新教材高中人教A版数学必修第二册知识点（12页）

新教材高一下学期人教版必修第二册知识点A第六章平面向量及其应用向量既有大小，又有方向的量.数量只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素起点、方向、长度.

1.零向量长度为的向量.单位向量长度等于个单位的向量.1平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量长度相等且方向相同的向量.向量加法运算

2.⑴三角形法则的特点首尾相连.⑵平行四边形法则的特点共起点.⑶三角形不等式a-ba+ba+b.⑷运算性质

①交换律a+b=b+a；J+i=AB+A5=ACJ+i=AB+BC=AC

②结合律\^a+bj+c=a+^b+cj；@a+Q=O+a=a.⑸坐标运算设（，）（，，），则〃+〃=（%，、，）・Q=%l y,5=%221+%21+

23.向量减法运算⑴三角形法则的特点共起点，连终点，方向指向被减向量.⑵坐标运算设（，）（），则〃_=（为，）设、两a=x y,/=/,%_%2y_%•A B点的坐标分别为,（尤2，%），则AB=（%—%2，X-%）・

4.向量数乘运算⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作;X QIQ.

①固=网向;

②当时，加的方向与〃的方向相同；当时，的方向与〃的方向相反；当时，2a=

0./104042=0⑵运算律

①；

②（丸+〃）々+〃；@A^a+b^=Aa+Ab.4=14⑶坐标运算设（九,）贝!|而=（）（）2=y,4%,=/1%,/

13.向量共线定理向量与人共线，当且仅当有唯一一个实数使匕猫

5.4,=.设=（）人=（工，丁），其中〃，则当且仅当-工乂=时，向量、匕（）共线.♦%5,2220•平面向量基本定理如果弓、色是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量〃，有且6只有一对实数、使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）44,Q=4q+4e

2.66（选讲）分点坐标公式设点是线段上的一点，「的坐标分别是（％，），（，），当

7.P P]P2P P2X%%PiP=tp匕时，点的坐标是+%%[p）1211+21+2平面向量的数量积

8.⑴=同,卜夕（力）零向量与任一向量的数量积为・05wO w0,0W9W

180.0⑵性质设〃和〃都是非零向量，则

①〃・

②当与人同向时，a-b=|^||^|:当a与b反_LZ=a A=0,古典概型古典概型的使用条件试验结果的有限性和所有结果的等可能性1古典概型的解题步骤；2

①求出总的基本事件数;包含的基本事件数A

②求出事件所包含的基本事件数，然后利用公式第四章A PA总的基本事件个数概率的一般加法公式选学

①事件的交或积由时间和同时发生所构成的事件称为时间与的交或积，记作A B D A BD=AAB

②二P AUB包含的基本事件数「Au8的基本事件总数二Q称为概率的一般加法公式;=P A+P B-P AAB向时，a-b—-同忖；a・a=.c9r=a『或同7a.et.

③卜・V aZ.=

③a+〃・c=a・c+〃・c.⑶运算律

①a・b=b・a；

②・〃=/la⑷坐标运算设两个非零向量，=工，，则=玉%a=X]X,b2%2+X%,若a=x,y,则同2=JC2+y29或问=1大2+V.设人=々，，，则玉a=%,y,2Z+y%=

0.设、b都是非零向量,7=%i，X，人=%2，，2,是与人的夹角,则cose==/d/；14W/+—%正弦定+理£在AABC中,b、c分别为角A、B、的对边，R为AABC的外接圆的半径，则有

9.—=

27.sin Asin Bsin C正弦定理的变形公式

10.a=27sin A,/=2Rsin B,c-27sin C；1sin A=,sin B=,sinC=22H2R27a:b:c=sin A:sin B:sin C；4sin A+sin B+sin Csin AsinB sinC=—bcsin A=-absinC=-acsinB.三角形面积公式

11.SMBC余弦定理在AABC中，有=/+/一2/c cos A,b2=a2+c2-lac cosB,c2=a2+b2-lab cos C.

12.7A+C2-a2n a2+c2-b2万a2+h2-c2余弦理的推论cosA=---------------，cosB=---------------，cosC=---------------.

13.TE2bc laclab.设〃、b、是AABC的角A、B、C的对边，则14

①若/+/=/,则=9；1若4+〃则90；22/,若〃则

90.32+/,第七章复数

一、复数的概念虚数单位

1.i它的平方等于，即；1—1f=_i实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2与-的关系3i1就是的一个平方根，即方程/=—的一个根，方程的另一个根是反i—11f=_1的周期性4i严严严八严+l=j,+2=_],+3=_=

1.数系的扩充

2.实数4s=0复数〃+]纯虚数万=0[[非纯虚数+历工40复数的定义

3.形如的数叫复数，叫复数的实部，力叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数a+bia,b£R集，用字母C表示复数的代数形式

4.复数通常用字母表示，即=，+〃£尺，把复数表示成次的形式，叫做复数的代数形Z ZQ24+式.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系

5.0两个复数相等的定义

6.如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a,b,C,那么为b=ddcR,a+=c+M a=c,将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作

7.|z.对于复数力，它的模上+z=a+bJ42

二、复数的几何意义复平面、实轴、虚轴

1.复数与有序实数对是一一对应关系,点的横坐标是〃，纵坐标是b,复数z=a+bia2£R41Z z=a+bia,北R可用点北表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，Za x轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.y对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为它所确定的复数是

2.0,0,表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.z=0+5=0复数z=a+bi―复平面内的点Za,b..对应这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

三、复数的四则运算,复数Z]与Z2的和的定义

1.复数与的差的定义24z

2.复数的加法运算满足交换律:3+z2=z2+Z].复数的加法运第满足结合律:z44+z+Z3=Z]+2+Z3,乘法运算规则5设马=+方，、b、、d^R是任意两个复数，那么它们的积Z2=c+di c〃砌〃其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，zv=+c+di=c-M+bc+z/i在所得的结果中把『换成并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.-1,.乘法运算律6⑴Z1Z223=Z1Z2Z3z2-z-z=4-z-z l2323⑶z z-hz=z z+z zl23l2l

3.复数除法定义7满足应历的复数、ywR叫复数初除以复数成的商，记为:c+x+w=a+X+Mx a+c+（+初）+（由）或者I40+I.除法运算规则8设复数a+〃i（、/GR）,除以c+di（C,JeR）,其商为x+yi（%、JGR）,利用（c+di）（c-di）=/+/于是将割的分母有理化得原式=幺a+bic一di_[ac+bi•一$]+be ac+bd+be-adi_ac+bd be-ad.c+di-adi c+dic-c2+d2=7rTF+1di

四、共辄复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共钝复数.虚部不等于°的两个共钝复数也叫做共钝虚数.第八章立体几何初步

（1）棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等表示用各顶点字母，如五棱柱4BCD£-AZCDZ或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形

（2）棱锥定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示用各顶点字母，如五棱锥P—AZCoZ几何特征侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方

（3）棱台定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示用各顶点字母，如五棱台P—AACOZ几何特征

①上下底面是相似的平行多边形

②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱定义以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征

①底面是全等的圆；

②母线与轴平行；

③轴与底面圆的半径垂直；

④侧面展开图是一个矩形

（5）圆锥定义以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征

①底面是一个圆；

②母线交于圆锥的顶点；

③侧面展开图是一个扇形

（6）圆台定义用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征

①上下底面是两个圆；

②侧面母线交于原圆锥的顶点；

③侧面展开图是一个弓形

（7）球体定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征

①球的截面是圆；

②球面上任意一点到球心的距离等于半径（斜二测画法的步骤（）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；1（）.平行于轴的线长度变半，平行于轴的线长度不变；2y x,z（）.画法要写好3用斜二测画法画出长方体的步骤（）画轴（）画底面（）画侧棱（）成图1234

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和

（2）特殊几何体表面积公式（C为底面周长，h为高，/2为斜高，1为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式V球；S球面第二章直线与平面的位置关系1平面

①平面的概念描述性说明；平面是无限伸展的；A.B.

②平面的表示通常用希腊字母、、表示，如平面通常写在一个锐角内；a8Y a也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC

③点与平面的关系点在平面内，记作；点不在平面内，记作A AcaA aAea点与直线的关系点的直线/上，记作；点在直线/外，记作；A Ae/A Ae/直线与平面的关系直线/在平面内，记作；直线/不在平面内，记作a/U a/Z a2公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内即直线在平面内，或者平面经过直线应用检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1Ael,Bel,Aea,Beanl ua3公理经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面2推论一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面公理2及其推论作用

①它是空间内确定平面的依据

②它是证明平面重合的依据4公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号平面和相交，交线是记作a Ba,anB=a符号语言PeA B^A B=l,Pel公理3的作用

①它是判定两个平面相交的方法

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系交线必过公共点

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据空间的两条直线有如下三种关系1壮南.少丁相交直线同一平面内，有且只有一个公共点；八回直线平行直线同一平面内，没有公共点；I异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行24符号表示为设、、是三条直线a bc二〃a cc//b-J强调公理实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用4公理作用判断空间两条直线平行的依据4等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3注意点4

①与所成的角的大小只由、的相互位置来确定，与的选择无关，为简便，点一般取在两直线中的一a ba bO条上；

②两条异面直线所成的角二；e0,

③当两条异面直线所成的角是直角回，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作；aJ_b4两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；5计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角、直线与平面有三种位置关系1直线在平面内一一有无数个公共点1直线与平面相交一一有且只有一个公共点2直线在平面平行一一没有公共点3指出直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用立来表示〃a Qa Qa aA a=A a

2.2,直线、乖面平行的判定及其性质、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行简记1为线线平行，则线面平行符号表示「AC0〃b ZB U=a aa//b、两个平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行1符号表示匚a BBuB〃aAb=P LB aa//a1b//a、判断两平面平行的方法有三种2用定义；1判定定理；2垂直于同一条直线的两个平面平行

3、定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简记为线面1平行则线线平行符号表示〃a Q〃a Q3I aba G8=b作用利用该定理可/决直线间的平行问题、定理如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号表2不〃a B]a//b作用可以由平面与平庙平行得出直线与直线平行a ClY=a L3Cl y=b、定义1如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作,直线L aL aLJ_a叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点叫做垂足L aL PL、判定定理一条直线与/个平面内的两条相关直线都垂直,则该直线与此平面垂直2注意点定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；a定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想b、二面角的概念表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

1、两个平面互相垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

32.—

2.、平面与平面垂直的性质、定理垂直于同一个平面的两条直线平行1性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2第九章统计简单随机抽样总体和样本

1.在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分勺，•…，/X研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.简单随机抽样，也叫纯随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随

2.机地抽取调查单位特点是每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法简单随机抽样常用的方法

3.（）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取1在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑

①总体变异情况；

②允许误差范围；

③概率保证程度.抽签法:4（）给调查对象群体中的每一个对象编号；1（）准备抽签的工具，实施抽签2（）对样本中的每一个个体进行测量或调查3例请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况随机数表法

5.例利用随机数表在所在的班级中抽取位同学参加某项活动10系统抽样系统抽样（等距抽样或机械抽样）

1.把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取（抽样距离）（总体规模）（样本规模）K=N/n前提条件总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单

2.更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度分层抽样分层抽样（类型抽样）

1.先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本两种方法先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取

1.先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法

2.抽取样本分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该

2.子总体，所有的样本进而代表总体分层标准（）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准1（）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量2（）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量3分层的比例问题

3.（）按比例分层抽样根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法1（）不按比例分层抽样有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主2要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构用样本的数字均值特征估计总体的数字特征口+%k2+•••+%n、.样本标准差§=直=招2=j）2+.4）2+…+（T）2nV用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏

3.差在随机抽样中，这种偏差是不可避免的虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息标准（）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,差不变

4.1标准（）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数差变为原来的倍2k,k一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间的应用;“去掉一个最高分，去掉一个3x-3s,x+3s最低分”中的科学道理第十章随机事件的概率及概率的意义、基本概念1必然事件在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；1不可能事件在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；2随机事件在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；3基本事件试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的时间叫基本事件；4基本事件空间所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母表示；5Q频数、频率在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数5n An A为事件出现的频数；称事件出现的比例为事件出现的频率；A AA概率在次重复进行的试验中，时间发生的频率当很大时，总是在某个常熟附近摆动，随着6n Am\n,n n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟叫做事件的概率，记作；A PA,0W PAW1频率与概率的区别与联系随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的6n稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率概率的基本性质、基本概念1事件的包含、并事件、交事件、相等事件1若为不可能事件，即那么称事件与事件互斥；2AAB AGB=d,A B若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件；3AAB AUB A B当事件与互斥时，满足加法公式；若事件与为对立事件，则为必然事件，4A BPAUB=PA+PB A B AUB所以于是有PAUB=PA+PB=1,PA=1—PB、概率的基本性质2必然事件概率为不可能事件概率为因此；11,0,OWPAW1当事件与互斥时,满足加法公式；2A BPAUB=PA+PB若事件与为对立事件，则为必然事件，所以尸于是有；3A BAUB PAUBPA+PB=1,PA=1—PB4互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件与事件在一次试验中不会同时发生，其具体包括A B三种不同的情形事件发生且事件不发生；事件不发生且事件发生；事件与事件同时1A B2A B3A B不发生，而对立事件是指事件与事件有且仅有一个发生，其包括两种情形;事件发生不发生；AB1AB2事件发生事件不发生，对立事件互斥事件的特殊情形BA。