浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年度高一上学期期中联考数学试题【解析版】

浙江省宁波市金兰教育合作组织学年度高一上2023-2024学期期中联考数学试题【解析版】考生须知:

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合:何/—3x20},Q={x|l%W3},则QP Q等于A.[0,1B.0,3]C.1,3D.[1,3]A.Vx5,—x2+2x3B.3x5,-x2+2x3C.3x5,-x2+2x3D.3x5,-x2+

32.命题％5,-/+2尤23的否定是2-x2,

3.已知函数/（x）=+2x—2,17D.~

94.下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）三角形的性质得上-$=1，所以/（%）=/3），这与矛盾，故D选项错误.故选BC.【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值{04},再结合题意讨论各选项即可得答案.

13.-1【分析】利用基函数定义及单调性可得〃2=-1,代入解析式即可求得【详解】由累函数定义可得4―2m-2=1,即m2-2m-3=0,解得根=3或〃z=-1,又函数“X）在第一象限单调递减，所以〃2=-1,即〃力=一,即可得/（H/QibLuT.一]故答案为-

114.81,1L—6【详解】

0.1253--+-222+V2XV3【分析】利用指数幕运算法则化简即可求得答案.丫/13\1IJ———=一一1+42+22x33⑼I J\_5332=8-1+2+2X3=2-l+8+8x9=81故答案为

81.

15.[o,|L2j【分析】根据题意，分4=0和QW两种情况讨论，结合函数特点，求出实数的取值范围.【详解】当Q=0时，无）=—3x+l在（-8,0）上是减函数，符合题意;当4W0时，/（%）=以2_（3+〃卜+1为一元二次函数，对称轴为了=孚,2a因为函数/（工）=加-（3+）l+1在（YO,4）上是减函数,＞03所以3+〃、，解得＜笠，＞------a

2、2a3综上，0＜,2-3一所以实数的取值范围是，5，-3故答案为

5.

1416.—##

2.85【分析】首先根据题中条件//+3=/3-2,结合二次函数的图象求出实数的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.【详解】二次函数/x=f—，+4工+储++10的对称轴为l=平，因为//+3=〃3a-2,所以/+3=3—2或+=审，因为〉0,所以解得Q=l.所以=5x+i2,所以〃2—5〃+12+6+1-7〃+l+24/八24r=〃+l+-------7,7八+1因为gx=x+2—7在0,2⑹内单调递减，在2而+可单调递增,X巾/八424r r小厂24cl4rXg4=4+—-7=3,g5=5+—-7=—3,所以+6〃+l的最小值为

1417.1AnB={^3x5},他AD3={X-4X5故答案为Y2-8,TD2,g【分析】1根据集合的交并补运算公式计算即可.2根据集合的包含关系，分C=0与CN0两类讨论即可求出小的取值范围.【详解】1因为集合4=卜|犬＜-4或血3},B={x所以AcB={x|3x45},44=卜-4%3}所以4AuB={x|_4xW5}2V BCC=C,.CoB

①当C=0时，/.m-\2m,解得加一1m-12m

②当CZ0时，则加一11,解得2〃忘]2m5综上所述加的取值范围是-8,-1口2,|]

18.1—V2F⑵81（

12、【分析】

（1）由已知〃+8=彳（+）-+，展开后结合基本不等式求解.7）2\a b

（2）对已知式子变形，结合已知条件求出（2a-1）・-1）=1,然后再利用基本不等式求解.【详解】

（1）因为、是正数,所以a+/=；a+Z^-+V22当且仅当〃=也聚，人交时等号成立,所以a+b的最小值为:+夜.\22因为—H—=2,a b所以h\,2所以2Q—1〉0,2Q—1・0—1=14a2b

22、122-----------1-------2a—1b—=4+-------+——24+2]---------------\2a-l b-1\2a-\b-\42b所以的最小值为

8.H-------2〃一b-1当且仅当=1,b=2时等号成立,

219.⑴小）=「的‘奇函数⑵单调递增，证明见解析【分析】I根据/0=0求出的值，然后根据奇偶函数的定义判断其奇偶性.2定义法判断函数的单调性.4【详解】1:函数=—〃0且1的定义域为R,2a+a4/0=1--=0,解得〃=2,2+4仆=，，...I72+1八2*+1v2一”+121+1f-x=-f{x}・•・/%是奇函数.2设X，%2£R且％々，222*+l—2*2—122司-2七I2*+12巧+12*+12电+12$+1付+1V2X+10,2々+10,2项一2电0,・•/%1-/X2，即当％1%2时,/Xj/X,2・•・〃尤在R上单调递增.

20.1[4,13]「72-【分析】1将1=1代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..2分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.【详解】1根据题意，函数/力=炉—2”1%+4,Vr=l,则/x=f+4,又由—l4x3,当x=0时，〃x有最小值4,当x=3时，“X有最大值13,则有4W/x13,即函数的值域为［4』可2/x=x2-2[-lx+4vtr整理得犬+2x+43/x.x+2x+

44..3t---------------=x+-+2x x4+—多+巴]=中2—4…2则g%-g%2=XI Xl令g%=xT—，设玉,工2£[4,10],且%2,因为不々一4〉0,%-x0,2所以g—g%，即gXlg%2，所以8同=1+±在[4,10]单调递增，

4、所以当x=4时，x+—+2=7,\X/min•八7••I•3f122—-X+30X-200,0X

5021.1Lx={z、；260,280万元400-x+三四,尤・50I xJ【分析】1可得销售额为

0.05xl000x万元，分0x50和xN50即可求出；2当0x50时，利用二次函数性质求出最大值，当X250,利用基本不等式求出最值,再比较即可得出.【详解】1:每千件商品售价为50万元.则天千件商品销售额

50、万元、11当0x50时，=50x--x2+20x-200=——x2+30x-20012J2n八n、a

八八八、当x.50时，Lx=50x-51x+^^-600-200=400-x+X J\XKf172―-X+30X-200,0X50£=3600400—x H-----,x..502当0x50时，LU=--X-302+2502此时，当x=30时，即Lx“〃30=250万元当50时，L=4OO-|+|400-2Xk x，x=400-120=280此时x=幽，即x=60,则Lx,,L60=280万元x由于280〉250所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元.【点睛】关键点睛本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.

22.⑴单调增区间为0,+,-3,021⑶M〃2a—6,a e【分析】1根据题意，分x0与xvO讨论，即可得到结果；Q2根据题意，求得函数/x的最大值，即可得至lJ〃x ax=-+a-2,从而求得结果；m3根据题意，由条件可得/%在［1,3上单调递增,在［3同上单调递减，,6］上单调递增，即可得到结果.【详解】1当Q=o时;fx=|x|--x^o,g Qx0时，/x=x—,由=%与=——在0,+单调递增可知，此时“X的单调增区间为0,+8，9xvO时，fx-—x—,此时/X的单调增区间为-3,0,由对勾函数的性质可知，・•・此时“X的单调增区间为,+“，—3,

0.__Q2当x e［1,6/j时，f x=-x-----F2a,因为函数/（%）在［1，4上单调,所以1＜a？3,此时〃力在［1,4上单调递增，〃同四=〃）=，+”,Q由题意/（力皿、=一一+＜一2恒成立，即/+2〃_9V0,所以-J10—\＜ci＜J10—19又Iv？3,的取值范围为1＜＜9—

1.9—x---F2a,xG［1,Q］

（3）当x«l,6］时，/（%）=%,x—,a e（,6］又＜3,6）,由上式知，/（X）在区间（,6］单调递增，当〃«3,6）时,〃力在［1,3）上单调递增,在［3间上单调递减,所以，〃力在［1,3）上单调递增,在［3,句上单调递减,（Q,6］上单调递增,92n9\24/则/㈤网=max/3,〃6=max2”=2a-6,ae—,649八21不£3,二2I4；〃综上所述，函数“X）的最大值的表达式为:M=「2112〃一6,〃£—,6[4JA.[-2,2]B.-2,2C.-2,11,2D.[-2,11,2]i ii

6.设=信『，b邛，c=C「，则J\6j\5A.cba B.ach C.bac D.bca

7.某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第〃天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时[小单位小时大致服从的关系为，冷=a，N0为常数.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为A.6小时B.7小时C.9小时D.5小时

8.已知函数〃九=^^1WXW2,函数8尤=二-1%41工2,若任意的%«1,2],人I1存在％目1,2],使得/xj=g%,则加的取值范围是55-55392_A.1,-B.l,+o C.2,-D.v32

二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设/X是定义在R上的奇函数且在0,+上单调递减，/Y=0,则A./%在-8,0上单调递减B.f80C.不等式〃%0的解集为F,-410,4D.〃%的图象与X轴只有2个公共点

10.下列命题中正确的是A,+4+/:的最小值为2起，r+4B.已知力GR,贝广4W0”是“曲0”的必要不充分条件C.已知“X为定义在R上的奇函数，且当x时，fx=-x2+x,则xvO时，〃X=%2+XD.〃力=国与gx=G是两个相同的函数

11.已知函数y=/x—l的图象关于x=l对称，当与,％2£-8，°]，且用々时,//[/30成立,若4施/2f+l对任意X£R恒成立，则实数匕的可能取值为A.0B.—C.—1D.—

2212.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名fl x为有理数命名的函数/%=:不工工田将称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是[0,x为无理数A.函数/⑴的值域是1]B.PxsR,ffx=\C./x+2=/x对任意xeR恒成立D.存在三个点AxJx,BX2,/X2,CX3,/X3,使得4ABe为等腰直角三角形非选择题部分

三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知幕函数”x=〃2*2/在第一象限单调递减，则〃加=.

14.

0.125-5-+[-22J+V2XV36=.

15.函数/%=加-3+〃x+1在YO,〃上是减函数，则实数的取值范围是.

16.已知函数/x=Y一〃+4%+++10々0,且+3=/3々一2,则f〃eN*的最小值为--.

四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合A={x|x«-4或x23},B={x|l x5},C={x|根一12根}.⑴求AcB,可B；2若BfC=C,求实数〃2的取值范围.

1218.已知正数、b满足一+7=

2.a b1求的最小值；4〃2b⑵求广7十三的最小值.la-\b-\

19.已知函数〃尤）=1-五占（Q〉0且4W1）的定义域为R,且〃）=

0.⑴求函数的解析式，并判断其奇偶性；⑵判断函数/（力在R上的单调性，并利用单调性定义法证明.

20.已知二次函数/（x）=d—2（…l）x+

4.⑴若求/⑺在［-1,3］上的值域；⑵若存在x«4,10］,使得不等式/（x）〈氏有解，求实数，的取值范围.

21.2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活.为应对疫情，某厂家拟加大生产力度.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产1千件，需另投入成本

（九）.当年产量不足50千件时，C（X）=^X2+20X（万元）；年产量不小于50千件时，C（x）=51x+您-600（万元）.每千件商品售价为50万元.通过市场分析,x该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量1（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

922.已知函数/

（1）=k一4——+〃，aeR.JC

（1）若4=0,求“X）的单调递增区间；⑵若函数“X）在［1间上单调，且对任意〃x）v-2恒成立，求的取值范围；⑶当£（3,6）时，函数在区间［1,6］上的最大值为M（a）,求〃（）的函数解析式.

1.c【分析】利用一元二次不等式解法可得={尤|123或x40},再由补集、交集的运算法则即可求得结果.【详解】解不等式3x30可得X23或x0,即尸=卜代之3或xWO},则条尸={,工3},又0=卜|1%43},所以低PCQ=N1X3}=1,

3.故选C

2.C【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】命题“Vx5,—/+2/3”的否定是“王〈5,—£+2%3”.故选C

3.D21【分析】根据题意，由函数的解析式可得/2=6,进而可得八布=/3,由解析式计算可得答案.2—V2V-1【详解】根据题意，函数/=

2.\，，，则/2=22+2X2-2=6,f+2x—2,x〉lX.则/岛=；=2一»=故选D.【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

4.C【解析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个心都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个工都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除，故选C.

5.B【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.x-1【详解】由函数y二下^有意义，则满足4--0,即—2X2,74-x所以函数的定义域为（-2,2）,故选B.

6.C【分析】对3r，分别化简放缩，利用指数函数〃力=-单调性，即可15Jl6j求此/z.V£设函数〃司=-，因为£1,所以/（X）单调递增,575【详解】由题因为，〉《，所Q以=从4515Jiiii因为c=（£’=（邛¥丫件|,所以ca,57\47k5/\5；所以bc,故选C

7.B【分析】按照题目所给的条件，算出力,N°,再代入计算即可.【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以16N°,所以2=10,即％=40,「40所以7K=5,解得乂=64,40,〃64所以/⑺气4n5,n644020所以第36天检测过程平均耗时，

（36）=K TR7小时,故选B.

8.D【分析】对/X分离变量化简，结合单调性，求出“X和gx的值域，由题意可得“Xx+m x+l+m-l im-\------=---------------=1+-------【详解】〃％=1x2,=x2,的值域为gx值域的子集，解不等式可得所求范围.

①当%1时,函数在区间［1,2］上单调递减，函数gx在区间［1,2］上单调递增,可得m+2m+1-与由题意，得m-1W-------------2m-2,wwf m1;

②当相1时，函数在区间［L2］上单调递增，函数g力在区间［L2］上单调递减,m+l m+2~2~3口工+‘口c c2+12+

2.由题思，得2加一2------------m-1,23

③当根=1时，/x=l,gx=，显然不满足,故实数用的取值范围为故选D.

9.AC【分析】根据奇函数特征，画出/x的大致图象，结合图象分析四个选项.对于A,因为/x是定义在R上的奇函数且在,+司上单调递减，/-4=，根据奇函数特征，所以/£在-,0上单调递减，〃4=-/-4=0,〃0=0,故A正确;【详对于B,画出大致图象如图，根据图象可知/

（8）0,故B错误；对于C,如图可知，不等式〃司0的解集为（—,7）1（0,4）,故C正确；对于D,“X）的图象与1轴只有3个公共点，分别是（T），（0,0）,（4,0）,故D错误,故选AC.

10.BCD【分析】对于A,由基本不等式即可判断；对于B,利用充分必要条件的概念判断即可；对于C,利用函数的奇偶性求解析式即可；对于D,判断两个函数的定义域，对应关系是否一致即可.【详解】对于A,必二+不^之么小时二2/，6+4\VX2+4当且仅当月+4=2时取』”，显然不成立，所以A错误；对于B,由〃w0/abw,而W0=QW0,所以是“昉的必要不充分条件，所以B正确；对于C,为定义在R上的奇函数，x0时，/（x）=—/+x,X0时，-Xo,则/（_%）=_（_工）2_JV=_/（X）,所以/（x）=—犬―X,则C正确；对于D,〃x）=|x|,g（x）=7=W，两个函数的定义域，对应关系都一样，所以是两个相同的函数，则D正确；故选BCD

11.ABD【分析】由函数的图象关于x=l对称，得到y=f（x）的图象关于y轴对称，即〃%）为偶函数，再根据当冷马武田刈，且玉时，/«）/（o成立,得到1）在（f,］上递减，在［0,+8）上递增，然后将/（4区）/（2/+1）对任意XER恒成立，转化为14M v2f+1对任意x£恒成立求解.R【详解】解因为函数y=/（x-1）的图象关于x=l对称,所以函数y=〃x的图象关于y轴对称，则〃x为偶函数,又因为当X不£e,O］,且工产工2时，//一/%成立,-x-x2}所以〃“在T,0］上递减，在［0,+8上递增,则〃4施/2/+1对任意R恒成立，XG即f\4hx\/2Y+1对任意x£R恒成立，即|4/7X|2X2+1对任意x GR恒成立,当x=0时，Ovl成立；当xwO时，即陷2国+同对任意％eR恒成立，而2凶+看臼2|必看=2夜，当且仅当2凶=百，即W4时，等号成立，所以\4b\272,即问〈正，2故选ABD

12.BC【解析】根据新定义函数得函数的值域为{01};无论为有理数还是无理数，均为有理数，故心£化//切=1；由于X与X+2均属于有理数或均属于无理数，故/x+2=/x对任意xeR恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解对于A选项，函数的值域为{01},故A选项错误.对于B选项，.当x为有理数时，=//W=/%=1当x为无理数时，〃x=，//W=/O=l所以X/ER,//x=1,故B选项正确.对于C选项，x为有理数时，x+2为有理数，/x+2=.fx=l当x为无理数时，x+2为无理数，/x+2=/x=所以〃x+2=/x恒成立，故C选项正确.对于D选项，若A3C为等腰直角三角形，不妨设角3为直角，则/%,/々,/不的值得可能性只能为/%=0,/工2=电=或〃与=1，/伍=，/七=1，由等腰直角。