模型18 双A字形相似模型

专题双字形相似模型18A

一、单选题k

1.如图，△ABO的顶点A在函数y=—x0的图象上，乙43=90，过A边的三等分点M、N分别工作x轴的平行线交A3于点尸、Q.若△ANQ的面积为1,则k的值为A.9B.12C.15D.18【答案】D【分析】易证△ANQs^AMPs/SAOB,由相似三角形的性质面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出AAOB的面积，则k的值也可求出.【详解】解・.・NQ〃MP〃OB,，△ANQs△AMPs△AOB,VM.N是OA的三等分点，AN1AN1•_____•而—5茄一院•.S ANQ1,S―4•°AMP3••・四边形MNQP的面积为3,.S般=13+S Q4ANANQ—19••SA・.1/ANJI〔s.9，AGJ/.SA AOB=9,.\k=2SAAOB=18,故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出是解题的关键.SAANQ=

12.如图，ZkABC中，AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是BE_BF在工5石厂和84中，\BA~BC,/B=/B~.BAC，EF BF1•_■,AC-BC-3即£/=」AC；32如图，过点作QAf JLA3于点M,作N_L5C于点N,「四边形ABCD是矩形，/.ZB=90°,即A3J_BC,:.OM//BC,ON//AB,,点O是AC的中点，/.OMON是，A/C的两条中位线，:.OM=-BC,ON=-AB,33设BE=a,BF=b,则45=2,43=3氏尸=245=30河=—咖=—,

22.・S BE-BF=—ahRFF=—9BEF2213S—A石,OA/=—ah,“九22A F=13S=—CF・ON=—ab,°卜22即.O石厂与AABC的面积比2:

9.【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题2,通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键.A/7AP

10.如图，在A4BC中，点2方分别在A氏AC上，且——=——.AF ACn-c1-2AA8c-s-sEs1求证MEF AABC；EG FG

（2）若点在BC上，AD与EF交于点G,求证:而一而【答案】

（1）见解析；

（2）见解析【分析】

（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；

（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF//BC,于是可得^AEG^AABD,△AGF^/\ADC,再根据相似三角形的性质即可推出结论.【详解】解

（1）在和△ABC中,•:/EAF=/BAC,2VAAEF^AABC,J/AEF=/ABC,C.EF//BC,:・AAEGs/\ABD,△AGWZXADC,EG AGFG AG■_••茄一茄而一茄’.EG FG…法一而【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

11.陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录.小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度.阳光明媚的一天，小华站在点处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39，然后着DM方向走了19米到达点尸处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高米，测得尸G=3米，测倾器的高度米，已知CDA.BG,EFLBG.请你根据以上信息，计算银杏树A3的高度.（参考数据，，）【答案】米【分析】由题意过C作CHLAB于N,则四边形BDCN是矩形，根据矩形的性质得到CN=BD,BN=CD=

0.8,设BD=CN=x,贝ljBG=22+x,根据三角函数的定义得到AN=CN・tan390=

0.8x,求得AB=O.8x+

0.8,根据相似三角形的性质求出x,即可得到结果.【详解】解过C作CHLAB于N,如图所示则四边形BDCN是矩形，ACN=BD,BN=CD=O.8,设BD=CN=x,则BG=BD+DF+FG=x+19+3=22+x,・••小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°,.\ZACN=39°,在RSACN中，AN=CNtan39°=

0.8x,，AB=AN+BN=O.8x+

0.8,VAB1BG,EF±BG,，EF〃AB,.•.△EFG^AABG,EF FG

1.73•___=______即_____________=________…AB BG，、

0.8x+

0.822+J解得x=50,A AB=

0.8x50+

0.8=（米）.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.如图，矩形Q45C中，O为原点，点A在y轴上，点在元轴上，点3的坐标为（4,3）,抛物线39y=—厂+bx+c与V轴交于点A,与直线AB交于点与工轴交于C,石两点.8

（1）求抛物线的表达式；

（2）点从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点3运动，与此同时，点从点A出发，在线段AC上以每秒*个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP、DQ.PQ,设运动时间为/（秒）.

①当/为何值时，A得面积最小？

②是否存在某一时刻，，使ADP为直角三角形？若存在，直接写出/的值；若不存在，请说明理由.・心电32|3勺3x-x3172417—J145【答案】

（1）y=一二工+:工+3；

（2）

①t—

②/■=一r=3,右=——,〃=——,4=------------------------8421223*61756【分析】1根据点B的坐标可得出点A,C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b,c的值，求得抛物线的解析式；2

①过点、P作QRLAB、PG±AC,垂足分别为尸、G,推出△必△CGP^ACBA,用含t的式子表示OF,PG,将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；

②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可.【详解】解1由题意知40,304,0,•・•抛物线经过A、8两点，73b=—3一八，解得，v4,——xl6+4Z+c=0c=31833••抛物线的表达式为y——x2—x+

3.H842

①・・•四边形ABCO是矩形,.ZB=90°,・・・ACC=A82+8C2=5；33由—H—x+3—3,可得X]=0,%=2,.,.£）（2,3）.84一过点、P作_LA

3、PG1AC,垂足分别为尸、G,•ZFAQ=ZBAC,ZQFA=ZCBA,:•丛QFAs丛CBA..AQ QFACBC.QF=^-BC=-t-=tAC35AB AB AB同理△CGPs^CBA,3

②由图像可知点D的坐标为2,3,AC=5,直线AC的解析式为y=--x+

3.4三角形直角的位置不确定，需分情况讨论当/DPG=90时，根据勾股定理可得出整理，解方程即可得解；5Y=（4-2）2+（%—+3+-t-3\4J当/DGP=90时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为匚3；当ZPDG=90°时，同理用勾股定理得出f5y+（4-2）2+（-3）2；+3+-t-3\4J整理求解可得t的值.由此可得出t的值为4=—,12=3,4=-^，14=-----------^5=~~------■2-61756【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键.

13.1如图1,在△ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE〃BC,AQ交DE于点P,求、DP_EP；证BQ-CQ2如图，在△ABC中，NBAC=90，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.

①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长；

②如图3,求证MN2=DM・EN.【答案】1证明见解析；2

①叵;

②证明见解析.9【分析】DP_EPBQ CQ

（1）易证明△ADPs^ABQ,A ACQ^AADP,从而得出V22

①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高根据△ADEs/iABC,求出正方2形DEFG的边长YZ.从而，由△AMNs/iAGF和△AMN的MN边上高YZ,△AGF的GF边上高1,362GF=—,根据MNGF等于高之比即可求出MN；3

②可得出^BGD^AEFC,则DG・EF=CF・BG；又DG=GF=EF,得GF2=CF*BG,再根据

（1）BG GFCF从而得出结论.【详解】解

（1）在^ABQ^HA ADP中,VDP^BQ,AAADP^AABQ,DP AP••丽EP AP同理在△ACQ和△APE中，・DP PE^~BQ=QC；

（2）

①作AQLBC于点Q.•・・BC边上的高AQ=1,2•DE=DG=GF=EF=BG=CFADEBC=1AADAB=13,立又・・・DE〃BC〈DE边上的高为正，MNGF=-叵,6621-3DE=3MN乎噜字・•・MN二—.9故答案为叵.9

②证明・・・NB+NC=9ONCEF+NC=90，・・・NB=NCEF,又・.・NBGD=NEFC,AABGD^AEFC,.DG BG.■---=,CF EF・••DG・EF=CF・BG,又・・・DG二GF=EF,DM MN_EN由1得~BG~GF~~FC.*.GF2=CFBG,MN MNDM EN■•声胡一记石・MN.DM EN\-----Y=-,GF BGCFVGF2=CFBG,AMN2=DM*EN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大.

14.矩形ABC中，AB=8,4=

12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为QRAp1如图

①，若点P恰好在边3C上，连接AP,求——的值；DE2如图

②，若£是AB的中点，£尸的延长线交于点「求8尸的长.2【答案】12BF=

3.3【分析】1如图

①中，取DE的中点M,连接PM.证明△POMS/SDCP,利用相似三角形的性质求解即可.2如图

②中，过点P作GH〃BC交AB于G,交CD于H.设EG=x,则BG=4-x.证明△EGPs/iPHD,]EG PGEP推出——=——二——=一，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtA PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得3x PHDHPD32+4+x2=122,求出X,再证明△EGPs^EBF,利用相似三角形的性质求解即可.【详解】解1如图

①中，取DE的中点M,连接PM.•••四边形ABCD是矩形，.•.ZBAD=ZC=90°,由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,在RSEPD中，VEM=MD,・・・PM=EM=DM,，N3=NMPD,AZ1=Z34-ZMPD=2Z3,VZADP=2Z3,AZ1=ZADP,VAD#BC,，NADP=NDPC,AZ1=ZDPC,VZMOP=ZC=90°,AAPOM^ADCP,.PO_CD_8_

2.AO_IPO_2^~DE~2PM-3,2如图

②中，过点P作GH〃BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-xVZA=ZEPD=90°,ZEGP=ZDHP=90°,A ZEPG+ZDPH=90°,NDPH+NPDH=90，.\ZEPG=ZPDH,.•.△EGP^APHD,•EG PGEP_4_1^~PH~~DH~~PD~12~3^，PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在RM PHD中，•PH23+DH2=PD2,3x2+4+x占122,iA解得x=一负值已经舍弃，164・・・BG=4——=-,55在Rt/kEGP中，GP=VEP2-EG2=—,VGH^BC,.•.△EGP^AEBF,EG GP■••二,EB BF1612・・・，5=_Z_4-BF ABF=

3.【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

15.如图，在放AABC中，ZACB=90°,4L4C=60，AC=6,AD平分NBAC,交边于点,过点作C4的平行线，交边于点£.1求线段的长；EF2取线段AD的中点M,联结交线段于点/，延长线段交边AC于点G,求——的值.DF【答案】14；2-【分析】1分别求出CD,BC,BD,证明3c4,根据相似性质即可求解；2先证明b=AG,再证明根据相似三角形性质求解即可.【详解】解1・・・/1平分/胡，4c=60，A ZDAC=30°.在mAACD中，ZACD=9Q°,ZZMC=30°,AC=6,，CD=

26.在放AACB中，ZACB=90°,ZE4C=60°,AC=6,A BC=

673.，=-=BBD BCCD ADEUCA,:..BDE BCASLDE BD2■**CA-BC-3，QE=

4.2;点M是线段AO的中点，=•/DEUCA,ADFM^AAGM.DF DM而一而.・•.DF=AG.•/DEUCA,••・ABEFs4BAG.EF BE_BD_

2.EF2「而一才【点睛】本题考查了含30角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题.

16.如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径的交BC于点，交A5于点£,过点作_LAB,垂足为尸，连接1求证直线方与相切；2若A£=7,BC=6,求AC的长.【答案】1证明见解析；

29.【分析】1连接OD,利用A5=AC,OD=OC,证得OD〃AO,易证J_QD,故尸为0的切线；2证得此五必凶!，求得BE,利用AC=AB=AE+BE求得答案即可.【详解】正方形.若DE=2cm,则AC的长为A.36cm B.4cm C.26cm D.

2、/^cm【答案】D【解析】丁点D、E分别是边AB、AC的中点，ADE=—BC,VDE=2cm,ABC=4cm,2VAB=AC,四边形DEFG是正方形.A ABDG^ACEF,ABG=CF=1,:.EC=5・・.AC=2占cm.故选D.

3.如图，在△ABC中，点在3C边上，连接AD点G在线段上，GE//BD,且交45于点E,GF//AC,且交CO于点孔则下列结论一定正确的是AB AG.AE ADDF DGA=B.=CF ADFG EGC.——二——ACBD AECF D.----------=-------BE DF【答案】D【分析】根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案.【详解】•/GEHBD AAAEG^AABD.AE AG.ADFG〜ADC A，A错误，•••GFIIAC,DF DG•■—,CF AG•♦•B错误，•/ADFG〜ADC A,AAEG〜AABD,证明连接0D.9AB=AC,:./B=/C,9OD=OC,./ODC=/C,./ODC=/B,.OD//AB,9DF±AB,.OD±DF,•••点在上，，直线产与相切；2解・••四边形ACDE是的内接四边形，，ZAED+ZAC£=180°,•ZAED+ZBE£=180°,:.ZBED=ZACD9:•△BEDs^BCA,.BD_BE~BCV OD//AB,AO=CO,.BD=CD=-BC=329又,AE=L3BE••一,7+BE

6.BE=2,.AC=AB=AE+BE=7+2=

9.【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可.

17.如图，在△ABC中，AB=4近，Z5=45°,ZC=60°.1求8C边上的高线长.2点£为线段AB的中点，点尸在边AC上，连结沿打将打折叠得到△££

①如图2,当点尸落在3C上时，求NA的度数.

②如图3,连结AP,当PFJ_AC时，求AP的长.【答案】14;2

①90；

②2【分析】1如图1中，过点A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出AD即可.2

①证明BE=EP,可得NEPB=NB=45解决问题.4°

②如图3中，由1可知AC==迪,证明^AEFsaACB,推出”二艾，由此求出AF sin60°3AB AC即可解决问题.【详解】解1如图1,过点A作AD_LBC于点，B在RtZk45中，AD=AB.sin45°=4V2x—=

4.22

①如图2,V AAEF^APEF,.AE=EP,又＜AE=BE,:,BE=EP,・NEPB=/B=45,.ZAEP=90°.

②如图3,由1可知在RSADC中，AC=22_=®^.sin6003VPF1AC,AZ PM=90°.A ZAFE=ZPFE=45°,则NA/E=NA又•/EAF=NCAB,.•.△EAF^ACAB,AF AEAF-^―HII..------=---------,即—F==873，AB AC472吆「・人/=273,在RtZkAbP中，AF=PF,则AP=JL4/=2新.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、填空题

18.如图，2是AABC内一点，过点分别作直线平行于AA5C各边，形成三个小三角形面积分别为E=3,S2=12,邑=27,则5AABC【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可.【详解】解过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E,过P作AB的平行线交AB于点I、G,过P作AC的平行线交AC于点F、H,VDE//BC,IG//AB,FH//AC,・••四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，△FDP^AIPE^APGH^△ABC,S]=3,S=12,S3=27,2AFPIEPH=123,A AIIEEO123,A AIIEECAB=1236,1,SA ABCSA FDP=36:

108./.SA ABC=36X3=故答案为

108.【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方.

19.已知，平行四边形ABCO中，点£是A5的中点，在直线AO上截取”=2FD,连接打，EF交AQAC于G,则——=.AC22【答案】一；一.57【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，1当点F在线段AD上时2点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比.【详解】解1点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H,VAB//CD,AAEAF^AHDF,A HDAE=DFAF=1:2,」即HD AE,2VAB//CD,AACHG^AAEG,A AGCG=AECH,VAB=CD=2AE,15CH=CD+DH=2AE+-AE=-AE,22AAGCG=25,A AGAG+CG=22+5,即AGAC=27；2点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H,VAB//CD,.,.△EAF^AHDF,A HDAE=DFAF=12,即HD=-AE,2VAB//CD,A AGCG=AECHVAB=CD=2AE,13・•・CH=CD-DH=2AE--AE=-AE,22A AGCG=23,A AGAG+CG=22+3,即AGAC=

25.

2、2故答案为m或【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序.

20.在平面直角坐标系中，已知A—3,4,-1,0,点是y轴正半轴上一动点，以AC为直角边构造直角ABC,另一直角边交元轴负半轴于点8,£为线段3C的中点，则£的最小值为.19【答案】—10【分析】根据AC为直角边可分NCAB=90和NACB=90两种情况进行讨论.【详解】•・•，ABC为直角三角形，AC为直角边，

①当NC4B=90时，VZA=90°,又/COB=9伊,•・A、、、3四点共圆，且8C为直径，•为中点，则E为圆心，连接AO,则49为圆的一条弦，••・圆心一定在AO的垂直平分线上，取AO中点尸，过方做直线则E的运动轨迹为直线FH,工当DEL FH时,石取得最小值，•••A—3,4,4/.AO的解析式为y=—1工，又丁/为A中点,「

3、.F—不2,I2J.0F=-92•/FH上AO,•k••^FH3•••FH的解析式可设为y=-x+b,-925代入/一二，2,得2=--+b,b=—32525令y=，得元=一•*FH的解析式为y=,25A.M——,0,16J・V,MD汽•DELFH,・•・DE//FO，.^MDE s^MOF，.DE_ND••而一荻’

19.笠_

2..5-252~6・八1951925210

②当NAC8=90时,B点交于不轴原点处不符合题意，故石的最小值为一，1019故答案为—.10【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键.

21.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CO的长为1米，继续往前走2米到达£处时，测得影子族的长为2米，已知王华的身高是米，那么路灯A的高度等于.【答案】【分析】GC CDHF FF设之间的距离为x米,根据题意可得ADGC^ADAB,AFHE^AFAB，即r=——，丁=——，AB BDAB BF代入数值解得x=2,进而求得AB,即可求得路灯的高度.【详解】如图，设3c之间的距离为X米，根据题意可得GC_LM,HEIBF

9.AB//CG//HEADGC^ADAB,AFHE^AFAB^.GC CDHE_EF••法―访

1.

511.52InI IjA.B x+1A,B2+2+工.1_2x+12+2+x解得x=2,经检验x=2是所列方程的解，.^=-解得AB=

4.5,9AB3经检验AB=

4.5是所列方程的解，故路灯的高为米.故答案为.【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键.

22.如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6,是45上一点，点E在上，连接CO,AE交于点若NCF£=45，BD=2AD，则石=.【答案】2【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG〃AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用^CDGs/XCBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用^BDG^ABAE,求出BE的长，最后得出答案.【详解】解过D作DH垂直AC于H点，过D作DG〃AE交BC于G点，在直角三角形ABC中，AC=BC=6,・••AB=^AC2+BC2=6五，又BD=2AD，・•AD=25/2，・••在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,・・・CH=6—2=4,在RJCHD中，CD=Jc772+D”2=2石,VAE^DG,・・・NCFE=NCDG=45，NB=45，AZCDG=ZB,又NDCG=/BCD,，△CDG^ACBD,CD CG■••一,CB CD:・C»=CG，CB，即20=6CG,10，CG二——，3108，BG=BC—CG=6——二一,33又DG〃AE,又BD=2AD,.BD_BG_2BA BE3又BG=§,

3.3/.BE=BGx—=4,2・・・CE=6—4=2,故答案为

2.【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

23.如图，在RA5c中，ZACB=90°,AC=BC=9cm，动点P从点A出发，沿45方向以每秒缶m的速度向终点3运动；同时，动点从点3出发沿5c方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿5C翻折，点P的对应点为点P,设点运动的时间为/秒，若四边形QPCP为菱形，则，的值为.【答案】3【分析】如图连接PP交BC于0,利用等腰直角三角形的性质得AB=JL1C=9底；设BQ=乙则PA=，9_/9+1可得PB=9及—，CQ=9-t,然后由菱形的性质得PP J_QCOQ=，OQ=--.BO=--,然后再利用P0//AC可得吆=理，最后得到关于t的方程并求解即可.BC BA【详解】解如图连接P P交BC于O,VZACB=90°,AC=BC=9cm,工AB=垃AC=9A/2又•・•设3=，，则24=.PB=96-w，CQ=9-t丁四边形QPCP为菱形PP±QC.OQ=OC9—%9+t.0Q=——,B0=——22*.•PO//AC叽竺，即出二述声，解得0BC BA29A/2故答案为

3.【点睛】本题考查了对称变换、菱形的性质和平行线分线段成比例定理，掌握、定理是解菱形的性质和平行线分线段成比例答本题的关键..FG DGEG AG.FG EG・・------------=1,AC BD・・・c错误，GEHBD,GFIIAC,.AE AG_CF~BE~^D~~DF，D正确，故选D.【点睛】本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键.

4.如图.在△ABC中，DE//BC,/B=/ACD,则图中相似三角形有（）A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.【详解】ZB=ZACD,ZA=ZA,.△ACDSAABC,,:DE〃BC,，AACZ）^AA£E,■:DE〃BC,.ZEDC=ZDCB,•:NB=/DCE,・4CDEs丛BCD,故共4对，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定.注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

5.如图，已知VAO石VA3c若AO:AB=1:3,VABC的面积为9,则上49后的面积为A.1B.2C.3D.9【答案】A【分析】s1y根据相似三角形的性质得出士也二-,代入求出即可.S I3JABC【详解】解VAADE^AABC,ADAB=13,si y•°ADE_3S k3JABC「△ABC的面积为9,.s_1ADE••—―，99ADE=1••SA9故选A.【点睛】

二、解答题

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A4,

0、B4,3,动点M、N分别从点

0、B同时出发，以1单位/秒的速度运动点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作M7/AB交AC于点P,连结MP.1直接写出OA、AB的长度；2试说明CPN〜CAB；33在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间才的函数关系式，并求出5=—时，运动时间2，的值.

3333.・.S=—47・一，【答案】104=4,48=3；2见解析；3S=—二/十二10V/V4,

2.82【分析】1根据点A、B的坐标即可得;2先根据平行线的性质可得NCPN=NC4氏NCNP=NCA4,再根据相似三角形的判定即可得；3先根据矩形的性质、线段的和差可得AM=CN=4-，,A3_LQ4,再根据相似三角形的性质可得PN CN33——二——，从而可得PN=3—-t,由此可得△MBA的AM边上的高为一t,然后利用三角形的面积公AB CB44式可得S与，的函数关系式，最后解一元二次方程可得1的值.【详解】1•・・14,0,54,3,・..OA=4=3；2•/NP//AB,J ZCPN=/CAB,ZCNP=NCBA,:・CPN〜CAB；3由题意得OM=BN=t,且0才4,则AM=Q4_QM=4_/,四边形OABC是矩形，・・.BC=OA=^AB±OA,.\CN=BC-BN=4-t,V CPN-CAB,PN CNPN47•••——=——,即——=---------------,AB CB343解得PN=3——t,4•/NP//AB,.\NP±OA,3\3的AM边上的高为3—3--t=-t9I4J43当3335=一时,2----1H—t2故/的值为

2.【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点AABC的顶点B、C的坐标分别为0,6,—2,

0.顶点A在不轴的正半轴上，AB=10,ZBAC=2ZCBO.1求AC的长度.2动点从A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，设的运动时间为f秒，MCD的面积为S,请用含，的式子表示S,并直接写出相应/的取值范围.3在2的条件下，在射线5上取一点尸，使BF=CD,过作G//BC交直线AB于点G,当NCBZ=45时，求，值和G点坐标.【答案】110；2

①0#t1时，S=30-3t；

②10时，S=3t-30；3当0#t10ABCD ABCD时，t=5,G5,3；当t10时，r=20,G-10,

12.【分析】1由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长；2分两种情况讨论当0#t10时或当t10时，根据三角形面积公式解题即可；3分两种情况讨论，当0#t1时，作作A/JL5C,交DG于N,交BC于M,由等腰三角形三线合一的性质，解得/NAD=NCBO,进而证明「COB*DNA,根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m,解得AD=，OD=8-VlOni，当/CBD=45时根据勾股定理解得BH、DH的长，在Rt BOD中，由勾股定理得32=082+02,即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由ADG ACB,结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当10时，方法同上.【详解】1在尺tAAQB中2由于D在x轴上，故MCD以CD为底边，高h=0B=6

①当0#t1时，CD=ACAD=m,S”后创

610.r=30-3t;

②当E时，CD=AA-e制r-W=3t-30;3如图当0#t10时，作交DG于N,交BC于M,・・・/BAM=/MAC.又，/BAC=2/CBO设DN二m,则AD二9mOD=8-VWm，当/CBD=45时.=2出，同理ZH=DN=V^mBH=6BM在戊BOD中，BD2=OB2+OD2即2逐+V2m2=6+8—Ji金72解得rriy-m—~~~2A/10,2・・.AD=V10m=20舍去或AD=5当t10时，如图作AMJ_3C,交DG于N,交BC于M,.\ZBAM=ZMAC.又・ABAC=2ZCBO设DN=m,则AD=MmOD=VlOm-8，当NCBD=45时=2小，同理OH=ON=V^mBH=6BM在及BOD中，BD2=OB2+OD2即2逐+V2m2=6+VlOm-82解得叫=2\/10,m=2・・.AD=V10m=20或AD=5（舍去）综上所述，当0#t10时，t=5,G5,3；当t〉10时，，=20,G-10,

12.【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.

8.如图已知正方形DEFG的顶点D、£在4ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BO4,△ABC的BC边上的高是3,那么这个正方形的边长是___________.【答案】—7【分析】过点A作AMJ_BC于M,由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3,由正方形的性质和相似三角形的性质可得4@+些=空+变=i,即可求正方形的边长.AB AB43【详解】如图，过点A作AM_LBC于M,•/AABC的BC边上的高是3,••・AM=3,•••四边形DEFG是正方形，，GD=FG,GF//BC,GD//AM,AAAGF^AABC,△BGD^ABAM,.AG GFBG_DG••瓦一法’AG BGGF GF,ABAB4312GF=——.7故答案为一.7【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键.

9.（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.（定理证明）请根据教材内容，结合图

①，写出证明过程.（定理应用）如图

②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCO的对角线，点E在边A8上，且=点产在边C3上，CF=2BF.为AC的中点，连结£/、£、OF.

（1）E/与AC的数量关系为.

（2）OEF与.ABC的面积比为.【答案】【定理证明】证明见解析:【定理应用】

（1）EF与AC的数量关系为AC；

（2）OEF与，ABC3的面积比为2:

9.【分析】DF AD1定理证明先根据相似三角形的判定与性质可得——=——=—,/ADE=/ABC,再根据平行线的判定BC AB2即可得证；BE BF1定理应用

（1）先根据线段的比例关系可得——=——=-,再根据相似三角形的判定与性质即可得；BA BC3

（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得设BE=a,BF=b,再根22据三角形的面积公式分别求出.OEF与.46c的面积，由此即可得出答案.【详解】定理证明丁点D、E分别是AB、AC的中点，AE AD1•—_,,而一下—5AE AD_1在..AD石和，ABC中，\AC~AB~29ZA=ZA...,ADE^ABC9An iDE=——=-,ZADE=ZABC9~BC AB2/.DEI IBC,且DE」BC；2定理应用1AE=2BE,CF=2BF,2V74BE_BF33即5=——ri23+-zor4,82。