模型05 等腰旋转模型

专题等腰旋转模型05

一、解答题

1.如图，AACB和△OCE均为等腰三角形，点A,D,E在同一直线上，连接3E.1如图1,若/CAB=/CBA=/CDE=/CED=

5.

①求证AD=BE；

②求NAE3的度数.2如图2,若NAC3=NOCE=90，尸为△OCE中DE边上的高，试猜想AE,CF,3E之间的关系，并证明你的结论.【答案】1

①见解析；

②80；2AE=2CF+BE,理由见解析.【分析】1

①通过角的计算找出NACD二NBCE,再结合△ACB和^DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACDZXBCE,由此即可得出结论AD=BE；

②结合

①中的△ACD也ZXBCE可得出NADONBEC,再通过角的计算即可算出NAEB的度数；2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用1的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论.【详解】1

①证明V ZCAB=ZCBA=ZCDE=ZCED=50°,AZACB=ZDCE=180°-2x50°=80°,ZACB=ZACD+ZDCB,ZDCE=ZDCB+ZBCE,，NACD=NBCE,•••AACB,△DCE都是等腰三角形，AAC=BC,DC=EC,在△ACD和^BCE中，AC=BC/ACD=/BCE,DC=ECAAACD^ABCE SAS,AD=BE.

②解VAACD^ABCE,A CM±DM,NDCM=—NDCN=450=NCDM,2J ACMD为等腰直角三角形.・••DM=CM【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大.

5.在，ABC中，AB=AC,是直线3C上一点不与点B、重合，以AO为一边在的右侧作石，AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接C£.1如图，当在线段上时，求证BD=CE.2如图，若点在线段CB的延长线上，/BCE=a,NBAC=分•则、△之间有怎样的数量关系？写出你的理由.3如图，当点在线段3C上，ZBAC=9Q°,8C=4,求S最大值.【答案】1见解析；2a=B，理由见解析；32【分析】1证明△ABD3AAeESAS,根据全等三角形的性质得到30=C£；2同1先证明△ABD=Z\ACES4S,得至ijNACE二NABD,结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示NACE,得到和万关系式；⑶同1先证明AABZ=△ACESAS,得到S四边形4小£=^^ABC，那么^^DCE=S四边形斗赤石一

5.0七,当时，最小，即“DCE最大.【详解】解1y ZBAC=ZDAE,・•・ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,・•・ABAD=ZCAE,AB=AC/BAD=ZCAE,AD=AEV.AABD=AACESAS^・•・BD=CE；

（2）同

（1）的方法得△AB2AACE（S4S）,AZACE=ZABD,ZBCE=a,，NACE=N ACB+ZBCE=ZACB+a,在aABC中,TAB=AC,NBAC=0,，NACB=NABC=；180°-p=900-5p,J NABD=180-/ABC=90°+—p,2，NACE=NACB+a=90°-g p+a,丁NACE=NABD=90°+—B,2Z.90°-—p+a=90°+—p,/.a=p；

（3）如图，过A做于点H,V AB=AC,NBA=90，Z.ZABC=45°,BH=AH=-BC=292同

（1）的方法得，AABD=AACE（SASyBC・AH即S四边形AOCE-S.8C=5=4,S^DCE=S四边形4DCE-^MDE，当最小时，最大,SAAOE S\DCE・•・当AD_L3C,AD=2时最小，S^DE-4--・q一—・・0ADCE最大乙一乙【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的.

6.1问题发现与探究:如图1,AAC仇ADCE都是等腰直角三角形，=石=90°，点A,D,E在同一直线上，CM，1线段AE,BD之间的大小关系是ZADB=于点M,连接BD,则:2求证AD=2CM+BD；如图2,3,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90^过点A作直线，在直线上取点D,ZADB=45°，连接BD,BD=1,AC=逝，则点C到直线的距离是多少.【答案】1AE=BD,90°；2证明见解析；或叵122【分析】1根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC,CE=CD,由NACB=NDCE=90，得到NACE=NBCD,证得△ACDgABCE,根据全等三角形的性质得到AE=BD,ZAEC=ZBDC,根据邻补角的定义得到NAEC=135即可得到结论；

②根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.2如图2,过C作CHJ_AD于H,CEJLCD交AD于E,于是得到△CDE是等腰直角三角形，由1知，AE=BD=1,ZADB=90°,根据勾股定理得到AB=近AC=2,AD=7AB2-BD2由等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】1解

①•••△ACB和4DCE均为等腰直角三角形，AAC=BC,CE=CD,VZACB=ZDCE=90°,/.ZACE=ZBCD,在^ACE-^A BCD中,AC=BC,ZACE=ZBCD,CE=CD,AAACD^ABCE,AAE=BD,ZAEC=ZBDC,VZCED=ZCDE=45°,AZAEC=135°,.*.ZBDC=135°,AZADB=90°；故答案为AE=BD,90°；

②证明在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，ACM=DM=ME,ADE=2CM,，AE=DE+AD=2CM+BE；

（2）解:如图,过C作CH_LAD于H,CEJ_CD交AD于E,则4CDE是等腰直角三角形，由

（1）知，AE=BD=1,ZADB=90°,VAB=72AC=2,.,.AD=7AB2-BD2=V3，ADE=AD-AE=V3h丁ACDE是等腰直角三角形，/.CH=—DE=^21,22如图所示，过C作CH，AD于H,CELCD交AD于E,则4CDE是等腰直角三角形，由

（1）知，AE=BD=1,ZADB=90°,VAB=72AC=2,AAD=AD=7AB2-BD2=/3，J DE=AE+AD=1+5•••△CDE是等腰直角三角形,ACH=—DE=^11,22••・点c到直线的距离是或叵1,22故答案为或叵L22【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

7.直线m〃必点A、B分别在直线m,n上点A在点B的右侧，点P在直线m上，AP=-AB,连接3BP,将线段BP绕点B顺时针旋转60得到BC,连接AC交直线n于点E,连接PC,且.ABE为等边三角形.1如图

①，当点P在A的右侧时，请直接写出NABP与NEBC的数量关系是,AP与EC的数量关系是.2如图

②，当点P在A的左侧时，1中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.3如图

②，当点P在A的左侧时，若aPBC的面积为为8,求线段AC的长.46Fj【答案】1ZABP=ZEBC,AP=EC；2成立，见解析；3少!7【分析】1根据等边三角形的性质得到NABE=60，AB=BE,根据旋转的性质得到NCBP=60，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论；2根据等边三角形的性质得到NABE=60，AB=BE,根据旋转的性质得到NCBP=60，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论；3过点C作CD，m于D,根据旋转的性质得到APBC是等边三角形，求得PC=3,设AP=CE=t,则AB=AE=3t,得到AC=2t,根据平行线的性质得到NCAD=NAEB=60，解直角三角形即可得到结论.【详解】解1;△ABE是等边三角形，AZABE=60°,AB=BE,;将线段BP绕点B顺时针旋转60得到BC,.\ZCBP=60o,BC=BP,ZABP=60°-ZPBE,ZCBE=60°-ZPBE,即NABP=NEBC,AAABP^AEBC SAS,，AP=EC；故答案为ZABP=ZEBC,AP=EC；2成立，理由如下，•「△ABE是等边三角形，AZ ABE=60°,AB=BE,;将线段BP绕点B顺时针旋转60得到BC,AZCBP=60°,BC=BP,・•・ZABP=60°-ZPBE,ZCBE=60°-ZPBE,即NABP=NEBC,AAABP^AEBC SAS,，AP=EC；3过点C作CDJ_m于D,•••将线段BP绕点B顺时针旋转60得到BC,A APBC是等边三角形，r V329V3pC=44APC=3,设AP=CE=t,则AB=AE=3t,・・・AC=2t,Vm/7n,.•.ZCAD=ZAEB=60°,AAD=^-AC=t,CD=73AD=73t,VPD2+CD2=PC2,，（2t）2+3t2=9,（负值舍去），7，AC=2t=£^.7【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解.

8.

（1）如图

①，R九ABC中，AB=AC,ABAC=90°为边上的一点，将八钻绕点A逆时针旋转90至.ACb，9，作AE平分ND4歹交5c于点易证明BD2+CE2=DE

2.若DE=6BD则以

50、DE、石为边的三角形的形状是__________________________________________；

（2）如图

②，四边形A3CQ中，NBAD=NBCD=90,AB=AD,若四边形A3c的面积是32,CD=母,求的长度；

（3）A4C是以为底的等腰直角三角形，点是,A4c所在平面内一点，且满足AD=4,BD=6,CD=2,请画草图并求—ADC的度数.【答案】

（1）等腰直角三角形；

（2）7及；

（3）图见解析，135或45【分析】

（1）要判断以BQ、DE、为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明即可；

（2）先构造出进而判断出VC4E是等腰直角三角形，四边形的面积等于△AC£的面积，由此求出AC,CE即可；

（3）分情况讨论

①当点在.A6c内时，作使AE=AD,连接CE,DE,利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；

②当点在:ABC外时，作AELAQ,使AE=AD,连接CE,DE,利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题.【详解】解⑴BD2+CE2=DE2,,・以3D、DE、EC为边的三角形是直角三角形，DE=y[2BD，设BD=a,则£=缶，/.a2+EC2=2a2,/.EC=a，BD=EC，.・以BD、DE、EC为边的三角形的形状是等腰直角三角形.故答案等腰直角三角形.2如图

①，延长CB至使BE=CD,连接AE，在四边形4BCO中，/BAD=/BCD=90°，..NABC+NADC=180，•/ZABC+ZABE=180°,..ZABE=ZADC,在八45£和©AOC中，:.AABE^AADCSAS,AE=AC,NBAE=/DAC,ZCAE=ZBAE+ABAC=ZDAC+ABAC=90°，19**•^/\ACE~~2^,四边形ABC的面积为32，S四边形AB=，$4ACE19/.-AC2=32,:.AC=S负值已舍，.・・石=4=8近，・・.BC=EC-BE=8/2-V2=7/

2.A A图

①3

①画图如图

②，

③.当点在，A6C内时，如图

②，过点A作AEJ_AD,使A£=AD,连接C£,DE,ZBAC=ZDAE=90°.:.ZBAD=ZCAE,在一曲和VC4石中，AB=AC ABAD=ZCAE,AD=AE・・..BADQ CAESAS,BD=CE=6，・;DE=6AD=4及,8=2,・•.EC2=ED2+CD2，・・・ZEDC=90°，・.ZADE=45°,・・.ZADC=45+90=135°；

②当点在eAH外时，如图

③，过点A作使AE=AD,连接CE,DE,二ABAC=ZDAE=90°,・・・/BAD=NCAE,在一区4D和VC4石中，AB=AC・/BAD=ZCAE,AD=AE.,…BA*CAESAS,BD=CE=6，DE=®AD=4及,CD=2,EC2=ED2+CD2，.・./EDC=90°，・/ZADE=45°,・・.ZADC=45°.综上所述，/ADC的度数为135或

45.图

②图

③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

9.点C为线段A3上一点，以AC为斜边作等腰R/ADC,连接BD.在外侧，以为斜边作等腰K BED,连接EC1如图1,当NDB4=30时:

①求证AC=BD；

②判断线段EC与即的数量关系，并证明；2如图2,当0/8445时，EC与£8的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明【答案】1

①证明见解析；

②EC=EB,证明见解析；2EC与EB的数量关系保持不变，证明见解析.【分析】1

①先根据等腰三角形三线合

一、直角三角形斜边上的中线可得/二AC,再根据直角三角形的性2质可得DF=L BD,然后根据等量代换即可得证；2

②先根据等腰直角三角形的定义与性质、题

①的结论可得=石=s，ZACD=ZBDE=45°,再根据角的和差、三角形的外角性质可得NCD£=60，然后根据等边三角形的判定与性质可得由此即可得证；2先根据等腰直角三角形的性质、角的和差可得AZ=CZ,NAZ3=NCZG,再根据等腰直角三角形的判定与性质可得30=6，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得NA=NDCG=45，从而可得ZBCG=9Q°,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【详解】1

①如图1,过点D作于点F,是等腰三角形，・・・方是斜边AC上的中线，・・.DF=-AC,2又在RfVBDF中,ZDBA=30°,.・.DF=-BD,2:.-AC=-BD,22即AC=BD；

②EC=EB,证明如下:AZADC=ZBEC,・・•点A、D、E在同一直线上，且NCDE=50，AZ ADC=180°-ZCDE=130°,AZ BEC=130°,・ZBEC=ZCED+ZAEB,ZCED=50°,・•・ZAEB=ZBEC-ZCED=80°.2结论AE=2CF+BE.理由•「△ACB,ADCE都是等腰直角三角形，.*.ZCDE=ZCED=45°,VCF±DE,AZCFD=90°,DF=EF=CF,VAD=BE,・•・AE=AD+DE=BE+2CF.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键.

2.在aABC中，NBAO90，AOAB,点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE顶点A、D、E按逆时针方向排列，且NDAE=90，AD=AE,连接CE.1如图1,若点D在BC边上点D与B、C不重合，

①求证4ABD也4ACE；

②求证DE2=BD2+CD22如图2,若点D在CB的延长线上，若DB=5,BC=7,则△ADE的面积为.3如图3,若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰RQ ADE,ZDAE=90°,连结BE,若BE=10,BC=6,则AE的长为.169【答案】1

①见解析；

②见解析；2——；3V344【分析】1

①根据NBAC=NDAE,推出NBAD=NCAE,再结合AB=AC,AD=AE,即可证明△ABD也AACE,

②根据NABD=NACE,可得NABD+NACB=NACE+NACB=NBCE,根据BD=CE,即可证明结论；R/工和R/BED都是等腰直角三角形，;.CD=叵AC,DE=EB=^BD，ZACD=NBDE=45，22由

①知，AC=BD,CD=DE，Q/DB4=30，・・・ZBDC=ZACD—/DBA=15，・・.ZCDE=ZBDC+ZBDE=60°,・・..CD石是等边三角形，EC=DE=EB；

（2）EC与EB的数量关系保持不变，证明如下如图2,过点D作BD的垂线，交BE延长线于点G,连接CG,・・.ZBDG=90°，Rt/OC是等腰直角三角形，・•.AD=CD,ZADC=90,ZA=ZACD=45°,/.ZADC+ZBDC=ZBDG+ZBDC,即NADB=NCDG,Rt是等腰直角三角形，・・・ZDBE=45°,DELBE,「.△BOG是等腰直角三角形，且BD=GD,:.EB=EG（等腰三角形的三线合一），AD=CD在A4BO和△CGQ中，＜/AD5=/Cr）G,BD=GD（）:.^ABD=^CGD SAS,・・.NA=/DCG=45，・・.ZACG=ZACD+ZDCG=90°,・・・/BCG=180—ZACG=90°,・・..BCG是直角三角形，又.EB=EG,・•・点E是BG的中点，即EC是斜边BG上的中线，EC-EB.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题

（2）,通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.如图

①，在R/A43C中，ZACB=90°,AC=5C,点、E分别在AC、边上，DC=EC,连接AE BD,点、M、N、产分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN.

（1）3£与儿加的数量关系是______.

（2）将ADEC绕点C逆时针旋转到图

②和图

③的位置，判断比与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图

②或图

③进行证明.【答案】

（1）BE=C MN；

（2）图

（2）BE=®MN，图

（3）BE=6MN，理由见解析.【分析】

（1）先证明AD=BE,根据中位线定理证明aPMN为等腰直角三角形，得至|JPA/=X±MN，再进行代换2即可；

（2）如图

（2）连接AO,延长交AO于”，交AC于G,先证明△ACO二△BCE,得到，AD=BE,ZAHB=90°,根据中位线定理证明4PMN为等腰直角三角形，得到PM=^MN,再进行代换即可.2【详解】解

（1）•:Rt ABC中,ZACB=90°,AC=BC,，NBAC=NABC=45V AC=BC,DC=EC,.AD=BE,丁点A/、N、P分别是AE、BD、AB的中点，/.PM,PN分别为4ABE,△BAD中位线，.\PM〃BE,PM=—BE,PN^AC,PN=—AD,22PM=PN,ZAPM=ZBPN=45°,2过点A作AFJ_DE于点F,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF=《DE,利用全等2三角形的判定定理可得△ABDAACE,由全等三角形的性质可得NADB=NAEC,DB=EC,易得EC=5,DC=12,利用勾股定理可得DE的长，利用三角形的面积公式可得结论；3根据RtZkBCE中，BE=10,BC=6,求得CE=配行=8,进而得出CD=8—6=2,在RtZk DCE中，求得DE=J57F=而，最后根据4ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长.【详解】1@VZBAC=ZDAE,/.ZBAD=ZCAE,又TAB=AC,AD=AE,AAABD^AACE,ABD^AACE,・•・NABD二NACE,BD=CE,AZABD+ZACB=Z ACE+Z ACB=Z DCE=90°,.・.DE2=CD2+CE2=CD2+BD2;2过点A作AF_LDE于点F.VAD=AE,・••点F是DE的中点，VZDAE=90°,AAF=—DE,2同理可证4ABD^AACE,AZADB=ZAEC,DB=EC,VDB=5,BC=7,AEC=5,DC=12,VZDAE=90°,AZADE+ZAED=90o,ZADC+ZCDE+ZAED=90°,ZAEC+ZAED+ZCDE=90°,即NCED+NCDE=90,AZ ECD=90°,；・DE2=CE2+CD2=25+144=169,VDE0,ADE=13,13AAF=—2/.AADE的面积为=—DE・AF=—xl3x—=22243由1可知ZkABD丝ZiACE,，BD=CE,ZABD=ZACE,，ZBCE=ZACB+ZZACE=ZACB+ZABD=90°，•一△BCE中，BE=10,BC=6,・・・CE=JUG=8,ABD=CE=8,.\CD=8-6=2,・・・RQDCE中，DE=@+82=而，DE V68AAE=「△ADE是等腰直角三角形,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键.

3.如图1,在RtZk45C中，NA=90，45=AC,点D E分别在边A3,AC上，AD^AE,连接C,点M,P,N济别为DE,DC,PC的中点.1观察猜想:图1中，线段与尸N的数量关系是，位置关系是2探究证明:把△AOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MM BD,CE,判断的形状,并说明理由;3拓展延伸:把△AO石绕点A在平面内自由旋转，若AO=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.49【答案】1PM=PN,PMLPN；2△PMN是等腰直角三角形.理由见解析；3MPMN最大.2【分析】1由已知易得BO=CE,利用三角形的中位线得出PM=，CE,PN=-BD,即可得出数量关系,22再利用三角形的中位线得出PM//CE得出NOPM=NOC4,最后用互余即可得出位置关系；2先判断出AA30=AAC£,得出BD=CE,同1的方法得出PN=-BD,即可22得出PM=PN,同1的方法由NMQV=NDCE+NDC3+NOBC=NACB+NAfiC,即可得出结论；3方法1先判断出MN最大时，APAW的面积最大，进而求出AN,AM＞即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2先判断出3最大时，APMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14,即可得出结论.【详解】解1;,点P,N是BC,CO的中点，:.PN I/BD,PN=-BD92丁点P,〃是6,石的中点，.-.PM//CE,PM=-CE,2vAB=AC,AD=AE^BD=CE,・・.PM=PN,,;PN//BD,ZDPN=ZADC,PM IICE,.・.ZDPM=ZDC4,-ABAC=90°,.\ZADC+ZACD=9QO,.・.AMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,:.PM LPN,故答案为PM=PN,PMA.PN；2A/%W是等腰直角三角形.由旋转知，/BAD=/CAE,\AB=AC,AD=AE,（）AABD=AACE SAS,ZABD=ZACE,BD=CE,利用三角形的中位线得，PN=-BD,PM=L CE,22;.PM=PN,・・・APMN是等腰三角形，同

（1）的方法得，PM//CE,ZDPM=ZDCE,同

（1）的方法得，PNHBD,・・.ZPNC=ZDBC,ZDPN=ZDCB+/PNC=ZDCB+ZDBC,=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,ZBAC=90°,.\ZACB+ZABC=90°,.\ZMPN=90°,.・.MN是等腰直角三角形；

（3）方法1如图2,同

（2）的方法得，APMN是等腰直角三角形,二.MV最大时，APMN的面积最大，・・・DE11BC宣OE在顶点A上面，/.MN最大=AM+AN,连接AM，AN,在AAD石中，AD=AE=4,ZDAE=90°,AM=26在RtAABC中，AB=AC=10AN=5后,9・・・MN最大=2々+5血=7四,11199^^=-2=--2S PMX MN乙方法2由

（2）知，APA/N是等腰直角三角形，PM=PN=—BD,2二.PM最大时，APAW面积最大，二点在84的延长线上，:.BD=AB+AD=14,・，:PM」」-竺.S P”X72・・MN UM-最大_Z-X/--.乙乙乙【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解

（1）的关键是判断出加=工石，PN=-BD,解22

（2）的关键是判断出AABO二AACE,解

（3）的关键是判断出MN最大时，APMN的面积最大.

4.

（1）操作发现将等腰Rt ABC与等腰Rt ADE按如图1方式叠放，其中/43=44石=90°，点D,£分别在AB,AC边上，加为BE的中点，连结CM,DM.小明发现CM=DM,你认为正确吗？请说明理由.

（2）思考探究小明想若将图1中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究探究一将图1中的等腰Rt.ADE绕点A沿逆时针方向旋转45°（如图2）,其他条件不变，发现结论CM=依然成立.请你给出证明.探究二将图1中的等腰Rt ADE绕点4沿逆时针方向旋转135°（如图3）,其他条件不变，则结论=还成立吗？请说明理由.【答案】

（1）正确，理由见解析；

（2）证明见解析；

（3）成立，理由见解析【分析】

（1）连接DM并延长，作BNLAB,与DM的延长线交于N,连接CN,先证明△EMD之△BMN,得到BN=DE=DA,再证明ACAD也ZSCNB,得至I」CD=CN,证明△DCM是等腰直角三角形即可；

（2）探究一延长DM交BC于N,根据平行线的性质和判定推出NDEM=NMBC,根据ASA推出△EMD^ABMN,证出BN=AD,证明△CMD为等腰直角三角形即可；探究二作BN〃DE交DM的延长线于N,连接CN,根据平行线的性质求出NE=NNBM,根据ASA证△DCA也ZXNCB,推出4DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD为等腰直角三角形.【详解】解1如图一，连接DM并延长，作BNLAB,与DM的延长线交于N,连接CN,VZEDA=ZABN=90°,，DE〃BN,・・NDEM=NMBN,;在△EMD和△BMN中，/DEM=/NBMEM=BM,/EMD=/NMBAAEMD^ABMN ASA,，BN二DE=DA,MN=MD,在^CAD和^CNB中，AC=BC/A=/CBN=45,BN=DA/.△CAD^ACNB,，CD=CN,•••△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，/.CM1DN,J ADCM是等腰直角三角形，・・・DM=CM；2探究一,理由如图二，连接DM并延长DM交BC于N,NEDA=NACB=90，，DE〃BC,/.ZDEM=ZMBC,•••在^EMD和△BMN中,/DEM=/NBM•EM=BM,/EMD=ZNMB.•.△EMD^ABMN ASA,ABN=DE=DA,MN=MD•AOBC,，CD二CN,•••△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，A CM±DM,ZDCM=—ZDCN=45°=ZBCM,2A ACMD为等腰直角三角形.•\DM二CM；探究二，理由如图三，连接DM,过点B作BN〃DE交DM的延长线于N,连接CN,，NE=NMBN=

45.•••点M是BE的中点，•・・EM=BM.•••在4EMD和△BMN中，AAEMD^ABMN ASA,，BN二DE=DA,MN=MD,丁NDAE=NBAC=NABC=45，，NDAC=NNBC=90•・•在△DCA和^NCB中DA=BN•ZDAC=ZNBC,CA=BCAADCA^ANCB SAS,AZDCA=ZNCB,DC=CN,A ZDCN=ZACB=90°,。