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第练数列的证明、通项与求和23［明考情］数列的通项与求和是高考的热点，考查频率较高,中档难度，一般在解答题的前半部.［知考向］等差、等比数列的判定与证明.
1.数列的通项与求和.
2.核心考点突破练研透考点考点一等差、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差比数列的常用方法定义法若产为常数件匚=为常数，则｛｝为等差比数列.1a“z-a d,5q⑵中项公式法.⑶通项公式法.全国已知各项都为正数的数列｛｝满足】=
1.2016-III4a=L W2+1-1-2+
0.求色；1⑵求｛｝的通项公式.a解⑴由题意得念=；.乙H2=J,X⑵由〃得〃〃a—2a.i—12a+i=0,2a+i a+1=+
1.f因为仿』的各项都为正数，所以；d=.故｛｝是首项为公比为:的等比数列，因止匕品=白.乙乙a1,.已知数列伯〃｝满足品〃金2a=l,=4,a+2=3a+1—2N*.设证明数列｛｝既是等差数列又是等比数列；1—2a”4⑵求数列｛｝的通项公式.a证明因为1a+2=3+1-28,所以为+〃〃2a+=a+—2a”21i i又所以=bn—2a”bn+\cln+29/7+1—-2a+1,因此对任意的〃金常数,N*,%H—4=0又=bn=a+-23Qn-21=…=@2-2a=2W0,1/［第三步］定方法:根据数列表达式的结构特征确定求和方法（常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等）.［第四步］写步骤.［第五步］再反思:检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.□规范演练（•包头一模）已知数列｛｝的前〃项和为且〃L2017a S,S=2a=3⑴求改国的值;,⑵是否存在常数使得数列｛为十｝为等比数列？若存在，求出入的值和通项公式为；若不34存在，请说明理由.解（）当〃时，由可得；1=1S=2a—3*1,a=3当〃=时，由义可得邀=；2S=2@—32,9当〃时，由可得=3$3=2—3X3,a=
21.⑵令
（十）（［）（＜）%2=51++,即（）（几）（几），解得9+X2=3+21+A=
3.由〃〃及（〃）S=2a-3S-i=2+i—3+l,两式相减，得〃〃a+i=2a+
3.由以上结论得〃（〃）（）a+i+3=2a+3+3=2a+3,所以数列｛｝是首项为公比为的等比数列，a+36,2因此存在几=使得数列｛｝为等比数列，3,a+3所以劣+（）义所以（）3=51+32|,a=32—
1.设数列｛｝满足
2.ai=2,+L=3•2*T.⑴求数列｛｝的通项公式；a⑵令〃须求数歹｛｝的前项和bn=,U4n S.解（）由已知，当〃时，121+i=1（a+1—品）+（4一为-1）+・・・+（-）］+^i=3（22/7-1+22/7-3+***+2）+2=2DT.而3=2,所以数列｛｝的通项公式为4an=*.（）（错位相减法）由2/J-12b=na=n•2^n,n n352n-1S=1•2+2•2+3•2+-+/2-2,235小，
②2•S=1•2+2•2+3•27H——\-n•2”
①一
②，得2352//-11-2=2+2+2+-+2-77-22*1即3/2-12^+2].
119.已知｛｝是等比数列，前〃项和为〃且------=-,关3S£N*,=
63.a3,28⑴求｛｝的通项公式；若对任意的〃是和的等差中项,求数列｛—取｝的前〃项和.2WN*,4log2log2H12解设数列｛｝的公比为1a Q.112「由’已知，一—=29d.\Q3]Q解得或Q=2O=-
1.1—q又由=知，5e3i•=63qW—1,—1一61—2所以=,得=4•T T
631.1-z所以〃a=2f.由题意，得〃〃〃乙26=Jlog2a+log2a+i/-1,=〃一，1og2+1og222即｛｝是首项为公差为的等差数列.乙411设数列｛（）〃加的前〃项和为北，则—1%=（一百）（一百+及）----（一成一成）+8+4F1+・・・台〃=―力==b\+Z^++6i++bin-\~\~2-2n.CJ.已知数列｛｝（〃〃）4a,,ai=L=2a-i+l22,£N*.⑴求证数列｛｝是等比数列；a+1O+1⑵若《=（劣+；）3，+3）,求数歹4｛如的前77项和S；（）求证—+―+•,•+-.3a+1/3⑴证明心，V2+1=2dT+124+1=
2.又・.・功+1=2,5/2-1+・•・数列1+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.〃〃22T11bn=⑵解•・•品+1=2,,・•・尸2-
1.〃一〃〃一］+-,-1〃+「2+12+22+1212+125=2O+1-21+J+2+l-22+lH卜QI+1—2+1=5-2+「.已知数歹!｛｝中，且〃5J4ai=l,=9,a=—i+
122.证明3求人的值及数列｛｝的通项公式；1a⑵设功=—〃且数列伉｝的前〃项和为求瓯.•a+,S,Q-n〃//、解1Vai=l,a=T+1,一由得.*.^2=2A,a=541,a=54—1=9,4=
2.于是〃〃a=a“_i+2-1,即a—a-\=2n—l,—a-2=2n—3,f tJn77-1277+22以上各式累加，得劣=1+，a-2-^-3—2/-5,…@—a=
3.n⑵由⑴得・〃・4=—1+=—1”------------------------〃〃〃^.=-1X2+2X3-3X4+4X5-5X6+6X72/7-1•2+2•2+1卜〃一〃〃=2-l+3+4-3+5+6-5+7H——22+1+2+1〃“2+2=2=2n-\-2n.〃=22+4+6+…+2所以常数，1On根据等差数列和等比数列的定义知，数列｛｝既是等差数列又是等比数列.4解方法一由知，劣—21=21+2,由得〃〃品，4+2=34+1-2a4+2-a+i=2a+i―又3,2-a=3,所以数列包为｝是首项为公比为的等比数列,一尸・上是
②+L3,2a_32-22,联立
①②得,一启2=3722,经检验当〃=时也符合该式.1故数列｛｝的通项公式为品=・〃〃4327—2£N*.方法二由⑴可得+尸即所以数列｛｝是公比为的等比数列，2%+2,+1+2=2+2,4+22则〃即〃a+2=+2-2T=3•a=3-2——2£N*.已知数列｛的前〃项和满足〃〃
3.J3S=2a+—1N求数列的前三项氏当；1EJ,⑵求证数列｛+|—为等比数列，并求出仿“｝的通项公式.1”⑴解在〃中分别令〃S=22+-1N*=1,2,3,=51251—1,得功=功+a+21,、“己2—1,1+32+3=%尸1,解得V=0,#=
2.证明由〃〃金得2S,=2a+—1”N*,尸〃两式相减,得ST=2T+-122,〃H=2%T-2—1/22,4242f，7a.=2^-i-—1—2^-i+-—D--—17/7^2,2,/-1〃A^+-—1=2[^-i+-—1]
22.o o故数列,十|（）｝是以为首项，为公比的等比数列.Ta—|=3221・•・（一00192=鼻一可义（）工_一鼻
（一）27-1=1”.o oJo（•全国）为等差数列｛｝的前〃项和,且=.记其中
4.2016II Sa1,4=28b=[1g],[x]表示不超过的最大整数，如x[
0.9]=0,[1g99]=
1.⑴求加；61,bn,1（）求数列｛｝的前项和.241000解（）设｛｝的公差为差据已知有解得.所以｛｝的通项公式为
④=〃.1a7+21d=28,d=l a「水0,1W10,水1,10W100,因为2bn=\水100W1000,2,n=l000,3b\=[1g1]=0,bn=[1g11]=L Zioi=[1g101]=
2.•日照一模已知数列{},满足，其中〃
5.2017{J a=l,a+i=l9£N*.n4a2a—1n n所以数列伉}的前项和为10001X90+2X900+3X1=
1893.2设C=求数歹U｛ac｝的前n项和T.n n证明产1,:b+\—b=2,品乙2+i—l2a,—l2a—12a,—12a—1r flf21—1⑴求证数列｛｝是等差数列，并求出数列｛｝的通项公式;4a・••数列｛4｝是公差为2的等差数列.「2又打=左二1=2,・・・〃4=2+-1X2=2Z7,皿〃京=解侍为=年.2=+1T〃+14X^—°2/722解由1可得◎=上=一〃+1n2A=2^+2lj•.•已・数知列数｛列｛心｝什的』前的刀前项〃和项为其中为常数.6a S,ai=l,a“WO,a+i=4S—1,6证明11C+2-a=；〃+2⑵是否存在使得｛｝为等差数列？并说明理由.4,a〃4+6证明由题设知，周〃1a+i=4S—1,a+ia+2=4S+i—1,〃〃・+1+2两式相减得+1aa〃+2—=4a.i,由于所以=a+0,dn X.1W2+2—解由题设知，句/可得功=一251=1,=4S-1,4L由知，=1X+
1.令=囱+,解得2a2A=
4.故由此可得是首项为公差为的等差数列，；｛/〃｝是首项为公4+2—4=4,1,4^-1=4/7—33,差为的等差数列，4^=4/7-
1.所以==2/7-1,32,H〃+l-n因此存在使得数列｛｝为等差数列.4=4,a考点二数列的通项与求和方法技巧根据数列的递推关系求通项的常用方法
①累加乘法1形如〃的数列，可用累加法；+12+1=形如的数列，可用累乘法.
②构造数列法形如为+可转化为一匚一工=构造等差数列〃〃1=T—,3/na+n a+i anan n形如可转化为品+构造等比数列，+—、＞.azi=pan+qpX qWO,1+-⑵数列求和的常用方法
①倒序相加法；
②分组求和法；
③错位相减法；
④裂项相消法..已知数列｛｝的首项前〃项和为且数列]才是公差为的等差数列.7a=l,S”2⑴求数列｛｝的通项公式；a若功=-求数列伉｝的前〃项和北.213,解⑴由已知得〃所以=1+n—1X2=2-1,Sn=2n—n.n当时,2a=S—Sn-\=2n—n—[2/—I—/—1]=4/7—
3.n t而满足上式，所以＜；ai=l=4X1—33Z=4T7—3,N*.⑵分组求和法由⑴可得儿=―〃
④〃〃一1=―
143.当为偶数时，「〃〃；n=-1+5+-9+13+•••+[-4/7-7+4-3]=4X^=2当〃为奇数时，〃为偶数，北=北〃一刀+〃+1+1-4+1=2+141=—2+
1.〃为偶数，[2/7,综上，%衣物Tn=\〃为奇数.[―2/+1,.设〃数列｛｝的前〃项和为且〃已知续，功成等比数列.8£N”,d S”S+i=S+a+2,a,求数列｛｝的通项公式；1a⑵若数歹｛引满足§=镜，求数歹｛｝的前项和U Ub,n T.n解由得〃〃1S+i=S+a+2,品+La=20M,所以数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列.22由国,,成等比数列,即囱+解得句5522=a@+8,=
1.所以〃〃a=2-1£N.错位相减法由⑴可得〃•产〃一法〃24=2-1=22,所以』23〃0=1•23•2+5•2+-+2/7-1•2,=〃〃〃21•2+3•23…+2-3•2+2-1•2[由
①一
②可得一一刀一〃一田一7=2+222+23+…+292-1-
2.=2326,所以n+1L=2n-32+
6.•广东汕头一模已知数列｛｝的前〃项和为
9.2017a S,ai=2,M=S+
2.求数列｛｝的通项公式；1a已知求数列，的前〃项和24=log2,J—Tn.UnUn-V1解1・・・为+]=S+2,・・・4=5-1+2〃
22.两式作差得4+1—4=S—S-i=a”所以；即久〃，3n+i=2a,^=
22.又当时，7=152=51+2=4,『成立・•・•数列｛2｝是公比为2,首项为2的等比数列，・〃.•H=a/i=2T£N*.由⑴可得=刀,2A=log2a1111〃〃bnbn+\/7+1n+1“=卜局+…+制=备9+6-1-*=•浙江设数列｛｝的前〃项和为£,已知+尸爪+〃求数列｛｝的
10.2016S=4,21,£N*.1a通项公式；求数列｛｝的前项和.2I a-n—2\nna+=4,8=1,解⑴由题意得°,贝即功=IJ°3十@=2a1,4=3,又当〃时，22由为，4+i—a=2S+1—2S-1+1=2得分.a+1=3所以，数列的通项公式为〃〃EJ a=3T,£N*.设〃—〃一
⑤24=13f2|b\=2,=1,当〃时，由于〃〉〃+故〃—〃一〃233f2,=3f2,
23.设数列｛｝的前〃项和为北，则47=2,7^=3,、“、刀刀—〃一〃q.91—31+7235+11当时，北=3+U————-=--------------------------------------------------,\Q1—a Nz当时，满足上式，x=2277=1,〃廿所以3-n—5+llTn=〃,2,9乙
11.已知数列｛劣｝,｛4｝满足a=:,a+b=1,b+\=b nn nn⑴求数列｛｝的通项公式;4设周+求2Sn.5=41@2+@+332+・・・+81,bn bn解⑴*1=一品仅力1a1+2—2—bn42—bn=T+4所以〃6+i—1b—ln所以数列是以一为首项，为公差的等差数列,4―1b—1n所以一=-477-1=-n—3,b—1n〃1+2亡厂所以4=1—=正・1111n所以S=aa+a2a3+…+a+1=5X6+卜〃+〃〃〃4X53+4=7—+4=4+4⑵因为尸系,2=1—
2.已知数歹｛｝中，12U d5i=l,2+i=——.十3求证［斗为等比数列，并求｛品｝的通项公式；15+⑵数列伍｝满足士劣，求数歹｛｝的前项和3-1••U4n Tn.证明1〃a+
3.1a+33•==1I91a”14=3£+2乙cin+1得为等比数列，公比乙q=3,a1,13则!1332-2*首项为小=1+5=T11319即工=一*37=23-1，即为=口・则数列｛的前〃项和北=;+£+*+…+岛,/J.乙乙乙111,23,,n3两式相减得J北=i+1+A乙n八〃+2乙乙\----卜亍=2^厂,亍一尸=2一一2]1——2〃+2则Tn=4北=/+亍+5模板答题规范练规范解答Q模板体验知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,例分下表是一个由个正数组成的数表，用即表示第/行第个数已124j JJEN*,且公比都相等.已知+的=1,9,1=1335=
48.cl\\512491391/7321“22a2332/7含含23a”
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