用锐角三角函数概念解题的常见方法含答案11页

用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点

1.锐角三角函数1锐角三角函数的定义我们规定.a b a bA AA4s inA=9cosA=9tanA=,cotA=•c cba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数.2用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题.

①已知角求三角函数值；

②已知三角函数值求锐角.

2.特殊角的三角函数值a sin a cos a tan a cot a30°45°1160°直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.

3.锐角三角函数的性质10sinal,ocosal0°a90°2tan a•cot a=1或tan a=!—•colasina cosa3tan a=------,cot a=--------.cosasin a4sina=cos90°-a,tan a=cot90°-a.方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法:

一、设参数例

1.在AABC中，ZC=90°,如果tanA=»,那么sinB的值等于（）12AT5解析如图1,要求sinB的值，就是求一上的值，而已知的tan A二二，也就是AB12BC_5可设=5攵，AC=12k则AB=J（5Z）2+

（12）2:13k.n12k

12、斗二.sin5=----=—,选B13k13

二、巧代换c为sin二一2cos口小…L例

2.已知tana=3,求--------------------------的值5sina+cos解析已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式（Qin7tancr=--------=3,作代换sine=3cose,代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos分式的分子、分母都除以coscin/y I再把津上=3代入，得原式=_L16C0S6Z

三、妙估计例

3.若太阳光与地面成37角，一棵树的影长为10m,则树高h的范围是（取）V3=

1.7A.3h5B.5h10C,10h15D.A15解析如图2,树高/z=10tan37，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30°tan370tan45°即10tan3010tan37010tan45°・・.5/z10,故选B

四、善转化例

4.在A4BC中，ZA=30°,tan B=8C=而，求AB的长3解析注意题中所说的AA6C并不是直角三角形！如图3,AA3C不是直角三角形，为了利用tan3=,，可以作CD，AB于D,这样就是一3直角三角形中的一角，NA也出现在另一个直四角三角形中，回I3设CD=元，则5£=3x由一+（3x）2=（加）2,得x=l§P CD=1,BD=3再有AD=CD-cot300=73

五、适时构造例

5.不查表，不用计算器，求sin75的值解析我们可以先画R/AABC,使NA=30，ZC=90°,如图4,延长CA至D,使AD=AB,连结BD,则ND=ND5A=15，.ZDBC=15°图4设BC=1,则A3=2,AC=CO=2+百

六、准确分类例

6.“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到NA=30，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积解析AA3C中，已知两边和其中一边的对角，这时特别注意AABC的形状不惟一!要分两种情况分别求出，如图

5、图6,作分出直角三角形后，可求得面积应为2006+150米2或200—150米2sin/

21.在RtZkABC中，NC为直角,则cosB的值是（）叵1C.D.A.一~

222.下列各式不成立的是（B.cosl°cos88°A.sin50°sin89°C.tan22°cot45°D.cos23°sin23°/A是锐角，tanA1,则NA

33.针对性训练A.小于30B.大于30°下列C.小于60D.大于

604.各式正确的是（）A.sin300+sin30°=sin60°B.tan60°-tan30°=tan30°

5.C.cos60°-30°=cos60°-cos30°D.3tg30°二G一个人从山下沿30角的坡路向上攀登，如果在坡面上走了100米，那么他上升的高度是（）A.100米B.50米C.50G米D.无法确定

6.A.都扩大2倍c.没B.都缩小2倍有变化cos60°-D.有的扩大2倍，有的缩小2倍tan45°cot30°-

27.的值等于（cot45°在AABC中NC为直角，各边长均扩大2倍，则锐角A的四个三角函数值（）1D.B.--

28.用计算器求“已知cotaa时:先计算（）2G-12/

39.在RtZXABC中,ZC=90°,AC=2A,BC=2,贝ij cosA=.

10.若sin90°-a,则cos90°-a=.

2311.在RtZkABC中，ZC=90°,sinA=-,b=6,则c=.

812.2cos30°-3tana=0,则锐角a是度.

13.用不等号连接右面的式子cos40°cos20°,sin37°sin42°./2，

14.计算A sin45°-—cos60°=sin30°+tan45°•cos60°=.

2315.在RtZkABC中，NC为直角，若sinA二一，则cosB二.

516.若tana«tan35°=1,则锐角a的度数等于.

17.AABC中，NC为直角，NA、/B、NC所对的边分别是a,b,c,已知b=3,求NA的四个三角函数.

18.正方形ABCD中的正三角形ABP,已知正方形的边长为1,试计算tan NPAD.

19.一个等腰三角形的两边是

10、12,这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切.

20.如图是一块三角形形状的草坪ABC,经测量NB=30°,NA=45°,BC=25m,请你求出这块花圃的面积.结果用根号表示［^2］

21.ZXABC中,|cosA-J|+sinB--2=0,求NC.答案:V

21.D［点拨］sinA=-----

222.B［点拨］余弦函数值随角度的增大而减小，所以coslcos

88.

3.B［点拨］因为tanA二，所以tantan

30.3又因为正切值随着角度的增大而减小，所以NA

30.

4.D

5.B［点拨］他上升的高度为100Xsin30=

50.cos60°-tan45°

7.D［点拨］cot30°-2cot45°［点拨］此题有多种方法，这里例举一种:

6.C/3AC2G A=V2+2AB ACBC=舟+2百y=4,cosA=-----=---------=------AB

42180..-A［点拨］因为sin90-a=9,所以90-a=60，22所以cos90°-a=cos60°.23/731135「占小A3a9口“92A12---L点拨」tanA------,a—,c-/6+—--------.A4864V

4413.30°［点拨］因为2cos30-3tana=0,所以tan a=二，a=30°.

314.,［点拨］正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.

15.-［点拨］V2sin45°--cos60°=V2X---X-=-；4422224113sin30°+tan45°•cos60°=—+1X—=—.

2243315.-［点拨］因为NA=90°-ZB,所以sinA二一二sin90°-ZB=cosB.

5516.55°［点拨］因为tan35•cot35°=1,tana-tan35°=1,所以tana=cot35°,a=55°.

17.解根据勾股定理得a二八值展―32二JL375V5V70ab33V14a V5cotA=-------・所以sinA=—=-----，cosA=———i—----------；tan A二—5c V144c V14----------,14b318解:过点P作PEJ_AD,交BC于点F（如图所示）..显然EF=L BF=CF=-,AD=ED=-.XBP1;在直角三角形BFP中，PF=sin60°2_pE=EF-PF=l-2-/3A2-CPE—=2-73，在4AEP中，ZAEP=90°所以tanNPAD=-------AE219解如图所示AB=AC=10,BC=12,作AD_LBC于点D,作CEJ_AB于点E.TAB=AC,AD±BC,ABD=CD=

6.在直角三角形ABD中，AD=dAB—BD11-又**-AB•CE=-BC•AD,所以10XCE=12XSAABC=V2-在直角三角形ACE中，AE=AC CE2=/102-

9.62A5CE

9.6AE

2.8所以s inZBAC=——=——ZBAC=——=——AC10AC10CE

9.6247，tan ZBAC=-----=—^―=——cot20ZBAC=——.AE

2.8724解如图，过B作BDJ_AC于点D.在直角三角形BCD中，ZB=30°,ZBDC=90°CDBD=BCXcosB，=25X-=^

1.（米）22sinB=——MP CD=BCXsinB=25Xsin30°BC在直角三角形ACD中，ZA=45°25/3_25+A叱一一-巾一日1125+25/（米25A/325625+6256/丁、）所以二角形地ABC的面积是一AB•CD二一义--------—X—=---------------------（平万22228米）答:略.f^

21121.解|cosA-------|20,sinB~—且|cosA----------|+sinB--2=02222cosA--^^-|=0,sinB--=022/

1、21V21所以cosA-sinB=—,，=0,sinB--=0,即cosA=---2222因此NA=45,ZB=30°所以NC=180-45°-30°=105°.。