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第练解三角形11［明考情］解三角形是高考的必考内容，以“一大一小”的格局呈现，“一小”以选择题或填空题形式出现，难度为中档.［知考向］.正弦定理、余弦定理.1求三角形的面积.
2.解三角形的综合应用.
3.核心考点突破练研透考点考点一正弦定理、余弦定理方法技巧
（1）分析已知的边角关系，合理设计边角互化.⑵结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.（•天津）在中，若/夕=仃，,则北等于（）
1.2016BC=3,ZC=120°A.1B.2C.3D.4答案A解析由余弦定理得欧•化简得解/4n/d+V—Z/O cos C,gp13=^+9-2JrX3Xcos120°,+3/C—4=0,得或（舍去）,故选AC=1AC=-4A.,在△/以中，三个内角所对的边分别为若△制小,2A,B,a,b,c,S=2a+5=6,acos B+bcos A皿““丁/、则等于（）---------------------=2cos C,c巾A.2B.2^3C.4D.373答案B夕（），「…ell l.acos+6cos A sin Jcos Boos Asin/+8〜解析因为---------------=----------------------=.所以所2cosC=l,（/十功c smC sinJIJ］以C=—.又S^ABC=2^/3,则铲加行C=2小,所以ab=
8.因为a+b=6,所以c=a+1j—O乙）（）》所以镉.2abeos C=Q+62—a+b2—36=62—3X8=12,c=
23.（2016•全国I）△/%的内角4B,的对边分别为ab,c已知＜3=m，c=2,cos A1JI解析因为化简得才十斤一犬=助，所以26—acos C=ccos A,cos5，所以C=~.o乙又由力力sin+sin4=2msin sin B,可得sin4+sin B•sin C=3，^sin力sin B,由正弦定理可得力镜助，所以隹助.a+c=3d+6=因为片—所以2=3+2dZcos C,2d62—3a6—9=0,仁…”」13A/3所以所以力砥a5=3,5k=5dZsin C=^—.乙±.已知锐角力是△力比的一个内角，是三角形中各角的对应边，若5a,b,c则下列各式正确的是A.b+c=2aB.b~\~c2aC.b+cW2aD.Z+c22a答案C解析V sin2J—cos2/J=^,乙1/.cos2A=--nV0/I—,.02A Ji,乙2n JI••24——,T••A—g.o o由余弦定理得，a—Ic-bc~5+C2-36CN/2+c2—|/+c2—,6+c\・・・2a2b+cQ1P
5.在△/欧中，若一一则夕的值为6-=3,lj-a=-ac,cos sin A2答案5解析由题意知，c=3a,lj—a=-ac=c2—25ccos B,5152C-9所以=一cos8=z6-=4,2ac的对边分别为且,十方应•瓦则a,b,c,tan B=1=/tan.在中，角74B,哗A.B.^3-1C.2D.2-73乙答案解析由余弦定理，得才+/—D b=2accos B,.一一1,1再由5C・BA=~,得accos B=-,乙乙所以tan B=243=口^=2-4故选D.a+c~b1v2X-乙（•湖南邵阳大联考）在中,
8.2017n=b,cos-1,cos于共线，则△/回的形状为（角对应边分别为已知三个向量〃4B,b,c,等边三角形A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.B AC A解析由题意得acos5=Aos5,acos「os-答案A一A同理可得所以三角形乙=sin5=8=4C=4由正弦定理得sin/cos-=sin Bcos-=sin-为等边三角形，故选A.「C GA（江苏启东中学模拟）已知△山的三个内角反所对的边分别为且r
9.
2017.4a,b,c,温？则角力的大小为解析依题意得b+2ccos A=—acos B,由正弦定理，得sin6+2sin Ccos J=—sin JcosB,整理得sin/+0=sin C=—2sin6cos A,BP sin Acos Z+cos Jsin B=—2sin6cos J,即cos A—一2n又五，所以/=OV/V a.
10.已知在△/阿中，三边长分别是a,b,C,面积S=3—5—C2,5+C=8,则S的最大值是.解析因为S=#—g—eV,所以9bcsin A=—Z2+c2-^2~\~2bc,乙所以16csin A—2bc—2bcc,os A,所以sin J=4l—cos A,又sin2/4+cos224=1,所以sinIL在△/%中，B=C=30/夕=/=1,点少是线段/夕的中点，丝的中垂线交线段力于点〃则力〃=.3答案10解析如图，设/〃=3・••〃的中垂线交线段于点〃，，座=切=1-2VZ/f=120°，AE=^・•・在△/庞中，由余弦定理，得应=/4+力〃-24夕♦HZhos
4、11,1即1—12=-+12—2x-x rx[^—-J,化简得方=彳，乙51方=—310,山西五校联考如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机
12.2017•的高度为海拔速度为飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后15000m,1000km/h,15108看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为,取第=75m
1.732答案6340解析设飞机先看到山顶的位置为秒后的位置为昆山顶为乙如图,4108c则46=1000X
0.03=30km,67=60°,AB BC・•*sin60°=sin15°J厂/、AB-sin15°BC=—:———=2h/3sin15°km,sin60v・•・0至IJ/I5边的距离附/i=BCsin75°=2sin15°sin75°=
8.66km.故山顶的海拔高度为15000-8660=6340m.A.72B.吊5C.2D.32解析由余弦定理，得5=9+22—2X6X2X1,答案解得舍去），故选6=3,=—g D.45•全国的内角
4.20164B,a=l,则b=21答案13412在中，由cos A--,COS sin/==，sin C——,513解析sin8=sin/+5，的对边分别为若行H,6,C,COS*=m COS0=由正弦定理得仁空1丫=急sin A八,6313而，0=sin/cos C+cos A•sin_.,l.sin2AA.在中,户则十54,6=5,c=6,7由余弦定理知,公子=—萨=*由正弦定理,可得cos sin A a解析中所=zsin2A2sinAcos AsinA43Xcos^=2X-X-=
1.sin C=sin C-=2X sin C考点二求三角形的面积要点重组三角形的面积公式分别表示边上的高.乙乙乙\S=gaha=gbhb=gchcha,hb,a,b,c/\111⑵S=]dbsin C=^bcsin A=^c3sin B.JI.在中，内角所对的边分别是若64B,a b,c=a-62+6,则△放C=~,⑶S=Jr（a+b+c）（r为三角形内切圆的半径）.乙的面积是（）D.373A.3B.C.答案C解析由得甘+值一由余弦定理，得=十，/c=d-62+6,X=2ab—6,cos ZabZab因为C=~,olli12a-61/il人4/air13A/3所以cos C=.—=-,得H6=6,贝的面积S=5H6sin C=—^—.lab zz zQ.在中，则的面积的最大值为（）7AC^AB=\AC-AB\=39卑A.^21C.D.3^21乙A答案B解析设角4B,所对的边分别为a b,c,
9.9AC9AB=|AC~AB\—3,即Sccos力=3,a=3,I+c~a9cos A--^1—7T^=1・・•△力%的面积3/2113_3y[2i AS=~bcsin^=~tan=—^—,故△力灰面积的最大值为呼IJI
8.已知在中，内角4B,所对的边分3cos力-2~别为a,b,c.若=28cos4B,=1,0则△/比的面积为______.答案.解析Va=2Zx:os4•••由正弦定理可得sin力=2sin B9cos A.V B=—,/.sinA=y[3cos A,A tan A=y
13.又・•・力为三角形的内角，，/=丁又方O0・・・=一/一夕=，•・・△!欧为等边三角形,，Sk/^=5csin B=~X1X1X（•原创押题预测）在中，角的对边分别为已知
9.20174B,C a,b,c,cosB=—,«L O5且a,b,成等比数列，的面积S=5，则a+c=.乙答案小3（12nA解析因为所以cos=—,所以sin B=-\/l—cosJ5=—.J.J由成等比数列，得a,b,Z/=ac,由S=~acsir\B=^acX—=可得,由余弦定理，得ac=13IJ=a-\-c—2accos B=a+c2—2ac—23ccos B,即13=^+C2-2X13X1+TT,整理得故巾.a+c.63,a+c=
3.在△/%中，内角所对的边分别为己知△/回的面积为匹，一；,则104B,a,b,c,3b-c=2,cos4=w的值为.答案
8.丁1J15解析力=^—,:cos A=—0/4n,Asin11J15/—S^ABc-^besin A=;bcX7,=3415,bc=24,又6—c=2,/./j—2bc+c—4,/.b+c=
52.由余弦定理，得#=2+1—2Zccos4=52—2X24X—1=64,考点三解三角形的综合应用方法技巧利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识，可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.JI
111.（2016•全国III）在缈中，B=—比边上的高等于鼻式；则cos/等于（）9OJL也迎—迎—巫D10101010答案c解析设比边上的高力〃交比于点〃由题意马B=j BD=AI BC,DC=BC,tan/BAD=L qo otanZC4Z=2,tanA=———1-1x z所以=—3,cos1=的形状为（）锐角三角形直角三角形B.A.等腰直角三角形等边三角形答D.C.案C.在中，内角力，所对的边分别为若则12B,a,b,c,5=2ccos/,c=2bcos A,解析由已知可得=袤3=2CCOS
4.\COS2/4=7，易矢口COS/0,Acos力=展.又・.・0〈水180°,.•.!=60°,12I22心,b-v c—ao由b=2c•--------------，得a—c=0,2be・・・a=c.因此，△/%为等边三角形，故选C..如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点心使在塔底夕的正东方向上，测13得点力的仰角为,再由点沿北偏东方向走米到位置〃测得,则60°1510NMC=45°塔钻的高为（）A.10米B.1072米（米米C.l h/3D.10^6答案D解析由题意可得N/〃=60°,/BCD=\05又/BDC=45°,则N〃%=30°.在△⑷9什厂/人4CD BC〜lOXsin45°中,击五砺=前）荻所以BC=sin30°r=I镜（米），所以但皿=1旭（米）.X tan60°=10\/^,设△/回的内角所对的边分别为若力=—•,小，则的取值范144B,a,b,c,a=/Z+dO围为.答案（3,6]~一，一…」一a5CB~sin C~寸sinAsinZ=2sin B,c=2sin C,所以b2+c—cos28+1—cos26=4sin27+sin26=21夕一夕一二].l+\/3sin2cos2£=4+2sin2—42cos2B2cos2A B\—O\J J2n「又〈夕V,0on JI7Ji，兀、所以公〈公，所以一.2B lV2sin
26.W
2.66616/所以3Z/+C2W
6.线段力上，工,AD—2DC,BD—N/J3/ARC AQ则cos C=________.AB C7答案9解析由条件得cos/49C=1,O2\[2sin ZABC=^~.在△力比中，设a7=AC=3b,4则9b2=a+4--a.
①因为N/如与/板互补，所以cosN/〃8=—cosNW,16一a=68^33联立
①②，解得所以/=a=3,6=1,3,BC=
3..八.戌Bd+Ad—A32+32—227在中，,osC=-2BC*AC=2X3X3=亨错易混专项练明辨是也易-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1L钝角三角形/为的面积是1AB=1,BC=p则4;等于（）A.5B.^5C.2D.1答案B111解析\9S=-AB9BCsin B=-X1X-\r J2sin B=~,乙乙乙n_3n•••sin B=？,;•B=或乙~.乙JL JL3Tt当8=丁时，根据余弦定理有Ad=AE+Bd—2AB*BCcos8=1+2+2=5,.AC=y/5,此时△力以为钝角三角形，符合题意;JI当夕=1时，根据余弦定理有Ad=AE+BE—2AB・BCcos夕=1+2—2=1,AAC=1,此时为直角三角形，不符合题意.故AAd=Bd,.在三角形中，角的对边分别是且则角力的2484B,a,b,c,alj+c\答取案值范C围是（）解析因为占362+所以仁:所以力为锐角.cos2be又因为所以力为最大角,ji n\所以角的取值范围是4*Tr,在△/以中，三内角的对边分别为面积为若才（）则34B,ab,c,S,S+=b+c2,cos/等于（）答案D解析（为）由余弦定理，可得S+3=O+cTnaN+c—26c•^sin-
1.,sinl=cos4,15结合可得sinM+cos/ul,cosA=——（•广东梅州质检）已知在中，的对边分别为若+=则△力比的
4.20174B,b,c,a=L2cos C26,周长的取值范围是.答案⑵3]解析在△/1阿中，由余弦定理，a-\rl）—c可得2cos C=--------;-----，一+2=1,2cos C+c=28,...1c=2b,b-\-c■:bcW化简可得（b+c）2—1=3%•••（6+c）2—lW3X（-yJ,解得（当且仅当时，取等号）.6+cW26=故再由任意两边之和大于第三边，a+6+cW
3.可得〉故有〉6+c a=l,a+b+c2,故的周长的取值范围是（2,3].解题秘籍
（1）解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.⑵判断三角形形状一定要对条件等价变形，尤其注意等式两边不可随意同除以一个式子.⑶和三角形有关的范围最值问题要注意最值取到的条件.演练模拟高考押题冲刺练-------------------------------A已知在中，内角的对边分别为若氏氏
1.A,B,a,b,c.asin osC+csin osA=~b,且则夕等于（）JI n2n5兀A.-B.-C.-z-D.-b33b答案A解析V acosC+ccos A=b二・原式可化为bsin B=~b,sin夕WO,乙，又为锐角，/.sin B=±ab,
82.已知在△力勿中，（a+6+c）（sin/+sin8—sin0=asin反其中4B,为△/回的内角，a,b,分别为凡的对边，则等于（）B,兀兀兀Ji235A.-B.-C.-r-D.-^―334b答案B解析因为（a+6+c）（sin J+sin Z—sinC）=asin B,所以由正弦定理可得（H+b+c）（a+b-c）=ab,JI19整理得2=才+62+劭，所以cosC=s，所以.故选B.乙.在△/方中，内角所对的边分别是若才一《反则角力为（）34B,2b,c,sin0=2sinA.30°B.60°C.120°D.150°答案A解析由sinC=2y[3sinB=c=24b,所以a—ID=\/3bc=yf3•b•2小心a=7b\贝U cos/+c—a y[3A=--------------=-^2be2,因为力£（0，180°）,所以4=
30..在△/夕中，角所对的边分别为且（）乖44B,a,b,c,28—a cosC=ccos4c=3,sin J+sin3=2则的面积为（）sin/sinB,邛.乎.芈A B.2C Do/4答案D答案。
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