模型21 旋转型相似模型

专题旋转型相似模型21

一、单选题

1.如图，正方形A3CO中，点产是3C边上一点，连接A尸，以Ab为对角线作正方形A屏6,边尸G与正方形ABCO的对角线AC相交于点”，连接G.以下四个结论

①NE4B=NG4；

②AAFC^AAGD；®2AE2=AH AC^@DGLAC.其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】

①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，NEAB、NGAD与NBAG的和均为90，即可证明NEAB与AC AFNGAD相等；

②由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得——二——,NDAG=NCAF,然后问题可证；AD AGAJ7AC

③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAFs/\FAC,则有——=——，然后根据等量AH AF关系可求解；

④由

②及题意知NADG=NACF=45，则问题可求证.【详解】解

①;四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形A ZEAG=ZBAD=90°XVZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90°-ZBAGA ZEAB=ZGAD，

①正确

②四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AD=DC,AG=FGAAC=72AD,AF=0AG:.处=近,竺=」AD AGACAFH|I即-----=-------AD AG又「ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGACAZDAG=ZCAF・•・AAFC^AAGD・•・

②正确・•・AC=6BC，EF//AB，・•・ZCFE=ZA=30°,・•-CE_6••tan/CFE---------——，CF3:.CF=V3CE，.AF=AC-CF=y/3BC-CE,BE=BC—CE,BEVZACB=90°,•・AF±BE，•故答案为g,AF±BE；A尸厂2——=J3,AF±BEBE如图，连接A厂，延长BE交Ab于G,交AC于点”，••旋转,•.ZBCE=ZACF,AC=6BC，CF=V3CE•••江=旦=6,且N3CE=ZACF,BC CE•.AACF^ABCE,-6，AFAC—Z.CBE，BE BC:ZCBE+ZBHC=9Q0,・•・ZFAC+ZAHG=90Q,・•・AF±BE；3

①如图，过点作CG_LA/交Ab的延长线于点G,・AC=6BC，CF=6CE，BC=3,CE=2,•*AC=3\f3,CF-

2.y/3，V ZCFE=30°,ZFCE=90°,/.ZFEC=60°,且氏耳夕三点在同一直线上，/./CEB=120,I旋转,・•・ZAFC=ZBEC=120°,ZCFG=60°,且CG，A尸，；.GF=CF=6CG=V5GE=3,・•・AG=ylA^-CG2=727-9=3V2，・•・AF=AG-FG=3五-6；

②如图，过点作CG_LA/于点G,，v AC=V3BC，CF=6CE BC=3,C£=2,・•AC-3\/~3，CF—2\/3，・ZCFE=30°,ZFCE=90°,・•・ZFEC=60°，;旋转，.ZAFC=NBEC=60,且CG_LAf\A GF=-CF=y/3CG=^GF=3,29・•・AG=YI AG2-CG2=3^2,・•・AF=AG+Gb=3+G.【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

6.aABE内接于0,C在劣弧AB上，连CO交AB于D,连BO,ZCOB=ZE.1如图1,求证CO1AB；2如图2,BO平分NABE,求证AB=BE；3如图3,在2条件下，点P在OC延长线上，连PB,ETJLAB于T,NP=2NAET,ET=18,OP=25,求0半径的长.【答案】1证明见解析；2证明见解析；3半径的长是5，布.【分析】1连接CE、0A,根据圆周角定理可得NCEB=,COB,根据NCOB=NAEB可得NCOA=NCOB,根2据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；2过点0作OF±BE于F,根据角平分线的性质可得OD=OF,根据垂径定理可得BD=-AB,BF=-BE,22根据勾股定理可得BD=BF,进而可得结论；3根据等腰三角形的性质可得NAEB=NEAB,根据直角三角形两锐角互余的性质可得NDBO=NAET,根据NP=2NAET可得NP=NABE,进而可得NPOB=NPBO,即可证明OP=PB,由NETB=NPDB=90可证明△BETs^PBD,根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得0D的长，利用勾股定理求出0B的长即可得答案.【详解】1如图，连接CE、0A,VZ COB和N CEB分别是3C所对的圆心角和圆周角，AZCEB=—COB,2VZCOB=ZAEB,AZCEB=—ZAEB,2AZCOA=ZCOB,OA=OB,AOC1AB.2如图，过点0作OF_LBE于E•••OB平分NABE,OD±AB,OF±BE,11，OD=OF,BD=—AB,BF=—BE,22,•*BD=ylOB2-OD2BF=/OB2-OF2A・・・BD=BF,3TAB=BE,AZAEB=ZEAB,VZCOB=ZAEB,AZCOB=ZBAE,VET±AB,OC±AB,J NBAE+NAET=NCOB+NDBO,AZDBO=ZAET,〈OB平分NABE,二・NABE=2NDBO=2NAET,VZP=2ZAET,AZP=ZABE,.\ZAEB=ZOBO,VZAEB=ZEAB,AZPOB=ZPBO,，OP=PB,VZETB=ZPDB=90°,，△BET^A PBD,BD PBOP OP・__••百一布-AB~2BDVET=18,OP=25,A2BD2=18X25,解得BD=15,负值舍去•e•PD=-BD=20,••・OD=OP-PD=5,•#*OB=y/OD2+BD2=5V10，即°O半径的长是

59.【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键.

7.矩形ABC中，AB=6,BC=8,点M,N分别在边上，且BM=3,DN=2,连接MN并延长，交8的延长线于点E,点为射线脑V上一动点，过点作AQ的垂线，交于点尸.1特例发现，如图，若点P恰好与点重合，填空

①DE=；

②0A与P的等量关系为.2拓展探究如图，若点在的延长线上，QA与QP能否相等？若能，求出尸的长；若不能，请说明理由.3思维延伸如图，点G是线段上异于点一点，连接AG,过点G作直线G/LAG,交直线于点/,是否存在点G,使AG,G/相等？若存在，请直接写出OG的长；若不存在，请说明理由.【答案】1

①4；

②QA=QP；20A与尸能够相等，理由详见解析；33AG,G/能够相等,DG=-3【分析】1

①根据A£7VD-石MC,利用对应边成比例列式求出ED长；

②过点Q作“G//BC,交AB于点H,交DC于点G,设QG=x,利用GD,对应边成比例列式求出羽得到这两个三角形其实是全等的，所以QA=QP；2过点作b_LA5,交区4的延长线于点方，延长尸Q交CE于点G,构造k”字型全等三角形，设AF=x,再利用相似三角形的性质列式求解；3过点G作GKJLA5于点K,过点/作/SLKG,交KG的延长线于点S,延长AO交/S于点T,同2构造“k»字型全等三角形，DG=y,再利用相似三角形的性质列式求解.【详解】「、ED ND⑴

①・・・ND//MC,A.END EMC,.——=——，EC MCMC=BC-BM=8-3=5,DC=6,ED+6故答案是4；

②如图，过点Q作G//BC,交AB于点H,交DC于点G,可得“G_LAB,HG-LDC,.ZAHQ=ZQGD=90°,V AQ1QD,.ZAQH+ZDQG=90°,ZQAH+ZAQH=90°,.ZQAH=/DQG,,入“AH HQ/..AHQ、QGD,/.-------------=-------QG GD・QG EGx4+DG=，得G=2x—4,9MC~EC・.・QG//MC,；•^EQG_EMC,・•・AH=2x-4,AH HQ2x—48—x根据证=访‘得丁口‘解得＞4,.AH=HQ=QG=GD=4,:•JAHQ-QGD,.AQ=QD=QP,故答案是QA=QP；2QA与QP能够相等，PD=—3如图，过点作尸LAB,交84的延长线于点方，延长尸Q交CE于点G,ZAQF+ZPQG=90,ZGPQ+APQG=90°,/.ZAQF=/GPQ,又二ZAFQ=ZPGQ=90,AQ=PQ,AFAQ=NGDP,AF=QG,FQ=PG,设AF x，则QG=DG=x,EG=4—x,EG ED「4-x4济南―••.『2’解得4经检验，x=—是该分式方程的根,3:.FQ=S--=—,.\PG=-,PD=—^-=—；33333343AG,G/能够相等，DG=_,3如图，过点G作GK_LAB于点K,过点/作/SJLKG,交KG的延长线于点S,延长AO交/S于点T，根据，犬字型全等得AAKG=AGS/,.・.AK=GS,IS=KG=8,设DG=y,则AK=TS=GS=DT=y,/.IT=8—y NT=2+y,八5IT ED8-^444,.^____„,___解得y=§,故OG的长为屋tanZ r===【点睛】本题考查””字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造*字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解.

8.已知，ABC中，AB=AC,NBAC=2a，点D为BC边中点，连接AD,点E为线段AD上一动点,把线段CE绕点E顺时针旋转2a得到线段EF,连接FG,FD.1如图1,当NBAC=60时，请直接写出好的值；AE2如图2,当NBAC=90时，1中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；DF3如图3,当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时——的值最小.最小值是多少？DC用含a的三角函数表示Ar BDF【答案】11:2不成立，——=2—,理由见解析；3E为AD中点时，——的最小值-sinaBF2DC【分析】1取AC的中点M,连接EM,BF,可知△ABC和^EFC都是等边三角形，证明△ACE之aBCFlSAS,可得结论.2连接BF,证明aACEs/XBCF,可得结论.EC2AL C*3连接BF,取AC的中点M,连接EM,易得NACE=NBCF,——=——,证明△ACEs/\BCF,得BC CFEMDF出sina=——的最小值，则得出——的最小值=金

01.AM DC【详解】1连接BF,VAB=AC,ZBAC=60°,•••△ABC为等边三角形，;线段CE绕点E顺时针旋转60得到线段EF,AEC=EF,ZCEF=60°,•••△EFC都是等边三角形，AAC=BC,EC=CF,ZACB=ZECF=60°,AZACE=ZBCF,AAACE^ABCF SAS,AAE=BF,BF；・---=I.AE2不成立，结论—BF2证明连接BF,VAB=AC,D是BC中点，AAD1BC,AZ ADC=90°,，NBAC=NCEF=90，•:△ABC和^CEF为等腰直角三角形，AZACB=ZECF=45°,AZACE=ZBCF,.AC CE42--**BC cFVAAACE^ABCF,・・・NCBF=NCAE=a,.AE ACy/2DF3结论当点E为AD的中点时，——的值最小，最小值为sina.DC连接BF,取AC的中点M,连接EM,AB二AC,EC=EF,ZBAC=ZFEC=2a,NACB=NECF,△BAC^AFEC,AC ECBC~CFZACE=ZBCF,△ACE^ABCF,D为BC的中点，M为AC的中点,DF BC2DC DCEMAC2AM AMDFEM当E为AD中点时,又・・・M为AC的中点,，EM〃CD,VCD±AD,A EM±AD,」EM…1u止匕时，----取小=sina,AMDF——的最小值=$泊

01.DC【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

9.如图，函数y=-N+Z^+c的图象经过点A加，0,30,〃两点，〃2,〃分别是方程9-2x-3=的两个实数根，且〃2VmI求相，〃的值以及函数的解析式;II设抛物线y=-F+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为，连接A3,BC,BD,CD.求证A BCDs^OBA；Ill对于I中所求的函数y=-x2+bx+c91当OS烂3时，求函数y的最大值和最小值；2设函数》在/后什1内的最大值为.，最小值为/若p-q=3,求，的值.【答案】I m=-1,n=3,y=-x2+2x+3；II见解析；III1y最大值=4；y最小值=0；2t=-1或/=

2.【分析】I首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；II根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得ABDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得NDBC=90，根据边长可得△AOB和ADBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；III1确定抛物线的对称轴是x=l,根据增减性可知x=l时,y有最大值，当x=3时，y有最小值;2分5种情况

①当函数y在tSxSt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；

②当t+l=l时；

③当函数y在乜xSt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；

④当t=l时，

⑤函数y在乜xSt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答.【详解】/V/n,〃分别是方程/-2%-3=0的两个实数根，且mV%用因式分解法解方程x+1x-3=0,••X\-1,X239\m--1,n=3,.A-1,0,B0,3,Jl—Z+c=0把-1,0,0,3代入得，\,[c=3b=2c=3解得•e•函数解析式为y=-x2+2x+

3.〃证明令y=-X2+2X+3=0,即N-2X-3=0,解得XI=-1,X2=3,•••抛物线y=-N+2%+3与％轴的交点为A-1,0,C3,0,

③丁四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线••・NAFH=NACF=45XVZFAH=ZCAFAAHAF^AFAC•AF-AC即AF2=ACAH又•=6AF AE・•・2AE2=AH AC，

③正确

④由

②知AAFC^AAGZ又「四边形ABCD为正方形，AC为对角线，NADG=NACF=45，DG在正方形另外一条对角线上ADG1AC，

④正确故选D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明.

二、解答题

2.如图，四边形ABCO和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接Ab并延长交边CD于点M.1求证A MFCs/XMCA；2求证氏3若CM=2,求正方形4石/G的边长.【答案】1证明见解析；2证明见解析；3二【分析】-1+3•••对称轴为x=-------=1,顶点（1,-1+2+3）,即0（1,4）,2••・BC=d号+y=3万BD=y/l2+l2=yf2^CD=+22=2舟•:CD2=DB+CB2,••・△BCD是直角三角形，且ND5C=90，，ZA0B=ZDBC,在RS A08和RS O3C中，—=-L=—,—=^==—,BD y/22BC3/

22.AO_BO••一，BD BC△；••.^BCDS OBA（W）抛物线y=-d+2x+3的对称轴为x=l,顶点为（1,4）,

（1）在g烂3范围内，当x=l时，y最大值=4；当x=3时，y最小值=0；

（2）

①当函数y在华烂什1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值9=-/2+2什3,最大值p=-（什1）2+2（Z+1）+3,令p-q=-（什1）2+2（什1）+3-（-P+2/+3）=3,即-2什1=3,解得『=-

1.

②当什1=1时，此时p=4,q=3,不合题意，舍去；

③当函数y在二烂什1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时〃=4,令〃-q=4-（-产+2什3）=3,即於-2/-2=0解得A=1+6（舍），段=1-（舍）；或者P=4-[-（什1）2+2（什1）+3]=3,即土百（不合题意，舍去）；

④当，=1时，，此时p=4,q=3,不合题意，舍去；

⑤当函数y在二烂什1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x=r时取得最大值〃=-祥+2什3,最小值夕=-（什1）2+2（什1）+3,令p-夕=-於+2什3-（什1）2+2（什1）+3]=3,解得，=

2.综上，，=-1或Z=

2.【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题.

10.如图1,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将△COD绕点逆时针旋转得到△EOF旋转角为锐角，连AE,BF,DF,则AE=BF.1如图2,若1中的正方形为矩形，其他条件不变.

①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

②若BD=7,AE=4啦，求DF的长；2如图3,若1中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10,AC=6,AE=5,请直接写出DF的长.【答案】1

①AE=BF；证明见解析；

②DF=J万；2DF=|A/TT.【分析】1

①利用矩形的性质，旋转的性质得到NBOF=NAOE,证明△BOF丝Z\AOE可得结论，

②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，2利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOEs/XBOF,求解BF,再证明aBDF是直角三角形，从而可得答案.【详解】1

①AE=BF,理由如下证明TABCD为矩形，JAOBD,OA=OB=OC=OD,•/ACOD绕点O旋转得△EOF,，OC=OE,OD=OF,N COE=N DOFVZBOD=ZAOC=180°，ZBOD-ZDOF=Z AOC-ZCOE即NBOF二NAOEAABOF^AAOE SAS,，BF=AE

②・.・OB=OD=OF,AZBFD=90°•••△BFD为直角三角形，••・BF2+DF2=BD2^・，・DF=^BD2-BF2=y/BD2-AE2VBD=7,AE=472，DF=V172•・•四边形ABCD是平行四边形，，0C=0A」AC=3,0B=0D」BD=5,22:将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到^FOE,・・・OC=OE,OD=OF,ZEOC=ZFOD・・・OA=OE,OB=OF,ZEOA=ZFOBOA OE「——=——，且NEOA二/FOBOB OFAAAOE^ABOF,・OA_3…而一砺一不•OB=OF=OD•••△BDF是直角三角形，・•・BF2+DF2=BD\【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOEs^BOF是解本题的关键.

11.定义我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线1如图1,在四边形ABCD中，ZABC=SO°,ZADC=140°,对角线BO平分求证BD是四边形ABCD的“相似对角线”；2如图2,已知F”是四边形EFGH的“相似对角线”，ZEFH=ZHFG=

30.连接£G,若AEFG的面积为2道，求方〃的长.【答案】1见解析；22年【分析】1根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；FE FH2由题可证的KFEHs江HG,得至I」——二——，过点E作EQ，RS,可得出EQ,根据FH2=FEFG FHFG即可求解；【详解】1证明・・・NABC=80，BO平分NABC,・•・ZABD=ZDBC=40，ZA+ZADB=

140.VZAZC=140，J ZBDC+ZADB=

140.ZA=ZBDC，J AABD^ADBC/.BO是四边形ABCD的“相似对角线2FH是四边形EFGH的“相似对角线”,・•・三角形EFH与三角形HFG相似.又NEFH=/HFG,・•・\FEH^NFHG，FE FH•••—,FH FGJ FH2=FE FG.过点E作£Q，/G,垂足为.则EQ=「Exsin60=^-FE.；:FGXEQ=26,:・=FG又立FE=2022・•・FG FE=8,・FH=FE・FG=8,JFH=2A/

2.【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键.

12.如图1,在正方形A3CO中，G为线段5上一点，连接AG,过G作AGLGE交于£,连接AE.；1求证BG=DG+6BE2如图2,AB=4,E为BC中点、,P,分别为线段AB,上的动点，满足£=迅4，则在P,运动过程中，当以尸为对角线的正方形PR2S的一边恰好落在AABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积.【答案】1证明见解析；2正方形PRQS的面积可以为,1,16494【分析】1连接AC与BD相交于0,作GH_LAB,GI±BC,证明△AGH也△EGI可得AG=GE即△AGE为等腰直角三角形，再证明△ABE-A A0G,可得OG=立些，再结合正方形的性质可得BD=QBE+2GD，从而可证明结论.2分正方形尸RQS的一边恰好落在AE上，正方形PRQS的一边恰好落在AB上和正方形尸RQS的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可.【详解】解:1连接AC与BD相交于0,作GHLAB,GI1BC,AZAHG=ZBIG=90°,•・•四边形ABCD为正方形，.\ZABE=90o,NBAC=NABD=NCBD=45，Z AOG=90°,AB=42AO,BD=20D,・・・HG=GI角平分线上的点到角两端距离相等，Z HGI=360°-ZBHG-ZBIG-Z ABE=90°,Z AGH=Z AGE-Z HGE=90°-Z HGE,Z IGE=ZIGH-Z HGE=90°-Z HGE,AZAGH=ZIGE,在^AGH和^EGI中,ZAHG=ZBIG HG=GI ZAGH=/IGE・•・△AGH^A EGIASA，AG二GE,・•・△AGE为等腰直角三角形，NEAG=45,，ZBAE=45°-ZEAC=ZCAG,VZABC=ZAOG,/.△ABE0°A AOG,.OG声2BD=2OG+GD=2交些+GD=垃BE+2GD,・•・BG=BD-DG=叵BE+2DG-DG=DG+及BE2•••四边形ABCD为正方形,A ZABC=90°,BC=AB=4,•••E为5c中点,•••BE=2,=y1AB2+BE2=2石，，cos NBAE=,tan NBAE=,2A/55AB2设AP=x,则石=瓜

①若正方形PRQS的一边恰好落在AE上，分两种情况如下图，若为正方形4NQN，则AS.=AP-cosZBAE=,S Q=P S=AS-tan/BAE=好犬,X XX li lAE=AS[+SQ[+Q[E=^^+旦X+=25解得正=菖乂=得若为正方形8氏％=:，S=AS]2222s2,则AR==P R=AR-tan ZBAE=—222，AE=A+RE=3匡+氐=265一解得正手％工

②若正方形PRQS的一边恰好落在AB上，分两种情况如下图，若为正方形*=£，S=£722=2=3s3,AR3，2A鸟=2x,R3Q3=A鸟=xA73=,A03=cos ZBAE则・・,鬻…㈤吟,gQ,AE=AQ+Q3E=2\/5x=2/5,3解得正=犬=X=l,S32=1；若为正方形ER33s4,则:=tan/BAE=，乙=R3Q3，R3人用=；%，舄==—/=^x0343333cos/BAE3则AE=AQ+Q E=—x+45x=2石,3i31199解得x=S正=2=《x=T・

③若正方形PRQS的一边恰好落在BE上,由£=逐4可知，Q点和E点不可能重合，若P点和B点重合，如下:1Q AQ=A SM46J AS=4x—x2=—,33此时AP=4,又AS=2SQ=SP,有—竽=竽工QE=2综上所述正方形PRQS的面积可以为工，型，1,16494【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形.1中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；2中能分类讨论，画出对应图形是解题关键.

13.如图1,在矩形ABCO中，A5=8,AO=6,点瓦/分别是边CDA的中点，四边形尸G石为矩形，连接BG.1问题发现CE在图1中，——=；BG2拓展探究CE将图1中的矩形尸GE绕点旋转一周，在旋转过程中，——的大小有无变化？请仅就图2的情形BG给出证明；3问题解决当矩形G£旋转至反G,E三点共线时，请直接写出线段CE的长.囱+雨—【答案】1-；2空的大小无变化，证明见解析；3£=812或125BG55【分析】CE1延长FG交BC于点H,可根据题意分别求出CE,BG的长，即可求——的值；BGDE42连接3D,DG,先由勾股定理计算OG的值，再计算——=—,最后根据相似三角形的判定与性质DG5解题即可；3采用分类讨论法解题，一种是点E在线段上，另一种是点£在33的延长线上，据此分别求解即可.【详解】1解延长FG交BC于点H,则CH=BH=3,GH=EC=4,ZGHB=90°,BG=59CE4•••一,BG54故答案为—CE2——的大小无变化.BG证明如图1,连接由题意可知Z1=ZEDG,・・・N1+N2=NEDG+N2,即ZCDE=ZBDG，在矩形ABC中，CD=8,BC=6,・BD=J CD2+BC2=10^.CD4••=,BD5在矩形GE中，DE=4,GE=3,・•・DG=YI DE2+GE2=5^DE4••=,DG

5.CD DE••—,BD DG・•・ACDE-ABDG,CE DE4■_BG DG5厂口8721+

12.8721-123CE=-----------------或---------------55如图2,图3CE4如图2,当点E在线段BG上，由2知，ACDE ABDG,——=—，在Rf BDE中,DB=10,DE=4,BG5,8V21+12LL—••Vz5CE4当点£在86的延长线上时，由2知，ACDE^ABDG,——=一,在RBDE中DB=10,£=4,BG5综上所述，+12或8旧-12【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.

14.如图，四边形A8CO和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接A尸并延长交边CD于点M.CF2求的值,~B1求证EX MFCsMMCN,3若QM=1,CM=2,求正方形AERG的边长.【答案】1见解析；2；3—A/

5.【分析】1由正方形的性质得NACO=NAFG=45，进而根据对顶角的性质得NCFM=NACM,再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；AF AC2根据正方形的性质得——二——,再证明其夹角相等，便可证明由相似三角形的性AE AB质得出结果；3由已知条件求得正方形A3CO的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFCS/XMCA,求得FM,进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长.【详解】1:四边形ABCQ是正方形，四边形AErG是正方形，:・ZACD=ZAFG=45°,./CFM=/AFG,.ZCFM=ZACM=45°,■:/CMF=/AMC,J△MFCs△MCA；1由正方形的性质得NACD=NAFG=45，进而根据对顶角的性质得NC9=NACN,再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；A/74c22根据正方形的性质得——二——，再证明其夹角相等，便可证明△ACFS/XABE；AE AB3由已知条件求得正方形ABC的边长，进而由勾股定理求得40的长度，再由△MRS\MC4,求得H0，进而Z求得正方形隹明的对角线长，便可求得其边长.【详解】解1四边形A3CO是正方形，四边形AERS是正方形，..NACD=NAFG=45，\/CFM=ZAFG,・•・ZCFM=ZACM,\/CMF=ZAMC,.\AMFC^AMCA；

2.,四边形ABC是正方形，.\ZABC=90°,ABAC=45°,・・.AC=C AB，同理可得尸=A・•.丝:这=夜，AE AB•ZEAF=ZBAC=45°,・,.ZCAF=ZBAE,.•.AACFsAABE；3,DM=1，CM=2,・・.AD=CO=l+2=3,・•.AM=J AD+DM=732+12=VlO，2FMCM FM.即I——=-----AM~~CMM2・AMFC^AMCA,2•・•四边形ABC是正方形,A ZABC=90°,N84CM5，.AC=y/2AB9同理可得AE ABVZEAF=ZBAC=45°,Z CAF+Z CAE=Z BAE+Z CAE=45°,.ZCAF=ZBAE,.^ACF^AABE,BE AB3・DM=1,CM=2,・・・AQ=CQ=1+2=3,•••AM=I AD2+DM2=732+i2=Vio，△,:MFCSXMCN、•CM FM2FMnil•・-----=-------,R|J/———~一,AM CMVW2AG=叵AF=*小，25a即正方形AERS的边长为-石.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题.

15.如图，在中，A8=AC,点是边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长P到点E,使NC4E=NCOE,作NOCG=NACE,其中G点在OE上.A£1如图1,若NB=45，则——=；DG---------Jk1T1S52如图2,若NOCG=30，——=-,求常迎=；DG4S^BC—3如图3,若NABC=60，延长CG至点使得MG=GC,连接AM,BM.在点P运动的过程中，探CP究当——的值为多少时，线段AM与0M的长度之和取得最小值？AC【答案】

1、叵；2且；3当0=1二1时，线段AM与”的长度之和取得最小值.6AC2【分析】1如图1,根据△ABC是等腰直角三角形，得BC=0AC,由点D是BC边上的中点，可知2CD=0AC,得AC与CD的比，证明△DCGS^ACE,列比例式可得结论；AC52如图2,连接AD,同理得△DCGS^ACE,可得——=——=一，设AB=AC=5k,BD=CD=4k,则DG DC4AD=3k,由此即可解决问题；3如图3中，由题意，当A,M,D共线时，AM+DM的值最小.想办法证明NGDM=NGDC=45，设CH=a,则PC=2a,PH=DH=ga,推出AC=2CD=2a+6a,由此即可解决问题.【详解】解1如图1,VAB=AC.NB=45，・•・AABC是等腰直角三角形，VBC=72AC,又・・•点D是BC边上的中点，；・BC=2CD,，2CD=75AC,,嗡？=后VZCAE=ZCDE,ZDCG=ZACE,AADCG^AACE,AE AC厂・••——=——=旧DG DC故答案为y/2；2如图

2.连接AD,VZCAE=ZCDE.NECA=NGCD,AADCG^AACE,・AC5…而一菽—又・・・AB=AC,点D是BC边上的中点,，BD=DC,AD1BC,设AB=AC=5k.BD=DC=4k,由勾股定理可得AD=3k,VZECA=ZGCD,AZACD=ZECGAC EC•~CD~~CG.AC CD~EC~~CGAAADC^AEGC,.•.ZADC=ZEGC=90°可得EGJ_GC,又・「D,G,E三点共线，・・・NDGC=90，又・・・NDCG=30，可得DG=2k,GC=2V3k,/.SA DGC=x2kx2A/3k=275k2,SA ABC=—x8kx3k=12k2,

2.S DGC—2G2=6S ABC12k26故答案为:3如图3,当A,M.D三点共线时，AM+DM的值最小，连接EM,取AC的中点0,连接0E,0D.作PHJ_CD于点H,VAB=AC,Z ABC=60°,AAABC是等边三角形，又・・・BC=AC.ZACB=60°,・・・NDAC=NHPC=30，VBD=CD,AC=BC,AAC=2CD,VZCAE=ZCDE,ZECA=ZGCD,AADCG^AACE,•CD_CGAC CE2AEC=2CG,又・.・CG=MG,AMC=CE,又・・・NACD=60，AZ MCE=60°,•:△MCE是等边三角形，又・・・o是中点，A DC=CO,ZECO=ZMCD,MC=CE,AAMDC^AEOC SAS,・・・OE=DM,XVZCDE=ZCAE,A A,D,C,E四点共圆，.•.ZADC+ZAEC=180°,.e.ZAEC=90°,・・・AO=OC,，EO=OC=CD=MD,又\・CG=GM,CD=DM,.\ZGDM=ZGDC=45°,ZPDH=ZDPH=45°,APH=DH,设CH=a,则PC=2a,PH=DH=,AAC=2CD=2a+,.CP_2〃_g-1**AC~2a+y/3a~2,【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

16.如图1所示，矩形ABCD中，点E,F分别为边AB,AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转0°^360°,直线BE,DF相交于点P.1若AB=AD,将^AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是,数量关系是.2若AD=nAB n声1将△AEF绕点A逆时针旋转，则1中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由.3若AB=6,BC=8,将△AEF旋转至AEJ_BE时，请直接写出DP的长.【答案】1BE=DF,BE1DF2不成立；结论DF=nBE,BEJLDF；理由见解析3473-3或46+3【分析】1如图2中，结论BE=DF,BE±DF.证明△ABE名Z\ADF SAS,利用全等三角形的性质可得结论；2结论DF=nBE,BE1DF,证明△ABEs/\ADF SAS,利用相似三角形的性质可得结论；3分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.【详解】解1如图2中，结论BE=DF,BE±DF,理由:四边形ABCD是矩形，AB=AD,，四边形ABCD是正方形，11AE=—AB,AF=—AD,22AAE=AF,VZDAB=ZEAF=90°,AZBAE=ZDAF,AAABE^AADF SAS,ABE=DF,ZABE=ZADF,VZABE+ZAHB=90°,NAHB=NDHP,，NADF+NPHD=90，AZDPH=90o,ABE1DF,故答案为BE=DF,BE±DF；2如图3中，结论不成立，结论DF=nBE,BE1DF,VAE--AB,AF=—AD,AD=nAB,22/.AF=nAE,AAFAE=ADAB,AAFAE=ADAB,VZDAB=ZEAF=90°,，NBAE=NDAF,AABAE^ADAF,ADFBE=AF:AE=n,ZABE=ZADF,，DF=nBE,VZABE+ZAHB=90°,NAHB=NDHP,A ZADF+ZPHD=90°,，NDPH=90，ABE1DF；3如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在RQAEB中，VZAEB=90°,AB=6,AE=3,.-.BE=7AB2-AE2=373，VAABE^AADF,.AB BEAD-DF.6_3/3••，8DF・・・DF=4G•・•四边形AEPF是矩形,・・・AE=PF=3,APD=DF-PF=4V3-3；如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF=4j5,PF=AE=3,・・・PD=DF+PF=46+3,综上所述，满足条件的PD的值为-3或4g+

3.【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质,注勾股定理，意应用分类思想解决问题，是一道较难的几何综合题.

17.如图，在R3ABC中，ZB=90°,AB=2,BC=1,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.AE AE1

①当a=0时，——=；

②当a=180时，——二；BD BD一2试判断当0女＜360时，——的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.BD3当AEDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长.【答案】

（1）

①JL

②

（2）无变化，证明见解析；

（3）见或正.210【分析】

（1）

①先用勾股定理求出AC,再由中点可求出3D AE,从而得到答案；

②当a=180时，点石在AC的延长线上，点在的延长线上，由题可知，CD=-BC,CE=—AC,一22即可得出结论；

（2）先找到上三=——,然后证明△即可得出结论；AC BC

（3）先由

（2）可算出3=正AE,然后分类讨论即可得出结论.5【详解】解

（1）

①当a=0时，在R3ABC中，AB=2,BC=1,・-7AB2+BC2=A/F+F=75，正,:・BD=—BC=—,AE=—AC=2:点Z）,E是BC,AC的中点,

②当a=180时,如图,点E在AC的延长线上，点在3C的延长线上，由题意可知，CD=—BC,C£=—AC,22333375・BD=BC+CD=—BC=—,AE=AC^CE=-AC=,2222:.空=BD2无变化，在图1中，点，E是BC,AC的中点,.DE//BA,・CE DC如图2,•••△EDC在旋转过程中形状大小不变,由旋转知，/ACE=/BCD=a,.AACEsABCD,.AE ACr~..—==vb,BD BCAf1/.——的大小不变；BD

（3）由

（1）知，CE=—AC=^-,在R3C5E中，BC=\,根据勾股定理得，BE=ylCE2-BC2=jAp L由

（2）知，——f,5叵AE,.BD=如图3,当点落在线段AB上时,c13AE=AB-BE=2一一二一，.BD=—AE=—X-=^!L；55210如图4,当点落在线段AB的延长线上时,15AE=AB^-BE=2^—=—22BD=—AE==,即当△EDC旋转至A、B、石三点共线时，线段的长为且或定.210【点睛】本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键.

18.如图，在应A5C中，ZBAC=90°ZABC=30°,MN//AC,为边上一点，连接AZ,作DE工AD交MN于9点、E，连接猜想线段AO与石之间的数量关系，并证明.【答案】DE=6AD，见解析【分析】过点作ZGJ_5交A3于点G,通过证明△BO£s/\GD4,可得上=92,即在RJBQG中，DE BD・=tan30°=—，故生=走，即DE=国.BD3DE3【详解】解=

6.DE AD证明如图，过点作GJ_BC交于点G,则ZBDE+ZGDE=90°,\DEA_AD^・・.NGDE+ZADG=90,・・.ZGDA=ZBDE,ABAC=90°,ZABC=30°,・・・ZC=60°,丁MN//AC，・・・ZEBD=180°-ZC=120°，・/ZABC=30°,DGA.BC,・・.NBGD=60,.\ZAGD=nO°=ZEBD,△.♦^,BDES GDA.DA_GD~~~DE BD在RJBDG中，—=tan30°=—,BD3BP DE=y/3AD.DE3【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键.

19.在心ABC和中，ZABC=NEDF=30,ZBAC=ZDEC=90°,与产在同一条直线上，点C与点尸重合，AC=2,如图为将qCED绕点顺时针旋转30后的图形，连接BO,AE,»2M/.FM=,5・・.AF=AM-FM=,5・♦.AG=-AF=-y/5,25即正方形AEfG的边长为

36.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质.

3.如图，在应AA3c中，ZAC8=90°,NBAOa,点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD,点K为线段BD的中点，过点D作£J_AS于点E,连结CK,EK,CE,将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度）

（1）如图L若a=45，则MCK的形状为；⑵在

（1）的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证BE—AE=2CK；⑶若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D,E,B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE,AE,CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）【答案】

（1）等腰直角三角形；

（2）见解析；

（3）BE-AE=2CK；【分析】

（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC,NEKC=90即可；

（2）在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BF于Q,结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC^ABGC,由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG,等量代换可得结论.

（3）在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BE于Q,根据等角的余角相等可得NCAE=NCBG,由tana的表示可得好=些，易证△CAEs/kCBG,由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.AC AE【详解】

（1）等腰直角三角形；理由如图1中,若石耳=，AC,求和AEC的面积.2【答案】BDC和4AEC的面积分别为2和

1.2【分析】过点D作DMJ_BC于点M,根据30所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证-BDCsv1V1AEG在RCDMC中，可得DM=1,即ABDC的面积可求，且上辿=-=-^△BDC12即A AEC的面积可求.4【详解】解如图所示，过点D作DM，BC于点M,VAC=2,EF=-AC,2J EC=1,XV ZABC=30°,ZEDC=30°,・•・在RtZkBAC和RtZXDEC中，BC=2AC=4,DC=2EC=2,由旋转性质知，ZBCD=ZACE=30°,BC CDc=二2,ACEF“BD BC，ABDC^A AEC,=2故——=——AE AC在RtZ\DMC中，ZBCD=30°,DC=2,J DM=1，BCDM4x1个•*^ABDC------------=-------=2,•.*ABDCS AAEC,S•°AEC_•=-x2=-q°BDC.lBDC和工AEC的面积分别为2和一.2【点睛】本题主要考察了含30角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明▲BDC-▲AEC,且相似三角形的面积之比为边长之比的平方..

320.如图，二次函数丁=办一+—X+C的图象交x轴于A,B4,0两点，交y轴于点C0,

2.1求二次函数的解析式;2点P为第一象限抛物线上一个动点,PM，x轴于点M.交直线BC于点Q,过点C作CN±PM于点N.连接PC；

①若4PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；

②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标.而【答案】1y=--x2+-X+22

①4—石，2

②1,3或5,3-9222【分析】31将5,C的坐标代入抛物线y=2+,元+c中，即可求出抛物线解析式；2

①将等腰三角形分两种情况进行讨论，即可分别求出根的值；

②当点N落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点V落在y轴上，一种是点N落在尤轴上，分情况即可求出点P的坐标.【详解】3解1「抛物线丁二2+二x+c经过B4,0,C0,2,c=2八“3，解得＜40=16〃+—x4+c2139・•・抛物线的解析式为y=——f+—x+2；2直线BC经过54,0,C0,2,设直线BC的解析式为y=kx+b4k+b=0由题意得《，八[b=2k=--解得]2b=

2..・直线BC的解析式为y=,「点P在抛物线在第一象限内的图象上，点P的横坐标为根,139/.0m4,Pm,——nr+—m+2,22

①轴，交直线y=—+2于点,0/72,——加+2,2131199/.PQ=——m~+—m+2-——m+2=——m~+2m,“2222:PD//CO,,CQ OM••一,CA OA•cc_2也m_逐=—m,..CL/=--------------42当PQ=CQ时，一，4+2m=^~m，22解得肛=4-y/5,网=0（舍去）;当PC=CQ时，PM+QM=2CO,1319即——m2+—〃2+2+——m4-2=2x2,22212——m-4-m=0,2解得叫=2,7n2=（舍去）;综上，当是等腰三角形时，加的值为m=4-石，2；

②存在，理由如下:当点N’落在坐标轴上时，存在两种情形:139如图1,当点N落在y轴上时，点P（m,--+—机+2）在直线y=x+2上,22-m2+-m+2=m+2,22解得班=1,g=0（舍去）,・•・PL3；如图2,当点N落在工轴上时，NCONs〉NMP,NfM PNfPMCO CNfONNM_PNCO-C7V，1231・「PN=2—一机_+_m+2=——3,222CN・♦.ONr=OM-MN=加一（加一3）=3,在ACOM中，CN7co2+0N=历，m=Vo，则尸（M，独|二2）,而一综上所述，当点V落在坐标轴上时，点P的坐标为（1,3）或（灰，39）.2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的存在性等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用.

21.（感知）

（1）如图

①，在四边形ABCD中，NC=ND=90，点E在边CD上，ZAEB=90°,求证——EBDE~~CB（探究）

（2）如图

②，在四边形ABCD中，NC=NADC=90，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，EF AENFEG=NAEB=90，且——二——,连接BG交CD于点H.求证BH=GH.EG EBDE（拓展）

（3）如图

③，点E在四边形ABCD内，NAEB+NDEC=180，且——二——,过E作EF交AD于EBEC点F,若NEFA=NAEB,延长FE交BC于点G.求证BG=CG.【答案】

（1）见解析

（2）见解析

（3）见解析【分析】AE DE

（1）证得NBEONEAD,证明Rs AEDSRQEBC,由相似三角形的性质得出——二——,则可得出结EB CB论；EF DE

（2）过点G作GMLCD于点M,由

（1）可知——=——,证得BC=GM,证明△BCH之△GMH（AAS）,EG GM可得出结论；

（3）在EG上取点M,使NBME=NAFE,过点C作CN〃BM,交EG的延长线于点N,则NN=NBMG,AE EFDE EF证明△AEFs/SEBM,由相似三角形的性质得出——二——,证明△DEFs/iECN,则——二——,得出BE BMEC CNEF EF——=——,则BM=CN,证明aBGM/ZXCGN（AAS）,由全等三角形的性质可得出结论.BM CN【详解】1・・・NC=ND=NAEB=90,，NBEC+NAED=NAED+NEAD=90,，NBEC=NEAD,/.RtA AED^RtA EBC,AE DE.EF_DE同

（1）的理由可知:~EG~~GM2如图1,过点G作GM_LCD于点M,EF AE AE DE~~~~~~EG EBEB CB•DE DEJCB=GM,在^BCH和^GMH中，ZCHB=ZMHG ZC=ZGMH=90°,CB=GM.•.△BCH^AGMH AAS,・・・BH=GH；3证明如图2,在EG上取点M,使NBME=NAFE,过点C作CN〃BM,交EG的延长线于点N,则NN=NBMG,•.*NEAF+NAFE+NAEF=NAEF+NAEB+NBEM=180，NEFA=NAEB,AZEAF=ZBEM,AAAEF^AEBM,.AE_EFZAEB+ZDEC-1800,ZEFA+ZDFE=180°,而NEFA=NAEB,・・・NCED=NEFD,VZBMG+ZBME=180°,・・・NN=NEFD,•.*Z EFD+ZEDF+Z FED=Z FED+Z DEC+Z CEN=1800,，NEDF=/CEN,AADEF^AECN,DE EF■..=,EC CN,AE DE又丁——二——，EB EC.EFEF,,W-C7V；ABM=CN,在^BGM和^CGN中，ZBGM=/CGN ZBMG=4N,BM=CNV（）AABGM^ACGN AAS,・・・BG=CG.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

22.问题背景如图

（1）,已知△ABCWXADE,求证一尝试应用如图

（2）,在.ABC和,ADE中，ABAC=ZDAE=90°，ZABC=ZADE=30°，AC与An p-DFDE相交于点尸.点在3C边上，——=6求——的值；BD CF拓展创新如图

（3）,是..ABC内一点，ABAD=ZCBD=30°，ZBDC=90°，AB=4,AC=2日直接写出AO的长.【答案】问题背景见详解；尝试应用3；拓展创新AD=B【分析】A ACAB AC问题背景通过AA5cs△）石得到—=一,一=一,再找到相等的角，从而可证.ABD~ACE；AD AE AD AE尝试应用连接CE,通过，54〜一八4石可以证得〜一ACE,得到型二生，然后去证CE AE△AFE SADFC,AADFS^ECF,通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新在AD的右侧作NDAE=NBAC,AE交BD延长线于E,连接CE,通过上4csBAD^CAE,然后利用对应边成比例即可得到答案.【详解】AB_ACAZBAC=ZDAE,问题背景AABC^AADE,.NBAD+NDAOCAE+NDAC,，NBAD=NCAE,.ABD-e ACE；尝试应用连接CE,ZBAC=ZDAE=90°^ZABC=ZADE=30°，A^BAC-JDAE..AB AD••=,AC AE•NBAD+NDAC=CAE+NDAC,AZBAD=ZCAE,「・©ABD~NACE，BD AD■••=9CE AE由于NAD石=30°，ZDAE=90°，.••to«30°=—=—»A3BD AD=6，CE AEAD=V3，~BDAD丁~ACBEAC=ZDAE=90°，ZABC=NAOE=30°，/C=/E=60°，又ZAFE=/DFC,，△AFE^ADFC,.AF EFAF DFurl..=,即=DF CFEF CF又NAFD=NEFC/.AADF s△瓦户,.DF AD.・・----------=------------=3；CF CE拓展创新AD=y[5如图，在AD的右侧作NDAE=NBAC,AE交BD延长线于E,连接CE,V ZADE=ZBAD+ZABD,NABC=NABD+NCBD,/BAD=/CBD=3f，AZADE=ZABC,又TN DAE=N BAC,/.上AC-JDAE,.AB AC_BC又・・・/DAE=NBAC,.\ZBAD=ZCAE,J.BAD^CAE,.BD ABAD42G…演一而一蕊一法一丁’设CD=x,在直角三角形BCD中，由于NCBD=30，:•BD=A，BC=2X,3/.CE=—x

92.13丫一-石・・DE=%—x—x=——x，虬2J

2..AB BC~\~~D DE4_2x・••茄一石，—x2，AD=y/5【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

23.将正方形ABCO的边AB绕点A逆时针旋转至AB,记旋转角为.连接32,过点作垂直于直线垂足为点£，连接9,CE,1如图1,当=60时，ADEB的形状为____________，连接可求出——的值为_____________-CE2当0＜畿＜360且90时，

①1中的两个结论是否仍然成立如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由;RF

②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出——的值.BE【答案】1等腰直角三角形，72；2

①结论不变，理由见解析；

②3或

1.【分析】1根据题意，证明是等边三角形，得NA8=60,计算出ND9石=45°，根据石_1_班，BB可得ADEB为等腰直角三角形；证明△BZM△CDE,可得——的值；CE2

①连接BD,通过正方形性质及旋转，表示出/EBD=NABD—/ABB=45°，结合DE工，RR，可得ADE为等腰直角三角形；证明△夕OB AEDC,可得——的值；CE

②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可.【详解】1由题知NH49=6r,ZBAD=90°,AB=AD=ABr・・・NBAD=30，且，AB4为等边三角形Z.ZABB=6Q°,/A=g180—30=75・•・ZDBrE=180°—60°-75°=45°DE±BBf./DEB=90°・•・NBDE=45°・•・△DEB为等腰直角三角形连接BD,如图所不•・/BDC=/BDE=45••・ZBDC-ZBfDC=ZBrDE-ZBrDC即/BDB=ZCDE•..CD DE/.ABDBr4CDEBB_BD_2CE-e572故答案为等腰直角三角形，722

①两个结论仍然成立连接BD,如图所示AB=ABf,ZBABr=a.ZABBf=90°--2//BAD=a-90\AD=ABf•.ZABfD=135°--2•・ZEBrD=ZABfD-ZABfB=45°•DEA.BBr*.ZEDBf=/EBD=45°••・△££是等腰直角三角形•:理=6DE••四边形A3C为正方形••・也=叵/BDC=45°CD•.BD DBr~CD~~DE9/EDB=ZBDC./BDB=/EDCVZA=45°,ZACB=90°,，NA=NCBA=45，CA二CB,VDE1AB,AZDEB=90°,•/DK=KB,・・・EK=KB=DK=—BD,2AZKEB=ZKBE,/.ZEKD=ZKBE+ZKEB=2ZKBE,VZDCB=90°,DK=KB,・・・CK=KB=KD二—BD,2AZKCB=ZKBC,EK=KC,J NDKC=NKBC+NKCB=2NKBC,・・・NEKC=NEKD+NDKC=2ZKBE+ZKBC=2NABC=90，•••△ECK是等腰直角三角形.2证明如图2中，在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BF于Q.V Za=45°,DE±AE,A ZAED=90°,NDAE=45°,・•・AADE是等腰直角三角形，.\DE=AE=BG,VZ1+Z3=Z2+Z4=9O°,Z1=Z2,AZ3=Z4,/.ABDB AEDC:―吧mCE CD，结论不变，依然成立

②若以点9,E,C,为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论第一种以CD为边时，则CD〃BE,此时点在线段BA的延长线上，如图所示此时点E与点A重合，BE:・BE=CE=BE,得=1；BfE

②当以CD为对角线时，如图所示此时点F为CD中点，DEA.BBf・•・CBf±BBr丁/BCD=90°.*•ABCF ACBrFABBC.BC CBrBBf个CF BrFCBr・•・BBr=4BrF.BE=6BF,BfE=2BrF.•空二3BrEBF综上丁的值为3或

1.BrE【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键.

24.如图，在Rt^ABC中，AC=BC=4ZACB=90°,正方形尸的边长为2,将正方形3DE/绕点B旋转一周，连接9AE、BE、CD.1请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；⑵求当点E在线段AF上时CD的长；3设AE的中点为连接尸试求尸加长的取值范围.【答案】1证明见详解；2旧—也；⑶CwFM工3日【分析】1根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可以判断△ABE-ACBD.2I艮据相彳以三角形的，性质得至U AB=0BC=4V2，I艮据勾股定理得AF=yjAB2-BF2=^4^2-2=2近，如图1,E在线段AF上，AE=AF—EF=2近—2，从而求出CD的长.3如图2,延长EF至IJG,使FG二EF,连接AG,BG,求得△BFG是等腰直角三角形，得至ljBG=0BF=2亚,设M为AE的中点，连接MF,根据三角形中位线定理得到AG=2FM,根据三角形的三边关系即可得出结论.【详解】解1△ABE^ACBD,•・•在RtZkABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,AZABC=ZEBD=45O,BE=V2，~BAZABE=ZCBD,DAB BE■..=,BC BDAAABE^ACBD；2VAABE^ACBD,AE BE■=V2_______V2/.CD=AE,2•布一访•;AC=BC=4,NACB=90，••AB=^/2BC=4\/2，•/当点E在线段AF上时CD的长，NA尸5=90，•#-AF=ylAB2-BF2=74722-22=277，如图1,AE=AF-EF=2g-2,AC/=714-V2；所以CD的长为-V

2.3如图2,延长£尸到G使尸G=E/，连接AG,BG,则△3bG是等腰直角三角形，:・BG=®BF=2vL设”为AE的中点，连接MR，M/是△AGE的中位线，.AG=2FM,SA ABG中，9AB-BGAGAB+BG,工2及9比6逝，A V2FA/3V2•【点睛】本题考查了相似三角形的综合内容，这涉及到相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形中位线定理，能正确做出相关的辅助线是解决本体的关键.

25.在八ABC中，ZACB=90°,C是中线，AC=BC,一个以点为顶点的45角绕点旋转，使角的两边分别与AC、的延长线相交，交点分别为点从F,产与AE交于点M,DE与BC交于点、N.1如图1,若CE=CF,求证DE=DF;2如图2,在N石尸绕点旋转的过程中，试证明CO=石./恒成立；3若CD=2,CF=C，求N的长.【答案】1详见解析；2详见解析；3DN=—3【分析】1根据等腰直角三角形的性质得到NBCD=NACD=45，NBCE=NACF=90，于是得到NDCE=NDCF=135，根据全等三角形的性质即可的结论；2证得△CDFs/XCED,根据相似三角形的性质得到J=——,即CD2=CE・CF；CE CD3如图，过D作DG_LBC于G,于是得到NDGN=NECN=90，CG=DG,当CD=2,血时,求得CE=2正，再推出△CENs/SGDN，根据相似三角形的性质得到空=0=辛=2,求出GN,GN DGV2再根据勾股定理即可得到结论.【详解】1证明・••/AC》=90，AC=BC,是中线，/.ZBCD=ZACD=45°,/BCE=/ACF=90,.ZDCE=/DCF=135°.CE=CF在.DCE与.DCF中，＜/DCE=/DCF,CD=CD.ADCE沿ADCF.:・DE=DF・,2证明•/DCF=/DCE=135,・•・ZCDF+ZF=180°-135°=45°・/ZCDF+ZCDE=45°,/.ZF=ZCDE..CD CF即CD=CE・CF・•市一访・•・ACDFs MED.3如图，过作GJ_BC于点G,典DGN=/ECN=90，CG=DG.当CD=2,及时,由/，得C£二2枝.在Hr OCG中，CG=DG=CD sinZDCG=2xsin45=夜・・:/ECN=/DGN,ZENC=ADNG,・•・4CENs^GDN..CN CE2A/2C----=2,•——1GN DGV2••・GN，CG，x母二显.333扬=半，DN=NGN+DG2=J]#1+（2【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.VAC=BC,.,.△AEC^ABGC SAS,，CE=CG,Z5=ZBCG,A ZECG=ZACB=90°,:•△ECG是等腰直角三角形，V KD=KB,DE=BG,，KE=KG,，CK=EK=KG,二•BE—AE=BE—BG=EG=EK+KG=2CK.3解结论BE-AE・tana=2CK.理由如图3中，在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BE于Q.VDE±AE,NACB=90，••・ZCAE+ZEQA=90°,ZCBG+ZCQB=90°VZEQA=ZCQB,AZCAE=ZCBG,Be在RtA ACB中，tana=----，AC/、DE BG在RtA ADE中，tana=------=-------,AEAE.BC BG•・-----=------,DE=AE tanaACAEAACAE^ACBG,AZACE=ZBCG,AZECG=ZACB=90°,•.*KD=KB,DE=BG,，KE=KG,AEG=2CK,VBE-BG=EG=2CK,ABE-DE=2CK,/.BE—AEetana=2CK.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.

4.问题发现1如图1,在R3A3C中，AB=AC,D为BC边上一点不与点

8、C重合将线段绕点A顺时针旋转90得到AE,连结EG则线段8与CE的数量关系是，位置关系是；探究证明2如图2,在RQ A3和RQ ADE中，AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转，当点C,D,£在同一直线时，3与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；拓展延伸3如图3,在RtZkBC中，ZBCZ=90°,BC=2CD=4,将△ACO绕顺时针旋转，点对应点区设旋转角NC4E为a01360，当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度.12【答案】C BD=CE,BD1CE；⑵BDLCE,理由见解析；3画出图形见解析，线段砥的长度为一.【分析】1由题意易得AD=AE,NCAE=NBAD,从而可证^ABD^AACE,然后根据三角形全等的性质可求解；2连接BD,由题意易得NBAD=NCAE,进而可证△BAD会4CAE,最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；3如图，过A作由题意可知R3ABCSRQ A，ZBAC=ZEAD=90°然后根据相似三角形的性质及题意易证9△BAEsAD,最后根据勾股定理及等积法进行求解即可.【详解】解:1在中，AB=AC,.ZB^ZACB=45°,VZBAC=ZZAE=90°,.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,即N5AD=NCAE,AB=AC在△BA和△G4E中，\ZBAD=ACAE,AD=AE••.△BAO丝△CAE SAS,・・・BD=CE,N3=NAC£=45,•ZACB=45°,.•.ZBC£=45°+45°=90°,故答案为BD=CE,BD

1.CE；2BD±CE,理由如图2,连接8，・••在RQ ABC和RQ AQE中，AB=AC.AD=AE.ZAEC=45°,9ZCAB=ZDAE=9Q°,.ZBAD=ZCAE,9AC=AB AE=AD,

9.^CEA^/\BDA SAS,.ZBDA=ZAEC=

4509.ZBDE=ZADB+ZADE=

9009.BD±CE；3如图3,过A作由题意可知RtA ABC^RtA AED,ZBAC=ZEAD=90°,AB ACAB AE.——=——,即——=——,AEADAC ADVZBAC=ZEAZ=90°,.ZBAE=ZCAD,.ABAE^^CAD,.ZABE=NACD,VZBEC=180°-ZCBE+ZfiCE=180°-ZCBA+ZABE+ZBCE=180°-/CBA+/ACD+/BCE=90°,•••BELCE,在R3BCD中，BC=2CD=4,；•BD=y/BC2+CD2=A/42+22=275，\9AC±BD,/•SABCD=—AC・BD=—BC9AC,

22.\AC=AE=—A/5,AD=—y15,

55.AF=-CE=2CF=2X YIAC2-AF2=—,559N C•••BE=B/2_C£2=_15=

9.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解.

5.1尝试探究如图

①，在AABC中，ZACB=90°,NA=30，点£、方分别是边BC、AC上的点,且EF〃AB.

①其的值为___________；BE

②直线AF与直线BE的位置关系为；2类比延伸如图

②，若将图

①中的AC斯绕点C顺时针旋转，连接Ab，BE,则在旋转的过程中,Ap请判断黑的值及直线人方与直线的位置关系，并说明理由；BE3拓展运用若5c=3,CE=2,在旋转过程中，当民己厂三点在同一直线上时，请直接写出此时AF【答案】1

①G，

②A尸，3£；2AFA.BE,证明见解析；3AF=36—6或~BE线段A方的长.AF=3y/2+y/3【分析】1

①由锐角三角函数可得AC=V5BC,CF-V3CE,可得AF=AC-CF=6BC-CE,BE=BC-CE,Ap L即可求——=6BE

②由垂直的定义可得AF±BE；AT7AC「2由题意可证△ACFs^BCE,可得——二——=J3,ZFAC-ZCBE,由余角的性质可证AF,BE；BE BC3分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长.【详解】解1V ZACB=9Q°,ZA=30°,BCAC-V。