模型10 手拉手模型

专题手拉手模型10

一、单选题

1.如图，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OAOC,ZAOB=ZCOD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论

①AC=BD；

②NAMB=40；

③OM平分NBOC；

④MO平分NBMC.其中正确的个数为A.

①B.

①②C.

①②③D.

①②④【答案】D【分析】由S4S证明AAOC二ABOD得出NOC4=NODB,AC=BD,

①正确；由全等三角形的性质得出NQ4C=NOa,由三角形的外角性质得ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD得出NAMB=9NAOB=40，

②正确；作OGLMC于G,/于，如图所示则NOGC=NOHD=90，由A4S证明DOCG@DODHAAS,得出OG=QH,由角平分线的判定方法得出MO平分N5MC,

④正确；由/AOB=NCOD,得出当NOOA/=NAOMH寸，河才平分ZBOC,假设=由AAOC2MOD得出？COM2BOM,由MO平分/BMC得出NCMO=/BMO,推出DCOM@DBOM,得OB=OC,而4=03,所以0A=OC,而QAOC,故

③错误；即可得出结论.【详解】解ZAOB=ZCOD=40°,・・.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,即ZAOC=/BOD,证明1△ACE^ADCB；2△ACM^ADCN；3MN〃AB.【答案】1见解析2见解析3见解析【分析】1由等边三角形的性质得出AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=60°,得出NDCB=NACE,由SAS即可得出^ACE^ADCB；2由全等三角形的性质得出NEAC=NBDC,再证出NACD=NDCE,由ASA证明△ACM丝ZSDCN即可；3由全等三角形的性质得出CM=CN,证出AMCN是等边三角形，得出NMNC=NNCB=60，即可得出结论.【详解】1:△ACD和△BCE是等边三角形，A AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=60°,••・ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,NDCB=NACE,在^ACE^A DCB中，AC=CD•/DCB=ZACE,BC=CE V.AAACE^ADCB SAS；2由1得ZkACE之ZXDCB,AZEAC=ZBDC,VZACD=ZBCE=60°,A ZDCE=60°,AZACD=ZDCE,在4庆0\1与4DCN中，ZEAC=/BDC•AC=DC,ZACD=/BCE V.AAACM^ADCN ASA.3由2得aACM也ZXDCN,ACM=CN,又•Z MCN=180°-60°-60°=60°,•••△MCN是等边三角形，AZMNC=60°=ZNCB,，MN〃AB.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

7.如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H.1证明△ADG^ACDE；2请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；3连结AE和CG,请问△ADE的面积和^CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由.【答案】1答案见解析；2AG=CE,AG±CE；3△ADE的面积=△CDG的面积【分析】1利用SAS证明△ADG^ACDE；2利用△ADG也4CDE得至lj AG=CE,NDAG=NDCE,利用NDAG+NAMD=90得到NDCE+NCMG=90,即可推出AG±CE；3A ADE的面积=△CDG的面积，作GPJ_CD于P,EN，AD交AD的延长线于N,证明△DPG^ADNE,得到PG=EN,再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，4CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积.【详解】1:四边形ABCD与DEFG都是正方形，，AD=CD,DG=DE,NADC=NEDG=90，，NADC+NCDG=NEDG+NCDG,，NADG=NCDE,AAADG^ACDE SAS,2AG=CE,AG±CE,VAADG^ACDE,，AG=CE,NDAG=NDCE,VZDAG+ZAMD=90°,ZAMD=ZCMG,A ZDCE+ZCMG=90°,N CHA=90，/.AG±CE；3△ADE的面积=△CDG的面积，作GPJ_CD于P,EN_LAD交AD的延长线于N,则NDPG=NDNE=90,•ZGDE=90°,J ZEDN+ZGDN=90°,VZPDG+ZGDN=90°,AZEDN=ZPDG,VDE=DG,AADPG^ADNE,・・・PG=EN,△ADE的面积=AO・£N,△CDG的面积二工CO・GP,22J△ADE的面积=△CDG的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.

8.在^ABC中，NBAO90，AOAB,点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），且NDAE=90，AD二AE,连接CE.

（1）如图1,若点D在BC边上（点D与B、C不重合），

①求证4ABD名ZXACE；

②求证DE2=BD2+CD2

（2）如图2,若点D在CB的延长线上，若DB=5,BC=7,则△ADE的面积为.

（3）如图3,若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰RS ADE,ZDAE=90°,连结BE,若BE=10,BC=6,则AE的长为.169【答案】

（1）

①见解析；

②见解析；

（2）彳；

（3）用【分析】1

①根据NBAONDAE,推出NBAD=NCAE,再结合AB二AC,AD=AE,即可证明△ABD也ZSACE,

②根据NABD=NACE,可得NABD+NACB=NACE+NACB=NBCE,根据BD二CE,即可证明结论；2过点A作AFLDE于点F,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF==DE,利用全等三角形的判定定理可得^ABD/AACE,由全等三角形的性质可得NADB=NAEC,DB=EC,易得EC=5,DC=12,利用勾股定理可得DE的长，利用三角形的面积公式可得结论；3根据R3BCE中，BE=10,BC=6,求得CE=川2_62=8,进而得出CD=8—6=2,在RtA DCE中，求得DE=也2+82=而，最后根据4ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长.【详解】1@VZBAC=ZDAE,AZBAD=ZCAE,又・・・AB=AC,AD=AE,AAABD^AACE,2VA ABD^AACE,A ZABD=ZACE,BD=CE,J ZABD+ZACB=ZACE+ZACB=ZDCE=90°,・・.DE2=CD2+CE2=CD2+BD2;2过点A作AFJ_DE于点F.AD=AE,J点F是DE的中点，TN DAE=90,AAF=—DE,2同理可证4ABD^AACE,AZADB=ZAEC,DB=EC,VDB=5,BC=7,，EC=5,DC=12,VZDAE=90°,.\ZADE+ZAED=90o,J ZADC+ZCDE+ZAED=90°,AZAEC+Z AED+N CDE=90，即NCED+NCDE=90，AZ ECD=90°,ADE2=CE2+CD2=25+144=169,VDE0,ADE=13,13AAF=—,2・•・AADE的面积为=—DE*AF=—xl3x—=22243由1可知4ABD义ZXACE,ABD=CE,ZABD=ZACE,:・ZBCE=Z ACB+Z Z ACE=Z ACB+Z ABD=90,•••RtZkBCE中，BE=10,BC=6,•e•CE=V102-62=8，ABD=CE=8,ACD=8-6=2,JRtZkDCE中，DE=拉+82=疝,:△ADE是等腰直角三角形，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键.

9.如图，在eABC中，以AB,AC为边向外作等边一A5b和等边△ACE,连结BE,CF交于点

0.求证

（1）,AEB=.ACF；

（2）AO平分/EOF.【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.【分析】

（1）先根据等边三角形的性质可得AB=AEA£=ACNC4£=NB4b=60，再根据角的和差可得ZBAE=ZE4C,然后根据三角形全等的判定定理即可得证；

（2）如图（见解析），先根据三角形全等的性质可得S.8=5Ab，3£=b,再根据三角形的面积公式可得AD=AG,由此即可得证.【详解】

（1）AB尸和ZkACE都是等边三角形，・・.AB=AF,AE=AC.ZCAE=/BAF=60°,/.ZC4E+Z^AC=Z^AF+ZBAC,即NBAE=N/71C,AB=AF在△1£»和，ACF中，＜/BAE=NFAC,AE=AC V.\^AEB=ACFSAS；2如图，过点A作石于点D,作AG_LC尸于点G,连接AO,由1已证.AEBNACF,S=S,BE-CF,AEB ACF:.-BEAD=-CFAG,22/.AD=AG,・・・点A在/EOF的角平分线上，即AO平分/EOF.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键.

10.如图，A3C中，AC=BC,©DCE中,DC=EC,且NOC^=NAC3,当把两个三角形如图

①放置时，有AD=BE.不需证明1当把.绕点旋转到图

②③④的情况，其他条件不变，AO和BE还相等吗？请在图

②③中选择一种情况进行证明；2若图

④中AO和BE交于点P，连接PC,求证PC平分NBPD.【答案】1相等，证明见解析；2证明见解析【分析】1利用SAS证出△DCAgAECB,即可证出结论；2过点C作CMLAD于M,CNJ_BE于N,利用SAS证出△DCA也aECB,从而得出CM=CN,然后利用角平分线的判定定理即可证出结论.【详解】解1相等，证明图

②如下•••/DCE=ZACB••・ZDCE-ZACE=ZACB-ZACE:・/DCA=/ECB在^DCA和^ECB中AADCA^AECB；・AD=BE；2过点C作CMJ_AD于M,CNJ_BE于N•/ZDCE=ZACB••・ZDCE-ZACE=ZACB-ZACE.ZDCA=ZECB在a DCA和^ECB中AADCA^AECB，CM=CNVCM±AD,CN±BE，PC平分/BPD【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键.

11.如图1,点P是线段上除点A、B外的任意一点，分别以AP、为边在线段的同旁做等边三角形APC和等边三角形PBD,连接AD和BC相交于点Q,1求证AD=BC.2求的度数.3如图2所示，和△夫仍为等边三角形，但Q4和P5不在同一条直线上，=是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论.【答案】1见解析；260°；3成立，相等【分析】1根据等边三角形的性质得到PA=PC,ZAPC=60°,PB=PD,ZBPD=60°,于是得到NAPD=NCPB,证得△APD^ACPB,即可证明ADtBC；2由4APD之Z\CPB,再根据三角形的外角的性质即可求解；2根据等边三角形的性质得到PA=PC,ZAPC=60°,PB=PD,ZBPD=60°,于是得到NAPD=NCPB,证得4APD也ACPB,即可证明AD=BC,再根据三角形的外角的性质即可求得NAQC=

60.【详解】1:△APC是等边三角形，APA=PC,ZAPC=60°,VABDP是等边三角形，，PB=PD,ZBPD=60°,二•NAPONBPD,IOA=OBjAOCBOD,10C=OD・・.AAOC=ABODSAS,:./OCA=/ODB,AC=BD,

①正确；.・./OAC=/OBD,由三角形的外角性质得ZAMB+AO AC=ZAOB+ZOBD,ZAMB=ZAOB=40°,

②正确；作OGLMC于G,OHJLMB于H,如图2所示则ZOGC=ZOHD=90°,在AOCG和AOD”中，IOCAODB1OGCOHD,OC=OD\OCG=AODHAAS,:.OG=OH,・・・MO平分NBMC,

④正确；・/ZAOB=/COD,・•・当ZDOM=ZAOM时，OM才平分/BOC,假设/DOM=ZAOMAAOC=ABOD,\COMBOM,MO平分NBMC,，NAPD=NCPB,在a APD与△CPB中，AP=PC ZAPD=/CPB,PD=PB.•.△APD^ACPBSAS,，AD=BC；2由1得4APD也ZSCPB,AZPAD=ZPCB,•Z QAP+Z QAC+Z ACP=120°,Z QCP+Z QAC+Z ACP=120°,.•.ZAQC=180o-120°=60°；3AD=BC成立，NAQO60，理由如下VAAPC是等边三角形，/.PA=PC,ZAPC=60°,•「△BDP是等边三角形，APB=PD,ZBPD=60°,1•NAPONBPD,AZAPD=ZCPB,在^APD与△CPB中，AP=PC ZAPD=/CPB,PD=PB•二△APD之△CPBSAS,，AD=BC；，NPAD=NPCB,•NQAP+NQAC+NACP=120，，Z QCP+Z QAC+Z ACP=120°,.•.ZAQC=180o-120°=60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键.

12.B,C,D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.【答案】证明见解析【分析】证简单的线段相等，可通过证线段所在的三角形全等来得出结论.观察所求和已知条件，可证△ACD^ABCE；这两个三角形中，已知的条件有BC=AC,EC=CD,而NACD和NBCE同为60角的补角，由此可根据SAS证得两三角形全等，即可得证.【详解】解:△ABC和4ECD是等边三角形，・・・NACB=NECD=60，BC=AC,EC=CD.，NACB+NACE=NECD+NACE,即NBCE=NACD.在^BCE和^ACD中，AABCE^AACD SAS.，BE=AD.

13.如图，△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD.求证AE=DC.【答案】见解析【分析】先由△ABD和△BCE是等边三角形，可知AB=BD,BE=BC,ZABD=ZCBE,从而得至NABE=NCBD,即可证明△ABE名△DBC,从而得到结论.【详解】解:证明:△ABD和aBCE都为等边三角形，・・・AB=BD,BE二BC,NABD=NCBE,A ZABE=ZCBD,AAABE^ADBC SAS,，AE二DC.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出^ABEgADBC是解答此题的关键.

14.如图，C为线段AE上一动点不与点A,E重合，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60，AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.试说明1AD=BE；2填空NAOE=°；3CP=CQ；【答案】1见解析；2120；3见解析【分析】1由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出△ACD^ABCE,可推知AD=BE；2由1推出NCAD二NCBE,利用三角形内角和定理可求得NBOP=NACP=60，从而求得NAOE的度数；3由4ACD会4BCE得NCBE二NDAC,力口之NACB=NDCE=60，AC=BC,得至CQB^ACPACASA,从而证明CP=CQ.【详解】1:△ABC和△CDE为等边三角形，・・・AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,AZACD=ZBCE,在a ACD-^A BCE中，AC=BC・ZACD=/BCE,CD=CE・\AACD^ABCESAS,，AD=BE；2VAACD^ABCE,AZCAD=ZCBE,VZAPC=ZBPO,AZBOP=ZACP=60°,Z AOE=180一60=120°,故答案为120；3VAACD^ABCE,・・・NCAD=NCBE,VZACB=ZDCE=60°,・•・ZBCQ=60°,在a CQB和^CPA中，/CBQ=/CAP BC=AC,ZBCQ=ZACP=60°X.AACQB^ACPA ASA,ACP=CQ.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

15.如图1,等边△ABC中，AO是NBAC的角平分线，D为A0上一点，以CD为一边且在CD下方作等边4CDE,连结BE.1求证△ACDgZkBCE；2图2,延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP,CQ使CP=CQ=5,若BC=8时，求PQ的长.【答案】1见解析；2PQ=

6.【分析】1由题意易得AC=5C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,然后根据题意可进行求证；2作交3于“，则由1易得NC6//=NC4O=30，然后根据勾股定理求解即可.【详解】1・・•qABC和△CD石均为等边三角形，/.AC=BC,CD=CE,且ZACB=ZDCE=60°，*/ZACD+ZDCB=ZDCB+/BCE=60°，:・ZACD=/BCE,.NACD^BCE2作CHLBQ交BQ于H,则PQ=2H，在中，由已知和1得NC8=NC4O=30，/.CH=4,在RtZ\CHQ中，HQ=^CQ2-CH2=752-42=3，・•.PQ=2HQ=

6.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理、含30角的直角三角形，关键是根据题意得到三角形的全等，然后根据勾股定理及直角三角形的性质进行求解问题即可.

16.如图，在「.ABC和.ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.1问题提出如图1,若AD=AE,AB=AC.

①BD与CE的数量关系为；

②NBPC的度数为.2猜想论证如图2,若NADE=NABC=30，则1中的结论是否成立？请说明理由.如果不正确请写出正确结论.3拓展延伸在1的条件中，若AB=3,AD=1,若把ADE绕点A旋转，当NEAC=90时，直接写出PB的长.【答案】1

①相等，

②90；2结论

①不成立，g=结论

②成立；3生叵或生何CE55【分析】1

①依据等腰三角形的性质得到A3=AC,AD=AE,依据同角的余角相等得到NZM3=NC4E,然后依据“SAS”可证明,AO3=AEC,最后，依据全等三角形的性质可得到3=石；

②由三角形内角和定理可求NBPC的度数；2先判断出△ADBs/viEC，即可得出结论；3分为点E在A3上和点£在43的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PXBsAAEC,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.【详解】解1

①二A3C和々ADE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=9Q°,:.AB=AC,AD=AE,ZDAB=ZCAE.ZABC=ZACB=45°BD=CE,故答案为相等；

②-ZBPC=180°-ZABD-ZABC-ZBCP=180°-45°-ZBCP+ZACE故答案为90°21中结论

①不成立，空=百；结论

②成立，理由CE在RtAABC中，ZABC=30°,・・.AB=V3AC，在RteADE中，ZADE=30°,AD=6AE,AD AE••一,AB ECZBAC=ZDAE=90°,/BAD=/CAE,BD AD・・.ZABD=ZACECE-AE:NADB^NAEC.3解

①如图，当点E在AB上时，BE=AB-AE=

2.NE4C=90，同1可证「ADB二AEC.・・・/DBA=ZECA.又・/PEB=ZAEC,:.APEBsAAEC.

②如图，当点£在84延长线上时，BE=AB+AE=

4.•.ZE4C=90，同1可证cADB二,:.ZDBA=ZECA./BEP=/CEA,△:^.PEBS AEC综上所述，心的长为之叵或55【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得~尸£86」反是解题的关键.

17.如图所示，已知AFLAC,AE=AB,AF=AC.判断线段EC与5尸数量关系和位置关系，并给予证明.【答案】EC=BF,EC±BF,理由详见解析【分析】先由条件可以得出NEAONBAE,再证明△EAC也ZXBAF就可以得出EC=BF,再利用角度之间的转化可得NBMD=90，即可证明ECJ_BF.【详解】解EC=BF,EC1BF证明如下VAE1AB,AFLAC,AZBAE=ZCAF=90°,Z.NBAE+NBAONCAF+NBAC,即NEAONBAF,在^ABF^D AAEC中，AE=ABZEAC=ZBAF,AF=AC/.△ABF^AAEC SAS,JEOBF,NAEC=NABF,VAE±AB,・・・NBAE=90，AZAEC+ZADE=90o,VZADE=ZBDM对顶角相等，AZABF+ZBDM=90°,在^BDM中，Z BMD=180°-ZABF-ZBDM=180°-90°=90°,AEC±BF.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定的运用.解答时注意证明三角形全等的手拉手模型.

18.如图，B,C,E三点在一条直线上，△ABC和△OCE均为等边三角形，8与4交于点M,AE与CD交于点N.1求证AE=BD；2连接MN,求证MN//BE；3若把△QCE绕点顺时针旋转一个角度，1中的结论还成立吗？说明理由.【答案】1见解析；2见解析；3成立，理由见解析【分析】1根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60的性质可求得MCD二AACE,根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD.2AC0N是等边三角形，由ABCD二AACE可知NCBM=NC4N,根据AS4可证明ABCM=^ACN,得到CM=C7V,又/MCN=60,可知ACMN是等边三角形，得至U NCMV=60，由NAC6=60，得到NCMN=NAC3,所以MV//BC.3根据题意画出图形，证明方法与1相同.【详解】解1证明如图1中，AA5C与AOCE都是等边三角形，:.AC=BC,CD=CE,ZACB=/DCE=60,ZACB+ZACD++ZDCE=1SQ,ZACD=60°,ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,即/BCD=ZACE.在ABCD和AACE中，BC=AC/BCD=/ACE,CD=CE:.ABCD三AACE.\1CMO2BMO,在ACOM和ABOM中，ICOMBOM lOM=OM,ICMOBMO\DCOM@D BOMASA,:.OB=OC,与4OC矛盾，.•.

③错误；综上所述，正确的是

①②④；故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键.

2.如图，AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZCAE=50°,以下四个结论©AADC^AABE；

②CD=BE；

③/DOB=50°；

④点A在NDOE的平分线上，其中结论正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断.【详解】ZDAB=ZCAEJ ZDAB+Z BAC=Z CAE+Z BAC:.BD=AE-2证明如图1中，连接MN,•r NBCD二AACE，••・/CBM=/CAN.在ABCM和A4CN中/CBM=/CAN•BC=AC,ZACB=ZACD.・.ABCM=AAGV,.\CM=CN,•/ZACB=/DCE=60°,/.ZMC7V=60°,••.△CMN是等边三角形，/.ZCMN=60°,•j ZACB=60°,.♦CMN=ZACB,:.MN IIBC.3成立AE=BD；理由如下如图2中，\ABC.AOC石均为等边三角形，.\BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,・•・ABCA+ZACD=/DCE+ZACD，即/BCD=ZACE,「在AACE和ABCD中,AC=BC/BCD=/ACE,CD=CE:.AACE=ABCDSAS,..AE=BD.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用.解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型.

19.在△A3C中,点是直线上一点不与B.C重合，以AO为一边在AO的右侧作△ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,连接CE.1如图1,当点在线段上，如果/区4=90，则N3CE=度；2如图2,

①说明△ABD%ZXACE.

②说明CE+DOBC.

③设/A4C=z,/BCE寸.当点在直线5C上移动，则如夕之间有怎样的数量关系请直接写出你的结论.【答案】190°；2

①详见解析；

②详见解析；3相等或互补【分析】1要求NBCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出aABD之4ACE,再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；2

①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD四4ACE即可；

②问要求NBCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出4ABD也AACE,再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论;

③问在第

①问的基础上，进行分析解答即可.【详解】解190°.理由VZBAC=ZDAE,・•・NBAC-NDAC=NDAE-NDAC.即NBAD=NCAE.在^ABD^A ACE中，AB=AC・/BAD=ZCAE,AD=AEAAABD^AACE SAS,・・・NB=NACE.J NB+NACB=NACE+NACB,，NBCE=NB+NACB,XVZBAC=90°・・・NBCE=90；故答案为

90.2

①・・・NBAC=NDAE,・•・ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.即/BAD二NCAE.在^ABD^A ACE中，AB=AC・/BAD=/CAE,AD=AEAAABD^AACE SAS；

②TN BAON DAE,・•・ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.B[J ZBAD=ZCAE.在a ABD^A ACE中,AB=AC/BAD=/AE,AD=AEAAABD^AACE SAS,・・・NB=NACE.NB+NACB=NACE+NACB,AZBCE=ZB+ZACB,又・・・NBAC=90，NBCE=90，.\a+p=180o；

③相等或互补，理由1当点D在射线BC的反向延长线上时，a=P.VZDAE=ZBAC,A ZDAB=ZEAC,在a ADB和^AEC中，AD=AE/DAB=EAC,AB=ACV-A△ADBAEC SAS,:•/ABD二NACE,•NABD=NBAC+NACB,ZACE=ZBCE+ZACB,JNBCE=NB+NACB,又・・・NBAC=90，ZBCE=90°,.•.a+p=180°.2当点D在线段BC和BC延长线上时，是a+p=180,在BC的反向延长线上时，是a=P，综上所述，a+p=I80或a邛・【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键.

20.如图，△ZMC、均是等边三角形，AF、3分别与CO、CE交于点M、N,求证

（1）AE=BD；

（2）CM=CN；

（3）△CMN为等边三角形；（）4MN//BC.【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）见解析；

（4）见解析【分析】

（1）根据等边三角形的性质得出AODC,EC=BC,NACD=NBCE=60，求出NACE=NDCB,根据SAS推出△ACE^ADCB即可；

（2）根据全等三角形的性质得出NCAE=NCDB,根据等边三角形的性质得出AC=DC,ZACM=ZBCE=60°,求出NDCE=60，推出NACM二NDCN,根据ASA推出△ACM名ZSDCN即可；

（3）根据有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形推出^CMN为等边三角形，推出ZCMN=ZCNM=ZDCN=60°,求出NCMN二NACM=60，即可得出答案；

（4）根据等边三角形的性质得出NCMN=NACM=60，根据平行线的判定得出即可.【详解】解证明

（1）:△DAC、AEBC均是等边三角形，AAC=DC,EC=BC,ZACD=ZBCE=60°,・•・NACD+NDCE=NBCE+NDCE,即NACE二NDCB,在^ACE和^DCB中,AC=DC/ACE=/DCB,CE=BCAAACE^ADCB SAS,，AE=BD；2:由1可知ZkACEZ\DCB,AZCAE=ZCDB,即/CAM=NCDN,VADAC aEBC均是等边三角形，JAODC,NACM=NBCE=60，又点A、C、B在同一条直线上，:・ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=180o-60°-60o=60°,即NDCN=60，・・・NACM=NDCN,在^ACM和a DCN中，/MAC=/NDCAC=DC,/ACM=/DCNAAACM^ADCN ASA,，CM=CN；3:由2可知CM=CN,ZMCN=60°,•••△CMN为等边三角形有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形;4:△CMN为等边三角形ZCMN=ZCNM=ZDCN=60°,，NCMN=NACM=60，，MN〃BC.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意全等三角形的对应边相等，对应角相等.

21.如图，AA3C和她石都是等边三角形，点瓦方分别在人民边上,ND4/=60°，1求证AABD=AACF.2判断四边形代石的形状.【答案】1见解析；2平行四边形【分析】1由AA3c和都是等边三角形得到A8=AC/A5Q=NAC8=/A4C=60°,根据ND4尸=60°推出ND43=NC4/，即可证得结论；2根据△ABD也ZXACF得至IJBD二CF,再根据等边三角形的性质得到5=/3=/5=60°,推出DE=FC,DE//FC即可得到结论.【详解】证明1・.AABC和ASD石是等边三角形，・・.AB=AC,NABD=ZACB=ABAC=60°,ZDAF=60°，.ZDAB=ZCAF,AAABD^AACF ASA；2四边形尸CE是平行四边形.理由如下VAABD^AACF,，BD=CF.又ABOg AABC是等边三角形,・・・BD=DE,/3=/5=60°.・•・四边形DFCE是平行四边形.【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，内错角相等两直线平行的判定定理，证明四边形是平行四边形.

22.如图1,A/WC是以NACB为直角的直角三角形，分别以A8,为边向外作正方形ABbG,BCED,连结A，CF,与C77交于点AB与CF交于点、N.1求证MJBD=AFBC；2如图2,在图1基础上连接A尸和尸若AD=6,求四边形AC9的面积.【答案】1详见解析；218【分析】1根据正方形的性质得出BOBD,AB=BF,NCBD二NABF=90，求出NABD=NCBF,根据全等三角形的判定得出即可；2根据全等三角形的性质得出NBAD=NBFC,AD=FC=6,求出AD_LCF,根据三角形的面积求出即可.【详解】解

1..四边形ABRS、BCEO是正方形，.・.AB=FB,CB=DB,ZABF=ZCBD=9Q°,・・.ZABF+ZABC=ZCBD+ZABC,即NABD=NCB/・・.AABD=AFBCSAS；图1图22•/AABD=AFBC,./BAD=/BFC,AD=FC=6,【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABDgZiFBC是解此题的关键.

23.1如图1,q ABC和ADCE都是等边三角形，且3,C,O三点在一条直线上，连接A，班相交于点尸，求证BE=AD.2如图2,在.BCD中，若N3CDV120，分别以BC,CD和为边在.BCD外部作等边.ABC,等边△CQE,等边BDF，连接A、BE、/恰交于点P.

①求证AD=BE=CF；

②如图2,在2的条件下，试猜想依，PC,PO与比存在怎样的数量关系，并说明理由.【答案】1详见解析；2

①详见解析；

②PB+PC+PD=BE,理由详见解析【分析】1根据等边三角形的性质得出BC=AC,CE=CD,NACB=NDCE=60，进而得出NBCE=NACD,判断出.3CE至ACD SAS,即可得出结论；2

①同1的方法判断出VACDABCE SAS,,ABD”CBF SAS,即可得出结论；

②先判断出NAPB=60，NAPC=60，在PE上取一点M,使PM=PC,证明△CR0是等边三角形，进而判断出PCD当MCE SAS,即可得出结论.【详解】1证明•・•,A3c和.DC£都是等边三角形,ABC=AC,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°,；・Z ABC+Z ACE=Z DCE+ZACE,即NBCE=NACD,1・BCE@ACD SAS,，BE二AD；2

①证明・・・©ABC和/QC£是等边三角形，AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,Z ACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即NACD=NBCE,NACD^/BCE SAS,二•AD=BE,同理.ABD^tCBF SAS,，AD=CF,即AD=BE=CF；

②解结论PB+PC+PD=BE,理由如图2,AD与BC的交点记作点Q,则NAQONBQP,由

①知，VACDZV3CE,AZCAD=ZCBE,在.ACQ中，ZCAD+Z AQC=180°-Z ACB=120°,A ZCBE+ZBQP=120°,，ZDAC=ZEABTAB=AD,AC=AE.△ADC^AABE，CD=BE,故

①②正确；^VA ADCAABE，/ADC=/ABE设AB与CD交于G点，•.*ZAGD=ZBGCNDOB二/DAB=50,故

③正确；过点A作AFJ_CD于F点，过点A作AHJ_BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高VAADC^AABEI.AF=AH工点A在/DOE的平分线上，

④正确故选D.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定.

3.如图，AACD和都是等腰直角三角形，ACAD=ZEAB=90，四边形A3CD是平行四边形,下列结论中错误的是（）A./VICE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90后与△AD3重合B.ZkACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转27后与△D4C重合C.沿AE所在直线折叠后，△ACE与一AD£重合D.沿AD所在直线折叠后，△43与_4石重合【答案】

3.B【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断.【详解】解A.根据题意可知AE=A5,AC=AD ZEAC=ZBAD=135°,△EAC^^BAD,旋转角NEAB=90°,正确；9B.因为平行四边形是中心对称图形，要想使△AC8和AD4c重合，△AC8应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180，即可与△D4C重合，错误；C.根据题意可NEAO135，ZEAD=360°-ZEAC-ZCAD=\350AE=AE,AC=AD,△E4C也△EAO,正确；9D.根据题意可知N3AQ=135，ZEAD=36Q0-ZBAD-ZBAE=135°,AE=AB,AD=AD,△EAD^ABAD,正确.故选B.【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

二、填空题

4.如图，点B、C、E在同一条直线上，A6c与△CD石都是等边三角形，下列结论

①AE=BD；

②DGC空EFC；

③线段AE和BD所夹锐角为80；

④FG〃BE.其中正确的是.（填序号）【答案】

①②④【分析】利用等边三角形的性质证明BCD^AC£可判断

①，利用，3C丝ACE,可得NBOC=NA£C利用三角形的外角的性质可得NA”B=60，从而可判断

③，再结合等边三角形的性质证明.DGCmmEFC可判断

②，由，GC丝,.£FC可得CG=CF,结合448=60,可得/CFG=60，从而可判断

④.【详解】解如图，记AE与BD的交点为H,•・・，ABC与△CDE都是等边三角形，A AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°丁点B、C、E在同一条直线上，AZACD=60o,/.ZBCD=ZACE=120°在.3CD和△AC£中，・•・BCD0ACE,..BD=AE,所以结论

①正确；•・•,BCDWACE,AZBDC=ZCEA,VZAHB=ZDBE+ZBEA=ZDBE4-ZBDC=180O-ZBCD=60°,所以

③错误；在AGCD和△尸CE中，/GCD=/DCECE=CD,ZCDB=NCEA・•・GCDmFCE,・••所以

②正确;GCD=FCE,VCG=CF,ZACD=60°,NGFC=60,XVZDCE=60°,AZGFC=ZDCE,，GF〃BC,所以

④正确.故答案为

①②④.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件.

5.如图，为线段AE上一动点（不与点重合），在AE同侧分别作等边三角形A3C和等边三角形CQE,AD与BE交于点、O,AD与3C交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下结论

①尸〃AE；®ZAOE=120°；

③C平分NBCQ；

④△CPQ是等边三角形，

⑤0C+30=A恒成立的是______________________.【答案】

①②④⑤【分析】由“S4S”可证AACZ）=ABCE,可得NC3石=/DAC,由“AS4”可得尸=CQ,利用全等三角形的性质依次判断可求解.【详解】解.•等边AABC和等边ACOE,/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°9/.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=/BCE,在AACD与ABCE中,AC=BC・ZACD=/BCE,CD=CEAACD=ABCESAS,..NCBE=ZDAC,又•/ZACB=Z.DCE=60°,.\ZBCD=60°,即ZACP=/BCQ,又・「AC=BC,\CQB=SCPAASA,:.CP=CQ,又ZPCQ=60°,・•・APCQ为等边三角形，故

④正确；・•・APQC=ZDCE=60°,A PQ//AE,故

①正确；/ZDAC^ZAEB=ZDAC^ZADC=ZDCE=6^,・.ZAOE=120°,故

②正确；如图，在A尸上截取NO，连接QV,△CQB=\CPA,:.CP=CQ,Z CPN=Z CQO,BQ=AN,・•.\CPN=^CQOSAS,:.CN=CO,/BCN=/OCQ,.\ZACN=ZBCO,NNCO=60，又AC=BC,・•.AACN=ABCOSAS,.,.BO=AN,ZNCO=60°,CO=CN

9.•.VCO是等边三角形，:.NO=CO,:.AO=AN+NO=BO+CO,故

⑤正确；v OC不一定垂直AE，・・.Z4CO不一定等于/ECO，・・.ZBCO不一定等于ZDCO,・・・CO不一定平分/BCD,故

③错误；故答案为

①②④⑤.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，能熟练应用相关性质是解题的关键.

三、解答题

6.如图，点C是线段AB上任意一点点C与点A,B不重合，分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.连接MN.。