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专题三角形内外角平分线的交角16
一、填空题
1.如图在^ABC中，BO,CO分别平分NABC,ZACB,交于O,CE为外角NACD的平分线，交B0的延长线于点E,记=/BEC=Z2,则以下结论
①N1=2N2,2ZBOC=3Z2,
③ZBOC=90°+Z1,@=90°+Z2,正确的是.把所有正确的结论的序号写在横线上【答案】
①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到N1=2N2,ZBOC=90°+-Zl,ZBOC=90°+Z2,2再分析判断.【详解】•「CE为外角NACD的平分线，BE平分NABC,AZDCE=—ZACD,ZDBE=—ZABC,22又・・・NDCE是4BCE的外角，A Z2=ZDCE-ZDBE=—ZACD-ZABC=—Zl,22故
①正确；VBO,CO分别平分NABC,ZACB,AZOBC=—ABC,ZOCB=—ZACB,22A ZBOC=180°ZOBC+ZOCB=180°--ZABC+ZACB2=180°-—18O°-Z12=90°+—Zl,2故
②、
③错误；•「OC平分NACB,CE平分NACD,，ZACO=—ZACB,NACE=—ZACD,22A ZOCE=—ZACB+ZACD=—xl80°=90°,222如图2,延长A-交x轴于点E,过点作且/DOB=/EOB,/OAE=/OEA,求NA度数；3如图3,尸平分NAQM,ZBCO的平分线交尸0的延长线于点P,当,ABO绕点旋转时，斜边A3与y轴正半轴始终相交于点C,在2的条件下，试问NP的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由.【答案】1详见解析；2ZA=30°；3ZP的度数不变，ZP=30°.【分析】1易证NB与NBOC分别是NA与NAOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；2易证NDOB+NEOB+NOEA=90，且NDOB=NEOB=NOEA就可以得到；3ZP=180°-NPCO+NFOM+90根据角平分线的定义，就可以求出.【详解】1・.・八403是直角三角形，.\ZA+ZB=90°,ZAOC+ZBOC=90°.ZA=ZAOC,・・.ZB=ZBOC.2・.・NA+NABO=90，ZDOB+ZABO=9Q0,..ZA=NDOB,即NDOB=NEOB=NOAE=/OEA.ZDOB+ZEOB+ZOEA=90°,.,・/DOB=30°,・・.NA=30；3NP的度数不变，ZP=30°.ZAOC+ZA+ZACO=180°,ZOCB+ZACO=180°.ZAOM=900-ZAOC,ZBCO=ZA+ZAOC,O/平分/AO,CP平分NBCO,・・・ZFOM=-ZAOM=-900-ZAOC=45°--ZAOC,2272ZPCO=-ZBCO=-ZA+ZAOC=-ZA+-ZAOC.22V722/.ZP=180°-ZPCO+ZFOM+90°=45°-1zA.由
（2）知NA=30，・•・ZP=30°.【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，关键是根据三角形的内角和和角平分线的定义解答.
9.如图1,△ABC的外角平分线交于点F.
（1）若NA=40，则NF的度数为；
（2）如图2,过点F作直线MN〃BC,交AB,AC延长线于点M,N,若设NMFB=a,NNFC=p,则NA与a+B的数量关系是;
（3）在
（2）的条件下，将直线MN绕点F转动.
①如图3,当直线MN与线段BC没有交点时，试探索NA与a,之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问
①中NA与明之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系.【答案】
（1）70
（2）a+分—乙4=90
（3）
①见解析
②不成立；尸—二—，乙4=90或2一一2a-j3--ZA=90°【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到NF的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到NBFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到NA与a+0的数量关系；
（3）
①根据
（2）中的结论NBFC=90-1ZA,以及平角的定义，即可得到NA与a,0之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据
（2）中的结论NBFC=90-5NA,以及平角的定义，即可得到NA与a,2B之间的数量关系.【详解】解
（1）如图1,VZA=40°,.•.ZABC+ZACB=140°,J NDBC+NECB=360-140=220，又•••△ABC的外角平分线交于点F,（）.\ZFBC+ZFCB=—ZDBC+ZECB=—x220°=110°,22:•△BCF中，ZF=180°-110°=70°,故答案为:70°；2如图2,VZABC+ZACB=180°-ZA,.•.ZDBC+ZECB=360°-180°-ZA=180°+ZA,又二•△ABC的外角平分线交于点F,A ZFBC+ZFCB=—ZDBC+ZECB=x180°+ZA=90°+—ZA,222•△BCF中，ZBFC=180°-90°+—ZA=90°-—ZA,22又・・・NMFB=a,NNFC=0,MN〃BC,，NFBC=a,NFCB=0,「△BCF中，ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,・・・a+p+90-ZA=180°,即a+p-；ZA=90°,故答案为a+p--ZA=90°；23©a+p-；NA=90，理由如下:如图3,由2可得，ZBFC=90°--ZA,2•.*NMFB+NNFC+NBFC=180°,・・・a+p+90-ZA=180°,即a+0-g ZA=90°,
②当直线MN与线段BC有交点时，
①中NA与a,0之间的数量关系不成立.分两种情况:如图4,当M在线段AB上，N在AC延长线上时,由2可得，ZBFC=90°-—ZA,2•.*ZBFC-ZMFB+ZNFC=180°,A90°-；NA-a+p=180,即p-a-；NA=900；如图5,当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由2可得，NBFC=90—-ZA,2V ZBFC-ZNFC+ZMFB=180°,A90°-；NA-B+a=180，即a-p—-ZA=90°；2综上所述，NA与a,p之间的数量关系为p-a--NA=90或a-p-ZA=90°.【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图.
10.如图
①，在△ABC中，NABC与NACB的平分线相交于点P.1如果NA=80，求NBPC的度数；2如图
②，作AABC外角NMBC、NNCB的平分线交于点Q,试探索NQ、NA之间的数量关系.3如图
③，延长线段BP、QC交于点E,4BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出NA的度数.【答案】1130°；2NQ=90°—；NA；360°或120或45或135【分析】1运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出NABC+NACB,进而求出NBPC即可解决问题；2根据三角形的外角性质分别表示出NMBC与NBCN,再根据角平分线的性质可求得NCBQ+NBCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解；3在4BQE中，由于NQ=90-‘NA,求出NE=L/A,NEBQ=90，所以如果4BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论:
①NEBQ=3NE=90；
②NEBQ=3NQ=90；
③NQ=3NE；
④NE=3NQ；分别列出方程，求解即可.【详解】1解:VZA=80°..e.ZABC+ZACB=100°,丁点P是NABC和ZACB的平分线的交点,AZP=180°--ZABC+ZACB=180°-—xl00°=130°,222,・,外角NMBC,NNCB的角平分线交于点Q,・・・NQBC+NQCB=；ZMBC+ZNCB=—360°-ZABC-ZACB2=—180°+ZA2=90°+—ZA
2.•.ZQ=180°-90°+—ZA=90°-—ZA；3延长BC至F,•；CQ为△ABC的外角NNCB的角平分线，・•・CE是△ABC的外角NACF的平分线，AZACF=2ZECF,「BE平分N ABC,AZABC=2ZEBC,VZECF=ZEBC+ZE,2Z ECF=2N EBC+2N E,即NACF=ZABC+2ZE,又,:NACF=ZABC+ZA,AZA=2ZE,即NE=J-/A；2•ZEBQ=ZEBC+Z CBQ=—ZABC+—ZMBC22=—ZABC+ZA+ZACB=90°.2如果aBQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况:
①NEBQ=3NE=90，则NE=30，NA=2NE=60；
②NEBQ=3NQ=90，则NQ=30，ZE=60°,ZA=2ZE=120°；
③NQ=3NE,则NE=
22.5，解得A=45；@ZE=3ZQ,则NE=
67.5，解得NA=
1350.综上所述，ZA的度数是60或120或45或135°.【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.
11.如图，在4ABD中，NABD的平分线与NACD的外角平分线交于点E,NA=80，求NE的度数【答案】40°【分析】由题意设NABE=NEBC=x,NACE=NECD二y,利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可.【详解】由题意设NABE二NEBOx,NACE=NECD=y,
①2y=2x+ZA则有
②，
①-2x
②可得NA=2NE,y=x+ZE/.ZE=-ZA=40°.【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.
12.如图，AC〃DE,BD平分NABC交AC于F,ZABC=70°,ZE=50°,求ND,NA的度数.【答案】ZD=95°,=60°【分析】根据BD平分N ABC,NABO70得出ZABF=ZDBC=-/ABC=35,再根据AC//CE.ZE=50得2出ZACB=50，从而计算/D,ZA.【详解】根据BD平分N ABC交AC于E NABC=70・•・ZABF=ZDBC=-/ABC=35°2又:AC//CE,ZE=50°・•・ZACB=50°・•・ZA=180°-70°-50°=60°J ZD=ZBFC=95°综上所述95,NA=60【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键.
13.如图1,AB//CD,P为AB、CQ之间一点1若AP平分NC4B,C尸平分NACD求证AP1CP；222如图2,^ZBAP=-ZBAC,ZDCP=-ZACD,且4石平分NB4P,CF平分/DCP,猜想NE+N产55的结果并且证明你的结论；3在1的条件下，当/BAQ」/BAP,ZDCQ=-ZDCP,“为4上一动点，连Q并延长至K,使NQK4=NQAK,再过点作NCQ”的平分线交直线AK于问当点H在射线A8上移动时，ZQMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围.【答案】1见解析；2ZE+ZF=108°,证明见解析；3不变，是定值，值为15【分析】1依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到NP=180-90=90，进而得到AP_LCR2过£作£6〃48,过尸作FH〃CD,依据平行线的性质即可得到NAEC=NA4E+NOCE,ZAFC=22ZBAF+ZDCF,再根据NA4P=—N84C,ZDCP=-ZACD,AE平分NB4P,C尸平分NOCP,即可得到NE+Nb=108；3过作£〃^8,依据平行线的性质可得/4=/46+/£=/胡+/，依据/胡=，NBAP,ZDCQ=-ZDCP.即可得出NAQC=30，再根据NM=NVQH-NK进行计算，即可得出NQMK的大小不变，是定值
15.【详解】解⑴9AB//CD,A ZBAC+ZACD=180°,又・.・AP平分NC4S CP平分NACO,.ZCAP=-ZCAB.ZACP=-ZACD,
22.ZCAP-\-ZACP=-ZBAC+ZACD21=-x180°2=90°,•••△ACP中，ZP=180°-90°=90°,即APA.CP；2Z£+ZF=108°.证明如图2,过石作EG〃43,过尸作FH〃CD,9AB//CD,.EG//AB//FH//CD,ZBAC+Z£CA=180°,.ZBAE=ZAEG,ZDCE=ZCEG,ZBAF=ZAFH,/DCF=/CFH,.ZAEC=ZBAE-\-ZDCE,ZAFC=/BAF+/DCF,229ZBAP=-ZBAC,/DCP=—/ACD,AE平分N8AP,CF平分/DCP,
5511.ZBAE=-ZBAC,ZDCF=-ZDCA,551221A ZAEC=-ZBAC+-ZACD ZAFC=-ZBAC+-ZDCA5555991221J ZAEC-\-ZAFC=-ZBAC+-ZACD+-ZBAC+-ZDCA555533=-ZACD+-ZBAC553=-ZBAC+ZDCA53=-xl80°5=108°；3如图，过作后〃AB,9AB//CD,QE//CD,.ZBAQ^ZAQE,ZDCQ^ZCQE,.NAQC=NAQE+NCQE=/BAQ+ZDCQ,由1可得NB4P+NOC尸=180-90=90,又•ZBAQ=-NBAP,ZDCQ=-/DCP,・•・NAQC=ZBAQ+ZDCQ=-ZBAP+-ZDCP33=-ZBAP-\-ZDCP3=30，•・・NA2”是△AQK的外角，QA=QK,・NK=g/AQH,•・・QM是NCQH的平分线，•，・ZMQH=/CQH,•.*NMQH是△MQK的外角，・/M=/MQH-ZK11=-ZCQH--ZAQH=-ZCQH-/AQH=I ZA2C=—x30=15°,即NQMK的大小不变，是定值
15.【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.解决问题的关键是过拐点作平行线.
14.1在锐角A/LBC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P,ZBPC=11O°,求NA的度数.2如图，AF和CE分别平分和NBCD,当点在直线AC上时，ZAPC=100°,则NB=3在2的基础上，当点在直线AC外时，如下图ZADC=130°,ZAPC=100°,求D5的度数.【答案】170°；220°；370°.【分析】1根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；2根据NAPC=100以及Ab和C£分别平分4L4D和NBC，算出从而算出E3【详解】如图AC边上的高所在直线和A3边上的高所在直线的交点为PZBDA=ZCEA=90°又,:ZBPC=}\
00.ZEPD=ZBPC=\10°;在四边形AE尸中，内角和为360J ZA=360°-l10o-90°-90o=70°B八/\⑵K\.A---------------------T CD・/AF和CE分别平分ZBAD和/BCD./BAP=ZFAC,/BCE=ZACE又「ZAPC=100°・•・ZFAC+ZACE=180°—100=80°A ZBAC+ZBC4=160°・•・牙区二180-160鞍203如图连接AC・ZADC=130°,ZAP=100••・ADAC+ZDCA=180—130°=50,/PAC+ZPCA=180—100°=80°・•・Z2+Z3=30°又•/AF和C£分别平分ZBAD和N5C・•・Zl+Z4=Z2+Z3=30°.ZBAC+ZBCA=110°.腿二180-110鞍70【点睛】VZBOCA COE的外角，A ZBOC=ZOCE+Z2=90°+Z2,故
④正确；故答案为
①④.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义.
2.如图，在^ABC中，/A=70，如果NA5C与NAC3的平分线交于点，那么NX=度.【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出NA8C+NACB的度数，进而可求NDBC+NOC5的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案.【详解】ZA=70°，:.ZABC+ZACB=\800-ZA=110°.•「BD平分NABC,CD平分NACB,ZDBC+ZDCB=1ZABC+ZACB=55°,・・.ZBDC=180°-ZDBC+/DCB=125°.故答案为
125.【点睛】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键.
3.2018育才单元考如图，在△A3C中，NA3C和NACD的角平分线交于点A.得NA「乙4出和乙4的角平分线交于点A2,得乙3，……，乙4〃_刀和44,一的角平分线交于点4〃，得NA”1若ZA=80，则24=,/4=，/4=2若NA=，%°,则NA20]5=三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键.【答案】4020°10°
715.图1,线段A
3、CQ相交于点0,连接A、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形:如图2,在图1的条件下，ND45和N8CO的平分线”和“相交于点P,并且与
8、A8分别相交于M、N.试解答下列问题1在图1中，请直接写出NA、/B、NC、之间的数量关系；2仔细观察，在图2中“8字形”的个数个；3图2中，当/=50度，N3=40度时，求NP的度数.4图2中和N8为任意角时，其他条件不变，试问NP与NQ、N3之间存在着怎样的数量关系.直接写出结果，不必证明.【答案】1ZA+ZD=ZC+ZB；26；3ZP=45°；42ZP=ZD+ZB.【分析】1根据三角形内角和定理即可得出NA+NQ=NC+N2根据“8字形”的定义,仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个;3先根据“8字形”中的角的规律，可得ND4P+NQ=NP+NOCMD,NPCB+N3=Na3+NP
②，再根据角平分线的定义，得出/DCP=/PCB,将
①+
②，可得2NP=NO+N3,进而求出NP的度数；4同3,根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2NP=NQ+N
3.【详解】解1V ZA+ZD+ZA0D=ZC+ZB+ZB0C=180°,ZAOD=ZBOC..ZA+ZD=ZC+ZB,故答案为ZA+ZD=ZC+ZB；2
①线段A
3、相交于点，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点，形成“8字形”；
③线段A
3、CP相交于点M形成8字形二
④线段AB、CM相交于点，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”；
⑥线段AN、C7相交于点，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为6；3/DAP+/D=/P+/DCP,
①ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,
②•/ND48和N8CO的平分线AP和CP相交于点P,.ZDAP=ZFAB,/DCP=/PCB,
①+
②得ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,即2/P=/D+/B,又・・・/=50度，N3=40度，.\2ZP=50o+40°,-45；
（4）关系2NP=ND+NB.ND+N1=NP+N3
①N8+N4=NP+N2
②①+
②得NQ+N1+N4+N5=NP+N3+N2+NP,•••NQA3和NOCB的平分线AP和C尸相交于点P,AZ1=Z2,Z3=Z
4.2ZP=ZD+ZB.【点睛】此题也是属于规律的题型，但也涉及到已经学过的知识，读懂题目是关键，融合已学知识，进行运用.
16.ABC中，ZA=50°.
（1）如图
①，若点是NABC与NACB平分线的交点，求NP的度数；
（2）如图
②，若点P是NC8D与NBCE平分线的交点，求NP的度数；
（3）如图
③，若点是NABC与NACF平分线的交点，求NP的度数；
（4）若4=，.请直接写出图
①，
②，
③中NP的度数，（用含月的代数式表示）【答案】
（1）115°；
（2）65；
（3）25°；
（4）分别为
①N尸=18O一；（18O一0=9O°+g尸；
②NP=9O°—,p；@ZP=-ZA=-J3【分析】1根据三角形内角和定理和角平分线定义得出NPBC+NPCB=—NABC+NACB=65，根据三角形2的内角和定理得出NP的度数；2由三角形内角和定理和邻补角关系得出NCBD+NBCE=36o-130o=230，由角平分线得出ZPBC+ZPCB=-ZCBD+ZBCE=115，再由三角形内角和定理即可求出结果；23由三角形的外角性质和角平分线的定义证出NP=」NA,即可得出结果；24由123,容易得出结果.【详解】解1•,ZA=50°,・・.ZABC+ZACB=180°-50°=130°,「点P是NABC与NACB平分线的交点，/.ZPBC=-ZABC,NPCB=工/ACB,22・•.ZPBC+ZPCB=-x ZABC+Z^CB=-xl30°=65°,22・•・ZP=180°-ZPBC+/PCB=115°；2ZABC+ZACB=180°-50°=130°,・•.Z.CBD+ZBCE=360°—130=230°,「点P是ZCBD与平分线的交点，・•・/PBC+ZPCB=1/CBD+/BCE=115，・・・NP=180—115=65；3「点P是NA5C与NACF平分线的交点，/.ZPBC=-ZABC,ZPCF=-ZACF,22/PCF=/P+/PBC,ZACF=ZA+ZABC,・•・2ZP+/PBC=ZA+ZABC,・•・ZP=-ZA=25°；24若/A=P，在1中，ZP=180°--180°-=90°+-y0；2在2中，同理得ZP=9O°--/7；2在3中，同理得ZP=-ZA=-/
7.22【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键.
17.1如图1所示，在.ABC中，NABC和NACfi的平分线将于点则有/50C=900+，NA,请2说明理由.2如图2所示，在「A6C中，内角的平分线NABC和外角N4CD的平分线交于点0,请直接写出NBOC与㈤之间的关系，不必说明理由.3如图3所示，AP,8P分别平分NC4Q,/CBD,则有NP=NC+N，请说明理由.24如图4所示，AP,3P分别平分NC4M,ZCBD,请直接写出NP与/C,NO之间的关系，不必说明理由.【答案】1理由见解析；2NBAO2NB0C；3理由见解析；4ZP=-ZD+-ZC+90°22【分析】⑴根据0B是NABC的角平分线，0C是NACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180即可得出结果；⑵根据OB是NABC的角平分线，OC是NACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；⑶根据AP是NDAC的角平分线，BP是NDBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式ND+NDAP=NP+NDBP,NP+NPAONPBC+NC,分析等式即可得出结果；4AP是NMAC的角平分线，BP是NDBC的角平分线，设NDBP=/PBC=x,NMAP=NPAC=y,利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果.【详解】解DTOB是NABC的角平分线，OC是NACB的角平分线.NABOOBC,NACONOCB•ZA+ZABC4-ZACB=180°Z OCB+N OBC=180°-ZA+2=900-g NA
11.-.ZBOC==180°-90°——NA=90°+-ZA2J22VOB是NABC的角平分线，OC是NACD的角平分线，NABO=NOBC,NACONOCDZB AC+NABONACD,ZOBC+ZBOC=ZOCDA2ZOBC4-2ZBOC=2Z0CD，ZABC+2ZB0C=ZACDAZBAC=2ZB0C3V AP是NDAC的角平分线，BP是NDBC的角平分线，NDAP=NPAC,NDBP=NPBC•.*ND+NDAP=NP+NDBP,NP+NPAONPBC+NCAZD-ZP=ZP-ZCzp=-1zc+zr4V AP是ZMAC的角平分线，BP是ZDBC的角平分线AZMAP=ZPAC,NDBP=NPBC设NDBP=NPBOx,NMAP=NPAC=yAZAGB=ZC+2x・・・NBEP=NAEG=180-NC+2x-y；・ZP=180°-Z BEP-ZDBP=ZC+x+yVZD+ZAEG=ZMAP:•ND+180-NC+2x-y=yA x+y=-ZD--ZC+90°・•・ZP=-ZD--ZC+90°+ZC22ZP=-ZD+-ZC+90°22【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键.
18.如图1,点A、B分别在射线OM、ON上运动不与点重合，AC、BC分别是NBAO和NABO的角平分线，BC延长线交OM于点G.1若NMON=60，则NACG=°；若NMON=90，则NACG=°；2若NM0N=n，请求出NACG的度数；用含n的代数式表示3如图2,若NM0N=n，过C作直线与AB交于F,若CF〃OA时，求NBGO—NACF的度数.用含n的代数式表示.【答案】160°；45°；290°--n；390°--n.22【分析】1根据三角形的内角和求出NABO+NBAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到ZACG的度数；2根据1中的结论即可求出答案；3根据角平分线的性质，平行线的性质得到NACF=NCAO二NBAC,利用外角的性质得到NBGO一NACF=NACG,由此得到答案.【详解】1V Z MON+Z ABO+Z BAO=180°,Z ABO+ZBAO=180°-ZMON,VAC.BC分别是NBAO和NABO的角平分线，11AZABC=-ZABO,ZBAC=-ZBAO,22当NMON=60，11ZACG=ZABC+ZBAC=-ZABO+ZBAO=-180°-ZMON=60°,22当NMON=90，11NACG二NABC+NBAC=—NABO+NBAO厂一180°-ZMON=45°,22故答案为60°,45°；2由1知NACG=1180°-ZMON,VZMON=n°,11AZACG=-180°-ZMON=90°--n；223・.・AC平分NBAO,AZBAC=ZCAOVCF^OA,Z ACF=Z CAO=Z BAC,*.•Z BGO=Z ABG+Z BAO=Z ABG+2Z ACF,・•・ZBGO-NACF=NABG+2NACF-NACF=NABG+NACF=NABG+NBALNACG,ZMON=n时N ACG=90一一n,21J ZBGO-ZACF=90°--n.2【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.
19.在AABC中，已知NA=cr
（1）如图1,ZABC.NAC8的平分线相交于点
①当°=80时，NBDC度数=度（直接写出结果）；
②/BOC的度数为（用含的代数式表示）；
（2）如图2,若NA3C的平分线与NAC£角平分线交于点方，求NBbC的度数（用含的代数式表示）.
（3）在
（2）的条件下，将AFBC以直线8C为对称轴翻折得到AGBC,NG3C的角平分线与NGC5的角平分线交于点M（如图3）,求N5MC的度数（用含々的代数式表示）.【答案】
（1）
①130；
②90+-a；
（2）ZBFC=-a
（3）ZBMC=90+-a一224【解析】【详解】
（1）
①130；
②90+一；2
（2）・・・3月和/分别平分NABC和NACE・•・/FBC=-/ABC,ZFCE=-ZACE22J ZBFC=ZFCE-ZFBC即ZBFC=-a2
（3）由轴对称性质知ZBGC=ZBFC=-a2由
（1）
②可得/8MC=90+-ZBGC2・・•ZBMC=90+-a.
420.如图，在AABC中，NA3C和NACB的平分线交于点
0.NA3C和NACO的平分线相交于点P.若ZP=30°,求NA与/OCP的度数.【答案】ZA=60，ZOCP=90°,【解析】【分析】先利用三角形外角的性质得到NA=NACD—NABC,NP=NPCO—NP3C,再根据角平分线的性质即可得到NA=2NR即可求出NA的度数，再根据平角及角平分线的性质即可求出/OCP的度数.【详解】解:丁PB平分ZABC,PC平分ZACD,J ZACD=2/PCD,ZABC=2/PBC,・/ZA=ZACD-ZABC,ZP=/PCD—/PBC,・・・ZA=2NP=60，・•・ZABC+ZA CB=180°-ZA=120°,・・•PC平分NACZX OC平分ZACB,・•・ZOCA=-ZACB,ZACP=-ZACD,22・•・ZOCP=ZOCA+ZACP=-ZACB+-ZACD=-ZBCD,222・/ZBCD=180°,・•・ZOCP=90°.【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.【分析】1利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证NA］二,NA,进而可求NA】，同理易证NA2=,/Ai,22ZAs=—NA2,进而可求NA2和NA3；22利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证NA尸,NA,进而可求NAi,同理易证NA2=NA1,22ZA=-ZA,以此类推可知NA2015即可求得.322【详解】解1VZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBC・••/ABC和/AC的角平分线交于点ZA=80°11AZAiCD=-ZACD,ZAiBC=-ZABC
22.\ZAi=ZAiCD-ZAiBC11二-NACD——NABC22ZACD-ZABC21二一ZA2=40°同理可证ZA2=-ZA!=20°,ZA=-ZA2=10O223故答案为40°；20°；10°.2VZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBC・・・NABC和NACD的角平分线交于点ZA=m011AZAiCD=-ZACD,ZAiBC=-ZABC22AZAi=ZAiCD-ZAiBC11=-ZACD--ZABC22=-ZACD-ZABC21二一ZA2—________O\2j1同理可证:NA2=一NAi二212NA3=—NA2=、m22015故答案为:••NA2015二【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出NAL/A,并依此找出规律.
24.如图，在△ABC中，NA=60，BD、CD分别平分NABC、ZACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,BF、CF分别平分NEBC、ZECQ,则NF=.【答案】15【分析】先由BD、CD分别平分NABC、NACB得至l」NDBC=/ABC,ZDCB=—ZACB,在△ABC中根据三角22形内角和定理得NDBC+NDCB=ZABC+ZACB=—180°-ZA=60，则根据平角定理得到22ZMBC+ZNCB=300°；再由BE、CE分别平分NMBC、NBCN得N5+N6=/MBC,Zl=—ZNCB,两22式相加得到N5+N6+N1=,NNCB+NNCB=150,在^BCE中，根据三角形内角和定理可计算出NE=30；2再由BF、CF分别平分NEBC、NECQ得到N5=N6,N2=/3+N4,根据三角形外角性质得到N3+N4=N5+NF,N2+N3+N4=N5+N6+NE,利用等量代换得至l」N2=N5+NF,2N2=2N5+NE,再进行等量代换可得到NF=]ZE.2【详解】解TBD、CD分别平分NABC、ZACB,NA=60，AZDBC=—ZABC,ZDCB=—ZACB,
22.•.ZDBC+ZDCB=—ZABC+ZACB=—180°-ZA=—x180°-60°=60，222ZMBC+ZNCB=360°-60°=300°,〈BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,.Z5+Z6=—ZMBC,Zl=—ZNCB,22/.Z5+Z6+Z1=—ZNCB+ZNCB=150°,2AZE=180o-Z5+Z6+Z1=180°-150°=30°,VBF.CF分别平分NEBC、ZECQ,AZ5=Z6,Z2=Z3+Z4,•.*N3+N4=N5+NF,N2+N3+N4=N5+N6+NE,即N2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,A2ZF=ZE,AZF=—ZE=—x30°=15°.22故答案为
15.【点睛】本题考查了三角形内角和定理三角形内角和是180,也考查了三角形外角性质.
二、解答题
5.1如图1所示，BD,CD分别是△ABC的内角NABC,NACB的平分线，试说明ZD=90°+—ZA.22探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由
①如图2所示，BD,CD分别是△ABC两个外角NEBC和NFCB的平分线，试探究NA与ND之间的等量关系；
②如图3所示，BD,CD分别是△ABC一个内角NABC和一个外角NACE的平分线，试探究NA与ND之间的等量关系.【答案】1证明见解析；2
①NA=180-2ND,理由见解析；
②NA=2ND,理由见解析【分析】⑴首先利用角平分线性质得出NDBC=4NABC,NDCB=!NACB,再利用三角形内角和定理得出22NA+NABC+NACB=180以及NDBC+NDCB+ND=180，据此进一步加以变形求证即可；2
①首先理由角平分线性质得出NEBO2NDBC,ZFCB=2ZDCB,然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出NA-2NDBC+NDCB=-180，据此进一步加以分析证明即可；
②利用三角形外角性质可知NDCE=NDBC+ND,然后再利用角平分线性质得出2NDBC=NABC,2NDCE=NACE,最后再结合NA+NABC=NACE进一步证明即可.【详解】1VBD,CD分别是NABC,NACB的平分线，・•・ZDBC=—ZABC,ZDCB=—ZACB,22NA+NABC+NACB=180，I.Z ABC+Z ACB=180°-Z A,又:Z DBC+Z DCB+Z D=180°,Z D=180°-Z DBC+Z DCB=180°-^-ZABC+ZACB=180°-^-180°-ZA=180°-90°+—ZA2=90°+—ZA,2即ZD=90°4--ZA；22
①NA=180-2ND,理由如下VBD,CD分别是NEBC和NFCB的平分线，•・・NEBC=2NDBC,NFCB=2NDCB,•・•Z A+Z ABC+Z ACB=180°,N ABC=180°-NA+N ACB厂1800-2ZDBC,Z ACB=180°-ZA+Z ABC=180°-2Z DCB,ZA+180°-2ZDBC+180°-2ZDCB=180°,ZA-2ZDBC+ZDCB=-180°,又「ZDBC+ZDCB+ZD=180°,J ZDBC+ZDCB=180°-ZD,J NA-2NDBC+NDCB尸Z A-2l80°-Z D=-180°,即ZA-360°+2ZD=-180°,.e.2ZD=180°-ZA,即ZA=180O-2ZD；
②NA=2ND,理由如下•/ZDCE是^ABC的一个外角,・・・NDCE=NDBC+ND,VBD,CD分别是NABC和NACE的平分线，A2ZDBC=ZABC,2ZDCE=ZACE,丁/A+NABC=NACE,NA+2NDBC=2NDCE,NA+2NDBO2NDBC+2ND,AZA=2ZD.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
6.在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍n为大于1的正整数，则称△ABC为n倍角三角形.例如，在△ABC中，ZA=80°,ZB=75°,ZC=25°,可知NB=3NC,所以△ABC为3倍角三角形.1在AABC中，ZA=80°,NB=60，则4ABC为倍角三角形；2若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为a,请直接写出a的取值范围为.3如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点，点A在射线0P上运动点A不与点0重合，点B在射线0M上运动点B不与点重合.延长BA至G,已知NBA、NOAG的角平分线与NBOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,若△AEF为4倍角三角形，求NABO的度数.【答案】12；2°a30°；345或36【分析】1由NA=80，ZB=60°,可求NC的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，221DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，3首先证明NEAF=90，分两种情形分别求出即可.【详解】解:1VZA=80°,ZB=60°,・・・NC=180-ZA-ZB=40°,・・・NA=2NC,・二△ABC为2倍角三角形，故答案为:2；2;最小内角为a,，3倍角为3a,由题意可得3a90°,且180-4aV900,工最小内角的取值范围是Va
30.故答案为a
30.3TAE平分NBAO,AF平分NAOG,AZEAB=ZEAO,ZOAF=ZFAG,A ZEAF=ZEAO+ZOAF=—ZBAO+ZOAG=90°,2•••△EAF是4倍角三角形，1-1/.ZE=-x90o^-x90°,45TAE平分NBAO,OE平分NBOQ,.ZE=—ZABO,2AZABO=2ZE,，NABO=45或36°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键.
7.在△ABC中，已知NA=a.1如图1,ZABC.NAC3的平分线相交于点D求NBOC的大小用含a的代数式表示；2如图2,若NA3C的平分线与NACE的平分线交于点孔求NBAS的大小用含a的代数式表示；3在2的条件下，将△E5C以直线5c为对称轴翻折得到△G3C,NGBC的平分线与NGC5的平分线交于点M如图3,求的度数用含a的代数式表示.X Xa【答案】1ZB£C=90°+—；2ZBFC=—；3ZBMC=90°+—.224【分析】1由三角形内角和可求NA8C+NACB=180-a,由角平分线的性质可求NQ5C+N3CO=2XZABC+ZACB=90°--,由三角形的内角和定理可求解；22由角平分线的性质可得/Age,ZFCE=-ZACE由三角形的外角性质可求解;2293由折叠的性质可得NG=N3RS=色，方法同1可求/8加=90+空，即可求解.22【详解】解1V ZA=a,:・ZABC+ZACB=180°-a,•••3平分NA5C,CO平分NA6，ZDBC=—ZABC,ZBCD=—ZACB,221a.ZDBC+ZBCD=—ZABC+ZACB=90°——，22a/.ZBDC=180°-/DBC+NBCD=90+一；22的平分线与NACE的平分线交于点孔J ZFBC=—/ABC,ZFCE=—NACE,229ZACE=ZA+ZABC,ZFCE=ZBFC+ZFBC,1a.ZBFC=—ZA=—；223・・・NG3C的平分线与NGC8的平分线交于点/G，方法同1可得/8加=90+——，2:将△FBC以直线为对称轴翻折得到△GBC,a:./G=/BFC=一，2a.ZBMC=90°+—.4【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.
8.如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，ZAOB=90°,斜边A3与y轴交于点C1若NA=NAOC,求证ZB=/BOC；。
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