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年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷（）2022A理科数学
一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.[—1,0B.[-2,0C.0,1]D.0,2]
2.已知复数Z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则1+i
13.
33.B.-2ii--------1—1A.+C.22--------1—12222cos1七+a],则tan2=
3.已知2cos+a=121A.B.-2C.D.------
21.已知集合A={$一B=f（x-1）21L则AcB=（）x
4.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝.“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期.历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化.在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洗砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）1D.-23A.B.C.
5.执行如图所示的程序框图,则输出b的值为（）A.32B.16C.D.4若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则这两种恰好都是产自安徽的概率为（）uur uunRiuun
6.若直线/:3x+4y+a=0（〃£R）与圆O:/+y2=9交于不同的两点a心且04+3=彳-卜3,则4=A.±5A/5B.±3A/5C.±2逐D.±
57.在矩形ABCO中，AB=2AD=12,点E,尸分别是A CO的中点，沿石尸将四边形折起，使ZAEB=60°,若折起后点A,B,C,D,E,b都在球的表面上，则球的表面积为（）A.64兀B.72兀C.84兀D.96兀
8.已知抛物线C:2=2p%（〃0）的焦点为尸，点A（l,机）为抛物线上的一点，且|4刊=|■，点3是抛物线上异于点A的一点，且A,F,3三点共线，则忸用=（）5115A.—B.-C.-D.一
164289.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行男生满分的有26人，所以女生满分的有22人，男生共有46人，女生共有54人，所以男生跳绳个数不足180的有46-26=20人，女生跳绳个数不足180的有54—22=32人，完成的表2如下表所示跳绳个数总计男生262046女生223254总计4852100,一,10026x32-22x
2022.478,因为
2.478V
3.841,由公式可得K=一----------------------------L48x52x46x54所以没有95%的把握认为学生1分钟跳绳成绩满分与性别有关.
（2）
①根据频率分布直方图可得训练前的跳绳个数的平均数为x=155x
0.06+165x
0.12+175x
0.34+185x
0.3+195x
0.1+205x
0.08=180,而之13,所以经过一年训练后，〃=180+10=190,故X服从正态分布N09OJ32}且4+T=203,//-b=177,4+2=216,4-2=164,则P203X216=—[P164X216—P177〈J203卜
0.1359,所以2000x
0.1359=
271.8272,故经过一年训练后，1分钟跳绳个数在203,216]内的人数约为
272.
②由
①知，总人数为272,男同学有136人，故抽取的6人中应该为3男3女.「1CXC29C2CX QC313那么P4=0=W=—,PJ=1=^^=N,pq=2=^^=N,pq=3=W=—,Cl207Cl207Cl207Cl200000则J的分布列为0123P
22.解（i）依题意，直线《的直角坐标方程为y=等％,直线4的直角坐标方程为y=由p=2\/3cos61+2sin,得夕之=2也「cos8+2夕sin
9.0V p~-x+y,夕cos8=x,psin0=y,2A x2+y2-243x-2y=0,即九一行,+y—if=4,曲线C的参数方程为[*=6+2cosa（为参数）.[y=l+2sina9J2由43，得|OA|=26cos工+2sin2=4,p-2Gcos8+2sine,由J3，得|OB|=2gcos工+2sin工=2g,p=2V3cos^+2sin
3.又乙4081，由余弦定理可得|明=2,.,.△AO8的周长/=6+
26.
23.解:1不等式即为|x—4|+|x—1|—32,.xl,[lx4[x4,・•〈或《或〈[2-2x2[02[2x-82,解得OKxKl或1VXV4或4«xW5,综上可得0x5,/.不等式fx2的解集为{x[0x5}.2-2x,x1,2由1得/x=|x-4+x-l|-3=0/x4,2x-8,x4,作出函数的图象，如图所示由于直线y=丘一2过定点C0,-2,当此直线经过点34,0时，可得攵=；；当此直线与直线AO平行时，可得z=-
2.结合图象可知，当直线y=—2与函数/x的图象有公共点时，k-2或kJ.「1A故实数攵的范围为—8,—2u-,+GO.2四边形共七块板组成.清陆以湘《冷庐杂识》卷中写道近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正UULI UH方形ABC，若四边形的面积为7,则EF EB=♦A.—4B.—4^/2C.—2D.—
2、/^
10.如图，在长方体ABC—44GQ中，AA=AB=2BC,M,N分别为棱G2，CG的中点，有以下]判断
①AM,NB是异面直线；
②〃平面AOM；
③直线BN与B、M所成角的大小为60°；兀
④二面角M—AD—C的大小为一.3其中所有正确的判断是A.
①②B.
①③C.
①③④D.
②④
11.已知函数/X=COS7TX,若存在为,々…，七〃满足04%入2V,♦.X〃745,且|/石-/马|+|/%-/玉|+…+|/
4.1-/4|=1加之2,加£可,则机的最小值为A.10B.8C.6D.
512.已知正方形的四个顶点都在函数y=/x图象上，且函数y=/x图象上的点x,y都满足x3-4x-y2°21+x2021+x3-3x-y=0,则这样的正方形最多有A.1个B.2个C・3个D.4个
二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.1Y
13.2x—7的展开式中的x的系数是.
14.设函数/3=〃炉+/在点00处的切线经过点1,1,则实数〃=.
15.已知双曲线C:「一今=la0,b0的左、右焦点分别为耳，F,过耳作斜率为且的直线/与双2曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,且|A月卜忸6|,则双曲线C的离心率为.
16.在ZXABC中，内角A,B,所对的边分别为a,b,c,M2ccosB=2a+b,若△ABC的面积S=J5c,则ab的最小值为.三解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.一必考题共60分.
17.12分C1在数列｛4｝中，q=3,数列｛4｝的前〃项和S〃满足i=—1求数列｛4｝的通项公式；2若d=—1%3求数列｛a｝的前〃项和方.
18.12分如图，在直角△POA中，P0JLO4,尸二204,将△POA绕边尸0旋转到△R9B的位置，使NAOB=90，得到圆锥的一部分，点为今3的中点.1求证PC±AB；2设直线PC与平面％8所成的角为，求sin.
19.12分已知椭圆C-■+表~=1aZ0经过两点1―l,］和V3,-^-l.1求椭圆的方程；2设直线/经过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于不同的两点4B,在x轴上是否存在点Q,使得直线QA与直线Q3的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20.12分Jnx+a.已知函数Jx X1Y1当〃二一一时，证明/%-；2若函数/x的图象恒在直线y=l的下方，求实数的取值范围.
21.12分为了贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校决定学习外校经验在本校推广跳绳运动.为掌握学生1分钟的跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行计分测试，得到如图所示的频率分布直方图，计分规则如表1表1每分钟跳绳个数得分789101规定学生1分钟跳绳得分10分为满分，在抽取的100名学生中，其中女生有54人，男生跳绳个数大于等于180的有26人,根据已知条件完成表2,并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有95%的把握认为学生1分钟跳绳成绩满分与性别有关.表2跳绳个数总计男生26女生54总计100附:n^ad-bc^参考公式K2=〃+Zc+da+cb+d临界值表:
（2）根据外校往年经验，学生经过一年的训练，每人每分钟跳绳个数都有明显进步.假设经过一年训练后,每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10,全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X近似服从正态分布N（〃,b2）（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）.
①估计经过一年训练后，1分钟跳绳个数在（203,216］内的人数；（结果四舍五入到整数）
②若在经过一年训练后，发现
①中的数据是正确的，且其中有136人是男同学，现按照男女比例利用分层抽样抽取6名1分钟跳绳个数在（203,216］内的同学，并在这6名同学中抽取3人，记男同学的人数为求J的分布列.附若随机变量X服从正态分布N.,吟,则—bXV〃+cr卜
0.6827,P（〃-2X K〃+2b卜
0.9545,P（〃-3bX〃+3o■h
0.
9973.参考数据标准差
213.
（二）选考题共10分.请考生在第
22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修4—4坐标系与参数方程］（10分）己知曲线的极坐标方程为夕=26cose+2sin9,直线（=工（pe R）,直线4夕=工（夕wR）.以极63点为原点，极轴为X轴的正半轴建立平面直角坐标系，
（1）求直线4的直角坐标方程以及曲线c的参数方程；
（2）已知直线人与曲线交于O,A两点，直线乙与曲线交于，B两点,求△493的周长.
23.［选修4—5不等式选讲］（10分）已知函数/（工）=卜_4|+归_1|_
3.
（1）求不等式/（x）42的解集；
（2）若直线丁=-2与函数/（x）的图象有公共点，求实数攵的取值范围.年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷2022理科数学参考答案、提示及评分细则A
1.B易知B=Y,0D2,4W,故AcB=[—2,
0.z-l2i—l+2i・l—i]3+
2.D由题意知复数z=—l+2i,则——=---------------------------U—^=—十—i.1+i1+i
2223.A由2cos+=cos—+a,可得一2cosa=-sina,所以tano=
2.12况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为P=9=
2.
1555.B当=2时、进入循环，b=2,=3；当=3时，再次进入循环，Z=22=4,a=4；当a=4时，再次进入循环，b=24=16,a=
5.所以当〃=5时应跳出循环，故输出b的值为
16.uur uun片心uni=/产知〃=丁瞿.又由垂径定理可知
6.A设圆心到直线1的距离为d,由04+08uun2A/—|0+0+6/i—d2=---------=9,故d=«,即J------------------=卮故〃=45±
56.
7.C易得△OCF都是边长为6的正三角形,则球心为线设△ABE的中心为],△£#的中心为仪，段02的中点，易求得QA=2j5,OO=所以球的表面积为13,所以球的半径4==后，4〃OA2=84».C1/1\
8.A由A/7=工八+=1+“=•从2“解得p=
5.则抛物线C y2A（U）,尸]10）设3伊⑷,2因为4「3三点共线，所以上=-空■，解得b=—，（b=l舍去），故BF=—+-^=—.1--L42_141164J
162167749.C设正方形ABC的边长为a[172，则阴影部分面积S=—・3+9・旦+—・3・@==7,所以=4,UUU UULEF EB=V2x2cosl35o=-
2.
2224224164.C由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种，共有15种情
10.B由图易得AM,5N是异面直线，故
①正确；3N〃平面显然BN与平面AOM不平行，故
②错误;取C的中点，连接30,ON,可知三角形30N为等边三角形，故
③正确；由题意知AZJ_平面COQG，故二面角“一AD—C的平面角为NMDC,而tanNMDC=2,故
④错误.
11.C丁y=COSG对任意茗,巧.亿，=1,2,3,…,根，都有〈/力皿稣一/仁丫皿=2，要使m取得最小值，尽可能让%i=123,…，⑼取得最值点，考虑＜.・・＜%,V5,I七二”々|+|/%2二八%3|+…+|/%J-/4|=1°，按下图取值可满足条件，的最小值为
6.
12.B设函数且=严21+.，则函数g是R上的奇函数，且在R上单调递增.由已知可得gd_4%_y+g%=x3—4]一+x2021+/_3%—,=0,所以gd_4%_y=_g%=g-%,所以V—4x—y=—x,即y=V—3%,其对称中心为原点o,所以正方形的中心为原点O.设正方形ABC/、y=kx,9的对角线AC所在的直线为y=AxZwO，由厂3得犬=%+3,所以[y-x-3%,AO2=Y+y2=]+左2卜2=0+左2化+3,同理可得8O2=1+%2___,由AO=灰＞，得k kk1一^+3k--=
0.令k——=m,则加2+3〃Z+2=0,所以机二-1或〃2=—2,kk3r的展开式的通项是T=C；2xf~r
13.280二项式2x—r+l=c；-lr27T所以这样的正方形最多有2个.
3、77——r=l,解得r=
4.故2x—2的展开式中的x的系数是C；-1427-4=
280.
14.-fx=aex-e-x/⑼=a—1,又/⑼=〃+1,所以函数/x=+/”在点0,〃0处92的切线方程为y—〃+1=a—lx,把点1,1代入可得a=-.
15.3如图，因为恒国=忸闾，则取45中点连接用0,可得取0，45,设|A周=忸用=%,因为\AF\-\AF\=2a,2,则\AF\=x-2a，又因为\BF\-\BF\=2a,则\BF\=x+2a，\AB\=\BF\-\AF]=4a^\\AM\=\BM\=2a.则忻|=1{2x{9x.在放△斗与中，\FM\=yl4c2-x2,在2放△AG中，F2M=G-4Q2,所以，4c2—九2=4,解得/=2/+2片.因为直线/的斜3小匚匚/“厂厂F2M，22—2/V3c2-a21〜2=24，所以离心率e=JL率为—，所以tan AMFF=-------=.==—，所以—-------y=—X23口片M Ja2+2c23232〃2+2_
1216.48因为2ccos3=2a+b,由余弦定理得2c---------------------=2a+b,整理得2+/—片=—他，所以2ac,21_21r_Tr\lcosC=---------------=——.又因为OvCv4,所以二——，因为S二一“bsinC二gc,所以Q〃=4C.由lab232余弦定理可得，=/+〃—2cosC,所以皿.因为+/之？，所以16皿--ablab,解得a〃N
48.当且仅当=〃时，等号成立，所以必的最小值为
48.
1617.解1因为=—所以S〃=—4+l.n22〃一1所以当〃22时，S〃_]=——％_]+
1.两式相减，得2%=3〃+〃一〃一1〃一1一〃—1,所以九一la〃+i=M〃一
1.相减得〃一la〃+i-〃-2〃=na〃_n，即24=%+4+1・所以数列｛4｝是等差数列.当〃=1时，4=,4+1,解得q=l所以公差=纥%=
1.3-1所以〃〃=l+〃-l=〃〃£N*.⑵2==RTZ TX~十几9-YT-------------------当〃为奇数时；7；=-12+22-32+--«+-1XH2=[l+2+---+n-l-当〃为偶数时，7；=—『+22—32+・・・+〃2=1+2+.・・+〃=----2-n+n,nN*且〃是奇数，综上所述，T=\2n且几是偶数.I
218.
（1）证明由题意知P0,平面AOB,所以P0LAB.又点C为我3的中点，所以0CJ_A5,夕OcOC=0,所以43，平面0，又PCu平面尸0C,所以PCL4B.uui uimuim
（2）解以为原点，4,0B,尸的方向分别作为x,»z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设04=2,则A（2,0,0）,B（0,2,0）,P（0,0,4）,C（6,叵
0、、ULU ULUULU/所以A3=（—2,2,），AP=（—2,0,4）,PC=〈叵0-4）.uunrrr、〃・AB=—2a+2/=0,z取=1,可得平面PAB的一个法向量为设平面PAB的法向量为〃=（4,Z,c）,贝叫[uunn-AP=—2a+4c=0,15Y b
219.解
（1）由题意，知《=（2,2,1），22所以椭圆的方程为土+^=
1.（）2VW-V543所以sin0=
（2）若存在满足条件的点Q0）.[3丫L二22当直线/的斜率左存在时，设直线/的方程是丁=%工—1,联立+事=1,消去y得3+4左2工2一攵2工+4左2—12=
0.、儿“、X n.4《—124k-12〜设5%,%，则%+/=D今K D^T/V%3—lx—+%不—15—.X I%,^QA+^QB-I%一马78/—24-8女21++2小+4攵26Z«-4=k・422—12-8反+/3+4%2412左2+
3.2—4・••要使对任意实数为定值，则只有/=4,此时，k+k=
0.QA QB当直线/与x轴垂直时，若，=4,也有左@+%3=
0.故在x轴上存在点24,0,使得直线QA与直线QB的斜率的和为定值
0.11In xH—
1.
21.解⑴在抽取的100人中，满分的总人数为100x
0.030+
0.010+
0.008x10=48,。
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