1）卬、

2、的可能成等差数列；

（2）%、

2、%可能成等比数列；

（3）{4}中任意三项不可能成等比数列；

（4）当心3时,〃+2〉氏+向恒成立.A・0个B・1个C.2个D.3个

12.（2022•浙江•高三专题练习）设集合S={-20,21,5,-11,-15,30,〃},我们用“S）表示集合S的所有元素之和，用g（S）表示集合S的所有元素之积，例如:若4={2},则〃A）=g（A）=2；若3={2,3},则/

①）=2+3,g（功=2x

3.那么下列说法正确的是（）A.若=0,对S的所有非空子集4，/（a）的和为320B.若=0,对S的所有非空子集所,〃耳）的和为-640c.若“=-1,对S的所有非空子集G，g（c）的和为-1D.若=一1,对S的所有非空子集2，g（）的和为

013.（2022・全国•高三专题练习（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为片，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为鸟，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为A,则满足4＜鸟＜鸟的分配方案的概率为（）

14.（2022・上海•高三专题练习）如果数列同时满足以下四个条件:

（1）Z（i=l,2,…,上）;

（2）点（均，2“心）1123在函数y=4］的图像上；

（3）向量=（1必）与〃=（3必）互相平行；

（4）与一二的等差中项为；%+i—ui2（i=l,2,…,9）；那么，这样的数列对,%，…，/的个数为（）A.78B.80C.82D.

9015.（2022・全国•高三专题练习（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下:由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5,则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之511257A.B.D.W241024512和不是5,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第〃次由甲掷的概率为匕，则4的值为（）

16.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝为有穷数列，共95项，且满足4=/丽严一〃（甘，则数A.13B.14C.15D.16列｛｝中的整数项的个数为（）

17.（2022,全国•高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COV/LM9）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为/（p）,当〃=〃时，/（P）最大，则P0=（）A.1一逅B.—C.—D.1--

333318.（2022・江苏•高三专题练习）已知集合4=｛1,2,3,4｝,B=｛1,2,3,4,5｝,从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用人表示，记X=h-a,则随1315A.—4B.—4C.3D.4机变量X的期望为（）

19.（2022・全国•高三专题练习）已知S”是数列｛4｝的前〃项和，若（1—2X）202I=%+幻；+仇/+,+%2汇必,b数列｛%｝的首项区=今+乙则§2021=A----------------------C.2021D.-

2021.

2021202120.（

2022.全国.高三专题练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行〃次后小虫所在位置对应的数为随机变量气，则下列说法错误的是（）A.石

（4）=B.值）二〃C.尸值⑼=0）〈尸（基磔=2）D.P=0）＜P（“8=）2G

21.（2022・上海•高三专题练习）用Ez表示〃个实数Z的和，设为=2＞i，A〃=£CE，其中k=l k=l k=\A六（-3,0）50,1）,则四清的值为（）乙11A.一B.--C.q D.l-qq j

22.（

2022.全国.高三专题练习）设q（，=0J2,,2020）是常数，对于VxwR,都有（x_l）+%（x_l）（x_2）++々1）（—2）…（x_2020）,则12020=%+

①2020（%——（）+〃]—+2!—3!4+4!+2018!乂）[—2019!235—9=（）A.2019B.2020C.2019!D,2020!

23.（2022・全国•高三专题练习（理））如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种

24.（2022・全国•高三专题练习）

（1）将攵个小球随机地投入编号为1,

2.・・，女+1的攵+1个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；

（2）将Z+1个小球随机地投入编号为1,

2...,攵+2的攵+2个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记上+2号盒子中小球的个数为星，则（）A.£（〃＜£（$）够）＜催）B.石信）＜石体）焰）〉依）C.Eq）〉E）但）＜仁）D.石信）＞£值）D）＞D）

25.（

2022.全国•高三专题练习（理））罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下数字123456789形式I II III IV V VIvn vnIX其中“I,,需要1根火柴「V”与“X”需要2根火柴，若为0,则用空位表示.IIIII（如123表示为如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同IVV405表示为的三位数的个数为（）A.87B.95C.100D.

10326.（2022・全国•高三专题练习）在〃元数集5=｛4%,中，设x（S）/+%+…+〃,若S的非空子集nA满足x（A）=x（S）,则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的攵元“平均子集”的个数为人（女）.已知集合S={123,4,5,6,7,8,9},T={Y,—3,—2,—1,0,1,2,3,4},则下列说法错误的是（）A.人⑼，⑴B.%⑻二以1）c.%

（6）=方

（4）D.力

（5）=方

（4）

二、多选题

27.（2022・重庆・西南大学附中模拟预测）已知力（〃力）=（0〃+”（〃£—凡£/）,则下列结论正确的是（）A.若力

（11）=%+及，目,则%—4二12B.力（1,1）+力（1,一1）与力

（11）—4（1,-1）都是正整数C.以-（I,—1）是以-（LI）的小数部分D.设力（l,-L）=c.+0d,c,d eZ,则4+（—1-=2d；n n

28.（2022,江苏南通•模拟预测）若（I-/）=4+4%+工+4044%4044,则（22+）2022A.q）=l B.a=02i/=040442（P，c.*3）=4044x32M D.6㈠）’（嬴丫=-第/=1i=O/、3i.-ci/*\

29.（

2022.广东,深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列｛%｝中，4册内=-]〃（〃金N）11111999且4+%+—+—=10,设S〃=q+《++〃〃,，=—+—++—,则下列结论正确的是（）4a4a a~22A.4=2B.数列｛%｝单调递增c.c+5=He〃—i）—2〃J乙D.若J（S〃+7；）为偶数，则正整数〃的最小值为

830.（2022•江苏南京高三开学考试）设（1一2%）=〃0+卬《¥+42工2+3丁+~+〃/，xeR,贝U♦F列结尹土墨+一㈠蜂A.=2“论中正确的是（）B.当几23时,2%+6%*（〃-=4〃（八一1）C.若同间＞闻,则〃=12D.当工=———,〃=2022时，（1—2x）〃＞些2000,

71531.（2022・全国•高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式

（1）逐份检测

（2）混合检测将其中攵份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这攵份核酸全为阴性，因而这攵份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这攵份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这女份核酸再逐份检测，此时，这Z份核酸的检测次数总共为Z+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为〃（0＜夕＜1）,若女=10,运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据lg

0.794«-

0.1）（）A.B.C.D.

32.（2022•江苏•高三专题练习）下列说法不正确的是（）A.随机变量X〜3（3,

0.2）,贝i」P（X=2）=

0.032B.某人在10次射击中，击中目标的次数为X且X~5（10,

0.8）,则当X=8时概率最大;C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D.从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；

33.（2022・江苏・金陵中学二模）某人投了100次篮，设投完前〃次的命中率为心.其中〃=1,2，.…

100.已知=，400=・85,则一定存在0＜加＜100使得（）A.r=

0.5B.r=

0.6C.r=

0.7D.r=

0.8m mm tn

34.（2022・全国•高三专题练习）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进，例如自然数1在二进制中就表示为1,2表示为10,3表示为11,7表示为111,即〃£M,」=

4.2+4・2i+L+%-21+a,其中%=1,%=0或l（i=l,2,L水）,记/k（〃）为上述表示中的个数，如I⑵=1,/⑺=.则下列说法中正确的是（）.A./

（12）＜/

（18）B./（2*_2）_/（2Jl）=l（keN+收22）C./（2攵）=/（2攵+2）（左£电）D.1到127这些自然数的二进制表示中/（〃）=2的自然数有35个

35.（

2022.全国•高三专题练习）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为:•如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P（〃），则（）（）（）A.P2=-B.P3=—832c.2〃）=1卜一m]D.P（）的最大值为:2J

436.（2022・全国•高三专题练习）已知（2X+D（22X+1）Q3X+1）（2〃x+l）=4+空+%/+下列说法正确的是（）A.设a=4,则数列低｝的前〃项的和为S〃=2〃+2—2-4o02〃+

28.a.=--------2,1+2--~332c.a〃一尸/^_（n£N）411n。