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第练概率与统计26［明考情］概率与统计是高考的必考题，古典概型与统计的结合是命题的热点，难度中档，一般在题或18题的位置.19［知考向］随机事件的概率.
1.古典概型与几何概型.
2.概率与统计的综合问题.
3.核心考点突破练研透考点考点一随机事件的概率要点重组“互斥事件”与“对立事件”对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况,但互1斥事件不一定是对立事件.若事件互斥则=#+八句；，若事件〃对立，则八/+《为248,4=
1..某战士射击一次，问1⑴若中靶的概率为则不中靶的概率为多少？
0.95,⑵若命中环的概率是命中环的概率为命中环的概率为则至少
100.27,
90.21,
80.24,命中环的概率为多少？不够环的概率为多少？89解设中靶为事件则不中靶为，147则由对立事件的概率公式，可得PCA=1-^=1-
0.95=
0.
05.⑵设命中环为事件命中环为事件命中环为事件〃至少命中环为事件反108988由题意知,・〃PB=027,P6=
0.21,P=
0.24,则=尸什册P£8+0=P+P0+P0=
0.27+
0.21+
0.24=
0.
72.记至少命中环为事件凡9则
①+户PR=PB+0=P0=
0.27+
0.21=
0.
48.故不够环为了,9则户予一尸力・=1=1-048=
0.
52..根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为购买乙种保险但不购买甲种保
11000.
10.
0.20+
0.20+
0.15+
0.10+
0.05=
0.
30.2所以石分=1000X
0.30=
300.3因为样本中的“很好”人数为50X
0.30+100X
0.30+150X
0.40+200X
0.50+300X
0.65+200X
0.40=60,年龄段在［）的“很好”的人数为40,45200X
①，；{氏，2{4,4},{4,{4,a},{%,A},62},{B61},,共种不同的选法.bj,{b1bz}99g3所以选出的名职工来自同一工厂的概率为2R-乙1I,已知向量2a=—2,1,b=x,y.若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为先后抛掷两1x,y1,2,3,4,5,6次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；a•6=—1⑵若筋在连续区间［］上取值，求满足・〈的概率.y1,6a60解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为16X6=
36.由得a•Z=—L-2x+y=l,所以满足・的基本事件为共个.a6=-11,1,2,3,3,5,331故满足的概率为正=行.a^b=-\3b Iz⑵若在连续区间［］上取值，则全部基本事件的结果为={心x,y1,6y|lWxW6,1WQ},满足〈的基本事件的结果为力=且一a•60{x,y112x+y0}.画出平面区域如图，x矩形的面积为矩形=S25,阴影部分的面积为阴影S=25—12X4=21,故满足的概率为前.a•b
025.某厂商调查甲、乙两种不同型号的电视机在个卖场的销售量单位台，并根据这31010个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图8400108752202303\2a h3143为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.⑴求在这个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；10⑵若在这个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为求的概率；
1026.7,⑶若记乙型号电视机销售量的方差为根据茎叶图推断为何值时，达到最小a=l,52,6s值.只需写出结论10+10+14+18+22+25+27+30+41+431根据茎叶图，得甲组数据的平均数为=24,10由茎叶图知，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为
5.⑵记事件］为，因为乙组数据的平均数为
26.7,10+18+20+22+23+31+32+30+5+30+^+43所以-----------------------------------历----------------------------------=
26.7,解得a+6=
8.所以和的取值共有种情况，它们是a b90,8,1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1,8,0,其中有种情况，它们是所以的概率以⑷=45,3,6,2,7,1,8,0,49,当时，达到最小值.36=0$2•全国海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随
4.2017H机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位其频率分布直方图如下100kg,⑵填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关:99%箱产量＜箱产量50kg250kg旧养殖法新养殖法⑶根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.附:旧养殖法新养殖法〃心
0.
0500.
0100.001Ao记/表示事件“旧养殖法的箱产量低于，估计力的概率；150kg”ko
3.
8416.
63510.828________________鼠/ad-bd^H+6c+Sa+cb+3解旧养殖法的箱产量低于的频率为150kg
0.012+
0.014+
0.024+
0.034+
0.040X5=
0.
62.因此，事件力的概率估计值为
0.
62.⑵根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下箱产量＜箱产量总计50kg250kg旧养殖法6238100新养殖法3466100总计961042002200X62X66-34X38片的观测值4=^
15.
705.100X100X96X104由于故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.
15.
7056.635,99%⑶箱产量的频率分布直方图表明新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在到之间，50kg55kg旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在到之间，且新养殖法的箱产量分布集中程45kg50kg度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法..某中学为了解某次竞赛的成绩状况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为5100分）作为样本进行统计，请根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题组别频数频率分组第组1[50,
6090.18第组2[60,70a第组3[70,
80200.40第组4[80,
900.08第组5[90,100]2b合计（）写出筋的值;1a,b,y⑵在选取的样本中，从竞赛成绩在分以上（含分）的同学中随机抽取名同学参加座谈,求80802所抽取的名同学来自同一组的概率.29解（）由题意可知，样本总数〃1===50,U.Io,
20.04=・b---
0.049y-77^-=0004,□01Urn1-
0.18-
0.40-
0.08-
0.04x=-
0.03,a=1-
0.18-
0.40-
0.08-
0.04X50=
15.⑵由题意可知，第组有名同学，分别记为第组有名同学，分别记为笈，民，444,4,4,4,52共名同学.从竞赛成绩在分以上含分的同学中随机抽取名同学，基本事件空间={6808024,加，盼卧方，民，㈤，儿民},4,4,4,4,4,4,4,,4,4,4,4,4,,4,B,4,4,U,4,4,5,4,共个.设事件/为“随机抽取的名同学来自同一组”，则事件力包含的基本事件力={1524,4,，，},共个，4,4,4,494,4,42,4,44B”B7所以随机抽取的名同学来自同一组的概率是72一.险的概率为o.
3.⑴求该地位车主至少购买甲、乙两种保险中的种的概率；11⑵求该地位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.1解记/表示事件该车主购买甲种保险；方表示事件该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；表示事件该车主至少购买甲、乙两种保险中的种；1〃表示事件该车主甲、乙两种保险都不购买.⑴由题意得夕力=又所以=〃/日而=〃〃而
0.5,PS=0,3,C=AUB,4+=
0.5+
0.3=
0.
8.⑵因为〃与是对立事件，所以〃
⑦C=1—=1-
0.8=
0.
2.考点二古典概型与几何概型要点重组古典概型的两个特征
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本1事件发生的可能性相等.⑵几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等..一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是现从盒子中随机31,2,3,4,抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.⑴若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于的概率；7⑵若第一次抽取一张卡片，放回搅匀后再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字的卡片的概率.3解设/表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于，17”抽取三张卡片，三张卡片上的数字的所有可能的结果是“，2,3},{1,2,4},{1,3,4,21其中数字之和大于的是所以事件力的概率产储2,3,4,7{1,3,4},{2,3,4,⑵设夕表示事件“两次抽取中至少有一次抽到写有数字的卡片”，第一次抽一张，放回后再抽3取一张卡片的所有可能的情况有1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,共个.3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4,16事件包含的基本事件有共个.61,3,2,3,3,1,3,2,3,3,3,4,4,3,77所以事件的概率折3P=/.1b.已知夕两个盒子中分别装有标记为的大小相同的四个小球，甲从盒中等可能地441,2,3,44取出个球，乙从夕盒中等可能地取出个球.11⑴用有序数对之力表示事件“甲抽到标号为了的小球，乙抽到标号为的小球”，试写出所有J可能的事件；⑵甲、乙两人玩游戏，约定规则若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.你认为此规则是否公平？请说明理由.解甲、乙两人抽到的小球的所有情况有11,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,共种不同的情况.3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4,16甲抽到的小球的标号比乙大,有共22,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,种情况，故甲胜的概率片=白=|,乙获胜的概率为月6=1—1=\.16888因为所以此游戏不公平.OO•山东某旅游爱好者计划从个亚洲国家和个欧洲国家庆氏，氏中选择个国
5.201734,4,432家去旅游.若从这个国家中任选个，求这个国家都是亚洲国家的概率；1622⑵若从亚洲国家和欧洲国家中各任选个，求这个国家包括但不包括的概率.1244解由题意知，从个国家中任选个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有162{4,民},{力民},{及，合},盼笈},{儿与},4},{4,4}9{4,Bi},{4,{Ai,Bs\,{4,4},2,Bi},{4,{4,B\],{4,,{4,{-阂，{%阂，共个.15所选个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有共个，2{4,4},{4,4},U,4},331则所求事件的概率为〃=:=三.155⑵从亚洲国家和欧洲国家中各任选个，其一切可能的结果组成的基本事件有盼氏},1{4,5},{A,,U,储笈},氏},储阂，为，共个.2,{4,2,{4,B\},{4,BA,{4,9包括但不包括笈的事件所包含的基本事件有氏},合},共个，4{4,U,22则所求事件的概率为尸=
6.已知集合仁设物片面，在集合物内随机取出6[-2,2],8=[—1,1],={x,一个元素（）x,y.⑴求以（为坐标的点落在圆内的概率;x,/+/=1⑵求以（力为坐标的点到直线的距离不大于受的概率.乙x,%+y=0解（）集合〃内的点形成的区域面积1S=
8.兀因为圆片+的面积,故所求概率为7=1s=Ji，即一形成的区域如图中阴影部分所示，阴影部分面D O积S=4,（）由题意2S I所以所求概率为O乙.花园小区内有一块三边长分别是的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，75m,5m,6m若不考虑小花猫的大小，求在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率.解如图所示，分别以三角形/比的三个顶点为圆心，为半径作圆，与三角形仍的三边分别交2T于点〃E,M,N,Q,P.由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为底边长为的等腰三5m,6nl角形.底边四上的高为22（）故△/回的面积
（2）/7=^5-3=4m,S=|x6X4=12m.而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过对应的区域为图中阴影部分，即三角形除去2in”4%三个以顶点为圆心，为半径的扇形部分.2因为,所以三个扇形的面积之和为《冗2N/+NZ+NC=IT X2=2n.故阴影部分的面积（兀）（布）.S=S—2n=12—2S12-2Ji JI所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过的概率为片=2m”126,已知关于的一元二次方程胃+己才一//+
8.x964=0,a,b£R.⑴若是从三个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求已知方程有H1,2,360,1,2两个不相等实根的概率；⑵若是从区间［］内任取的一个数，是从区间［］内任取的一个数，求已知方程有实a0,360,2数根的概率.解设事件为“方程炉有两个不相等的实数根”；事件为“方程A9/+6ax—+4=089/+6ax—4+4有实数根”.=0由题意知，基本事件共个，即191,0,1,1,1,2,2,0,2,1,2,2,3,其中第一个数表示的取值，第二个数表示人的取值.0,3,1,3,2,a由一户一得才+下4=363-36+4=36#+3636X40,
4.事件力要求满足条件才包含个基本事件，46+44,6即则事件/发生的概率为〃1,2,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2,4=\=£.的取值所构成的区域如图所示，其中2a50WHW3,0W5W
2.构成事件的区域为如图中阴影部分，8{Q,6|0WaW3,0W6W2,3+924}192X3--X nX24JI则所求的概率为⑵------------------------P=F=1-^.2X36考点三统计与概率的综合问题方法技巧对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.•全国某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每
9.2017ni4瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需62求量与当天最高气温单位℃有关.如果最高气温不低于需求量为瓶；如果最高气温25,500位于区间［需求量为瓶；如果最高气温低于需求量为瓶.为了确定六月份的20,25,30020,200订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表最高气温[10,15[15,20[20,25[25,30[30,35[35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.⑴估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率;300⑵设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位:元），当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶H450时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.V V解（）这种酸奶一天的需求量不超过瓶，当且仅当最高气温低于由表格数据知,130025,胪最高气温低于的频率为所以这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率252+36=
0.6,300J\J的估计值为
0.
6.⑵当这种酸奶一天的进货量为瓶时,若最高气温不低于则；45025,7=6X450-4X450=900若最高气温位于区间则；[20,25,1=6X300+2450—300—4X450=300若最高气温低于则20,K=6X200+2450-200-4X450=-100,所以的所有可能值为V900,300,-
100.大于零当且仅当最高气温不低于Y20,由表格数据知，最高气温不低于的频率为20=
0.
8.J U因此大于零的概率的估计值为Y
0.
8.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,
10.在普通行人中随机选取了人进行调查，当不处罚时，有人会闯红灯，处罚时，得到如20080下数据:处罚金额（单位元）x5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率.⑴当罚金定为元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少10⑵将选取的人中会闯红灯的市民分为两类力类市民在罚金不超过元时就会改正行为；20010夕类是其他市民.现对/类与夕类市民按分层抽样的方法抽取人依次进行深度调查，则前两位均4为类市民的概率是多少6解设“当罚金定为元时，闯红灯的市民改正行为”为事件1104所以当罚金定为元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低!105由题可知，力类市民和夕类市民各有人，故分别从力类市民和夕类市民中各抽出人,设2402从类市民中抽出的人分别为从类市民中抽出的人分别为设”类与£类市民按424,4,328,Bz,分层抽样的方法抽取人依次进行深度调查”为事件机4则事件的中首先抽出的事件有吩庆灰力44,4,Bi,B,A,4,a,8,4,B\,4,,A,Bi,,4,4,,2,A,4,灰共种.,B\,4,6同理首先抽出，民的事件也各有种，4B1,6故事件物共有种.4*6=24设“抽取的人中前两位均为类市民”为事件“则事件有台，⑶民，48N Bz,4,4,41共种，所以==乙士4,4,Bz,B\9A\4,Bz,B\,4,4,4PA TTT.\J所以抽取的人中前两位均为类市民的概率是485O•北京某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层
11.2017400抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组1007[20,30,[30,40,…[80,并整理得到如下频率分布直方图.90],频率钢
0.
02.01O分数2304050607089⑴从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；40070⑵已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；405[40,50⑶己知样本中有一半男生的分数不小于且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总70,70体中男生和女生人数的比例.解根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为
1700.02+
0.04X10=
0.6,所以样本中分数小于的频率为701—
0.6=
0.4,所以从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计为
400700.
4.根据题意，样本中分数不小于的频率为
2500.01+
0.02+
0.04+
0.02X10=
0.9,分数在区间内的人数为[40,50100—100X
0.9-5=5,5所以总体中分数在区间［内的人数估计为40,50400X-=
20.⑶由题意可知，样本中分数不小于的学生人数为
700.02+
0.04X10X100=60,所以样本中分数不小于的男生人数为7060x1=30,所以样本中的男生人数为30X2=60,女生人数为100—60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为6040=32,所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为
32..某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会12为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了〃名学生的成绩满分分作100为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题⑴求频率分布直方图中的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；a,b⑵规定大赛成绩在［的学生为厨霸，在［］的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神80,9090,100的学生中随机抽取人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取人中至少有人是厨神的概221率.5解由题意可知，样本容量1n==40,U.U1Z bX1U八人乂/3所以女=八乂八=°,
415.A1U所以10Z=l-
0.125+
0.150+
0.450+
0.075=
0.200,所以b=
0.0200,平均成绩为・0125X55+
0.2X65+
0.45X75+
0.15X85+
0.075X95=
73.
5.由题意可知，厨霸有人，分别记为如由戊，厨神有义
20.0150X10X40=6a,a,
0.007510X40人，分别记为打，民如共人，=3,9从中任意抽取人共有种情况〃〃，,236a,,a,a,a,a,a,,a,,a,A,a,b a,b,,均,均,，功,，均,）（）（），（），（仇），a,8a,8,b,b,bs98,a,a,35“3,8,（）（）（）（）（）（，庆）,（，）（全，）（曲,）33,bl933,A,8,359Hl,a,a,Si,2Q b,a,Si,（金,坊）,（金，）（）（含,坊）,（公，）（人㈤，（）伍，）,a,bi,4,,bi,A,A,其中至少有人是厨神的情况有种，121917所以至少有人是厨神的概率为正=行.1■乙OU1模板答题规范练规范解答I---------------------------------------------------------------------------------------------------►Q模板体验例（分）广场舞在全国各地都非常地流行，但是人们对广场舞也有不同的看法，有些人认为12广场舞“很好”，能促进人们锻炼身体，有些人认为广场舞“不好”，影响其他人的休息,实践课上老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区［岁的人群中随机抽取〃人进行了一25,551次调查，得到如下统计表组数频数频率“很好”占本组比例分组1[25,
30500.0530%2[30,
351000.1030%3[35,
401500.1540%4[40,
452000.2050%5[45,50a b65%6[50,55]
2000.2060%⑴求的值，并估计本社区［岁的人群中“很好”所占的比例；a,625,551⑵从年龄段在［）的“很好”中采用分层抽样方法抽取人参加节约粮食宣传活动，并从35,458这人中选取人作为领队，求选取的名领队分别来自［）与［）两个年龄段的82235,4040,45概率.审题路线图⑴审统计表辘舌|确定〃和一|样本中认为“很好”的比例］皿I I本社区人群中“很好”的比例⑵确定两个年龄段的人数两年龄段抽取人数一|标记抽取的人|一8。
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