高考数学二轮复习 专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列练习 理试题

第讲等差数列与等比数列1「考情研析」.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基1本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明..从高考特点上，难度以中、低档题为主，2近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为分和分.512核心知识回顾等差数列L通项公式邑—=+〃一式为+加1d=a—d.等差中项公式:一】+〃〃2-

2.=g]£”,

22.⑶前〃项和公式伪尸迹产=加+加声.乙乙S等比数列

2.等比数列的通项公式但―尸=为「.1等比中项公式西，〃2=^-1•a+i£N*,

2.等比数列的前〃项和公式3笆S=a\—a q—.n=-i iqN][1—q L—q等差数列的性质力叫均为正整数

3.1,k,0⑴若加+〃=/+则因区+反之不一定成立；特别地，当+〃=夕时，有整h a=a+a2⑵若｛｝伉｝是等差数列，则｛扇〃+屹｝片是非零常数是四等差数列.2,1等差数列“依次每勿项的和”即江品一速酗匚县,…仍是等差数列.3S,等差数列｛｝,当项数为〃时偶一奇=酗1项数为〃一时奇42S S4|=^—,21S@n+J偶1偶=皿^中=西〃一且=世言.其中偶表示所有的偶数项之和，奇表示所有的奇—S a,£i=21S S数项之和等比数列的性质力，力，夕均为正整数

4.1,k,⑴若+〃=/+£则恒•、反之不一定成立；特别地，当/〃+〃夕时，有理4=©•=2a.m•—%.233981答案解析因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为所以；，；*=+-1=*X XLjX.X.X381因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为可所以尸=5,a乙O4因此123,已知正项等比数列｛｝满足与，若存在两项为，%使得总产

8.2w2a8=16+a=20,741432,则一十一的最小值为_________.m n~必、3答案4解析因为数列｛｝是正项等比数列，+为=a3298=16^5,20,所以/为=滂=，.由生=，得舍去，由得16%@5=16,a=48d0=2°=—2所以/51=1,=QT=2f,因为必总所以;I/110勿」+@==/+〃均三』=32,2~2~=2,+/7=120+=45++V m n12\m nJ121m n12，/4\Q当且仅当〃%时=”成立,5+2A-•—=T/z70,770,=2I\l in nJ4I43所以一+一的最小值为生mn4配套作业

一、选择题•山东德州高三下学期联考在等比数列｛｝中，兽则的值为鱼十

1.2019a=l,2=8,a aC.16D.32答案D解析设等比数列｛a｝的公比为6・・・4=1,至鲁=8,・•・华兽=8,解得=2,则十十0“2遂=故选2=

32.D.已知等比数列｛｝满足则

2.=1,a5a=4,aa=A.2B.±2C.^2D.±72答案A解析,含条成等比数列，即aaa5a6,「・为81,=4,a与符号相同，故=故选2,A.•安徽蚌埠高三下学期第二次检测等差数列｛｝的公差为若成以

3.2019a+l,2+1,a+1d为公比的等比数列，则d=A.2B.3C.4D.5答案A解析将句+也+转化为的形式为句+由于1,l,a+1a,d Hi+1,a+1+d,1+3%3劭工［;这三个数成以一为公比的等比数歹，故化简得代入U+1+==42+1=2力+1+,十十十十31a1d21得故选=d,-7=2=/A.a设等差数列｛｝的前〃项和为若则与+备+为=

4.a7S,S=9,=36,A.63B.45C.36D.27答案B「.3X2解析解法一3a+2d=9,设等差数列｛的公差为由得《J d,S=9,=36,,6X56a+---d=36,即a\+d=3,＜2a+5d=12,所以匈=+a+3a=3a+7=3X1+7X2=

45.解法二由等差数列的性质，知氏-国成等差数列，即国—成等差数列，所9,27,8S3,以一天=即++勿=345,

45.已知为等比数列｛｝的前〃项和，若,成等差数列，贝

5.S,a S,1=A.S-2s B.=-==C.S^~^Ss D..SG2S3答案C解析设等比数列｛｝的公比为仍则，因为a=l+/s S=l+/+°6s,S3,s,成等差数列，所以解得；故乙乙21+/+/=+1+/,/=—,$=

4.•陕西西安高三第一次质检已知函数、的图象关于轴对称，且函数『

6.2019y=/x+l yX在+8上单调，若数列｛｝是公差不为的等差数列，且则｛｝的前项之和为1,o a4=f8,42125A.0B.—乙C.21D.42答案C解析函数的图象关于轴对称，平移可得旷=的图象关于对称，y=Hx+l yaX x=l且函数在+8上单调,由数列｛｝是公差不为的等差数列,且◎可得Fx1,40Fa=f8,a+8=2,所以功+的=咸+可得数列｛｝的前项和，.故选8=2,42151=21=21C.

二、填空题已知数列｛品｝的前〃项和为则

7.S”a=l,25=a+i,S7=.答案解析由得所以即所以数列｛｝是以2S=a+i2s=4+i=SrH—Sn,3S=£+i,q=3,S为首项，［为公比的等比数列，所以〃5=a=l=3S=3f.,设等比数列｛｝满足】一则尸.8a a+d2=—1,a a=—3,a答案一8解析设等比数列｛｝的公比为sa・/a+@=-1,a-8=-3,・・

①.a1+0=—1,511—7=-

3.

②即

②・

①，得一=，・V31+32=—1^0,.•.qW—1,1+qWO.13,q=-

2.♦.=1ax=a\q=\X3―2=—

8.山西太原第五中学高三阶段检测各项均为正数的数列｛｝和伉｝满足劣+

9.2019-a a”bn,1成等差数列，*+],成等比数列，且则数列｛｝的通项公式为.4+151=1,52=3,网〃+D合案a——--n解析由题设可得,得〃++】=〃即乖a0+i=7bM+i,a=y]bnbn-\24=a2Z=+#bb*\,2n又@=则｝是首项为，^的等差数列.由已知得n=7bn—i+yjbn+1,1,=3=2A=40bi=2,h/K=|=1,则数歹｛佝的公差，的=乎一啦=坐所以〃一坐=^土,即彳左当〃=时，木U d=K—R=/+11尸事，当时，勺比,则，符合上式，所以数列｛｝的通项公式为尸驾4-1=a„=-\lb„b„-\=2a=l4a久.

10.已知数歹U｛品｝满足--------1*2=3刀+1,则为=答案3〃+i30+

2.〃22-2〃12,=1,解析由题意可得，当〃时，；解得.当〃寸，---------------------白〃=1a=4,a=1222H2H PraO OOO33〃+23〃+23〃12,=1,当时，-----------卜a+a2H a=12+1-3，心3,

2.所以］〃即品〃又当时，不成立，所以-I=3T—2,a=3,22,=3,22,n=l a=3an

三、解答题广东茂名五大联盟学校高三月联考设数列的前项和为且满足

11.2019•3EJ n S,求数列｛｝的通项公式；1⑵是否存在实数使得数列｛〃〃几｝为等差数列？若存在，求出入的值；若A,s++2不存在，请说明理由.解由为一〃可知当〃=时，11=O0N”,1乙即又由a——1=0,31=

2.a—~S—1=0/eN*.n n乙乙呆-i—4-1=0两式相减，得可得为+1-7^S+1—1=0,即—劣=即=T7a+10,a+12a”所以数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，a22故〃〃d=2£N*.由知，产21s a―/=22-l,l—q所以〃〃〃〃S++2X=22—1++2A若数列｛〃〃｝为等差数列，S++24则〉几成等差数列，S+l+23£+2+224,+3+2即有2[S+2+22A]=[5I+1+24]+[£+3+294],即丈+解得—=—26+64=2+314+114,

2.经检验时，｛〃〃久｝成等差数列，故的值为一4=—2S++2A

2.•江西上饶市高三二模已知首项为的等比数列｛｝满足@+=等差数

12.2019138+,列｛｝满足打=/,=,数列｛｝的前〃项和为44S.求数列｛｝｛｝的通项公式；14,4若数列｛凳满足且+…+白=求｛/的前〃项和九2^+0+5,解⑴设3｝的通项公式为产a a/3/2\••3i Q~\~a0=331+a q,••Q=

3.•a=1,・・・8=3,=9,•bi=3,%=

9.一[b设伉｝的公差为・・・〃.d=——=2,4=2+l.〃“3+2+12V^=2/+l,S==n-\-2n,o当77=L-=3,ci=3,a当〃------2,—+—H\~~=n~\-2n,改3,\a------2—+~H1——-^=/1+27—1,@2dn-\两式相减,露升经检验,E时上式也成立.=2A+L=

21.3综上，

④〃，=2+1•3z£N*.北=3X3°+5X3」・・・+2〃+l；12〃，A37,=3X3+5X3+-+2/+1•361—3=—277•3-1-3两式相减一=〃〃〃23—2+1•3+2X31+2X32+…+2X3f=3—2+1•3”+•rr\c\H〃・••ln~•3已知数列｛｝的各项均为正数,记数列｛｝的前〃项和为数列｛菊的前〃项和为

13.4a S,且北=«+〃金325,N*.求的值；1a求数列｛｝的通项公式.2解由得；即；137]=©+2S,3a=a+2a,a—a1=

0.因为〉所以a0,a=L⑵因为；

①37=e+2S”所以北+产求

②3H+2S+I,

②一

①,得双即〃因为〉3+i=-+i—+2+1,3—+i=S+a+i~~+2/+

1.+i0,所以

③+i=S+l,所以

④+2=S+1+1,

④一

③，得即所以当〃三时，为4+2—d+i=+i,a+2=24+1,2**=

2.又由得向=232=8+25,31+1+32+21+52,即52—2a2=

0.因为所以所以生所以对任意的〃£都有口成立，所以数歹心为｝0,4=2,=2,N*,=2a dn的通项公式为〃〃a=2T,£N*.•河北省中原名校联盟高三联考已知正项等比数列｛｝中，句=上且如

14.2019a成等差数列.a—1求数列彷〃｝的通项公式；1若求数列，~|的前〃项和24=21og2a+4,T.r解设等比数列的公比为因为的为,一成等差数列.所以「1EJ7a12=@+a l,又功=《，则义!/=!+!/-即21,q2=!q+!q3-L所以所以2q2=°+q3—2,2/+2=q+q,所以=雇/+所以/+一扮2/+l

1.12=

0.故数歹｛劣｝的通项公式U a=31n显然所以解得/+1W0,2—0=0,1=

2.由⑴知，-22^=21og2+4=2/7-2+4=2/

7.2_________磊111/1♦所以»中\2n•2/+14\/则冷+…+7T1—1I+HM〃〃+”4+

1.⑵当〃为偶数时，注=我公比.其中偶表示所有的偶数项之和，奇表示所有的奇奇S SJ数项之和⑶等比数列“依次加项的和”，即也显二酗匚，成等比数列.…SWO热点考向探究考向等差数列、等比数列的运算1例陕西榆林高考第三次模拟在等差数列｛｝中，其前〃项和为且满足若112019•S”a+=12,则念+=ai+S=24,A.24B.32C.40D.72答案C解析故V93+^=653=12,@+5=8a=24,/.33=2,a=3,/.95=4,A35+6^=1013=

40.5选C.在等差数列｛｝中，已知是/和色的等比中项，则数列｛｝的前项的和为24a=5,8a5A.15B.20或C.25D.1525答案D解析设公差为•.•色为西为的等比中项为，即⑵一中一中・・・・4♦2=42H1+2d,54-2=0,••或，或即或・・或故选d=d=

2.5—4=53,2=53,.W=5a=

2515.D.已知正项数列｛｝满足分,若则数列｛｝的前〃项和为.34W+i—6/=a+1131=2,4答案〃一31牛析•〃〃〃〉163n13n,••13aa+1I2a0,•a0,••，｛〃｝a+13an••a_Jq等比数列，且首项为公比为・・・〃一2,3,£=

31.利用等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量.在各项为正数的等比数列｛｝中，则为+劣=

1.a$=9,=21,A.144B.121C.169D.148答案A々=解析由题意可知，,,°a+9,2=2,（+）=，板,日a19（舍去）.・（+）或.•+a=31/1解得］—3j J—21,=27为=

3.\3,2\21,故选=

144.A.（•辽宁沈阳郊联体高三一模）我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为

2.2019“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为（）答案C解析设为为第〃等人的得金数，则｛｝为等差数列，由题设可知含a a++=4,+447一故不〃而故选+0=3,9=1,a+a=+39C.32=（•安徽太和第一中学高一调研）定义在数列回｝中，若满足吐一吐=（〃£

3.2019N”,a+1a为常数）,称｛｝为“等差比数列”.已知在“等差比数列”｛｝中,〉则口d aa=e=53=3,@202022A.4X2020-l B.4X2019-l2C.4X20222—1D.4X2019答案A解析・・・句=透=1,=3,・••刍一色=2,，壮山］是以1为首项，2为公差的等差数列，324t J・品+i_o_1•・一2〃一1,、/、32022/022^2021/o，——=——•故选——=2X2021-1X2X2020-1=4X2020--

1.A.“2020a202152020考向等差数列、等比数列的判定与证明22s2例已知数列｛劣｝中,】=其前项的和为且满足产二■、列2a Ln Sn,a22,n£N*.23n

1、求证数列是等差数列；192证明--------------------------匕刀十35721226111证明当〃寸，二,所以数列彳下122E1S-SLI=S-i—S=2S•ST,—---=29N0/71J/7J/7—1是以为首项，为公差的等差数列.12由可知，—=-^+〃2177—1•2=2-1,所以Sn=j r.2/7—1为+9+1+..S T------------------------------------------------++H H1X33X55X7277-12/7+1+-2/7-12/+1X1-,22/+l2判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最1后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是/；的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列.证明数列｛｝为等比数列时，不能仅仅证明为+，还要说明才能递推得出数列2a1=42W0,中的各项均不为零，最后断定数列｛｝为等比数列.2证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式.34•江西八所重点中学月联考设数列｛｝满足刈+产］—〃£20194=1,N*.一44求证数列是等差数列;1a—2n⑵设求数歹｛以｝的前项和bl-U nT.n的一12—an解⑴证明:•••为+】=劣+]-〃2a~2a—22a—4a—22a—4n n nn2为常数，又己=，乙=-91是以一为首项，一为公差的等差数列.1Ja—2n由知,21=1+77—1•c22/7A^=2-7=^+T,H〃4•期〃___________________2+1W••.=二=觉〃〃〃1=2―12+1•1〃〃1〃—「〃，+2-12+1=+422+1{1,1111,111•・・北=》+坊+庆+-+^=/；+-^i…+——赤J=〃+5〃〃1-2+1=+2+1所以数歹⑻的前〃项和北=〃+高.1考向数列中与的关系问题34S例设是数列｛｝的前〃项和,已知=〃3S a3,a+i=2S+3£N*.求数列｛｝的通项公式；1令〃求数列｛｝的前〃项和24=2-1,4T.n解⑴当〃时，由+尸得22a25+3,=2S-+3,两式相减，得3n+[―cln—2Sn~2Sn-=21••〃+113••3•••d〃+3〃当〃时，则=1ai=3,52=251+3=251+3=9,==

3.・••数列｛4｝是以3为首项，3为公比的等比数歹U.〃=3X3f=3由⑴,得〃〃24=2-la=2-lX

3.；23---------〃

①/.7=1X3+3X3+5X3H k2-lX3,；234卜刀一叫

②37=1X3+3X3+5X3H——2133

①一

②，得，义3义〃一〃一】—2=1X3+232+2*3+…+2321X323,=3+2X3+3+-+3-2/7-1X3i，，+1=3+2X2/-lX31—J,+1=-6-2/7-2X

3.・产/+l:T77-1X3+

3.由与的关系求通项公式的注意点S应重视分类讨论思想的应用，分〃和〃两种情况讨论，特别注意尸一成立1=1N2a SLSn的前提是〃

22.由「推得当〃=时，也适合，则需统一表示“合写”.2S ST=a,a”1a一51/7=1,S,写“，即4=

22.£-1〃由为推得，当〃时，不适合，则数列的通项公式应分段表示“分3S—S-=2=1a•福建泉州月质检设数列｛｝的前〃项和为已知201952S”S=2,“1=S+

2.⑴证明｛｝为等比数列；⑵记〃数歹的前〃项和为北，若北恒成立，求力的取值范围.b=log2a,U7^210DnDn+1解证明由已知，得1a=S=2,/=S+2=4,当〃时，

④一2=52,1+所以所以以+产〃an+\—a=S+2—Si+2=a

222.nn9又所以包〃，a=2a,1=2£N*所以｛｝是首项为公比为的等比数列.2,2⑵由（）可得所以1a=2,A_A_11A〃bnbn+\4J+j1,11,,1-----------Tn=a1-O+Q-zH F——TT=A1—rrb〃十I223n1\n-v1因为北力，所以借对,从而心竺*,广因为10

（1）=［0（］+^W2O,所以4的取值范围为［20,+8）.真题押题［真题模拟』（•湖南六校高三联考）已知公差后的等差数列｛｝满足且如一成

1.20190a=l,82,8等比数列，若正整数勿，〃满足加一〃则为—（）=10,4=A.10B.20或C.30D.540答案C解析由题意,知（国—）%，因为｛｝为等差数列,所以解）（中（中,因22=a d—12=1+1+5为好解得（从而（）故选0,7=3,a,—a=///—n d=

30.C.n•全国卷已知各项均为正数的等比数列｛｝的前项和为且

2.2019HI a415,4=38+4,则“3=A.16B.8C.4D.2答案C5i0,q0,解析由题意知a+@0+/+d=i5,0d=3aM+4a,I Hl=1,解得彳故选/.53=51^=

4.C.I7=2,（•安徽宣城高三第二次调研）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有

3.2019如下问题“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问各该若干？”其意思为“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问乙应该分得白米（）石石A.96B.78石石C.60D.42答案C解析今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石.设此等差数列为｛｝公差为”其前〃项和为a,s”_363X2（）解得・・・，乙应乙乙=^—=-18,=3a+^^—18=180,d=

78./=4+d=78—18=

60.该分得石.故选60C.（•全国卷）记为等差数列｛｝的前〃项和.已知则（）

4.2019I S,2S=0,8=5,〃〃A.a=2-5B.^=3/7—102C.S=2n—8n D.S=~:n—2nf n）乙答案Afa+4d=5,解析设等差数列E,｝的首项为，公差为由与可得解得4a s=0,=57[4a+6d=0,=）f^i-3,—1,9\所以为=（）〃（—）故选-3+2Z7—1=2/7—5,S=X3+-X2=Z7—4/

7.A.[d=

2./（•新疆高三第一次诊断）已知数列｛｝为等差数列,

5.2019a53=3,a+/+…+a=21,数列;的前项和为若对一切恒有瓯一《，则能取到的最大正整数是1nS”N*,S m\a16n答案7解析设数列｛品｝的公差为由题意得,4a+2d=3,解得6a+l5d=21,且—=一,:,an=n,an A=1+-+-+-+-,n------------・・-I——|—.—i——〃〃+l+22n则Tn-V\=+I-------------------IQ，Q〃十2n+32n+2______________________________________1111,11即+1-=+-+-=0,^^2^+22/7+1^+T2Z7+2277+2^+T・・・北+]〉北，则北随着〃的增大而增大，即在/7=1处取最小值，・•・7]=S—S=J•・•对一切〃£N*,恒有S—S）《成立，16白即可，解得08,216故加能取到的最大正整数是

7.『金版押题』设是数列｛｝的前〃项和，且功=—则数列｛｝的通项公式为

6.S21,a+i=4S+S,S解析由已知得乙a+i=S+i—S=）S+1S”所以一—一一）所以是以一为首项，一为公差的等差数列.所以）（〃9=1511J9=—1—11,,2给出一个直角三角形数阵（如下），满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行

7.的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第/行第/.列的数为即（/工）则如2£jeN*,。