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第练解三角形22［明考情］高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,求三角形的面积问题一般在解答题的题位置.17［知考向］.利用正弦、余弦定理解三角形.1三角形的面积.
2.解三角形的综合问题.
3.核心考点突破练研透考点----------------------------------------------------------------------------------------------------1考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧
（1）公式法解三角形直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.⑵边角互化法解三角形合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.（•天津）在△板中,内角所对的边分别为已知加［
1.20174B,b,c asin4=4in5ac—y5{a—0—c}.⑴求的值；cos A⑵求（）的值.sin28—4a b解
1.20164B,C a,b,c,2tan/+tan80tan B cos A1证明a+b=2c；求的最小值.2cossin/4^sin B\sin/+sin B证明由题意知,1力cos Acos Bcos cos Bcos Acos B化简得夕力即》=力因为/+夕+=兀，2sin4cos+sin Bcos A—sin+sin B,2sinC4+sin+sin B,所以兀-sinG4+0=sin0=sin C,⑵解由知1c=从而由正弦定理得sin/+sin5=2sin C,d+b=2c仅当时，等号成立，故的最小值为;.乙d=5cos/为锐角，向量一s=2sin/,当且~1~.已知的内角/的对边分别为2B,a,b,c,⑴求/的大小；且m//n.⑵如果求△力%面积的最大值.a=2,解⑴由皿〃/,可得2sin A•[2cos2~-1|+-^3cos24=0,即2sin A•cos/+，5cos2A=0,所以即sin2A=—y[3cos2/,tan2A=—y
13.因为/为锐角，故，0°V2/V180所以.24=120,1=60如果在中，由余弦定理才=//+/—2a=2,2Acos A9可得即4=6d—bC2bc—bc=be,6cW4,所以S=/bcsin力W）X4X半=4乙乙乙故面积的最大值为.在海岸处，发现北偏东方向距/为第一海里的夕处有一艘走私船，在/处北偏西31451方向，距/为海里的处的缉私船奉命以班海里/小时的速度追截走私船.此时走75°210私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上10530走私船？并求出所需要的时间.（注乖凫）
2.449解设缉私船追上走私船所需时间为小时，如图所示，则切咪方海里，劭海里.2=1=102在中，因为（娘一）海里，］=海里，N的4=12C=45°+75°=120°,卷「2心sin120____2根据正弦定理，可得sinN/8C=2S/2BC根据余弦定理，可得=叱嫡-）•（福―）=加（海里）.812+22—2•2l cos120所以N/月,易知％方向与正北方向垂直，从而/%〃C=45°=90°+30°=120°.在△腐中，根据正弦定理,BD^sinZCBD101•sin1201可得sinZBCD=一CD2所以NM=30，ZBDC=30°，所以以=%=海里.4r则有101=/，方=¥Q
0.245（小时）=
14.7（分钟）.故缉私船沿北偏东方向，最快需约分钟才能追上走私船.
6014.7•济南一模已知
4.2017f{x=2^3sin xcos x—cosn+2x.⑴求（）的单调增区间;F x（）在中，角的对边分别是若（小,求的面积.24B,a,b,c,f0=l,c=a+b=2p AABC解冗1F=2*sin zcos x—cos+2x.化简可得Mx=:sin2x+cos2x=2sin2x4JI JI JI+203+/5+2,keZ,得二JIJI卜《豆+MZ.JIJ6+z.住I⑵由⑴可知，f{x=2sinf2^+—i即V A6=L2sin2+—j=lJI5JIJi＜＜，可得2+豆=T，.=了由a+6=2，§,可得3+//=12—2a
6.2I i2_2•・%=4,根据余弦定理cos C=a2牡°左力/日12—2ab-c1可得—说—=],解侍助=
3.
5.已知向量a=sin x,6=cos x,—
1.故△/比的面积助芈.乙乙乙S=9Sin°=X3X^=q1当a〃b时,求cos、一sin2x的值；⑵设函数已知在△/比中，内角的对边分别为若〃夕=Hx=2a+b•6,4B,b,c.=y[3,b=2,sin坐，求的取值范围._fx+4cos2/+x£0,解⑴因为a〃6,3_3所以所以]cos x+sin x=0,tan x=~~.
2.cos2x_2sin xcosx1—2tan x8cosx-sin2x=-------------~;--------2------=..--=
7.十sin xcosx1+tan x5才+彳+/2f{x=2a+Z•b=/sin2由正弦定理sin Asin EJI3n JI所以-或/=一彳一，因为所以4=7Za,f{x+4cosJI JI111因为所以了£—0,—,2%+91~L2所以手一乙IWHx+4cos所以所求取值范围是十日432于正反sin23=2sin scos2^=1-2sin^=-,43一/反故sin2os J—cos28sin A=-Xsin28—Z=
5.如图，在中，木,刀为△/比内一点，N出个.2NABC=90°,AB=BC=3=90=9,⑴若必求为;乙⑵若/4%=150，求tanN物.解⑴由已知得N必T=60°，ZPBA=3Q°.在△物中，由余弦定理，得=3+；—2X，54COS30°乙JL2设/加=a,由已知得分=sin a,sin Q在△物中，由正弦定理得—sin150°sin30°••・必=小即tanZPBA=-^-.化简得故y§cos=4sin a,tan o=G
3.在中，a,b,分别为内角4B,的对边，且a.-\-b H+C a+b~\-c求角力的大小;1⑵若片标，求的值.6U乙解由题意，可得即十1=3,a ba+c由余弦定理知，cos A=2be—2整理得b2-\r c—a=be,/、不力+⑵根据正弦定理,得厂sin Csin sin/cos3+cos/sin B sin A,+cosA=sin Btan B因为兀，所以0//=
2.2tan B2=
29、后1解得所以夕=千二tan B=-,sin4o义书asin B4由正弦理得，ZE b—1~7—7=
2.、sin A
32.设的内角的对边分别为且44B,a,b,c,bsin A=y[3acos B.求角的大小；18若求的值.26=3,sin C=2sin4a,解1V bsin A=y[3^cos B,由正弦定理得sin Bsin/=，5sin Acos B.在中，sin HWO,即得tan B=y[
3.JTV^e0,n,.B=—由正弦定理得2Vsin C=2sin4c=2a,由余弦定理炉=才+02—2accos B,JI99即9=a+4a—2a•2acos-,o解得a=小,二・c—2a—2yf
3.考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略⑴若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.⑵若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.•全国的内角的对边分别为己知夕
5.2016I4B,a,b,c,2coscacos+Aos A=c.⑴求角的大小；⑵若木,△力%的面积为芈，求的周长.c=解
（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sin Acos6+sin B•cosA）=sin C,2cos6sin（J-\-B）=sin C,故因为所以所以2sin6cos C=sin OVCV”,cos C=~,C=⑵由已知，又所以由已知及余弦定理得，/+炉一JaSsin C=g,a5=6,2a6cos乙乙0故才+斤=从而可得〃.所以△力比的周长为巾.C=7,13,“+62=25,+6=55+
6.在中，己知=k，向量必=sin A,1,n=1,cos心，且w_L刀.求/的大小;1⑵若点〃在边回上，且诙=击求△/回的面积.3AD=y[i3,解
（1）由题意知力•z=sin力+cos B=0,n~5nA又所以67=—,A+B~\-C=n,sin J+cosI1=
0.所以sin/——^■cos4+；sin/=0,BP sinf/J——^=
0.乙乙\u/一一（兀、5n JIn2又所以’一-3J,JI JI所以“一百即力=百⑵设|防由勃=击，得|比=0,|=x,3|=3x,兀JT»2由
（1）知，A=所以B4|=3x,B=―T—.o o2JT在△力初中，由余弦定理，得（、/15）2=（3A-）2+/—2•3x•xcos-r~,o解得所以x=l,45=8C=3,所以S^ABC=^BA•BC•sin•3•3•sin—乙乙O JL（•全国）%的内角的对边分别为已知
7.2017n a/4B,a,b,c,sinC4+=8sin*乙⑴求夕的值；cos（）若△力比面积为求2a+c=6,2,
6.解
（1）由题设及A+B-\-C=n,得sin Z=8sin2^,故（）sin8=41—cos B.上式两边平方，整理得夕一夕+17cos232cos15=0,解得舍去或cos B=1cos^=—故15cos B=—.IZ,口.,158z x由但2cos B=J7,sin B=17,14山故S^ABc=^acsin B=—ac.1I乙17又S^ABC=29则clC=~Z~.乙由余弦定理及〃+c=6,得Z/=3+/—2accos B面=a+c2—2zcl+cos17=36-2X—X乙「、51+-=
4.所以b=
2.
8.2017•延边州一模已知函数f{x}=sin2—sin3xx£R,3为常数且77V G\,函数Ax的图象关于直线x=n对称.解lAx=,cos23x一2^x——\—cos23x—TCOS2sin2sx=sin23x44⑴求函数的最小正周期；Hx在△板中，角的对边分别为若求△板面积的24B,a,b,c,a=l,f最大值.Jl JTj[4j[令万一丁+〃兀，解得237-=x=W77+37kRZ.JI ku・•・fx的对称轴为%=—+—,kRZ.乙3J3kGZ.1V-3VI,2n6n・・・Fx的最小正周期=—253JI••力=..:・f{x=~sin由余弦定理得，cosA=l+c~a b2-\-c~l12be—2*.ID+c—bc~\-考点三解三角形的综合问题1方法技巧
（1）题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.⑵和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.⑶和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，・・・△/比面积的最大值是手.还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.（•天津）在%中，内角所对的边分别为已知於=
9.20174B,a b,c5,a=5,6,3sin B=~.5⑴求和/的值;b sin2求sinl2/I+-的解
（1）在中，因为办6,值.3所以由『得sin BcosB=-由已知及余弦定理，得4=#+c2—2accos8=13,所以b=y[
13.由正弦定理sin Asin E得sin A—
13.所以的值为的值为5sin43Mp.1o⑵由
（1）及水c,得coso125所以sin2/=2sin Acos/!=~,cos2A=1—2sin2y4=--T
7.101on JI7^2Ji=sin24cos-+cos2/sin-=-77-.4426所以sin24+Ntan AQ r*
1.△放的三个角4B,C所对的边分别为a,b,c，1+有下=后⑴求角的大小;4⑵若△/阿为锐角三角形，求函数及的取值范围.y=2sin26—2sin ose.tan A2c ll-.m.sin JcosBsinA+B2sin C解1因为1+;---------^=~r=~,所以由正弦定理，得I+KI九=3^^/5sin BtanB73b因为力+夕+=兀，所以（）sin4+8=sin C,、sin C2sin C、---------------=-j=-----L----，因为sin今0,sin cos所以Asin B«3sin Br兀所以cosA=,故力=不.乙U,兀叮5⑵因为所以丁.A=-+0=
9、5Ji所以氏脱y=2sin25—2sin os6=1—cos25—2sin osT-By[31,1-^~sin2J9—-+-cos2B乙月+小=1—cos2sin BoosB—six\B=1—cos2B+乙乙即的递增区间为兀一彳，五Ax kk A£Z.1I A/3111=2+2Sin2B一铲2Qsin28—石JIJI3n又为锐角三角形,亏D,乙n5nJ JIJII6-~3JI贝Ij AJi-Uez,_兀J即Hx的递减区间为左兀T又因为△/比Aez.是锐角三角形,+e Il\所以y=sin|^27——得§=0,sin氏的取值范围是⑵由os C1,
1.f故函数y=2sin27—2sin
11.2017•咸阳二模设函数Fx=sin xcossin2fx£R,求函数的单调区间;1fx⑵在锐角△力仇中，角4B,的对边分别为a b,若f I21=0,c=2,求面积的最大值.j nx£R.解1函数/Xx=sin xcossin Ix~~化简可得Hx=；sin2x—J1—1cos2x=sin2x一万・乙乙“令JT yAeZ,24Ji—^W2xW2kx4乙乙JI则兀An—q-WxWA4JT由余弦定理得=才+将代入得=才十斤一//，262—2abcos C,c=2,4由基本不等式得M+F=4+/ab？2ab,即aZW42+，5,所以5kw=]a6sin CW•42+^3•1=2+^3,乙乙乙即面积的最大值为2+
4..在中，内角的对边分别为且〃吩,124B,a,b,c,=2H—c,cos6,n=/,cosmH n.求角的大小；18⑵若当△力比的面积取得最大值时，求△/阿内切圆的半径.6=1,解由已知可得结合正弦定理可得12d—ccos B=bcos C,2sin J—sin6cos6=sin即Bcos C,2sin/cos8=sin8+0,又夕+＞所以乙sin/=sin0,cosB=g,-JI所以2由1得夕=，又6=1,在△4中，Z/=3+3—2accos B,所以l2=a-\-c—ac,即l+3ac=a+c又所以a+c224ac,l+3ac24ac,即当且仅当时取等号.acWl,a=c=\从而区胸乎，当且仅当时，胸取得最大值乎.=gacsin a=c=l5\I A3设△力%内切圆的半径为下，由△,然八得S=wa+Z+c T=/~.z6蟹解气模板答题规范练----------------------------------------------------------------------------------------------------1Q模板体验例分在△/比中，角的对边分别为向量切,向量124B,a,b,c,=a+6,sin/—sin z=c,sinJ—sin豆6,mn.求角夕的大小；1。
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