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D选项，由C选项知即月乙乙乙设七十几=一;（？“+4）,故勺=—:2,所以—L L LL乙解得2=_,彳，又［—二—w0,3J33-公比为;的等比数列,323B选项，由D选项可知g=—B错误.8XH-l故选ACDA.ab C.a+b2ab D.+ahb+baa
12.已知3〃=2,5〃=3,则下列结论正确的是（【答案】BD【解析】2【分析】根据题意可得4=log32/=log53,分别限定出的取值范围即可得0＜＜々＜匕＜1,可知AIn x错误；利用作差法可得B正确，C错误；构造函数/（%）=——利用导数判断出其单调性即可得D正确.X【详解】由3=2,5=3可得，ti=log2,/7=log3=—L-log53532-对于A,易知32，则少〉2，0=1°§31=l°g2log33=—,332222易知3352,即45所以Iog53log553=—，所以Z〉；，_aiog3log5=l JJ3355即可得OCQvZvbvl,可知A错误;3对于B,x+D=aba b由A可知,则〃一人0,0abl所以S0〉；93ab
11、11可知QH----b H0,所以6ZHb-\，即B正确；a\h Ja h对于C,2ab=21og2--J—=21og2=log4,log53553则〃+Z—2ab=log2+log3-log4=log2-log—log G-log逐=0,3553535即可得〃+b2,即C错误；In丫对于D,构造函数/x二——,其中光£0,e,JC则广⑺=匕”,当尤£0,e时,用尤0,即/%在O,e上单调递增,因为所以/〃/b，B|J,可得〃,OVQVZV1,a b即ln/lnZ/，所以//，又ab,因此a+aA+Z,即D正确.故选BD【点睛】方法点睛指数式与对数式比较大小问题时，作差是最常用的方法之一，当式子结构相似时可考虑构造函数并利用导数得出单调性也可比较其大小.
三、填空题本大题共小题，每小题分，共分.
452013.x+2yx-¥的展开式中，的系数为用数字作答.【答案】10【解析】【详解】要得到/J项需m2丁分别与X-丁6展开式中的项相乘，%76展开式中通项为左=0,1,26所以x4/项的系数为-13x C；+-12x2x C；=10,故答案为10I2sin
14.曲线y=—/——在x=l处的切线的倾斜角为a,则=______.3x sina+cosa【分析】求导，根据导数的几何意义可得tano=3,再结合齐次式问题运算求解.2【详解】因为y=f+r，可得yiz=3,X•/2•2所以sin«cos2«/、sin acos a-sin asinalcos a-sin a=sin alcos a-sina=---------------------------sina+cosa sin+cossin-2+cos~a由题意可知tan=3,tan a1-tan a31-33tan26Z+132+15sinacos2a则称数列｛〃〃｝为“等比差”数列，已sina+cosa知等比差”数列｛q｝中，4=%=1，%=3,则1【5答.定案义】3在99数列｛〃〃｝=d〃£N,其中为常数,中【解析】【分析】根据“等比差”数列的概念可得/J=l+〃-lx2=2〃-l,进而得解.an-\【详解】由数列｛%｝为“等比差”数列，31_2|an+24+1_“3〃2_mi则-----------------一；一；一/，411“2所以a-=2,即数列%4是以1为首项，2为公差的等差数列，an-\an-2IJ所以%±=l+〃_lx2=2〃—1,%吐=2几+1则吐=吐.也=2〃一12〃+1=4〃2—1,册%凡所以空=4x102—1=399,10故答案为
399.
16.若是定义在R上的函数，且/
（九）—公为奇函数,〃x）+2”为偶函数.则/（X）在区间［-2,-1］上的最小值为.7【答案】-##
1.754【解析】【分析】由〃%）—为奇函数，/（力+2为偶函数,求出了（%）的解析式,判断外力在区间［—2,—1］的单调性即可求出答案.【详解】因为/（X）—£为奇函数，/（切+2”为偶函数，■=-f（x］+X2所以［〃-）+2T=/（小
2、’2T-2X111222解得/
（1）=+x——--------2+JC,22X2因为y=，•二在［-2,-1］上单调递减，y=—；・2%在［-2,-1］上单调递减,y=/在［_2,一1］上单调递减，,-X—‘X111所以/x=+x2=Lt—L
2、+x2[―2,-1]上单调递减,所以击-27+1=2-3=]7故答案为一.4
四、解答题本大题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
67017.在ABC中，内角A,3,C的对边分别为〃,Zc20cos2—=Gasin
8.2
（1）求A；
（2）若〃=3,点在边AC上，且CD=，C4,求△3CQ面积的最大值.37T3/32~7【答案~】
（1）A=-【分析】
（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得tan4=且，即可知4=三233
（2）结合
（1）中结论，由余弦定理可得〃+02=/c+%利用不等式即可求出人9,再由向量比例关系7可知S=-x-bcsmA—，即可求出结果.ARC3zinc32【小问1详解】根据2/cos23—=6asinB,由正弦定理可得2sin Bcos2—=V3sin AsinB,22A A A由二倍角公式可得2sin8cos之—=2j3sin—cos—sinB,又因为A3£（0,兀），222v7AA1-A所以cos—w O,sinB w0,即可得cos一=J3sin—，222即tan4=@,所以q=即人=弓；23263【小问2详解】如下图所示所以△BCD面积的最大值为述.
418.2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目.某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据:男生女生合计222由
（1）可知cos A=+°----—=—,即+/—9=bc，可得Z2+c2=Z7c+92bc2又廿+c2=bc+922bc，解得Zc9,当且仅当〃==3时，等号成立;所以=；hcsin A一,SAABC由CZ）=!c4可得S=，S=~x—bcsinA^^-,BCD ABC33324DCU ADC喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400
（1）根据表中数据，采用小概率值=
0.05的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为X，求X的数学期望.（n ad-bc\9（一〃）（二］+%）其中几=a+〃+c+d.参考公式及数据/=a
0.
150.
100.
050.
0250.01Xa
2.
0722.
7063.
8415.0246635【答案】
（1）采用小概率值6Z=O.O5的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关/、372——423EX=；【解析】【分析】
（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1,即可求解.
（3）结合二项分布的期望公式，即可求解.【小问1详解】2x2列联表如下表所示:男生女生合计喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400零假设“°该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关,2400x120xl00-80xl0034009八―y-=-----------------------------=——«
4.
0403.841,200x200x220xl8099•/P/
23.841=
0.05,采用小概率值a=
0.05的独立性检验，可推断“°不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，【小问2详解】采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4,女生的人C31037数为5,再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为1-言=1一嬴=启.C；8442【小问3详解】由题意可知喜欢电子竞技的概率为型=□,所以X〜510,—,4002020故石X=10xU=U.
20219.已知数列｛〃〃｝的前几项和为且q=，225计］一5〃=仇+1〃.1求｛%｝的通项公式；2设a=〃2—SJ/EN*,若对任意几sN*都有包工几成立，求实数4的取值范围.【答案】1A322【分析】1由2Ms〃+]—S〃=九+1为，得2次小|=〃+14,再利用累乘法即可得解;2先利用错位相减法求出S〃，即可求得久，再求出灯的最大值，即可得解.【小问1详解】由2〃5向—S〃=+l4,%则当几22时,2〃-1an-\所以巴=221nan-\•・——xan-2a\—=——当拉=1时，上式成立,所以%=提；【小问2详解】123n由1矢口S=—I—7—7+,••H--〃222232〃1123e—S=—H H-------1—T〃+i22223242得2照用=0+14,1n=2+++・・・_------------r2向2〃+i_c n+2・•・5=2----------〃T,,nn+2\rt因止匕〃=---------〃2〃H+17+3nn+2_-n2+3〃〃b+i-b=2n+l2〃・,当几=1,b-b0,即b b2x2i9当〃22时，％-b°，即么+i4,n・・・4最大项伪=2,・・.
422.
20.当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表年份201720182019202020212022编号X123456企业总数量y（单位百个）5078124121137352
（1）若用模型＞=拟合y与％的关系，根据提供的数据，求出y与1的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下
①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；
②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；
③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为工，233乙胜丙的概率为一，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司的概率.66参考数据Z%=
28.5,2玉%=
106.05,其中，％=In%/=1i=l参考公式对于一组数据（%,y.）（i=L2,3,…,孔），其经验回归直线$=九+4的斜率和截距的最小二乘估八£为凶一加八计分别为上a=y-bx5=17----------------------------
9.x；-rix2i=\【答案】
（1）广及…【解析】【分析】
（1）令〃=lny=ln6ze/=+lna,利用最小二乘法求出Ina，即可得解;
（2）由根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可得到答案.【小问1详解】令“=In y=In aehx=bx+\na,A+2+3+4+5+6Im”,666__
106.05-6x
3.5x4,75…-------------------------------------------7=
0.36,/xu；-nx-uI2+22+32+42+52+62-6x（
3.5）II则------------------------X；-加Z2In6=
4.75-
0.36x
3.5=
3.49,所以=349，e所以=3-49-e°.36=°-36x+3-49；e e【小问2详解】设甲公司获得“优胜公司”为事件A,E n/八11123112113则PA=_x_+_x_x_x_+_x_x_x_=—,,2323522532103所以甲公司获得“优胜公司”的概率为—.
1021.已知函数/x=12+5+1/
1.1若加=0,求/力在00处的切线方程；2若函数/%在-1,1上恰有一个极小值点，求实数小的取值范围；3若对于任意工£0,兀JfxAelcosx+l恒成立，求实数力的取值范围.【答案】1=尤+12-2,03[0,+8【解析】【分析】1利用导数的几何意义求出在,/0处的切线斜率即可求得切线方程；2利用导函数求出函数/x在-1,1上的单调性，利用极值点定义即可求得实数加的取值范围为-2,0；3根据题意将不等式转化为机九COSX-％在X£0,兀恒成立，求出gX=xcosx-X的单调性即可求得加的取值范围是[0,+8,【小问1详解】若加=0时，=+i,则/力=ef+21+1,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】l+i l+il-m z二+1+1—6zi a+11—1+ai1+ml-mci.=~Ii【分析】先将命题q看成真命题求出的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案T=Z是纯虚数，+1,:.a=-i\-a八—w0+1故命题〃是4的充要条件故选Cjr
3.已知向量b的夹角为一，且〃-28=a+b,则向量〃在向量人上的投影向量为（）Q,伺1rA.y/3b B.-b C.2-b D.2b【答案】B【解析】【分析】由已知得，根据投影向量的概念直接得解.【详解】由卜—2可=,+可，即旧2一
41.6+4庐=（2+2）.6+旅，-2-TT♦则〃2=2・h，BP b=2a・b・cos—=a-b937i b1所以向量在向量b上的投影向量为同cos-------=—3b2所以b=a9故选B.
4.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆上，点C在直径A3上，且产_LAB,设AC=，BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）广⑼=1=1,可得〃力在点0,/⑼处的切线方程为y-1=%,即y=工+
1.【小问2详解】函数/工=工2+如+，则=x2+m+2x+m+l令/0=0得%=—m—1,x=—1,2
①若x,x,则加N0x N0在-1,1上恒成立,2此时/力在-1,1上单调递增，无极值，不符合题意，
②若%%2,则mvOJx与/%情况如下-CO,—1-1―1,一机-1-m-1―m—l+ooX900单调递增极大值单调递减极小值单调递增若/X在-1,1上恰有一个极小值点，则需满足-l-m-ll,解得—2机0,即实数加的取值范围为一2,
0.【小问3详解】易知e0，所以/x=evx2+/nx+l eAx2cos^+1可化为x2+mx x2cos^，又X£0,兀，所以可得X+m ACOSX,即对于任意X£,兀，相XCOSX—X恒成立，令gx=xcosx-x,则x=cosx-xsinx-1=cox-1-xsinx,又X£0,7l,所以COSX—1VO,又xsinx0,可得gx0即g x在0,71上单调递减,所以g%V go=0,即实数机的取值范围为[0,+8）.
22.已知函数〃x）=jdnx-〃x2+A M£R.
（1）若函数/（X）是减函数，求的取值范围；8
（2）若/（X）有两个零点看,工2，且42＞2%，证明＞—e【答案】
（1）；,+8）1_2
（2）证明见解析【解析】【分析】
（1）/（x）=lnx—2初+240在（0,+“）上恒成立，参变分离2〃2叱2在（0,+“）上恒成立,X
1.r\构造函数求出（x）=3—的最大值，从而求出〃的取值范围；Xlwc1lnx1In tinty9
（2）由零点得到=一一+—=+—，令々=%否＞2）,从而得到laX]=-------1,lnx=--------1,2尤[X]t—1t—1%2gM=Q），_2,构造力（=今平—2＞2）,求导得到其单调性，从而证明出结论.【小问1详解】/（X）=疝1¥-办2+XM wR的定义域为（0,+“）,/X=lnx+l—2办+1=lnx-2冰+2,函数/（力是减函数，故/（x）=lnx—2依+2工在（0,+“）上恒成立,]I即2a＞山一在（0,+）上恒成立,Xxe0,+oo,1—In x—2—In x—1x22%Mx0,=mx+2单调递减,当工£-,+00时,〃x0,〃x=lnx+2单调递增,/、lnx+2故〃（x）1⑴=-------------------在工=一处取得极大值，也是最大值，且〃—二e,故的取值范围是+00;1_2）【小问2详解】若有两个零点玉,々，则xJnX]-；+否=0,-ax[+x=0QX X21RX229lor.1liir19得〃=--------1x2x2X]X]*/x2%j0,令/=四（/2）,则+—=1n+—一玉玉ZXj txx则1诈=In（枕]）=In.+InX]=-1,二.In（玉%）=1叫+lnx=――-1+――~1=O11-2,22Z—1t—\t-\人/\（/+l）ln%,—21nZ+1—令叱叶-…,则力一^,令夕（=_21nf+1—（Z2）,则e（r）=_2+]+[=__12_Q,.・・°（在（2,+⑹上单调递增,33-41n2lnei-lnl6=0i⑺,⑵二厂力也二・•・h（t）=春0,则/z«）在（2,+8）上单调递增,Q Q〃
（2）=31n2-2=In—,即^n~e e故%4--【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用In%-ln/=ln上进行变形，可构造关于，=上的函数，利用导函数再进行求解.x x2A OC BA.ab0B.a2+b22ab^aZ0D-943a°C.y[ab2Z0【答案】D【解析】【分析】计算出尸和O尸，由O尸vCF可得出合适的选项.―r/AC+BC a+b八-4c八▲4+Z ci—b/、1~TTZ【详解】由图形可知，OF=------------=--------，0C=AC—OA=a--------=-------ab0},2222v7故选D.尸+由勾股定理可得C/=,002=a2+b2在R九C尸中，由O厂vCF可ab0^~~得【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.
5.已知数列｛%｝,｛2｝均为等差数列，且卬=1,4=7,々2+4=12,设数列｛4+〃｝前几项的和为S〃，则§20=（）A.84B.540C.780D.920【答案】D【解析】【分析】根据等差数列性质可得数列｛〃〃+2｝是首项为8的等差数列，利用等差数列前〃项和公式即可求得5=
920.20【详解】根据题意可设数列｛4｝,｛〃｝的公差分别为4,4；由4=1,瓦=7a+b=12可知4+d=4,9222即可知数列｛4+2｝是以4+4=8为首项，公差为+=4的等差数歹！J,所以可得4+b=8+4（〃-1）=4〃+4,n即可得S〃=—+4+〃〃+%=—8+4〃+4=〃2〃+6,所以50=202X20+6=
920.
6.函数/x=sin2x-cos的最大值为（A.2B.V2C.0D.【答案】A【解析】故选D【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，=cosx+sinx=J5sin x+f,利用I4JVI【详解】/%=sin2x-cos=2sinxcosx+cos x+sin2换元法求解即可.令/=cos x+sin x=V2sin x+
一、4,故2sinxcosx=sinx+cosx2一1=『一】，则丁=»一1+字=t+与一■1,臼一血,血］,所以当％=y/2时,=2,max所以函数/（X）=sin2x-cos故选A.
7.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设4优三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.60种B.150种C.180种D.300种【答案】B【解析】【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可.【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A民C三门德育校本课程，
①三组人数为
1、
1、3,此时有•=60种;
②三组人数为
2、
2、1,此时有・A=90种.每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况,所以不同的报名方法共有60+90=15种.故选B.
8.已知函数,fx=2，若方程/可=品、有两个不相等的实数根，则实数攵的取值范围是n1A.B.—,+00C.-00,—D.——,0e2e2eI e7【答案】A【解析】【分析】转化为工学=左有两个不相等的实数根，构造g%=4，分xNO和％0两种情况，求导,得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数々的取值范围，得到答案.【详解】由题意得上a=攵有两个不相等的实数根,ev,x
0、fx2ex令g⑴二^^二x2—,x0X7e1-xgx2ex2e”当%1时,g%=单调递减,2ex当OWxl时，gx0g“二单调递增,ie且g1=」-,当X0时,2egx=〉0恒成立,2e“2%当x0时,ev当xvO时,gx0,g%=-.单调递增,e02且go=--万=°，e1则攵£0,—.故/x=kex有两个不相等的实数根,\2e J画出=的图象如下故选A
二、选择题本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题4520目要求，全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分.
529.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩成绩均为正整数，满分为100分作为样本进行统计，并按照[50,60,[60,70,[70,80,[80,90,[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是A.样本的众数为70要B.想样工本的H8=0Z%有分两位个数不为相7等
8.5的实数根，则左ev I2eJC.估计该市全体学生成绩的平均分为
70.6D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人【答案】BC【解析】【分析】样本的众数应是［70,80区间中点75,故选项A错误.设样本的80%分位数为右通过计算可判断/在区间［70,80内，计算区间［50,60,［60,70,［70#所对应的矩形面积之和为
0.8,即可求得样本的80%分位数为
78.5,故选项B正确.根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C正确用样本中低于60分的频率估计总体频率，即可判断选项D错误.【详解】对于选项A,样本的众数应是［70,80区间中点75,故选项A错误.对于选项B,设样本的80%分位数为K因为左边两个矩形面积和为
0.016+
0.03x10=
0.46,左边三个矩形面积和为
0.016+
0.03+
0.04x10=
0.
86.因此,在区间［70,80内，所以
0.016+
0.03x10+
0.04x，-70=
0.8,解得，=
78.5,故选项B正确.对于选项C,用样本平均分估计总体平均分，而样本的平均分为55x
0.016+65x
0.03+75x
0.04+85x
0.01+95x
0.004x10=
70.6,故选项C正确.对于选项D,样本中低于60分的学生的频率为
0.016x10=
0.16,估计总体中低于60分的学生的人数约为20000x
0.16=3200,故选项D错误.故答案为BC.兀］
10.已知函数/x=2sin2x--xeR,下列说法正确的是\3JA.y=在上单调递增\2B.y=/x的图象向右平移展个单位长度后所得图象关于y轴对称C.若对任意实数工都成立，则%=—+EZGZ1D.方程〃x=log2兀X有3个不同的实数根【答案】BC【解析】【分析】根据正弦函数的单调性即可判断A；根据平移变换的原则及三角函数的奇偶性即可判断B；根据可得〃Xo=/xmx，再根据正弦函数的最值即可判断C；作出函数y=.fx,y=log2x的图象，结合图象即可7r判断D.「八兀、兀，兀2兀、【详解】对于A,由XW0,-,得,\2J i\55所以y=〃x在o，V上不具有单调性，故A错误；九1C\对于B,y=/x的图象向右平移一个单位长度得y=2sin2x--=—2cos2x,12v2y因为-2cos—2%——2cos2x,所以函数y=-2cos2x是偶函数，其图象关于y轴对称，故B正确；对于C,若/可工/5对任意实数九都成立，则〃%=/力=2,111axjr jr5兀所以2%——=—+2E,即玉=---------l-k7ik Z,故C正确；G对于D,方程〃x=log2N根的个数，即为函数y=/%,y=log27rx交点的个数，作出函数y=/x,y=log2/的图象，如图所示:故选BC.
11.甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球及次后球仍回到甲手里的概率为2,则下列结论正确的是
151111、〃-1A鸟=5B.巴费C.P=-\-P_^D.p=---.^--^n nn【答案】ACD【解析】【分析】AC选项，由题意得到［=0,P il-P.D选项，在C选项基础上，构造等比i=nl22数列，得到通项公式；B选项，在D选项基础上求出答案.【详解】A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故［=0,第二次传球，乙或丙有g的概率回到甲手里，故g=g，A正确；C选项，乙一为传球〃-1次后球仍回到甲手里的概率，要想传球几次后球仍回到甲手里，则第〃-1次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有3的概率回到甲手里，故2=；1_4一|，C正确；。
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