新教材高中人教A版数学必修第一册知识点（8页）

新教材高一数学必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语元素研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母…表示，元素三大性质互异性，确定性，无序性.1集合一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母氏表示.2A C,…集合相等两个集合的元素一样，记作3A3A=

3.元素与集合的关系

①属于

②不属于4A;a^A.GE5常用的数集及其记法自然数集N；正整数集M或“；整数集Z；有理数集；实数集R.集合的表示方法

①列举法把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法;

②6描述法把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为｛｝的方法；PQ x xeA|Px

③图示法图用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法.Ve“集合间的基本关系子集对于两个集合如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合7A8,A3A为集合A的子集，记作，读作A包含于3；真子集如果但存在元素％且XeA,就称集合A是集合3的真子集，记作读作真包含于A*3,A

5.空集不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子集.80集合的基本运算并集｛或｝；交集=且｝；9AU3=|£A,B A,BX X XE XE补集｛%|%£,且％任｝为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素.04=4运算性质==A=AcB；A\J0=A；A^0=0;CuCu0=A,Cu0=U,CuU=0,Q AA QB=Q AU B\Q AU QB=Q AA B.10充分条件与必要条件一般地，“若p,则g为真命题，p可以推出q,记作pn7，称〃是q的充分条件，q是〃的必要条件；是乡的条件的四种类型若则是的充分不必要条件；则〃是p pn%qAp,p q若q=p,p*q,的必要充分不条件；则是乡的充要条件；q若poq,p若〃则是的既不充分也不必要条件.*q,q*p,全称量词及全称量词命题短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号表示，11V含有全称量词的命题成为全称量词命题.存在量词及存在量词命题短语“存在一个“至少有一个在逻辑中叫做存在量词，并用符号三表示,含12有存在量词的命题成为存在量词命题.全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全13称量词命题.第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质

①对称性；

②传递性〃〉〃力；

③可加性QZ=a+cZ+c；

④可乘性ab,c0=ac〉bc,a b,c acbc；

⑤同向可力口性；

⑥同向可乘性〃〉a a+cb+d a0,cd0n ac〉bd；

⑦可乘方性ab0=ab£N,〃1；

⑧可开方性〃标§可倒数性〉〃工.0=\[bn^N,nl.40=,a b重要不等式则当且仅当时等号成立.2若a,b eR,cJ+b22ab,a=b基本不等式若〉贝+即，当且仅当〃=人时等号成立.3a0,b0,”4^2不等式链若则直竺疝二，当且仅当=〃时等号成立；一正二定40,b0,2^227V22——a b三相等.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式.52元二次不等式的解法二次函数的图,、一元二次方程的“、一元二次不等式的解代间的关系判别式61A=2-4QC二次函数的图象y=+bx+c60一元二次方程以+笈+c=0〃0的有两个相等实数根b2有两个相异实数根没有实数根12la根一元二次不等式的解集第三章函数的概念与性质函数的概念一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系1A x,了,在集合中都有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作5y f5A8y=.fx,x£A,其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集xxA xy合｝叫做函数的值域，值域是集合的子集.|A8XXE函数的三要素定义域、对应关系、值域.2求函数定义域的原则⑴若为整式，则其定义域是R；⑵若/%为分式，则其定义域是使分母不为的实数集合；0⑶若/%是二次根式偶次根式，则其定义域是使根号内的式子不小于的实数集合；0若，则其定义域是4/x=x⑸若/%=优则其定义域是R；⑹若则其定义域是卜卜〉｝；f x=log xa0,6/1,0f/jr⑺若则其定义域是｛肛｝；/x=tan x,x|xw—+Z Z ZE求函数值域的方法配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；函数的表示方法解析法用函数表达式表示两个变量之间的对应关系、图象法用图象表达两个变量之3间的对应关系、列表法列出表格表示两个变量之间的对应关系.分段函数在定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数.4x函数的单调性6单调递增设任意是/%的定义域，当为时，有/王/々特别的，当函数在它的定义域上单调递1・增时，该函数称为增函数；2单调递减设任意当,％26口/，/是/%的定义域，当石时一，有/再/%2・特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数.单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有严格的单调性，区间7就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间.复合函数的单调性同增异减.8函数的最大值、最小值一般地，设函数的定义域为/,如果存在实数满足:都有9y=/x MVx£/,/%M/xM；缄£/使得//=,那么称〃是函数的最大小值.函数的奇偶性10偶函数一般地，设函数的定义域为/,如果都有-且那么函数叫做偶函数；偶函数的图象y=/x/-x=/x,关于轴对称;偶函数满足/—尤=/兄=/|%|；y y=/x奇函数一般地，设函数y=/x的定义域为/,如果也£/,都有-且/r=-/⑺，那么函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即y=/x=

0.幕函数一般地，函数叫做幕函数，其中％是自变量，是常数.11y=J a幕函数/%=/的性质12

①所有的事函数在0,+oo都有定义，并且图象都通过点1,1；

②如果则基函数的图象过原点，并且在区间［内上是增函数；a0,0,

③如果则幕函数的图象在区间上是减函数，在第一象限内，当％从右边趋向于原点时，图a0,0,+oo象在轴右方无限地逼近轴，当％趋向于+8时，图象在％轴上方无限地逼近％轴；y y

④在直线的右侧，基函数图象巧旨大图高、X=1

⑤塞函数图象不出现于第四象限.第四章指数函数与对数函数次方根与分数指数累、指数累运算性质⑴若X』，则方网伪奇数；⑵疗」小为奇数；［土叼〃为偶数矶〃为偶数3标〃=a；4an-0,m,n eN；且〃1；上1；5a〃=—j=〃0,m,n eN\且〃1；\am的正分数指数幕为的负分数指数事没有意义.600,07a1-as=ar+s a0,匕s w7；8=a,s.0,s eR；9aby=d・b〃a〉0,b〉U,r,s eR.对数、对数运算性质2⑴=N=x=loga Na〉0,a wl；2logjl=0〃0,〃wl；3log a=la0,a w1；4；alogaN=Na0,a w1；5log am=ma〉0,4w1；6log^MN=log〃M+log NQ〉0,〃w1,M〉0,N0；⑺loga M=log M一log”N a0,aw1,M0,N0；8log.Mn=n-\og〃0,Qw1,M0；a9换底公式log b=粤也4〉0,〃w l,b〉,c〉0,c w1；log,aAZ10log J=一log，a0,a w1,w N*；a m［\；lllog M=—log M^a0,a^l,M0,/ie/n6/6/12log b-log c・log,〃=la〉0,a1力〉0力wLc〉0,c wl.w/7指数函数且及其性质3y=a*a0,awl

①定义域为+8;

②值域为『；

③过定点YO,0,0,1;

④单调性当时，函数”可在上是增函数；当时，函数/%在上是减函数;al R01R

⑤在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.y对数函数，且及其性质4y=log“xaw1

①定义域为O,+00；

②值域为—,+8；

③过定点1,；

④单调性当时，函数/%在上是增函数；当时，函数〃%在上是减函数;10,+OO010,+oo

⑤在直线尢=的右侧，对数函数的图象“底大图低”.1指数函数=优与对数函数且互为反函数，它们的图象关于直线对称.5y=log/m0,awl y=x不同函数增长的差异线性函数模型伏的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数6y=0函数模型优

①〉的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态;y=1对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；y=kga%al累函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间.y=%0函数的零点在函数的定义域内，使得/%=的实数％叫做函数的零点.7y=/x零点存在性定理如果函数/力在区间［々上的图象是连续不断的一条曲线，且有//伍那么函8d・0,数广〃%在区间4内至少有一个零点，即存在cea，使得了©=0,这个c也就是方程〃%=0的根.二分法对于区间［切上图象连续不断且/〃的函数通过不断把它的零点所在区间一分9a,90y=/x,为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.给定精确度用二分法求函数二零点与近似值的步骤10y/X⑴确定零点％的初始区间可，验证；0/a-/Z02求区间［a,句的中点c；⑶计算/c，并进一步确定零点所在的区间；

①若则就是函数的零点；/c=0,c

②若/〃/0此时x£a,c,则令=c；0

③若此时玉,则令；⑷判断是否达到精确度£则得到零点的近似值/c/Z0e c,b a=c若a—b〈s,或6；否则重复上面的⑵至⑷.第五章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转1任意角的分类按终边的旋转方向分:形成的角零角不作任何旋转形成的角几象限角.a k-360+90,%£z};第一象限角的集合为k・360+90h360+180,ZZ};E第二象限角的集合为｛第k360+180ak-360+270,Z:eZ};三象限角的集合为卜，第BGO+270a k*360+360,Z EZ}四象限角的集合为｛卜360象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第2a x a角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限a终边在轴非负半轴的角的集合｛攵肛｝；x a\a=2E£Z终边在轴非正半轴的角的集合｛|｝；xa=7r+2k7i,keZ终边在y轴非负半轴的角的集合｛a\a=-+2k兀,keZ｝・,终边在y轴非正半轴的角的集合｛a\a=--+2而,ZeZ｝；终边在X轴的角的集合｛a|a=攵肛左£Z｝；终边在y轴的角的集合｛a|a=工+版■水eZ｝；终边在坐标轴的角的集合｛，攵£｝；a|a=J Z终边相同的角与角终边相同的角的集合为加忸=匕+,％力卜2a360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度.31角度与弧度互化公式=」-,［竺4=360,11=«

57.

3.）180\71扇形公式半径为的圆的圆心角所对弧的长为/,则角的弧度数的绝对值是囤=」.若扇形的圆心角为5r a为弧度制），半径为广，弧长为/,周长为面积为则/冏，三角函数的概念C,5,=r C=2r+l,S=-lr=-\a\r.6设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是（）它与原点的距离a Px,y,是=Jx2+y20,则sina=2,cos a--,tana=—x^O.\/r rx三角函数的符号一全正二正弦三正切四余弦.7记忆特殊角的三角函数值:8100001不存在不存在1009同角三角函数的基本关系lsin2cif+cos2cif=1,sin2a=1-cos2a,cos2a=l-sin2;.sina sin asin a=tan a cos a.cos a--------------=tan acos a tana诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限.101sin2ki+«=sin a,cos2^+«=cos a,tan2k7i+«=tan«Z:e Z.2sin TT+«=-sin cr,cos^+«=-cos a,tan%+a=tane・3sin-«=-sina,cos一=cos,tan-«=-tancr・cosf^J+cos------a=sina・6sin——\-a=cos a,=-sina5sin-------a-cos a,12J2I24sin TT-«=sina,cos万一a=-cose,tan乃一0=一tana・三角函数的图象与性质:11图象定义域值域当知丘时,x=2+9Z当x=2k兀［k£Z）时，%ax=l；最值既无最大值也无最小值当％=左万十万（林）时,2ZXnax=1；T%=2我乃为加=-1・2传时,eZ Vmin=-L周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数在万一工攵万+工］|~2%,2在［2⑪r-肛2左句（左£Z）上是」22在（■一擀,左）+）单调性增函数；在［肛左十万］（左）上是增函数；在（无2Z24eZ（）上是增函数.ZwZ（%）上是减函数.）上是减函数.eZwZ对称中心（左九,0）（左$Z）对称中心k7r+—.（）Vk eZ）对称中心（,o］（%£Z））对称性）12\2对称轴x=k7r+^^k eZ）对称轴元=左〃（左£Z）无对称轴两角和差的正弦、余弦、正切公式121cos6Z-/=coscrcos/+sincrsin/；2coscr+/=cosacos/3-sinasinj3；tan«-tan/-夕=5tan atan er-tan=tan«-/1+tan«tan/；1+tan«tan0tan«+tan/6tan«+/=尸.tan or+tan^=tan6z+^l-tancrtan1-tan ortan03sin=sin«cos/-cos asin3；4sin tz+/=sin tzcos/+cos asin f3；二倍角公式

13.21-cos2acos2a+1x2tan az9sirr a=-------------；3tan2a=cos a=--------------，21-tan2a2半角公式14lsin2a=2sin«cosa；2cos la=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；/八,〃一小、、/八.acosa a,f\+cosa0a||l-cos«a l-cosa sina辅助角公式15i--------asinx±〃cosx=+b2$亩（不±夕）,其中1@110=—,点（4,方）在角0的终边上.16函数y=Asin（0r+0）+Z的图象与性质:图象变换先平移后伸缩函数的图象上所有点向左（右）平移闸个单位长度，得到函数y=sinx（）的图象；再将函数（）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标y=sin x+o y=sin x+°co不变），得到函数）=目11（5+9）的图象；再将函数）=目11（3；+夕）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数丁二人皿（）的图象.A53+先伸缩后平移函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的工倍（纵坐标不变），得到函y=sinx数3的图象；再将函数丁=如的图象上所有点向左（右）平移的个单位长度，得到函数y=sins53y=sin（Gx+p）的图象；再将函数y=sinWx+0）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数丁=（口%+）的图象.Asin0五点法画图函数y=Asin（〃）x+o）（A0,G0）的性质

①定义域为R;

②值域为［-AA］；

③单调性根据函数丁=5加1的单调区间求函数的单调区间；

④奇偶性当（p=k兀,keZ时，函数y=Asin（69x+R）是奇函数；当（p=—+k/r,k^Z时，函数0TT—；

⑥对称性根据函数〉=$皿］的对称性研究函数的对称是偶函数；

⑤周期y=Asin5+0TCO性工12函数的应用17y=Asin3x+0+B万2f=—=-；

④相位ax+p；

⑤初相p.T171

①振幅A；

②周期T=—；

③频率:CD

⑥最值函数y二Asin3x+°+3,当x=x时、取得最小值为｛in；当％=当时，取得最大值为以麻，11T则A=jymax—ymin，B=~^max+Xnin^々一X王9・。