湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年度高一上学期期中数学试题【解析版】

湖南省邵阳市第二中学学年度高一上学期期中2023-2024数学试题【解析版】总分150时间120min

一、单选题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知集合4=口|—lxl},3={x|0«x2},则A B=A.[0,1B.-1,2]C.1,2]D.0,1A.y=42B.y=y[j^D.

2.在下列函数中，函数y=|x|表示同一函数的

3.设xeR,则“0xv5”是“|x—1|1的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若以«1,3],使2——4X+7—机0成立，则〃2的取值范围为A.5,+8B.5,13C.13,+oo D.―/

35.已知函数〉=7^7+一二则函数定义域为x-2A.[1,4-00B.2,+00C.1,+^113则的大小关系是6・收=—,b=—,c=—A.cab B.cbaC.acb D.bca

7.若4〃C,〃£N,且一1+[L一^恒成立，则〃的最大值是a-b b-c a-cTA.2B.3C.4D.

68.设函数八％的定义域为R,满足〃x=2/x-2,且当工«—2,0]时,fx=-x2-2x.若对任意X£YO,何，都有/xK7,则实数小的取值范围是33\门、1当A/小-2=/--2=f--=f-=5,\z7\z/乙乙此时x-2/x,故C错误;对D选项，由图知，当XER时,/幻0,且心时，〃xx恒成立,可令，=/%,则％20,故〃，=/可，所以//%«/力，故选项D正确；【分析】根据命题否定的定义写出即可.【详解】命题“Vx«0,o,2x+l0”的否定是现«0,+oo,2x+l0；0故答案为3x eO,4w,2x+l

0.o

014./x=x2-l,xl【详解】配凑法/五+1=%+2五+1-1=五+1-1故答案为:/x=x2-l,xl换元法令4+1=拈1,则x=12,代入,f4+l=x+2五可得/⑺=12+21=/-1故答案为/%=尤2-1,%之

115.-10【分析】由函数“力的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.【详解】因为/工=加+3+3,2023=ax20235+Z x20233+3=16,所以a x20235+匕x20233=13,所以/-2023=Q x-20235+〃x-20233+3=-a x20235+b x20233+3=—13+3=-10,故答案为-

10.

16.3一6〈攵2或3〈人43+6r+6〉5k【分析】分2=

0、k

0、%0三种情况讨论，当攵0时得到，,八，即可求出女的k2+66k取值范围.【详解】

①当攵=0时，，解得x4,不符合题意；、k2+6故氏W0,关于X的不等式丘一6x—40,即上X———x-4o,22—

②当％0时，不等式即寸]%-40,解得/4或x号，即它的解集为V kk“2i AA

③当左0时，不等式即x-

40.-8，^U4，+8,不满足题意；由于竽曰=24,当且仅当％=时取等号，故它的解集为卜，宁解得3—6工左2或3攵43+6,则实数攵的取值范围为3-6“左2或3%3+

6.故答案为3—或3Vz3+

6.

17.1ACB={X2〈X4},4Ac3={x[4xW7}2{m\m2}【分析】1由交集和补集的概念求解，2转化为集合间关系列式求解.【详解】1当m=3时，B={^|2x7,AcB={x2x«4},\A={x-3^x4],他AcB={x4x7}.2由A「8=3得8=当B=0时，得〃z-l＞3加一2,解得根＜L2＜m-l3m-2当3工0时，得,机一12—3,解得;〈根＜2,＜3m-24综上，加的取值范围为{间机＜2}

18.l/x=x2,gx=-X⑵/zx在o,+x递增，证明见解析【分析】1设/x=x°,得0=2,求解可得函数“X的解析式，由〉+加一5=1,求解得函数gx的解析式，再检验gx即可；2根据定义法的步骤即可判断单调性.【详解】1设/x=x若事函数y=/x的图象过点血,2,则『=2,解得0=2,故〃耳=%2,由机2+加一5=1,解得相=2或根=一3,故gx=J或gx=4,X又塞函数屋司=＞+机-5卜2的图象不过原点，故gx=LX2由1得〃x=/x—2gx=f—二，XM%在0,+8上单调递增,证明如下设＜%＜々，贝[J/lxj—//=%；------^2~H----------=%+々七一次2+^^—^^=%—%2X\+X2X\X22]1X\X22因为0＜石＜工2，所以%-％2＜%+工2+——＞0,一1也所以/zxj—/zwo,即/2%力工2,故〃x在0,+8上单调递增.

19.ltz=l,b=2,⑵答案见解析【分析】1根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、b的值；2不等式化为x-1-20,然后分=0,0和0讨论即可求出不等式的解集.【详解】1不等式加-3x+2〉的解集为或x｝,所以1和是方程ar-3x+2=0的解，所以〃-3+2=0,解得=1;2由根与系数的关系知lxb=—,解得分=2；a所以Q=1,b=2；.2由1矢口，不等式ex—为ex—c+2x+20,BP x-lcx-20,当c=0时，不等式化为—2x—10,解得xl；2当0时，解不等式得—%1；c222当c0时，若一1,即02时，解不等式得xl或x—,若一=1,即c=2时，解不C C C22等式得XW1,若一1,即c2,解不等式得尤〈—或x〉l,CC综上知，c、=0时，不等式的解集为｛x|xl｝；c0时，不等式的解集为卜20c2时，不等式的解集为或x—｝；C=2时，不等式的解集为｛xlxwl｝2c2时，不等式的解集为｛x|x±或x〉D.Cr+l,r0,

20.1g⑺=LOWYl,2见解析厂一2f+2J〉

1.【详解】【试题分析】1由于函数的对称轴为1=1且开口向上，所以按/+1〈1/1/+1,小三类，讨论函数的最小值g，.2由1将分段函数g⑺的图象画出，由图象可判断出函数的最小值.【试题解析】1依题意知，函数/“是开口向上的抛物线，卜_r・•・函数”X有最小值，且当X=-+=-£=1时，/x而n=l・下面分情况讨论函数/x在闭区间1+1]CER上的取值情况

①当闭区间M+l]UTX4，即0时,/力在x=/+l处取到最小值，止匕时=，+12—2+1+2=产+1；

②当1£附+1],即OWE时,/力在x=l处取到最小值,此时g«=l；

③当闭区间即1时，〃在％=，处取到最小值，止匕时g«=/一2，+

2.t2+1,/0,综上，g的函数表达式为g[=hOrl,/一21+2,/〉

1.2由1可知，g为分段函数，作出其图象如图由图像可知g而产

1.【点睛】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.由于二次函数的解析式是知道的，即开口方向和对称轴都知道，而题目给定定义域是含有参数的动区间，故需要对区间和对称轴对比进行分类讨论函数的最值.-1X2+10X-30,0X10,450-2x--------+85,10x

50.⑵当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大,最大值为25万元【分析】1根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解,2根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.、11【详解】1当OvxWlO时，y=12x--X2+2%-30=--X2+10%-30；

1227450、450当10vx50时，y=12x—14x+--—115—30=—2x——+

85.\xx12—x+1Ox—30,0x10,故y=J2450-2x--------+85,10x

50.x2当0xW10时，函数y=-+30为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x=\0所以y=—+10%_30在0,10］上单调递增，故ymax=—；xl02+l°xl°—30=20万元；450450A I450当10vx50时,y=-2x-----------+85=—2x+——+85—

2、2x——+85=25,x xV x450当且仅当2x=』，即x=15时，等号成立.x即当x=15时，Wax=25万元.因为2025,所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.

22.1-1；⑵增函数，理由见解析；【分析】

（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；

（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；

（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】

（1）由题意，函数〃犬）对任意的正实数达y都有/（肛）=/（x）+/（y）恒成立，令％=y=i,可得〃D=/⑴+/⑴，所以/

（1）=，令x=2,y=，可得/⑴=/

（2）+/1）,即1+心=o,解得樽J；

（2）函数”可为增函数，证明如下设看,々£（,+8）且再＜々，令X=X],y=匕，根据题意，可得/（%）+/

（三）=/（%）,即/（%）一/（%）=/（上），X[X]X]又由%＞1时,f（x）＞0,因为强＞1,可得/

（二）＞0,即/（%）—/（再）＞0,即为/）＞/（王）,所以函数y=/（x）在（,+⑹上的单调递增；

（3）由题意和

（1）可得/（8x-6）-1=/（8x-6）+/

（1）=（8x-6）]=/（4x-3）,乙乙2x4x-3可得4x—30又由不等式/（2x）＞/（8x-6）-l,即/（2x）＞/（4x-3）,即不等式/（2x）＞/（8%-6）-1的解集为卜子eV5}.【点睛】关键点睛令x==三，构造大于1的实数是证明单调性的关键.,+OC7B.C.卜，¥]D.1-00,5—用

二、多选题共4小题.每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分

9.下列命题中真命题的有A.若〃，b,ce R,且以2从2,则B.若xwR,贝NY+2+/的最小+2值为2Z7hC.若a〃0,cd0,则二-D.若则cf+l〉？a c

10.已知函数/力=产图像经过点9,3,则下列结论正确的有A.“X为偶函数B.“X为增函数C.若x〉l,则〃%1小⑴D.若…，则《宁]〉

11.若正实数乂y满足x+y+w=8,则下列结论正确的是A.x+y的最小值为4B.个的最大值为4C.x+2y的最小值为6四-3D.9+产的最大值为

12.设函数/x=min{x-22，M X+2F},其中min{a,/,c}表示a,b,c中的最小者，则下列说法正确的是A.f-x=fxB.当时,则C.当x«l,+8时，则〃x—2W/xD.//^/x

三、填空题共4小题，每小题5分，共20分

13.命题2x+l0的否定是.

14.已知/«+l=x+2«,求的解析式为.

15.已知函数/%=以5+匕2+3且/223=16,则/—2023的值为

16.若关于x的不等式丘-公一6x-4〈有且只有一个整数解，则实数%的取值范围是.

四、解答题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.设集合4={闻-3Wx4},5={x,⑴当m=3时，求Ac3；钎B2若=求实数〃2的取值范围.

18.已知鬲函数y=/x的图象过点加,2,幕函数gx=〃，+”5卜2的图象不过原点.⑴求函数/%与gx的解析式；⑵设函数M%=x-2gx,判断力⑺在0,+a上的单调性并用定义证明.

19.已知不等式2_3x+20的解集为“1%1或x}.⑴求实数，〃的值；2解关于1的不等式52—+与x+次,〉其中为实数,

20.已知函数/x=Y—2%+2在闭区间山+1]，£氏上的最小值为g⑺.1求g«的函数表达式；2画出gQ的简图，并写出g⑺的最小值.

21.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工1万件该品牌服装，需另投入“X万元，且12—x2+2x,010,/*二f根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每14x+^-115J0x

50.、x代加工一件服装，可获得12元的代加工费.⑴求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y单位万元关于年代加工量x单位万件的函数解析式.⑵当年代加工量为多少万件时,该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大并求出年利润的最大值.

22.设函数“X的定义域是0,+8,且对任意正实数-y都有〃w=/x+〃y恒成立，已知/2=1,且当x〉l时，fx

0.⑴求的值；2判断y=/力在区间0,+“内的单调性，并给出证明；⑶解不等式〃2x〃8x—6—

1.

1.A【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.【详解】因为集合人={兄—lxl},5={x[0x2},故AcB={x[Oxl},故选A.

2.C【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案./、f x,x20【详解】由题意，函数y=|x|,其定义域为其解析式为y=八，I-x,xU对于A,函数y=（«『，其定义域为[0,+）,故A错误；对于B,函数=正=力其定义域为（华,内），对应法则不同，故B错误；对于C,与题目中的函数一致，故C正确；2对于D,函数嘀，其定义域为{小叫，故D错误，故选C.

3.B【分析】求出|x-1|1的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】k―1|1等价于0x2,故0vx5推不出|x—1|1；由|九一11能推出0vxv

5.故0v%5»是“I x-11v1”的必要不充分条件.故选B.【点睛】充要条件的三种判断方法⑴定义法根据〃进行判断；

（2）集合法根据由p,9成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；⑶等价转化法根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在工3]上最大值即得结果.【详解】不等式2x-4x+7-机0,等价于桃〉一4工+7,依题意，Vxe[l,3],m2/-4x+7恒成立，而函数y=2Y_4x+7在[1,3]上单调递增,当x=3时，=13,因此加〉13,max所以〃2的取值范围为（13,+8）.故选C

5.D【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.【详解】要使函数有意义，则fx-l0[x-2w0解得且xw2,所以函数的定义域为[l,2）u（2,+o））,故选D.

6.A【解析】易得b=JFl，再由a」邛」2丫单调性判3利用基函数的⑴127；断.【详解】因为〃=—=—l,b=—l,c=31⑶，r8v一=—i，Q Q]且Ov彳yv^vl，尸/在（0,+）上递增，4/L U⑴

（27）所以（_1丫/2干，即cva,127；116；综上cab故选A

7.C【详解】试题分析由一1+1匚2—仁恒成立,a-bb-c a-c则〃4汨+产恒成立，a-b b-ca-c a-c\即〃v—，Sb b-cj.n n,ci—c ci—c a—b+b—c ci—b+b—c-b—c ci—b.由------+-------=----------------+----------------=2+------+-------4,a-b b-c a-b b-c a-b b-c当且仅当，-人=人-c时等号成立，所以〃44,故选C.考点基本不等式.

8.D【分析】根据所给函数满足性质，结合函数图象的伸缩平移变换可作出函数的大致图象，求得函数值等于7时的x的值，数形结合，可求得答案.【详解】因为2,0］时，/x=—V—2x,由〃x=2/尤-2可知，即将2,0］的图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到光0时图象，又由/x=2〃x—2可知/x=；fx+2,当2时，将2,0］的图象向左平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的!倍，如图所示令/%=—8x—52+8=7,得天=5—4或无2=5+乎，若XGYO,何时，/X47成立，则相-乎，所以实数加的取值范围为1-8,5-左］,故选:D.

9.AC【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得.【详解】对于选项A,改2历2则0工0/2〉0,因此不等式两边同时除以02,即可得人因此选项A正确；对于选项B,+2+/I2,当且仅当+2=/J时,等号成立，但此时X无yjx2+2犷+2解，因此最小值不为2,所以选项B错误；对于选项C,cd0,.」10,而a60,二.二2,因此选项C正确；d cd c对于选项D,当a=l时，a2+1=因此选项D错误.故选AC

10.BCD【分析】根据函数/（司=厂图像经过点（9,3）,得到/（=£,定义域为+勾）,然后逐项判断.【详解】解:因为函数〃％）=上图像经过点（9,3）,11所以9a=3,解得=5,则〃力3定义域为+8）,定义域不关于原点对称，所以“X）不是偶函数，易知“X）为增函数，所以当x〉l时，〃%）1,x+x由图象知:A（%2象（%2）），3（%J（%）），C122,fM+fM所以当石工2时，f作出函数“X）的图象，如图所示故选BCD

11.ABC【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，正实数羽y满足1+，+孙=8,对于A中，由x+y=8——宁产，当且仅当x=y=2时，等号成立，可得x+y2+4x+y—3220,解得x+y之4,所以A正确；对于B中，由x+yN4,可得》=8-％+、4,当且仅当x=y=2时，等号成立,所以W的最大值为4,所以B正确；对于C中，由x+y+肛=8,可得x+ly+D=9,则x+2y=x+l+2y+l—322jx+lx2y+l—3=60一3,当且仅当x+l=2y+l=30时，等号成立，所以C正确；对于D中，由M+y=x+y2-2xy=S-xy2-2xy=xy-92-17,因为vx*4,所以9+2的最小值为8,当且仅当％=,=2时取得最小值，所以D错误.故选ABC.

12.ABD【分析】根据题意画出了龙的大致图象，然后依据图象逐个检验即可.【详解】根据〃x=min{x-2次凡X+22},作出以下图形，x,x-4或x4或-1x1,对A选项，/%=x+22,-4x-l,,x-22,1x4,结合图象可知/X为偶函数，所以/-x=/x恒成立，故选项A正确；对B选项,当■[-3,3]时,/3=/-3=1,/1=/-1=1,显然根据图象得了%WL故B正确;对C选项，当N时,〃%=卜一2『』4,x,x4。