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2024届高三第三次校际联考数学（理科）试题注意事项
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I卷（选择题共60分）
一、选择题本大题共12题目要求的.小题，每小题5分,是符合
1.已知复数Z满足iz=l+i,则Z的虚部为共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1A.—1B.—1C.D.一2A.3xW29+2x—8W0B.Vx2,X1+2x-80C.3x2,X2+2X-80D.3x2,X2+2X-
802.命题f+2x—8〉0”的否定是
3.已知全集U=R,集合M={x|2%—13},7V={X|1X+310},则{小W—2}A.M NB.MIN其前n项和S〃满足S-6Z=12,则%+4=745A.4C.一D.324若Ovavl,则函数y=log“（W—1）的图象可以是D.
5.已知等差数列{4},II把直线I的参数方程代入圆C的直角坐标方程，V2Y fV2Y2r得3—J，+P—u=5,即――3+4=0,22I JI J设％,弓是A和8对应的参数，则以+=3/2，4G=4,又直线/过点P3,、后，/.PA+PB=4+归|=4+右=3^
2.
23.解I当1=1时，/x=|x-l|+x+2,当xW—2时，不等式/xW7化为—x+1—x—2W7,•e•x，-49此时—4W xW—2；当一2vxWl时，不等式/xW7化为一九+l+x+2=3W7,恒成立，此时一2vxWl；当xl时，不等式/xW7化为x—l+x+2=2x+l W7,•••xW3,此时lvxW
3.综上所述，不等式〃xW7的解集为[-4,3].II/%=|x—1|+x+2x-a-x-2=a+2,若〃尤22a+l,则卜+2|，2々+1,不等式两边平方可得/+4〃+424/+4+1,解得—1W aW1,即的取值范围是6•若圆G（X—1『十丁=1与圆2（x—5）2+（y—3『=30—有且仅有3条公切线，贝卜%=A.14B.28C.9D.-
117.已知等比数列｛4｝为递减数列，若生4=6，〃3+%=5,则生=%321A.—B.—C.—D.
62368.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了Img/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他A.3B.4C.5D.6至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据1g2Po.301,1g3Po.477,1g7ao.845）
9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（第9题图）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是
16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低
10.如图所示，在正方体ABC—A4GB中，如果点E为A4的中点，那么过点
2、B、E的截面图形为（第10题图）A.三角形B.矩形C.正方形D.菱形
2211.设尸是双曲线二一二=1（6Z0,〃0）与圆x2+y2=Q2+b2在第一象限的交点，F,分别是双a b~曲线的左、右焦点，若tan/尸鸟耳=3,则双曲线的离心率为A.A/3B.\/2C.J10D.-------
212.已知实数〃，b,c满足达9=她=—叱0,则〃，b,c的大小关系为ecl bcA.bac B.cba C.abc D.cab第n卷（非选择题共90分）
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线V=4x的焦点为凡点P在该抛物线上，且P的横坐标为4,则|QF|=.
14.在△ABC中，AB=AC=\,ZA=90°,则AB・BC=.
15.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字,如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数,个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为.it111111111T nr1HI IT纵式横式123456789（第15题图）32万
16.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为——，两个圆锥的高之比为1:3,3则这两个圆锥的侧面积之和为.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个〜试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题共60分.
17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinC=—GccosB.（I）求角以（II）若b,c=3a,求△AHC的面积.
18.（本小题满分12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（I）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（II）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品,现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X,求X的分布列及数学期望.n^ad-bc^附K2=,其中〃=a+Z+c+d.+Zc+d〃+c方+d尸（片认）
0.
0500.
0100.
0013.
8416.
63510.828k
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，出，平面ABCD,AB±AD,AB±BC,AB=BC=2,AP=20,E为PC的中点.（第19题图）（I）证明AD〃平面PBC.（II）求直线AE与平面P3C所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）（I）若/（x）在处的切线与x轴平行，求实数〃的值;（II））（另是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）22二十二=1（〃＞人＞0）有一个公共的焦点，C的左、右焦点分别为a~b~已知抛物线G＞2=4%与椭圆2FrF,离心率为22（第21题图）
（1）求椭圆2的方程；O如图，若直线/与X轴，椭圆G顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），若/P耳与/P与H互补，试问直线/是否经过一个定点？若直线/经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由.
（二）选考题共10分.考生从
22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4坐标系与参数方程】x-3--------12在平面直角坐标系X内中，直线/的参数方程为《乙「（，为参数）.在以原点为极点，X轴正半轴广石+与12为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为夕=26sin.（I）写出直线/的普通方程和圆的直角坐标方程；（II）若点P的直角坐标为（3,、6），圆C与直线/交于A,B两点,求|B4|+|P3|的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5不等式选讲】己知函数/（尤）=|x—〃+尤+2,a三一L（I）若0=1,求不等式的解集；（II）若/（x）三2a+l,求的取值范围.2024届高三第三次校际联考数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B
2.A
3.D
4.D
5.A
6.A
7.A
8.C
9.B
10.D
11.D
12.C
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
514.-
115.—
16.6+2,3,
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试〜题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.一必考题共60分.
17.解:IV hsinC=-VSccos B,/.由正弦定理可得sin BsinC=-V5sin CeosB,又sin Cw0,/.sin B=-A/3COS B,即tan8=-G,B=-
71.311b=V13,c=3a,B=—/r,3i A・•・由余弦定理可得〃=+/—2QCCOS B,即13=片+9矿—x—,I2；解得〃2=1,即4=1,C=3,△i」xlx3x与辿
222418.解:（［）..片_400（120x50-150x80）2_400■=
10.
2566.635,200x200x270x130~^9・••有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.II由题意得X的可能值是1,2,3,r［C23「（x=］）=罟*C3co1P（X=3）=W^io・・・X的分布列为:X12331p6ioTo103-——l-2E（X）=lx x——b3x10—
19.解:I证明在梯形ABC中，ABI AD,AB±BC,.BC//AD.又A仁平面尸8C,3Cu平面P3C,，AD〃平面PBC.II易知AB,AZ,A尸两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,则A（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2a）.・・・尸3=（2,0,-20）,3c=（0,2,0），设平面PBC的法向量加=x,y z,m•PB=2x-2A/2Z=0取九=2,则y=0,z=V
2.则m-BC=2y=0・•・平面PBC的一个法向量为m=2,0,逝.设直线AE与平面PBC所成角为9,m・AE_V6则sin0=cosm,AE=----------n V6x2ni\AE
20.解:I由/%=21nx+§,得/[％=2一=,JC JCX・・•在处的切线与X轴平行,・・・./1=2—
2.=0,解得〃=
1./22〃2x2-6ZII函数/X的定义域为0,+8，/=*_==X JCX\3当〃W0时，对任意的x0,此时函数无极值点;当々0时，令/x=0，可得x=由广x〈0，可得0xG；由广x0,可得此时，函数,fx的减区间为0,G,增区间为G,+oo.・•・函数/同在x=右处取得极小值.综上，当々W0时，函数/x无极值点；当々0时，函数,fx的极小值点为x=,无极大值点.
21.解:I由题意可得，抛物线G的焦点为1,0，・••椭圆G的半焦距=1，又•.•椭圆G的离心率为:，a1=b2+c2,/.b1=a2—c2=3,22椭圆a的方程为3+5II大—1,0,设斗y,R巧,力，・・,/PF◎与/PF】R互补,M I%%1+1x+12化简可得%为+%+/y+y=o
①，设直线PQ的方程X=冲+〃（机w0）,x=my+n联立|犬2,消去x得3根之+4J+6/nny+3n2—12=0,1436mn3/—12由韦达定理,可得x+%=一3m2+43m2+4A=36加〃2—43〉+43一口0,可得/3〃+42
②,将玉=my+n,x=my+n代入
①，x22可得2小y%+〃+iy+%=
④，6mrr-46mnn+\].再将
③代入
④，可得一二——L=————解得〃=T,3m~+43m2+4・二直线PQ的方程为x=my—4,・••直线/经过定点（-4,0）.
（二）选考题共分.考生从、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
10222322.解[.但x-3--1（I）由直线/的参数为《“_口为参数），2广石+12得直线/的普通方程为x+y—3—石=
0.将圆C的极坐标方程夕=2逐sin0两边同乘得夕2=2辰sin6,化为直角坐标方程为x2+（y-V5）2=
5.。
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