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与新定义、推理证明有关的压轴小题
6.
1.有三支股票4B,C,28位股民的持有情况如下每位股民至少持有其中一支股票，在不持有4股票的人中，持有夕股票的人数是持有股票的人数的2倍，在持有力股票的人中，只持有4股票的人数比除了持有力股票外同时还持有其它股票的人数多
1.在只持有一支股票的人中，有一半持有力股票，则只持有方股票的股民人数是（）A.7B.6C.5D.4答案A解析设只持有4股票的人数为了（如图所示），则持有/股票还持有其它股票的人数为¥—1（图中d+e+/的部分），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有夕或股票，则只持有了6或股票的人数和为¥（图中ZH■部分）,假设只同时持有了8和股票的人数为必那么才+才一l+X+a=28,即3X+a=29,则X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,L与之对应的a值为2,5,8,11,14,17,20,23,
26.因为没持有力股票的股民中，持有方股票的人数为持有股票人数的2倍，得〃+a=2（c+a）,即X—a=3c,故¥=8,3=5时满足题意，故=1,6=7,故只持有8股票的股民人数是7,故选A.
2.已知集合力=｛（x,y）|/+y^1,x,y^Z｝,B=｛（^,y）|x|W2,|y|W2,x,y^Z）,定义集合］㊉夕=｛（xi+物力+〃2）I（xi,»）£/,（如72）B｝,则/㊉夕中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.30答案C解析因为集合/=｛（筋力|V+/wi,x,y£Z｝所以集合力中有5个元素（即5个点），集合8=｛（力力||x|W2,|y|W2,x,y£Z｝中有25个元素（即25个点），集合/㊉8=｛（小+如M+%）|（E,（如%）金而的元素可看作正方形43G〃中的横纵坐标都为整数的点（除去四个顶点），即7X7—4=45（个）.
3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]其中卜]表示不大于x的最大整数可以表示为「x+5[「x+4]「x+3[「x]A•尸hd B.尸[向C.J D.厅同答案c解析根据题意，当x=16时，y=l,所以选项A,B不正确，当x=17时，y=2,所以D不正确，故选C.
4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是A.设数列｛a｝的前〃项和为S”由3=2A—1,求出5=
1、Sz=2\S=3…,推断S=n2nB.由_fx=xcos x满足/、一x=—Fx对V x£R都成立，推断Fx=xcos x为奇函数1,jC.由圆/+/=/的面积5=T，推断椭圆/+/=1aZ0的面积S=兀aZ11D,由1+1222+1222,3+1223,推断:对一切〃N*,/+122,答案A解析选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列｛2｝是等差数列，其前，项和3=生普二口=〃2,选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.乙5,给出以下数对序列b11,22,11,32,23,11,42,33,24,1若第].行的第/个数对为即，如3=3,2,则打等于A./,〃一勿+1B.zz7—1,n—ni C.zz7-1,〃一/+1D.in,n—in答案A解析由前4行的特点，归纳可得若a丽=a,6,则a=，b=n—m+1,/.a=Un,n—nni加+
1.6,若函数fx,gx满足f ifxgxdx=O,则称F数,gx为区间［-1,1］上的一组正交函数.给出三组函数
①/x=sin x,gx=cos x；
②/x=x+l,gx=x—1；
③Fx=x,gx=V.其中为乙乙区间［―1,1］上的正交函数的组数是A.0B.1C.2D.3答案C1~x•cos乙sin xdx=—；cosx人i=0,则1x,gx为区间［一解析对
①，1,1］上的正交函数；对
②，f Ix+1x—ldx=LV—ldx=gx3—则/x,gx不是区间［―1,1］上的正交函数；对
③，£1父也=打|\=0,则Fx,gx为区间［-1,1］上的正交函数.
47.已知点/0,1,点8在曲线G尸1上，若线段与曲线Cy」相交且交点恰为X线段/夕的中点，则称点夕为曲线G与曲线G的一个“相关点”，记曲线G与曲线C的“相关点”的个数为〃，贝1」A.〃=0B.n—\C.n—2D.n2答案B解析4e-1,则4的中点为一,所以“相关点”的个44数就是方程/=一解的个数，由于y=e*的图象在x轴上方，且是R上的增函数，y=-在0,X X+8上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即〃=1,故选B.
8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上如图，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为则〃等于（）A.7B.8C.11D.15答案C解析由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数⑵一1）要多，比四个盘子不同时操作的次数（2，—1）要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为
11.
9.定义域为［劣6］的函数y=F（x）图象的两个端点为4,B,y）是/（x）图象上任意一点,其中x=4d+（l—4）4Ae［O,1］,已知向量而-49+（1—4）赤若不等式|法WA恒成立，则称函数〃x）在［a3上“〃阶线性近似”.若函数y=x—,在［1,2］上“4阶线性近x似”，则实数4的取值范围为（）答案D解析由题意可知,前1,0,,2,I2-4,2-4一2」J A2-4,11—A\1-33]112-A13t•」邮=5—5—2—+口=丁+m，—A1厂4=2—位时，等号成—当且仅当又•••AE[0,1],A2-Ae[l,2],22-A2即实数4的取值范围是
10.（2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考）已知函数y=F（x）与y=Hx）的图象关于y轴对称,当函数y=fx和y=/x在区间［7同时递增或同时递减时,把区间［a句叫做函数y=Ax的“不动区间”，若区间［1,2］为函数y=|2一”的“不动区间”，则实数1C.2A.0,2]B.5,+°°D.2U[4,+°°乙乙方的取值范围是解析t在［1,2］上单调性相同，当两个函数递增时,y=12V解得;w隹2・,乙答案易知y=12A—方|与y=log tWl,2当—两H个与函尸数递减时，t的y=图|2象一如〃图的1图所象示如，图易2知所示，此时y=|2—*关于y轴对称的函数—Iog2综上所述，故选C.不可能在［1,2］上为减函数.乙
11.将全体正整数排成一个三角形数阵:12log/2图图910〃+6答案2根据以上排列规律，数阵中第加〃3行从左至右的第3个数是解析前〃一1行共有正整数1+2+…+〃-1=区守个，即一个，因此第〃行从左至2n-n右的第3个数是全体正整数中第-^+3个，即为乙yif22XX
12.设数列｛a｝的前〃项和为S,若”为常数，则称数列｛｝为“精致数列”.已知等差数列O2n｛4｝的首项为1,公差不为0,若数列｛4｝为“精致数列”，则数列｛4｝的通项公式为答案=2〃-1/7£“S1解析设等差数列｛4｝的公差为d,由U为常数，设且打=匕得〃+弓〃〃-1=A^2z+^X2/72z—1/,即2+z—1d=4A+2A2〃-1d,整理得44-1整+24—12-670=0,444—1=0,解得d=2,仁;,则〔2—12—0=0,因为对任意正整数〃上式恒成立，n__
113.已矢口cos~3=29所以数列依｝的通项公式为4=2〃-1/7£N*.兀2nl cosycos-=n2n3nlCOS-COS-COS-⑴根据以上等式，可猜想出的一般结论是;Ji Ji2n712r3”2右数歹U｛a｝中,31=COS—,32=COS—COS-53=COS-COS-^COS^-,・・・,355777“一1023刖〃项和S,八4则〃=..n2兀n nI,*、/、答案⑴cos工•C0So
14.2016•四川在平面直角坐标系中，当Px,y不是原点时，定义P的“伴随点”为P7白，了言；当刀是原点时，定义夕的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线的“伴随曲线”.现有下列命题
①若点/的“伴随点”是点，，则点小的“伴随点”是点/；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线关于x轴对称，则其“伴随曲线C关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是.写出所有真命题的序号而一生一号的伴随点为一1,解析对于
①，若令/I,1,则其伴随点为4答案
②③-1,而不是P.故错误；对于
②，令单位圆上点的坐标为〃cos X,sin x，其伴随点为户sin x,—cosx仍在单位圆上，故
②正确；对于
③，设曲线Fx,y=0关于x轴对称，则Fx,—y=0与曲线fx,力=0表示同一曲线，其伴随曲线分别为F孱7，君，=与f下7三1=°也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为手心七，7言=°与f~r~y x yj\xyx-T~vyj6］，7方=0的图象关于y轴对称，所以
③正确；对于
④，反例为直线y=l,取三个点力0,1,81,1,02,1,这三个点的伴随点分别是H1,0,1生一,，俱一|，而这三点不在同一条直线上.故
④错误.所以正确的序号为
②③.220034。
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