模型19 双X形相似模型

专题双形相似模型19X

一、单选题

1.如图，在△ABC中，AB=15cm,AC=12cm,是NA4C的外角平分线，交AC的延长线于点A.32B.24C.48D.64E,那么CE等于（）cm.【答案】C【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解.【详解】AZEAD=ZMAD,解标出字母，如图•・・DE〃AB交AC的延长线于点E,・\NEDA=NMAD,NBAC=NCED,A ZEAD=ZEDA,・・・ED=EA,・••在三角形ABC与三角形CED中,•••在4ABC中，AD是NBAC的外角平分线,NBAONCED,NBCA=NECD,AAABC^ACED,AB AC・■一,DE CEAB=15cm,AC=12cm,•••△A，DG^AB34567CG,4AG.^~;~~7B CB G・2x—24—BG BG，.Bf G=42-x,•••两边重叠部分的面积为3,—[2-x+4-x]X4--4-2x8-4x=322此方程无实数根，故这种情况不存在；如图2,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A B EF,设BE=x,贝!jAF=A F=B E=x,;两边重叠部分的面积为3,AB,E，A‘B=4x=3,3解得:x=—,43ABE=-；如图3,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为ACEG,设BE=x,则AF=A F=B E=x,，DF=x-2,CE=4-x,•「DF〃CE,.•.△DFG^ACEG,.DF FG^~CE~~EGx—24-EG••一,4—x EGAEG=24-x,•・•两边重叠部分的面积为3,—X24-x4-x=3,2解得x=4-或x=4+g不合题意舍去，3综上所述，BE的长为1或4-0，故选A.【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键.

7.如图，AABC中，ZACB=90°,AB=12,点D,E分别是边AB,BC的中点，CD与AE交于点O,则0D的长是A.B.C.2D.【答案】C【分析】根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD的长，根据中位线的性质，得到DE〃AC,求得△AOCSEOD,根据三角形相似的性质求出OD和OC的关系，进而得出OD和CD的关系，然后即可求解.【详解】解:△ABC为直角三角形，D点为AB的中点,••・CD=-AB=62•・・D和E点分别为AB,BC的中点，A DEAC,DE=-AC2AAAOC^AEOD,OP DEXOC~AC~2,故选C.【点睛】本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质，能够利用平行线判定两三角形相似.

8.如图，已知00的内接ZVLBC中，AB+AC=12,于AD=3,直径AE交边于点G,有下列四个结论

①AG・EG=BG CG；

②BE=EG・AE；

③当AB=6时，的面积取得最大值36不；

④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比.其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答.【详解】由相交弦定理得

①是正确的；由条件并不能得出石G与相似，故

②是错误的；由条件可证AAB石与AADC相似，从而可得AE・AD=A8・AC,进而可得的半径,19设A5=x,00的半径为y,则有y=——f+2x,6故当A3=6时，0的最大面积为36〃，故

③是正确的；由人石・4=45・4这一结论一般化，得

④是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，解题的关键是理解运用这些性质定理.

二、解答题

49.在放AABC中，ZACB=90°,AB=5,sin/CAB=—,是斜边AB上一点，过点4作A£J.CQ,垂足为£,的延长线交3c于点尸.1当tan/BCZ=」时求线段8月的长；22当3b=*时，求线段AO的长.4539【答案】1BF=-；2AZ二—或AD=一.224【分析】1先求出AC,BC的长，证出NCAF=NBCD,再得到NCAF和NBCD的三角函数值都与NBCD的三角函数值相等，进一步得到BF的长；2分两种情况

①当点F在线段BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG的长，再由平行得到4ACD和4BDG相似从而得到相似比，得出方程求出AD的长；

②当点F在CB的延长线上时，方法可参照

①.【详解】4解1在AABC中，NACB=90，AB=5,sin/CAB二一，5，BC=4,AC=3,VAE±CD,ZACB=90°,.\ZBCD+ZAFC=90°,ZAFC+ZCAF=90°,AZCAF=ZBCD1tan ZC AF=tan Z BCD=—,2又・・・NACB=90,AC=3,35・・・CF=一,BF=一；222

①如图1中，当点F在线段BC上时，过点B作BG//AC,交CD延长线于点G,VtanZCAF=tanZBCD,CF BG4-BF BG1Ir,KP-----------=------・-------------二---------------AC BC3BC11・・・BG=—3VBG//AC,JNACD=NG,NCAD=NDBG,.-.△BGD^AACDBG BD BG5-ADNH\——=——,即——=----------------------AC AD3AD

②如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG//AC,交CD延长线于点G,V tanZC AF=tanZBCD,CF BG4+BF BGu\--------=--------,即--------------=--------AC BC3BC，BG=7,VBG//AC,AZACD=ZG,ZCAD=ZDBG,AABGD^AACDBG BDBG5-ADNH.----=-------，即--------=--------------AC AD3AD3，AD=-.2【点睛】本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题.

10.如图

①，在AABC中，AC=BC,为AB边上的中线，CEHAB,线段OE交BC于点G.1若C£=CG=1,AB=4,求石的长；2如图

②，取A4BC外一点尸，连接A尸，BF,CF,DF,Cb与OE交于点“，若NAC3=90,AC=AF,BF A.CF,HF

①求的值;~DHDE IDF.

②求证CH=FH.HF_【答案】1述；2

①——的值为逝；

②见解析.DH【分析】1找到△CEG和△5DG相似，得到乌二空，又因为CO为等腰三角形A5C中A5边上的中线，计算BDBG出B、8G的长度，再使用勾股定理即可计算出DE的长度;2

①由题目中的信息可以得到推到出NDFB=/DHC；可以证明△股和△OHC全等,有尸二Q”，推算出〃尸=血”，从而计算出题目所求；2

②根据已知信息，设AC=BC=a,根据勾股定理可以计算出==J5AC，AD=-AB=^a^可以推导出△D4尸和△必5相似，有BF=JiDF；又因为△QEB和全等,22有CH=BF,DF=DH,由于HF=DH，从而可以证明题目所求.【详解】1•/CE//AB•MCEGsdBDG,.CE_CG~BD~~BG;在等腰三角形ABC中，AC=BC,CO为AB边上的中线，A BD=-AB=2,CDLAB2・BD=CD,•・•在△尸5和△QHC中，/DFB=ZDHC./FDB=ZHDC,BD=CD v.ADFBq ADHCA4S,DF=DH,ZEDF=90°,HF.HF=4iDH，即二y的值为血；DH

②・・•△ABC是等腰直角三角形，CO为AB边上的中线，设AC=5C=a,•,AB=5/AC2+BC2=/27=yf^AC，AZ=—AB=乙乙.AD AC.AD_AF42••・AC=AF,9ZDAF=ZFAB,:.XDAFSXFAB,.DF_AF=6即BF DF，**BF-AB-V9^~H~~TXC B■:丛DFB空丛DHC,；・CH=BF,DF=DH,；•:=6HF DH.CH=FH.【点睛】本题主要考查了相似三角形及性质、全等三角形、勾股定理的综合运用，熟练掌握和灵活应用以上内容的相关定义及性质是我们解题的关键；其中根据不同的条件灵活使用以上知识点，得出我们所需，能够更有效的解题.

11.如图，在矩形A3C中，AB=2,AQ=

4.点E,尸分别在AO,3C上，点A与点关于£尸所在的直线对称，尸是边上的一动点.1连接AF CE,求证四边形ARSE是菱形；DP2当APEb的周长最小时，求——的值.CP3【答案】1见解析；2-【分析】1连接AF,CE,AC交EF于点0,由“AAS”证明△AEO04CFO,可得四边形AFCE是平行四边形，再结合ACLEF,可证得结论；2作点F关于CD的对称点H,连接EH,交CD于点P,此时2PEF的周长最小，由AD〃BC,可得△DEP-ACHP,由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案.【详解】解1证明如图，连接AF,CE,AC交EF于点・••四边形ABCD是矩形.\AB=CD,AD=BC,AD〃BCAZAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO・••点A与点C关于EF所在的直线对称A AO=CO,AC±EFVZAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO,AO=COAAAEO^ACFO AAS，AE=CF,且AE〃CF・•・四边形AFCE是平行四边形，又・.・ACJLEF・••四边形AFCE是菱形；2如图，作点F关于CD的对称点H,连接EH,交CD于点P,此时^PEF的周长最小丁四边形AFCE是菱形AAF=CF=CE=AEVAF2=BF2+AB2AAF2=4-AF2+45AAF=-2VAD^BCAADEP^ACHPDP DE3•__DP3答当^PEF的周长最小时，——的值为一.CP5【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

12.如图1,在矩形ABCO中，04=8,0C=6,D,£分别是AB,8C上一点，AD=2,CE=3,0E与CD相交于点F.1求证:OE.LCD；设ED=15k,・・・CE=12k,J ED=15k=EA=EC+CA=12k+12,，3k=12,J k=4,，CE=12k=48cm,故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案.

2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分NDCB交BD于点F,且NABC=60，AB=2BC,连接0E,下列结论

①NACD=30；

②S平行四边形ABCD=AC・；

③OEAC=14；@S AOCF=2SAOEF.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得至UNABC=NADC=60°,ZBAD=120°,根据角平分线的定义得到NDCE=NBCE=60推出4CBE是等边三角形，证得NACB=90，求出NACD=NCAB=30，故

①正确;由ACJ_BC,得至S^ABCD二AC・BC,故

②正确;,根据三角形的中位线的性质得到OE=gBC,于是得到OEAC=2根据直角三角形的性质得到AC=J5BCV36,故

③错误;由三角形的中位线可得BC〃OE,可判断△OEFs^BCF,根据相似三角形的性质得到”=些=2,求得EF0E2如图2,点G是CQ的中点，延长0G交8C于“，求C的长.【答案】1见解析；2的长为

6.【分析】1根据四边形ABCO是矩形，可得0A=BC=8,0C=AB=6,根据勾股定理可得0E和CP的长，进而得EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OELCD；2在RdCBD中，CB=8,BD=AB-AD=6-2=4,根据勾股定理可得CD=4j^,根据点G是CD的中点,可得CG=DG=2逐，所以得点G是CP的三等分点，根据OA〃BC,对应边成比例即可求出CH的长.【详解】1•・•四边形ABC是矩形，.\6A=BC=8,0C=AB二6,在RtZkOCE中，CE=3,•••OE=7oc2+CE2=762+32=375，9AB//0C,AD//OC,且g|JAD PAOCPO2PA・••一,6PA+

8.••/YXR4+0A=12,・••在RtZkOPC中,006,•••CP-yjoc2+PO1=762+122=675，90A//BC,OP//CE,BP.CE_EF_CF■OP-OF-PF1・EF_CF_3OF-PF-12-4,13^5:・EF二一OE二^-,55CF=-CP=^~,55•.•（述盛羽=%）2+（）2=2+5555••W+CF2=CE1,•••△CEb是直角三角形，••・ZCFE=90°,，OELCD；

（2）在RtACBD中,CB=8,BD=AB-AD=6-2=4,根据勾股定理，得CD=y/cB2+BD2=V82+42=475，丁点G是CD的中点，:・CG;DG=2逐，由

（1）知CP*6:.DP=CP-CD二2逐,，点G是尸的三等分点，•OA〃BC,OP//CH,BPCH CG.——=，OP GP一CH1・••—,122A CW-

6.答C”的长为

6.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质.

13.已知矩形A8CO中，AB=6,3c=8,点P是线段A0上一点，连接CP,点E在对角线AC上不与点4C重合，/CPE=/ACB,PE的延长线与8C交于点足1如图1,当AP=2时，求C尸的长；2如图2,当时，求AP的长；3当△PFC是等腰三角形时，求AP的长.367【答案】1CF=—；2AP=-；3AP的长为

6.72【分析】CE CP1如图1,先根据勾股定理计算AC=10,PC=6Q,证明△CEPs/^cPA,得——=——,贝人计算，CP AC由平行线分线段成比例定理列比例式可得CF的长；2如图2,由1知CECA=CP2=CD2+DP2,即可求解;3分PF=PC、FOPC、FOFP三种情况，继续利用CE・CA=CP2=CD2+DP2,求解即可.【详解】1如图1,••,四边形A5CO是矩形，.ZB=ZD=9Q°,VAB=6,BC=8,•MC=2+82=10,□△PDC中，VAP=2,・PD=CD=6,•••PC=d6+d=6也,•:AD//BC,.ZDAC=ZACB,./CPE=NACB,:./DAC=/CPE,•/PCE=/PCA,:•XCEPs△CPN,.CE CPCE_6A/2H[ICP AC6A/210・•・CE=,.*.AE=10-=,9AP//CF,AP AE

22.8NI1\----=-----,即-----=—CF CECF

7.236・•・CF=—72如图2,■:AD//BC,PF1BC,:.±AD PF

9.ZAPE=9Q°,DC EP63tanZD/4C=8-4设EP=3x,AP=4x,贝ij AE=5x,BF=AP=4x,.CE=\O-5X P=8-4X,9由

（1）知CP2=CEMC,为△PC中，PC1=PD2+CD2,.PD2+CD2=CE・AC,•••62+（8-4x）2=10（10-5x）,7解得x=0（舍）或%=一,

87.\AP=4x=—；2

（3）分三种情况

①当尸尸=尸时,如图3,设AP=x,则尸=8-九，CF=2PD=16-2x,9AP//CF,.AP AEx AE・・-------=---------,K|J------------------=---------,CF CE16-2x CE16—x1016—2x CE（）1016—2x16—x由

（2）知用CE*CA=CP2=CD2+DP2,10016—2x、•・----------------=62+8-x2,WO,Ax2-32x4-156=0,x-6x-26=0,x=6或26舍,.AP=6；

②当FC=PC,如图4,连接ARJ ZCPE=ZCFP=ZAPE=ZACB=APAC,:・AE=EP,EF=CE,/AEF=/PEC,.SAS,.AF=PC=CF,设CF=AF=a,则BF=8-a,RtZXAB尸中，由勾股定理得62+8-〃2=a2解得a=—,425CF=CP=——,4设则PO=8-x,♦:CP2=CU+DP2,25Y・•・—=6+8—4，U J解得X=-----（舍）或-------；4425当犬=一时，AP=CP=CF=AF,且4・••四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；

③当FC=FP,如图5,与A重合，该情况不符合题意；综上AP的长为

6.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、三角函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会构建方程计算边的长，属于中考压轴题.

14.如图，是的直径，AB=4,NABC=30，点是CO上不与点A，B重合的点.

（1）请判断AAOC的形状，并证明你的结论；

（2）利用尺规作NACB的平分线CO,交AB于点E，交于点连接BD;（保留作图痕迹，不写作法）

①求弧AD的长度；

②求AAGE与ABDE的面积比.【答案】

（1）等边三角形，证明见解析

（2）作图见解析；

①）；

②1:2【分析】

（1）运用圆的直径所对应的圆周角为直角的定理，求出/ACB=90，且根据题意可知/ABC=30，OB-OC,故NBCO=30，NACO的度数便可相减得出，故「AOC的形状便可判断出来；

（2）作图方式先以C为圆心，取合适的长度为半径，交CA、CB于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C点连线即为NACB的角平分线.

①因为画出了角平分线，所以NACD的度数便可求出，而NACD为我D的圆周角，NAOD是我D的圆心角，圆心角度数为圆周角度数的两倍，已知圆的直径和圆心角度数，则圆弧的长度即可求得；

②连接0D,作OFJ_BD,分别求出AC、BD的长度，证明△ACES/\DBE,两相似三角形的面积之比为边长之比的平方，即可求得答案.【详解】解

（1）4Aoe是等边三角形.证明TAB是的直径，圆的直径所对应的圆周角为直角，・•・2ACB=90°,又•・•NABC=30，且OB=OC,・•・ZBCO=30°・•・NACO=NACB-NBCO=90-30=60，又•••OC=OA,・•・©AOC是等边三角形.

（2）尺规作图如下图所示，先以C为圆心，取合适的长度为半径，交CA、CB于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C点连线即为NACB的角平分线.

①〈CD平分NACB,・•・ZACD=-ZACB」x90=45°,22・•・弧AD所对的圆心角为2NACD=2x45=90°,9001/.弧AD的长度=乃x ABx----------=〃x4x—=万.36004

②由

①得，点D是半圆ADB的中点,连接0D,过点作OFLBD,垂足为点F,•••△BOD是等腰直角三角形，AOBF也是等腰直角三角形,在RtAOBF中，BF=OF=—OB=—x-x AB=V2，222,BD=2BF=28，•・•同弧所对应圆周角相等,・•・NACE=NDBE,且对顶角相等,故NAEC=NDEB,・•・AACE^ADBE.【点睛】本题考查了圆周角概念的判析、圆的弧长的求法、尺规作图画角平分线、用相似三角形定理求两个三角形的面积之比，这里要注意的是，两个相似三角形的面积之比为边长之比的平方，这里的计算千万不能出错.

15.如图，A3是00的直径，半径垂足为直线/为的切线，A是切点，是4上一点，CD的延长线交直线/于点乱厂是8上一点，”的延长线交于点G,连接AC,AG,已知C的半径为3,CE=5,5BF-5AD=

4.1求AE的长；2求cosNCAG的值及CG的长.Vio【答案】1AE=2；2COS/CAG=lo-5【分析】1过点E作EHLOC,交0C的延长线于点H,证明四边形AOHE是矩形得到EH=OA=3,求得CH=VCE2-EH2=7V34-32=5»即可得到AE；2先证明△ADEs/xocD求得，，根据5BF—5A0=4求得BF=2,CF=+尸=回,连接BG,2证明△AFCs^GFB,得到才二，求得G/二士叵，即可得至IJCG=CF+GF=%叵，设CO延长线GF BF55交00于点N,连接GN,则NCNG=NCAG,在RtaCGN中，求得NG=—CG2=，即可得至U cosZCAG=cosZCNG=-二巫^.CN10【详解】1过点E作EH_LOC,交0C的延长线于点H,;直线/为的切线，A是切点，A0A1AE,V0C1AB,，ZEHO=ZOAE=ZAOH=90°,•••四边形AOHE是矩形，，EH=0A=3,AE=OH,VCE=V34,•*-CH=y/CE2-EH2=7V34-32=5,，AE=OH=CH-0C=2；2:ZOAE=ZAOC=90°,故

④正确.SAOCF=2SAOEF;【详解】解:四边形ABCD是平行四边形，AZABC=ZADC=60o,ZBCD=120°,VCE平分NBCD交AB于点E,J NDCE=NBCE=600「•△CBE是等边三角形，，BE=BC=CE,VAB=2BC,，AE=BC=CE,J ZACB=90°,・・・NACD=NCAB=30，故

①正确；VAC±BC,故

②正确，SOABCD=AC*BC,在RMACB中，NACB=90，NCAB=30,AAC=V3BC,VAO=OC,AE=BE,1・・.OF=—BC,2AOEAC=JL6；故

③错误；VAO=OC,AE=BE,，OC〃AE,AAADE^AOCD,・AD-AE-2^^OD~~OC~3•••5BF-5AD=4,，BF=2,AOF=1,，AF=4,CF=^OC2+OF2连接BG,VZACF=ZB,NAFONGFB,.•.△AFC^AGFB,.AF CF.4_Vio••———,GF2GF=^设CO延长线交于点N,连接GN,则NCNG=NCAG,在RtZSCGN中，ZCGN=90°,CN=6,CG=^^,NG3V101V10______—_x-=___CN5610I.cos ZCAG=cos ZCNG=•••=J2—2=平，NG CNCG【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.Q

16.如图，点B是反比例函数y=—x0图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A,C,x反比例函数y=x0的图象经过05的中点与AB,3C分别相交于点，E.连接£并x延长交工轴于点尸，点G与点0关于点C对称，连接B尸，BG.1填空k=；2求ABDF的面积；3求证四边形瓦/G为平行四边形.【答案】12233见解析【分析】8r4k1根据题意设点B的坐标为X,一,得出点M的坐标为一，一，代入反比例函数y=—x0,x2x x即可得出k；2连接OD,根据反比例函数系数k的性质可得=牛=1，S拄OB=9=4,可得S,BOD=4-1=3,22根据耳〃入4,可得点/到的距离等于点到距离，由此可得出答案;3设B乙，％，无，%，可得工屋%=8,x-y=2,根据%=%，可得4二4%，同理D D力-BE3铮”明曲—啜登”噎嚼V%=%，可得反F得出——=—,根据，G关于对称，可得OC=CG,G G=4CF,FG=3CF,可得BD=FG,CF1再根据〃歹G,即可证明BC/G是平行四边形.【详解】8解

（1）・••点8在丁=一上，XQ工设点B的坐标为（x,—）,x4二•OB中点M的坐标为（一，一）,2xk丁点M在反比例函数y=—（x0）,X.x4k——,——2，2x故答案为2；

（2）连接OD，则5岫0口一2一1O CF Gx・.|8|•S^OB=5=4，••・Swo=4-1=3，•.*OF//AB,・•・点F到AB的距离等于点0到AB距离,•C=S—Q•D；*UBDF~^\BDO~3设Z%o，%,乙.%=8,x-=2,D又＜丹=如，同理%=4%，BE3BD3••一夕一夕EC1AB4•/AB//BC，.AEBD^AECF,CF CE1••茄一靛一屋..PC AB4OC

4..=一,CF1，0,G关于对称，・•・OC=CG,.CG=4CF,・•・FG=CG-CF=4OF-CF=3CF,又•BD=3CF,.BD=FG,又•:BD//FG,是平行四边形.【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键.

17.已知用ABC中，ZACB=9Q°,ZCAB=30°（如图）.以线段AB为边向外作等边三角形49Q,点£是线段A3的中点，连接CE并延长交线段AO于点尸.

（1）求证四边形3CFD为平行四边形;

（2）连接CD,交AB于点M.111

②作MV_LAC,垂足为N,求证:---------------1二-----------------BC ADMN

①若AB=6,求3M的长;【答案】

（1）证明见解析；

（2）

①助0=2;

②证明见解析.【分析】

（1）先根据等边三角形的性质可得NB4Z）=NABD=NO=60，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得NCE3=NCB£=NA5C=60，然后根据平行线的判定可得CF7/3O,BC//FD,最后根据平行四边形的判定即可得证；

（2）

①先根据相似三角形的判定与性质可得也=二，再根据

（1）已求8C=」AB=，A，从而可AM AD22AM1得——=——=—,然后根据线段的和差即可得；AM AD2MN AN

②先根据平行线的判定可得BC//MN//DA,再根据相似二角形的判定与性质可得——=——BC ACMN_CN【详解】~DA~~CAMN MN/”=1,AC CA从而可得由此即可得证.------------------1BC DA1是等边三角形:・AD=AB=BD，ZBAD=ZABD=ZD=60°在Rt,ABC中,ZCAB=30°・•・ZABC=60°丁点E是线段AB的中点.CE=BE=AE=-AB2・•・BCE是等边三角形/.ZCEB=ZCBE=ZABC=60°,BC=CE・•・ZABD=/CEB=60°・•・CF//BD・•・BC//FD，四边形为平行四边形；2

①如图，连接CO,交AB于点M・ZBC//FD.BCM〜ADMBM BC■••莉一茄V BC=CE=-AB,AB=AD2BM BC1••莉―而—a•AB=BM+AM=

6.BM=-AB=2；3

②如图，作MN，AC,垂足为NV ZACB=9Q°,ACAD=ABAC+ABAD=30°+60°=90°,MN LAC.BC//MN//DA..AMN ABC,CMN〜CDAMN ANMN CN■___••沃―嬴~DA~~CA.MN MNAN CNAN+CN AC.,•BC DA-AC CA~AC~AC~111---------------------------/.1=.BC ADMN【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题2

②，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

318.如图，已知一次函数y=——x+6的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分NBAO,交不轴于点E.41直接写出点A和点B的坐标.2求直线AE的表达式.3过点B作BF_LAE于点F,过点F分别作FD//OA交AB于点D,FC//AB交丁轴于点C,判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积.【答案】1A0,6,B8,0；2y=-2x+6；3四边形ACFD是菱形,证明见解析;S四边形ACFD=20【分析】

3.1一次函数丁=X+6,令x=0求出y值，可得A点坐标，令y=0,求出x值，可得B点坐标，此题得解;2已知A,B点坐标，结合勾股定理可求出AB的长度，再利用角平分线的性质即可求出点E的坐标,根据点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的表达式；3过点B作BFJLAE于点F,过点F分别作FD//OA交AB于点D,FC//AB交丁轴于点C,连接CD交AF于点G,可得四边形ACFD是平行四边形，证明AD=DF,即可得到四边形ACFD是菱形，证明OA AEOE AE△AOE-ABFE,即可得到——=——,——二——,求得BF和EF,进而求得四边形ACFD的面积.BF BEEF BE【详解】31y=——x+64当x=0时，y=6，A0,63当y=0时、-—x+6=0解得x=8AB8,0AA0,6,B8,02过点E作EM_LAB于D・・・OA=6,OB=8,・・・AB=,32+仍2:10TAE平分NBAO,交x轴于点EOE=MEOAsin ZABO=—BEOE OA•3・・・0E=一BE5•・・0E+BE=0B=80E=3,BE=5工点E的坐标为3,0设直线AE的表达式为y=kx+b将A0,

6、E3,0代入y=kx+b二一2解得」人於[b=

6.直线AE的表达式为y=-2x+63过点B作BF^AE于点F,过点F分别作FD//OA交AB于点D,FC//AB交丁轴于点C,连接CD交AF于点GVFD//OA,FC//AB••・四边形ACFD是平行四边形AZCAF=ZAFDNCAF=NFAD••・NAFD=NFADAD=DF•••四边形ACFD是菱形VZAOE=ZBFE=90°,ZAEO=ZBEFAAAOE^ABFEOA AE•••茄一前*.•0E=3,0A=6・•・AE二y]o^+OE2=V62+32=

375.6375BF5・・・BF=2逐・••四边形ACFD是菱形ADG±AF,AG=GF.DG=^BF=45OE AE•~EF~~BE.3375EF5，EF二逐・••AF=AE+EF=375+逐=475S AFXDG=4氐居20四边形ACFD二故答案为四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，及利用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数与几何问题的结合，解题过程中应用了相似的判定及性质，菱形的判定及性质等知识点.

19.如图，在菱形ABCD中，NADE、NCDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对角线AC于点M,且NADE=ZCDF.，OE〃BC,AAOEF^ABCF,CF BC「・-----=--------=2EF OE._CF••SAOCFJ SAOEF—-2,EF二・SAOCF=2SAOEF;故

④正确.故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

3.如图，AB是半圆的直径，半径OCLAB于点0,点D是8c的中点，连接CD、0D.下列四个结论©AC//OD；

②CE=OE；

③△ODEs^ADO；

④NADONBOD.其中正确结论的序号是（）A.

①④B.

①②④C.

②③D.

①②③④【答案】A【分析】如图，利用圆周角定理得/1=/3,加上N1=N2,则N2=N3,于是可对

①进行判断；利用AC〃OD可判定△ACEs^DOE,则淙=无，再判定△AOC为等腰直角三角形得到AC=QOA=0OD,所以CE V20E,于是可对

②进行判断；利用圆周角定理得到二NCOD=2N1,则根据相似三角形的判定方法可对

③进行判断；利用圆周角定理可计算出NADC=45，而NBOD=45，则可对

④进行判断.【详解】解如图，丁点D是的中点，1求证CE=AF；2连接ME,若J=——，AF=2,求ME的长.BE CE【答案】1见解析22【分析】1通过已知条件，易证4ADF也ACDE,即可求得；2根据J=——，易求得BE和BF,根据已知条件可得J=——=——,证明aAMFs/SCMD,BE CEBE CE AFCD CM CE——=——=——，再证明AABC〜/kMEC,即可求出ME.AF AMBE【详解】解1;四边形45co是菱形，.AD=CD./DAF=/DCE,又,:/ADE=/CDF,.ZADE-ZEDF=ZCDF-/EDF,./ADF=/CDE,在△AQ尸和△CDE中，ZADF=ZCDFAD=CD,ZDAF=ZDCE・•・AADF^ACDE,CE=AF.2•・•四边形ABC是菱形，.AB=BC,由

（1）得CE=AF=2,.BE=BF,设BE=BF=x,CE CD----=,AF=2,BE CE.BE=BF=^—1,CE CDM——=——，MCE=AF,BE CECECD CDBECEAF9ZCMD=ZAMF,ZDCM=ZAMF,./XAMFsACMD,CD CMCDCM CE，且NACB=NACB,AF AMBEAF AM，NCAB=NCME=NACB,AME=CE=

2.【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键.

20.如图

（1）所示等边4ABC中，线段A为其内角角平分线，过点的直线囱GJ_AC于G交A3的延长线于AC CD AC C.D

（1）请你探究——=——，号=不匕是否都成立AB DBAB】DB,Ar rn

（2）请你继续探究若△ABC为任意三角形，线段AQ为其内角角平分线，请问——二——一定成立吗AB DB并证明你的判断.32DF3如图2所示中，ZACB=90°,AC=8,BC=—,石〃AC交A8于点E,试求”的FA值.【答案】

（1）成立，理由见解析；

（2）成立，理由见解析；

（3）-8【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到AO垂直平分3C,ZCAD=ZBAD=30°,AB=AC,则03=CD易得AC CDAG C\D——二——；由于NCh43i=60，得NB=30，则同理可得到囱=2，易得不二U^；DBAB DBAB1X

（2）过8点作BE〃4C交49的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到NE=NC4O=24c CD/BAD,BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△砧;△人，得到一二一，而于是BE DBpli]〜Ar CD有——二——，这实际是三角形的角平分线定理；AB DB

（3）AO为△ABC的内角角平分线，由

（2）的结论，根据相似三角形的判定得/s2\AC凡利用相似三角形的性质解答即可.【详解】解

（1）「等边△ABC中，线段为其内角角平分线，因为8G J_AC于G交A3的延长线于BT，.ZCAB=60°,ZBi=ZCAD=ZBAD=30°,*e*AD=B\D,JD=—AD——B]D,AC1——AB1,综上这两个等式都成立;

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下:如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作5七〃AC交AO的延长线于E点，线段/〃为其内角角平分线・•・/E=/CAD=/BAD,AEBDsAACDAC CD1・BE=AB,——=——BE DB又:BE=AB.♦AC CD.一二一，AB DB即对任意三角形结论仍然成立；32

（3）如图

（2）所示，因为8c中，ZACB=90°,AC=8,BC=一，3・••AO为的内角角平分线，CDACS_3・••DB-AB_40T・:DE//AC,\9DE//AC,△:•DEFSMCF,2DESABCA,DF DEDE BE■_…病一法‘耘—语‘【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例,掌握以上知识是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，ACV/x轴，点

3、C的横坐标都是3,且5C=2,点在AC上，若反比例函数y=x0的图象经过点A，且ABC=3:

2.X1求点坐标；2将△AOD沿着OD折叠，设顶点A的对称点为A，试判断点A是否恰好落在直线BD上，为什么.【答案】11,3；24不在直线8上，理由见解析【分析】1先根据AOBC=32,BC=2得出0A的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC〃A0,故可得k出B点坐标，再根据点B在反比例函数y二一x0的图象上可求出k的值，由AC〃x轴可设点Dt,3代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；2过点A，作EF〃0A交AC于E,交x轴于F,连接0A1根据AC〃x轴可知NA，ED=NAFO=90，由相似三角形的判定定理得出△DEA，sZ\AT0,设A[m,n,可得出一=——，再根据勾股定理可得出n m-\m2+nM,两式联立可得出m、n的值，故可得出A，的坐标，用待定系数法求出经过点D1,3,点B3,91的直线函数关系式为y=-x+4,再把x=一代入即可得出结论.【详解】1解1VAOBC=32,BC=2,Z.0A=3,•••点B、C的横坐标都是3,・・・BC〃A0,AB3,1,•・•点B在反比例函数y=x0的图象上，xk解得k=3,3•••AC〃x轴,，设点Dt,3,/.3t=3,解得t=l,AD1,3；2结论点A，不在此反比例函数的图象上.理由过点A，作EF〃OA交AC于E,交x轴于F,连接0A，如图所示,••，AC〃x轴,J NAED=NAFO=90，VZOArD=90°,.•.ZArDE=ZOAT,AADEA^AATO,设A〈m,n,m3-n..一二------，n m-i又在RtA ATO中,m2+n2=9,912912IH1m=~,n=—,即A一,—,5555设直线BD的解析式为y=kx+b,・••点Dl,3,点B3,1在产kx+b,[k+b=3[3k+h=\，[k=-\・心=4，/.y=-x+4,9,91112Iz4・••当x=一时，y二-----F4=-W—，5555・••点A不在直线BD上.【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中.

22.如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点,Ab平分/E4D交CD于点尸.1如图1,若点方恰好为中点，求证AE=BE+2CE；2在⑴的条件下，求笠的值；BC3如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交DC的延长线于点”,连接HG,当CG=DF时,求证HG±AG.CE1【答案】1证明见解析；2——=—；3证明见解析BC4【分析】1延长交A厂的延长线于点G,求出E4=EG,证明“1Q方

四、GCF,得到AD=CG,通过等量代换可得结论；2设CE=a,BE=b,则AE=2〃+=〃+在放ZWE中，利用勾股定理求出Z=3a,进而CF可求——的值；BC3连接G,首先证明.AObZ DCG,进而可求NH4b=NF7G,然后可证.A/DFG,得AF FH出——二——，结合NAFD=N//HG可证.4b HGF,即可得到NGb=90，问题得证.DF FG【详解】1证明如图，延长BC交Ab的延长线于点G,\AD//BG,ZDAF=NG，又丁Ab平分ND4E,.・.ZDAF=ZEAF，ZG=ZEAF，.\EA=EG,「点尸为CD中点，:.CF=DF,又・‘ZDFA=/CFG,ZFAD=ZG,・.；ADFGCF,.\AD=CG,:CG—BC—BE+CE,.\AE=EG=CG+CE=BE+CE+CE=BE+2CE；2解设CE=a,BE=b,则AE=2a+b,AB=a+b9在mAABE中，AB2+BE2=AE2^^a+b2+b2=2a+b^,解得Z=3Q或力=—〃舍去，CE a1•____BC a+b43证明如图，连接G,・•・CG=DF,DC=DA,ZADF=ZDCG,・・・ADF DCG，ZCDG=ZDAF,.・.ZHAF=ZFDG，又ZAFH=/DFG,AFH DFG,AF_FH~DF~~FG又・ZAFD=/HFG,・・..ADF HGF,:.ZADF=/HGF,•.ZADF=90°,・・./HGF=90°，..AG±GH.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质等，作出合适的辅助线是解题的关键.

三、填空题

23.如图RtZkABC中，ZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,点尸为3C上任意一点，连接雨，以％,PC为邻边作平行四边形％QC,连接PQ,则PQ的最小值为一，.12【答案】—【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CA3s\CP0利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度.Z【详解】VZBAC=90°,AB=3,AC=4,•••5C=办炉+/4=5,・•・四边形APCQ是平行四边形，:.==,PO QOCO AO9;尸最短也就是尸0最短，,过0作3c的垂线0P,V ZACB=ZPfCO ZCPfO=ZCAB=9Q%9:.XCNBsXCFO,^~~.CO_OP CAB2OP536:・0P=一,512・•・则PQ的最小值为20P=—，故答案为（■.【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题.

24.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点（不与点B,C,D重合），AM,AN分别交BD于E,F两点，且NMAN=45，则下列结论

①MN=BM+DN；

②△AEFS^BEM；即CD=BD，AZ1=Z3,VOA=OD,Z.Z1=Z2,AZ2=Z3,・・・AC〃OD,所以

①正确；AAACE^ADOE,CE AC.——=——,OE ODVOC1OA,•••△AOC为等腰直角三角形,AAC=V2OA=V2OD,.—=y/2OEACE=V2OE,所以

②错误；丁点D是8的中点，AZBOD=ZCODVZBOD=2Z1AZCOD-2Z1,而NODE=NADO,•••△ODE与AADE不相似，所以

③错误;AI7B

③——:

④AFMC是等腰三角形.其中正确的是_____________________.填写正确序号AM2【答案】

①②③④【分析】将AABM绕点A逆时针旋转90至△ADMI根据正方形的性质和且NMAN=45可证明MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出NEBM二NMAN=45，于是得到△AEFs^BEM；根据相似三角形的判定定理得到△AEBs^FEM,根据相似三角形的性质得到NEMF=NABE=45，推出AAFM是等腰直角三角形，于是得到王=走；根据全等三角形的性质得到AF二CF,等量代换得到AFMC是等腰三角形.AM2【详解】将AABM绕点A逆时针旋转90至△ADM，，・・・NM，AD=NMAB,AMr=AM,BM=DM\/MAN=450,JNDAN+NMAB=45，NM，AN=NDAN+NMAD=NDAN+NMAB=45，在AAMN和△AMN中,AM l=AM・/M AN=/MAN=45,AN ANAAAMN^AAMN SAS,AMN=NM\Z.MN=MD+DN=BM+DN,・・・MN=BM+DN；故

①正确；VBD是正方形ABCD的对角线,AZEBM=45°,•ZMAN=45°,AZEBM=ZMAN=45°,V ZAEF=NBEM,AAAEF^ABEM,故

②正确;AE EFAE BEun/.=-------------，艮|J=----------BE EMEF EMVZAEB=ZMEF,AAAEB^AFEM,・・・NEMF=NABE=45，ZMAN=45°,•••△AFM是等腰直角三角形，・・・”=也，故

③正确；AM2在4ADF与4CDF中，AD=DCZADF=/CDF=45°,DF=DFAAADF^ACDF SAS,AAF=CF,VAF=MF,AFM=FC,•••△FMC是等腰三角形，故

④正确;故答案为

①②③④.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

25.如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点为AC上一点，连接BO,E为AB上一点，CELBD于点F,当AD=CD时，求C£的长.［答案］吆叵17【分析】Q将Rt^ACB补成矩形AC8”,延长CE交于点G,可得△3CDs\c4G,结合已知可求AG=

一、Z3CG=+叵，再由△A£GsZ\3£C即可求出CE.3【详解】解如解图，补成矩形AC5H,延长CE交A”于点G,V ZACB=90°,CEA.BD,:.ZACG+ZBCG=90°,ZABD+ZBCG=90°,・•・ZACG=ZCBD,ABCDsACAG,,CD_CB_BDAG-AC-CG.23aAG4CGA AG=-CG=3^339，・,・设C£=x,则EG=@-X3又•・•在矩形ACB中，AG/IBC,・•・A AEGsABEC,84713即3二解得x=----------173-x.心12而・・CE=-----------17【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明ABCDs^c4G是本题的关键.

26.如图，在矩形A5CO中，AB=3BC=4,将矩形458绕点C旋转，点A、B、的对应点分别为/、9B\D\当，落在边CO的延长线上时，边，’与边AO的延长线交于点居联结CK那么线段C尸的长度为—•【答案】史2【分析】由勾股定理可求A，C=5,可得AD=AC-CD=2,由△ECDs/iACB，，对应边成比例即可求出DE的长，再由^ADFs^CDE求出DF的长，最后在Rta DFC中由勾股定理即可求出DF.【详解】解由旋转前后对应边相等可知AB-AB=3,BC=BC=4・••由勾股定理可知AC=,32+42=5,・・・AD=AC-CD=2,又/ADC=NB=90，且/ECD=NACB,•••△ECDs/SACB,器=半，代入数据3BC AB439・・・DE=—,4又AF〃CE,・・・NCED=NAFD,且NEDONFDA,•••△ADFsaCDE,9黑二年，代入数据3,ZFD AD而二53・•・DF=-2在Rt^DFC中由勾股定理可知:CF=y]DF2+CD2=J-2+32=—故答案为巫2【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.

27.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB,AD的中点，BF与EC,ED分别交于点/，N.已知A6=4,BC=6,则MV的长为.4【答案】一3【分析】过点E作EH〃AD,交点BF于点G,交CD于点H,证明△BEGS/\BAF,求出EG的长，再证明△EGN^ADFN,AEGM^ACBM,得出2NG=NF,4MG=MB,再求出BG二GF=,BF=*,从而求22出NG和MG,可得MN的长.【详解】解过点E作EH〃AD,交点BF于点G,交CD于点H,由题意可知EH〃BC,AABEG^ABAF,BE EGBG--*AB AFGFVAB=4,BC=6,点E为AB中点，F为AD中点,ABE=2,AF=3,2EG.433EG=-,2AAEGN^ADFN,AEGM^ACBM,EG NGEN EGMG EM■_______t~DF~~NF~~DN，・•・2_NG,2MG,~3~~NF MBNG1MG1IIH即-------=—，----------=—NF2MB

4.2NG=NF,4MG=MB.•・・E为AB中点，EH〃BC,，G为BF中点,BG=GF=—BF=-dAB+AF=-,222J511，NG=一G/=-,MG=-BG=—,36524故答案为—.3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH,得到相似三角形.11c oVZADC=—ZAOC=45°,NBOD=—NBOC=45,

22.\ZADC=ZBOD,所以

④正确.・••正确的结论是

①④，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考查了圆周角定理.AE AF

4.如图，在△ABC中，BC=6,——=—；,动点P在射线E尸上，BP交CE于点D,NCBP的平分线交EB FCCE于点当CQ=CE时，EP+BP的值为（）4A.9B.12C.18D.24【答案】C【分析】EG EQ如图，延长后方交BQ的延长线于G.首先证明PB=PG,EP+PB=EG,由EG〃8C,推出——=--=3,CB QC即可求出EG解决问题.【详解】解如图，延长E尸交的延长线于G._AE_AF•~EB~~FC「・EG//BC,:・/G=/GBC,■:/GBC=/GBP,:,/G=/PBG,.PB=PG,.PE+PB=PE+PG=EG,CQ^-EC,

4.EQ=3CQ,,:EG〃BC,:•丛EQGs^CQB,.EG EQ••=—―39CB QCVBC=6,；.EG=18,・EP+PB=EG=18,故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

5.如图，在平行四边形A5CO中，NA5C的平分线交AC于点£,交AO于点凡交的延长线于点G,BE若A尸=2尸，则——的值为（）EG1123A.-B.-C.-D.一2334【答案】C【分析】由A/=2OR可以假设则Ab=2七AD=3k,证明45=Ab=2hDF=DG=k,再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.【详解】解由AF=2QR可以假设则A尸=2%,AD=3k,••・四边形A3CO是平行四边形，J.AD//BC,AB//CD,AB=CD,.ZAFB=ZFBC=ZDFG/ABF=/G,9〈BE平分NA5C，/ABF=/CBG,./ABF=ZAFB=ZDFG=ZG,:・AB=CD=2k,DF=DG=k,.CG=CD+DG=3k,9AB//DG,.AABESACGE,BE AB2k2•_____*EG-3故选C.【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键.

6.如图，在四边形ABCD中，AB±AD,AD〃BC,且AB=BC=4,AD=2,点E是边BC上的一个动点，EF_LBC交AD于点F,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3,则BE的长为（A.1•或4—6B.4-V3C.I D.I■或4+班【答案】A【分析】如图1,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB，GDF,推出四边形ABEF是矩形，得至IJAB=EF=4,AF=BE,根据折叠的性质得到A F=AF,B E=BE,N B=AB=4,设BE=x,贝ij AF=A F=B E=x,根据相似三角形的性质得到B，G=42-x,根据题意列方程得到J[2-x+4-x]X4--4-2x8-4x=3此方程无实数根，故这种情况不存在；如图2,将四边形ABCD沿EF所在直线折23叠，两边重叠部分为矩形A BEF,设BE=x,则AF=A F=E=x,根据题意列方程得到BE二一；如图43,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为ACEG,设BE=x,则AF=A F=B，E=x,根据相似三角形的性质得到EG=24-x,根据题意列方程得到结论.【详解】解如图1,将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB GDF,VAB1AD,AD〃BC,EF1BC,，四边形ABEF是矩形，AAB=EF=4,AF=BE,•••将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，:・Z F=AF,BE=BE,A B=AB=4,设BE=x,贝ljAF=A F=B,E=x,ADF=2-x,CE=4-x,:.N D=2x-2,CB,=4-2x,,:Z D〃B’C,11，一=——，BG=22BG.BC=BG+CG=2+[=3,CD12=BC2-BD2=32-22=5,...在放△CEO中，DE=y/CD2+CE2=V5+122

①•DE LDF,CD±AB AZFDE=ZCDB=90°,・NFDB=/HDC,9BF.LCF,./CFB=/EDF=90,/CFB+/DFH=/EDF+/DFH,./DFB=/DHC,・.・△ABC是等腰直角三角形，8为A5边上的中线,。