近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编05 平面向量

近五年（）高考数学真题分类汇编2017-2021

五、平面向量

一、多选题

1.（2021•全国新高考1）已知O为坐标原点，点片（cos%sin a）,4（cos/,—sin/）,6（cos（o+/）,sin（a+6）），A（l,0）,则（）A.|用=|川B.|叫二|A臼・C.OA OP3SP2D.OA OR=O%OR

二、单选题

2.（2021•浙江）2知非零向量见仇c,则“〃・0=5・”是％=力”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2020•海南）在，A6C中，是AB边上的中点，则CB=（）A.2CD+CA B.CD-2CA C.2CD-CA D.CD+2CA

4.（2020•海南）已知P是边长为2的正六边形A3COE尸内的一点，贝的取值范围是（）A.-2,6B.-6,2C.-2,4D.-4,

65.（2020•全国2（理））已知向量.人a,4满足||=5,|8|=6,a-b——6，则17311919A.B.C.—D.35353535cosa,Q+〃=

6.（2020•全国3（文））已知单位向量a，〃的夹角为60，则在下列向量中，与人垂直的是（）A.a+2b B・2+/C.a—2b D.2a-b

7.（2019•全国2（文））已知向量a=（2,3）=（3,2）,贝ij|a—6=A.72B.2则BC=3MN=3ON-OM,由题意可知0^2=12=1，OM.ON=1X2XCOS120=—1，结合数量积的运算法则可得BCOM=3^ON-OMyOM=3ONOM-3OM2=-3-3=-

6.本题选择C选项.

16.C【解析】因为NAO6=NCOD90，OAOC,OBOD,所以O8・OC0O4・OBOC-O，故选C.

17.B【解析】建立如图所示的坐标系，以3C中点为坐标原点，则A0,J5,W—1,，设Px,y,则PA=—x,6—y,尸3=―1—x,—y,PC=1—x,—y,则PA・PB+PC=2x2-2#y+2y2=2[x2+y—日了-1].•.当x=0,y=时丁取得最小值2x—=—=,故选.By

24218.A【解析】若三40,使桃=几〃，则两向量加，〃反向，夹角是180，那么jn-n=|/n||n|cosl80°=-|m||n|0；若m•几0,那么两向量的夹角为90°,180°],并不一定反向，即不一定存在负数4,使得根=4〃，所以是充分而不必要条件，故选A.

19.A【解析】由Z平方得a1+2a・b+b=a1—2a-b+b，即〃・Z=0，则々_1匕25【解析】由题意，设〃=1,0,Z=0,2,c=m,n，则一人・c=机-2〃=，即m—2n,又向量d在力方向上的投影分别为x,y,所以d=x,y,m[x-\+ny_2x-2+y・..-d—Q CI J所以d—〃在c方向上的投影z=y1m2+H2A/5即2x+y-45z=2,卜石石『所以f+J+z2=_L22+/+-]12+,2+z2\2%+y—Z2x=—51%_y_z即｛y2当且仅当21时，等号成立，所以的最小值为一.不f+y2+z22x+y-y[5z=25二----z5亚

20.32222\/-【解析】V a-b=

5.a-b-a+b-2a-b=9+b-2=

25.b=

342.【解析】〃=3,1力=1,0,・・.=4+幼=3+匕1,a±c,.\a^c=33+k+M=0解得左=—9此,故答案为—

323.一5【解析】因为a—肪=1,3—23,4=0—343—4孙所以由伍一例_LZ可得,3331—32+43—44=，解得力=—.故答案为一.

55824.—5Q【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得2x4—2x5=0,解方程可得4=—.

2825.—29it uf—m u\r3M【解析】Q2^-e|V2，/.4-4^-e+l2,.e e-,22c24八

2、4八

2、28=71----------IF-1-----------------=

29.35+3e e35+3x-r

2426.——或

05、313\・.・PA=mPB+3AZZ/.APD=mPB+—m PC,——m PC,2即PD—PB+——]pC，2【解析】•・・4,尸三点共线，・・・可设幺=/1尸（4〉0）,M A3--rn3若mwO且加w—,则用D,C三点共线，.••加2，即％=—,2I+^^=12・「AP=9,・・・AD=3,V AB=4,AC=3,ZBAC=90°,.BC=5,设CZ=x,/CDA=9,则g£=5—x,ZBDA=TT—

3.5-2-7X・山卬工田f日A AZ2+CD2-AC2x川AD2+BD2-AB2ai z•・根据余弦定理可得cos2AD.CD飞，C0S^^=2AD.BD65-x丫（5—xY—71818//、・「cosO+cos

（九一）=0,・•・+=0,解得X=一，工的长度为一.（）665-x55当机=0时，PA=-PC,C,重合，此时CO的长度为0,233当m=一时，PA=-PB,民重合，此时24=12,不合题意，舍去.

2227.5I1一--一【解析】由“可得・=0，又因为a==（根+1,2/%—4）,所以〃・h=1・（加+1）+（—1）・（2加—4）=0,即机=5,故答案为

5.

28.V3【解析】因为a方为单位向量，所以;二3=1所以a+Z=Ja+Z={a+2a-b+b=,2+2a.Z=1，解得2,〃=一1所以a-b=Jq_b=」a-2a-b+b=J5，故答案为

29.—【解析】由题意可得X^lxlxcos45=叵，由向量垂直的充分必要条件可得:2ka-b,〃=,即kx a-a.b=k-^~=0，解得%,故答案为.

22230.6【解析】如图，过点作QF//CE,交A3于点立由3E=2£A,为3C中点，知BF=FE=EA,AO=OD.

321、322122=——AB^AC——AB+AC=AB^AC——AB+-AC=AB^AC,233223一/—・ABI22得-AB=2AC~,即AB=J3AC,故~A

2231.

8.C【解析】向量〃=—4,3=6,mM_L则〃♦匕=0,—4x6+3m=0,m=8-交10亚7a・b2x-8+2x6【解析】cos〈a,b=--a•bV22+227-82+62X10,

33.【解析】因为c=2一石〃，a・b=，所以4・c=2/一石〃=2,厂a-c22|C|2二4|Q『一4氐・/+5|人|2=9,所以|c|二3,所以cosa,c=时同=诟=§

34.-

1.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则326,0,垃上.22因为AD〃3C,ZBAD=3O%所以NCR4=150，因为所以NBAE=NABE=3O，所以直线班的斜率为且，其方程为v二且—26,33直线短的斜率为-与其方程为尸裂y=—（%-26），「得x=G，y=—1，所以矶6,-1）.V3V二------X3所以80・AE=（苧$・（百,一1）=一

1.

135.万一arccos-,乃3【解析】由题意耳卜血,0,工卜/5,设px,y,Q无，一丁,因为耳尸,玛尸K1,则――2+廿122与L+上=1结合=42222—3V2RG-I,-与土+上=1结合，消去X,可得cosO=FV=-3+）不342y2+2r+2所以£7i-arccos—,兀

336.V2+V3【解析】设A（xi,yi）,B（X2,y2）,0A~（xi,yi）,OB-（X2,y2）,由X]2+y]2=l,X22+y22=L XlX2+yiy2=—,可得A,B两点在圆X+y2=l上，%]+yT|民+%-1AB=1,的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离di与V2+V2且4・OB=lxlxcosNAOB=L，即有NAOB=60，即三角形OAB为等边三角形,d2之和，显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,可设AB x+y+t=0,t0,由圆心0到直线AB的距离1=毯，解得t=Yi,即有两平行线的距离为2可得2卜丁1,x+V,-11|x+y—11,—l I—l99口即一的最大值为正+6,故答案为夜+J

8.

137.3Q+5【解析】设4,20,则由圆心C为AB中点得C——，易得，I7C:x-5x-«+yy-2a=，与y=2x联立解得点的横坐标与=1,所以01,

2.所以A3=5—a.-2a,CD由AB・CD=0得5—a1-+—2q2—a=0,—2a—3—0,6Z—3或a——1,因为40,所以a=

3.

38.-

1.【解析】丁a=1,0,Z=-1,/n,ma-b=m,0--l,m=m+l,—加，由Q J_ma-得a・ma-b=,a-ma-b=m+l=0,BP m--\.【解析】由题可得2a+〃=4,2,・「C//2Q+,C=1,2・・.4九一2=0,即入=,故答案为

42240.

4、乙、乙则【记解为析的】四建个立点平是面直A角0坐,标3,系B，1如,0图,所C示7；,1,D4,4,线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M x,y,则+++=由此求得M3,2,即为平行四边形EFGH的对角线交于点4，则符合条件的直线Lp一定经过点月,且过点P的直线有无数条；2由过点《和鸟的直线有且仅有1条，过点△和£的直线有且仅有1条，过点A和鸟的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是片、巴、

41.6【解析】AO.AP=|AO|・|AP|cos6»4|AO]・|4产区

2、2+1=

6.所以最大值是

6.

42.2A/3【解析】:平面向量〃与人的夹角为60°，||=2,仰=1:・・=2x1x cos60°=1-••・〃+2=J〃+2Z2=证+4入+262=,4+4+4=26故答案为

26.【解析】设圆心坐标为一1,加，则40,相，焦点厂1,0,AC=l,0=m=±5由于圆与y轴得正半轴相切，则取m=6,所求圆得圆心为-1,6，半径为I.311_________________________1_2____【解析】AB AC=3x2xcos60=3,AD=-AB+-AC，则33ADME=-AB+-ACAAC-AB=-x3+—x4--x9--x3=-4^2=—.

3333331145.—3【解析】由题意，设q=1,0,e=0,1,2则4=（6，-I），q+九6=（%入）;又夹角为60，•・•也弓―4•31+入6=V3-2xVl+22X cos60°,即月_、+外,解得入=2^

46.2【解析】由题意可得-2x3+3m=0,解得加=

2.

47.7【解析】由题得〃+Z=/%—1,3,因为a+Z・〃=0,所以—/%—1+2x3=0,解得2=

7.

48.-3【解析】由Q〃〃可得一1x6=22=4=—

3.

49.3【解析】以OA为工轴，建立直角坐标系，则A（l,0）,由OC的模为血与QA与0的夹V

2.7V2角为a，且tana=7知,cos oc------,since--------1010_343cosa+45-=m——n,（

1734、5557m——n.—n由0=根1+〃08可得£，£m=—,n=一7444—=-n155:.m+n=3,故答案为

3.

11350.-~62【解析】ADCBC，..ADIIBC,ZBAD=180-ZB=120，AB-AD=ABC-AB=ABC-AB cos120=2x6x3x J2J解得力=!，以点3为坐标原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系6BC=6,/.C（6,0）,•・[AB=3,/ABC=60，・・・A的坐标为A•:又•:AD」BC,则D,设M（x,O）,则N（九+1,0）（其中0x5）,6f5373x—,---122,DM=,DN=（

5、21132A7\2（）DM・DN=x——-4x---------=x-2------H HI2j2v7213一.—.所以，当x=2时，OM.ZN取得最小值

51.75-1【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线分别为工、V轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A,、82,

0、2,

2、00,2,AP=；（A8+AC）=；（2,0）+g（2,2）=

（21），则点尸（2,1）,・••尸力=（一2,1）,=因此，PD=“R+E=也,P3・PO=Ox（—2）+lx（—1）=—

1.

52.02A/5【解析】正方形ABC的边长为1,可得AB+AD=AC，BD=AD-AB^・AB AO=0,九]AB+BC+入CD+九DA,+X、AC+BD=（%——九）AB+（九—九+九+346245入）6要使\AB+k BC+k.CD+\DA+k,AC+k BD的最小，只需要26X+X—X=匹—入入入=，此时只需要取|Zj—3564+5+6此时BC+CD+X DA.+A.C+BD=043°min等号成立当且仅当％，一九九一九均非负或者均非正，并且九一九均非负或者均3,562，4，L+l非正.=而=2技则从九BC+九CD+九DA+九$九BDA5+34AC+6max比如％入九九=1,2=1，03=T4=T5=1，06=

153.42A/5【解析】设向量〃，的夹角为夕，由余弦定理有a-b=Vl2+22-2xlx2xcos6=V5-4cos6,a+b=肝+

2、-2xlx2xcos»一=\Z5+4cos6,则a+b+a-b=j5+4cos£+j5-4cos6,据此可得（|a+b+a-b a+b+a-bmax令y=J5+4COS8+「5-4cos6,则y=io+2525—16cos夕£[16,201即Q—Z的最小值是最大值是a+b+4,2JU.

54..【解析】1•.•向量a=cosx,s讥x,b=3,-J^,x e[0,7i\.b,可得-6cosx=3sinx，即功〃x=，・・£[0，TI]/.x=362由/x=a,b=3cosx-\[sinx=2y/3sin\x+17i2〃5TTVxG[0,7l],，X-\-------£-------------333」2〃27r•••当XH-=—H寸，即x=0时/无用以=3；当％+白=与，即％=时/XU=-2技3，oC.572D.

508.（2019・全国1（文））已知非零向量Q”满足a=2b,且（-加，人，则〃与〃的夹角为

9.（2019,全国2（理））已知A5=（2,3）,AC=（3,，BC=1,则A5・3C=A.-3B.-2C.2D.

310.（2018•北京（理））设向量a力均为单位向量，则“|4一3=[34+”是“1力”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.（2018・浙江）已知、b、e是平面向量，e是单位向量.若非零向量与e的夹角兀为一，向量Z满足Z2—4e+3=0，则〃的最小值是A.73-1B.V3+1C.2D.2-

7312.（2018•天津（理））如图，在平面四边形A3CO中，AB±BC,AD±CD,/BAD=120,AB=AD=\,若点E为边CD上的动点，则3B.-2125C.—D.3A.——1616AE BE的最小值为

13.（2018,全国1（文））在^ABC中，AO为边上的中线,£为4的中点，则EB=3113A.-AB——AC B.-AB——AC44443113C.-AB+-AC D.-AB+-AC

444414.（2018・全国2（文））已知向量a,b满足a=1,a・b=—1，则a・（2a—b）=A.4B.3C.2D.

015.（2018•天津（文））在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2,NMON=120,BM=2MA,CN=2M4,则BOOM的值为A.-15B.-9D.0C.—

616.（2017・浙江）如图，已知平面四边形ABC，ABA.BC,CD=3,AC与3交于点O,记乙=4・8，I=OBOC,I=OCOD,则1A.1〈I2B.11〈I3I C•12D.1211V/32/3V/11/

317.（2017・全国2（理））已知」A5c是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA^PB+PC）的最小值是（）34A.—2B.------C.------------------------D.—

12318.（2017•北京（文））设办〃为非零向量,则“存在负数4，使得=M为是“力/lVO”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.（2017・全国2（文））设非零向量Q,人满足卜+囚=,一囚，则A.a-Lb B.同=0C.a//b D.a|Z|

三、填空题

20.（2021•浙江）已知平面向量Q,0,C,（C wO）满足=1,b=2,♦/=―/）・c=

0.记向量d在a,b方向上的投影分别为羽y,d-〃在°方向上的投影为z,则x2+/+z2的最小值为.

21.（2021・全国甲（文））若向量a,Z满足a=3,a—b=5,〃Z=1,则b=.

22.（2021•全国甲（理））已知向量Q=（3,l）,b=（L0）,c=a+ZZ.若〃_1，则攵=

23.（2021・全国乙（理））已知向量〃=（1,3）/=（3,4）,若（Q—则；I=■

24.（2021・全国乙（文））已知向量々=（2,5）/=（九4）,若二〃），则4=

25.（2020・浙江）设,，4为单位向量，满足12弓一与区夜，a=e+e,b=3e,+e,设a，122/的夹角为氏则cos6的最小值为.

26.（2020・江苏）在△A3C中，AB=

4.AC=3,NK4C=90,在边3C上，延长A3至IJP,使得AP=9,若PA=mPB+（——m）PC（根为常数），则的长度是___.

27.（2020•全国1（文））设向量〃=（1,一1））=（机+1,2根—4）,若:,力，则机二

28.（2020•全国1（理））设4/为单位向量，且|+切=1,则|一/|=.

29.（

2020.全国1（理））已知单位向量;了的夹角为45，左;与垂直，则k=.

30.（2019・江苏）如图，在.ABC中，是8c的中点，E在边A3上，BE=2EA,ADAB与CE交于点.若A3・AC=6AO-EC，则二方的值是________.Zl-Vz

31.（2019•北京（文））已知向量二（一4,3）,人二（6,相），且Q，/,贝1J m=.

32.（2019・全国3（文））已知向量=（2,2）,/=（—8,6）,则cos（a,b）=.

33.（2019•全国（理））已知为单位向量，且若c=2a—后b，则cos a.c-.

34.（2019・天津（文））在四边形ABCQ中，AD//BC,AB=2^3，4）=5,ZA=30°，点£在线段C3的延长线上，且则5O・AE=

2235.（2019・上海）在椭圆上+乙=1上任意一点P,与关于工轴对称，若有42F PF P1,则耳P与居Q的夹角范围为36,（2018•上海）已知实数斗、々、必、/满足}2x；+y2=i,/2+%2=1,,1皿」尤1|%+%-1|2+2T的最大值为%/+乂%=则—厂5,

737.（

2018.江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线/y=2x上在第一象限内的点,5（5,0）,以AB为直径的圆C与直线/交于另一点若A5-CZ）=0,则点A的横坐标为.

38.（2018・北京（文））设向量〃=（1,0）=（-1,小）,若则片,

39.（2018•全国3（理））已知向量4=（1,2）,6={2*,c=（l,2）.若c（2+）,则；I=.

40.（2017・上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点＜、P、

6、八以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合点过P作直线，使得不在/尸上的“”的点分布在人的两侧.用2（）和2（）分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和.若过的直线）中有且只有一条满足A（/p）=a“p）,则中所有这样的尸为

41.（2017•北京（文））已知点在圆f+y2=1上，点A的坐标为（—2,0）,为原点，则AO AP的最大值为.

42.（2017・全国1（理））已知向量/与匕的夹角为60,|J|=2,\b l=h则I+2b1=

43.（2017・天津（文））设抛物线J/=4x的焦点为「准线为/.已知点在/上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点4若ZFAC=120°,则圆的方程为.

44.（2017・天津（文））在6ABe中，ZA=60°,AB=3,AC=

2.若=2QC，AE=AAC-AB（/L^R）,且AZ）.A£=—4，则2的值为.

45.（2017・山东（理））已知q,4是互相垂直的单位向量，若Gq—G与q+入G的夹角为60，则实数九的值是

46.（2017・全国3（文））已知向量=（一2,3）,匕二（3,加），且则加=.

47.（2017•全国1（文））已知向量Q=（-1,2）,b=（m,1）,若则m=.

48.（2017•山东（文））已知向量斫（2,6）,民（一1,彳）,若〃/,则丸=.

49.（2017・江苏）在同一个平面内，向量4,氏0的模分别为1,1,、/5,04与的夹角为，且tan a=7,08与0的夹角为45，若OC=+机,〃£R）,则m+n=.

50.（2020・天津）如图，在四边形ABCQ中，ZB=60\A3=3,BC=6,且3AD=ABC.AD AB=——,则实数4的值为,若M,N是线段BC上的2动点，且|MN|=1,则M・QN的最小值为.51,2020•北京已知正方形A3CQ的边长为2,点尸满足AP=』A3+AC,则2\PD\=;PBPD=・

52.2019•浙江已知正方形ABC的边长为1,当每个4=1，2,3,4,5,6取遍±1时,\BC+CD+Z DA+A AC+Z BD的最小值是；最大值是456r r

53.2017・浙江已知向量/〃满足=1,8=2,则〃+/+〃一人的最小值是，最大值是______.

四、解答题

54.2017・江苏已知向量〃=cosx,sinx,b=3,—J5,XG[0,TT].1若匕，求x的值；2记/x=[・/,求函数y=/x的最大值和最小值及对应的x的值.近五年高考数学真题分类汇编2017-2021

五、平面向量答案解析

1.AC【解析】A0[=cosa,sin二,OP=cos/,-sin,所以|3|二Jcos2a+sin2a=1，2|OP1=Jcos=2+—sin I=1，故||=|OP\,正确；22BAP-cosa-\.sin a,AQ=cos4一1,一sin^,所以XI APX|=Jcosa-if+sin2a=vcos26Z-2cos6r+l+sin2a二’21-cos a=J4sin2y=2|siny同理|偿|二Jcos/—12+sin2/=21sin|,故|Ag|不一定相等，错误;C由题意得OA-OP^=lxcosa+p+0xsina+p=coso+^,OP・=cos a-cos/+sin a・-sin4=cosa+,正确；yD由题意得OA-OP=1x cos«+0x sin«=cos a,XOP-OP、=cospxcosa+0+-sinBxsina+B2=cos p+a+P=cos a+2p,故一般来说4・OR力0鸟.08故错误；

2.B【解析】若a・c=b•c，则-8c=，推不出a=Z;若a=b,则q.c=b.c必成立，故4・c=b・c”是“a=h”的必要不充分条件

3.C【解析】

4.A【解析】AB的模为2,根据正六边形的特征，可以得到AP在43方向上的投影的取值范围是T3,结合向量数量积的定义式，可知AP.等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积,所以AP・A3的取值范围是（—2,6）,

5.D2【解析】a=5b-6,Q.〃=_6，.・・〃・〃+/=〃+a-b=52-6=

19.9a+b=\2+b=\a+2a-b+b1-j25-2x6+36=7，a-\a+b\19因止匕，cosa^a+b〉=-----------=---------=—a-a+b5x

7356.D【解析】由已知可得a-b=a-b-cos60°=lxlx—.22152A因为（a+2〃）・/=a/+2=_+2xl=—w0,所以本选项不符合题意；22B因为（2+人）,人=2a・）+z/=2x+l=2w0,所以本选项不符合题意；2C因为（a—2勿・〃=

⑦—2片=—2xl=—』工0,所以本选项不符合题意；1D因为（2a—b）・b=2a-6—万=2x——1=0,所以本选项符合题意.

7.A【解析】由已知，a—8=（2,3）—（3,2）=（—1,1）,所以|〃_切=J（_i）2+f=0,

8.B【解析】因为（a—〃）所以（〃―/）./=Q./—/一二,所以所以cos=a-h|邸14厂―o-=彳，所以〃与/的夹角为；，故选B.12a-b

2.\b\Z

39.C【解析】由BC=AC—A3=U—3,BC=J/+/—32=i,得％=3,则3c=],o,AB・BC=2,3・1,0=2xl+3x0=

2.故选C.

10.c所以|Q—3Z1=13+人|〃一3〃+人a-6a-b+9b=9a+6a-b+b【解析】因为向量力均为单位向量所以“|a—3Z|=|3a+6”是alb”的充要条件

11.A【解析】设〃=（羽y）,e=（l,O）,b=

（九九）,r rr2由膜_46・〃+3=0得m2+2-4m+3=0,m-22+/=1,因此，，-鼻的最小值为圆心（）到直线=±氐的距离毡=石减去半径为2,01,6―1,选A.

12.A【解析】连接BD,取AD中点为可知为等腰三角形，而AB_LBCAO_LC，所以△BCD为等边三角形，BD=6设石33=3Z2--Z+-

（01）42所以当，=_L时，上式取最小值包,选A.416点睛本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示同时利用向量共线转化为函数求最值

13.A【解析】根据向量的运算法则，可得BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC]222424V34567=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC92444431所以£5=—AB——AC,故选A.

4414.B【解析】因为〃・（24—〃）=2〃2一〃.人=2|〃/—（-1）=2+1=3,

15.C【解析】如图所示，连结由=2MA,CN=2NA可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点，。