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专题检测
（十三）概率组一一考点落实练A“6+3+3”
一、选择题两位女同学分别为a,b,则用“树形图”表示解析选设两位男同学分别为B,D4（全国卷）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率
1.2019•HI三四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果（画“的情况）共有2412191种，故所求概率为万故选乙=5D.xLJ.已知定义在区间［］上的函数（）勿满足〃）在［］上任取一个实数2-3,3f x=2+2=6,-3,3筋则使得）的值不小于的概率为（）Ax411A.T B.-b311-11-oo••Acz\BCQ6A6486474B.D.1-41-2义10035X30—15X20100所以片=50X50X55X45=—^
9.
0916.635,完成列联表为2X2对性能满意对性能不满意总计购买产品351550不购买产品203050总计5545100所以有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.99%由题意得，参加座谈的位客户中购买产品的人数为退货的人数为262,
4.位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有“6200,200,200,400,200,600,200,800,400,200,400,400,400,600,400,800,600,200,600,400,600,600,共个.600,800,800,200,800,400,800,600,800,800,16设事件力为位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于元”，“6500则事件/包含的基本事件有200,800,400,600,400,800,600,400,600,600,600,800,共个,800,200,800,400,800,600,800,800,105所以位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于元的概率是6500O江西省五校协作体试题某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为
3.2019•1至分，随机调阅了夕两所学校各名学生的成绩，得到样本数据如下:10460/校样本数据条形图少校样本数据统计表成绩/分56101234789人数/个122100009963⑴计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；⑵从/校样本数据中成绩分别为分、分和分的学生中按分层抽样方法抽取人,7896若从抽取的人中任选人参加更高一级的比赛，求这人成绩之和大于或等于分的概率.62215解（）从/校样本数据的条形图可知，成绩为分、分、分、分、分、分的学1456789生分别有人、人、人、人、人、人.615211233*校样本数据的均值为4X6+5X15+6X21+7X12+8X3+9X3（分），Xi==660表2产+尸X[6X4-6+15X5-621X6-6412X7-6A校样本数据的方差为4=22+3X8-6+3X9-6]=
1.
5.从校样本数据统计表可知，校样本数据的均值为384X9+5X12+6X21+7X9+8X6+9X3（分），XB==660夕校样本数据的方差为尸+[9X4-6H12X5-6421X6-6-9X7-6226X8-6+3X9-6]=
1.
8.因为必=称所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又所以/校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比少校好.⑵依题意，从力校样本数据中成绩为分的学生中应抽取的人数为百盘7/X12=4,1乙I OI O分别设为a,b,d；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为,£工*3=1,设为e；从1乙I OI O成绩为分的学生中应抽取的人数为有盘蔗设为工9X3=l,1乙I■）I所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共个,15其中满足条件的基本事件有af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共个,He,9所以从抽取的人中任选人参加更高一级的比赛，这人成绩之和大于或等于分的62215概率占守守（•湖南省湘东六校联考）某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对
4.2019新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（必，；）（，）如表所示y/=!,2,…6,试销单价/元567894产品销量力件Q848380756816已知=80y=gX^-（）求的值；1q（）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回2x,p yx归方程bx-\-a；y=（）用力表示用正确的线性回归方程得到的与否对应的产品销量的估计值，当|力一时，3W1将销售数据（匕）称为一个“好数据”，现从个销售数据中任取个，求抽取的个销售数622;（为一7）（yi—）Xiyi-n y_J^2T参考公式6=+£久一i久i=1寸？-2—bJC.一电—n久一2i=\解⑴由夕=52%=80,用0+84+83+80+75+68彳寸—80,「6解得7=
90.经计算，办贽=二二X-22305,1匚G「3050-6X
6.5X80所以J2271-6X
6.5—6后==
6.5,3271,i-i4,a=80+4X
6.5=106,所以所求的线性回归方程为尸一4x+
106.据中至少有一个是“好数据”的概率.z\由知，当时，；当至=时，；当热=时，；当内=32xi=4yi=905%=866%=827zs z\时，7I=78；当痴=8时，y=74；当选=9时，%=
70.5与销售数据对比可知满足|加一力|，的共有个:W17=1,2,…634,90,6,83,8,
75.6X5从个销售数据中任取个的所有可能结果有=种,乙62=15其中个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有种，23X3+3=12124于是抽取的个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为了2155a,刀=则山•刀》的概率为46,4a,6,4dJI JIA・L§B・1~—JI JIC.1--D.1--56解析选在区间［―兀，兀］上随机取两个实数a,b,则点（）在如B a,6图所示的正方形内部及其边界上.因为勿・〃=4之2+4炉24/,所以才+层2兀2,满足条件的点（/人）在以原点为圆心，兀为半径的圆外部（含边—4JI JI界），且在正方形内（含边界），如图中阴影部分所示，所以山・64冗2的概率々4笠=1JT了，故选B.（•成都第一次诊断性检测）齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中
4.2019等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）解析选将齐王的上等、中等、下等马分别记为，色，功,田忌的上等、中等、下等马C2分别记为万，民,也,则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有功加包加ab,，@61a2b2,改5,］，勿与，a3b共种，其中齐王的马获胜的对阵情况有打方，法员,a6962也，改民,ah,a3b3,共种，所以齐王的马获胜的概率片石=金，故选a6C.O从名男生和名女生中任选人参加某项活动，则所选的人中女生人数不超过的概
5.42331率是（）A.
0.8B.
0.6C.
0.4D.
0.2解析选设事件为“所选人中女生人数不超过，事件为“所选人中女生A313人数为，事件为“所选人中女生人数为，则事件也是互斥事件.1/V30”N名男生分别记为；名女生分别记为品b.41,2,3,42从名男生和名女生中任选人有种不同的结果，分别为42320{1,2,3},{1,2,4,b},a},b},a},{1,2,a},{1,2,{1,3,4},{1,3,{1,3,{1,4,{1,4,6},{1,a,b}同，a,{2,3,4},{2,3,{2,3,b},{2,4,a},{2,4,0,{2,6},{3,4,9a},b},a,b},a,b}.{3,4,{3,{4,事件〃所含的基本事件分别为b},a],b},{1,2,a},{1,2,{1,3,{1,3,{1,4,b}a},a},{1,4,{2,3,a},{2,3,6},{2,4,{2,4,{3,4,a},{3,4,6},9123共个，所以收，二12一41所以==P.A Z75事件所含的基本事件分别为共个,/V{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4,431所以事件的概率为pg〃⑶广.故选+=5+8,A..如图（）所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老61北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图⑵是用个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分8图✓X2\17⑴±图的概率为（）解析选设白色的等腰直角三角形的斜边长为则白色的等腰直角三角形直角边的B2,长为馅，所以白色部分的面积为义姆隹S=4x£X=4,易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为，所以阴影部分的面积为乙1^=4x1xiXlc21由儿何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为-二三不=2,=E=5十＞十N4o
二、填空题.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为b,c当且仅当其中两个数字7a,9•AC11-41-2•00R1-的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如等）.若b,（）且213,134a cel,2,3,4,a,b,互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是.解析由组成的三位自然数可能为共个；1,2,3123,132,213,231,312,321,6同理，由组成的三位自然数有个，由组成的三位自然数有个，由组成的1,2,461,3,462,3,4三位自然数有个，共有个三位自然数.由或组成66+6+6+6=241,2,31,3,4191的三位自然数为“有缘数”，共个，所以三位数为“有缘数”的概率为:1277=5答案
5.甲、乙两人在次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙85的平均成绩分别为甲，x乙,则甲〉乙的概率是x x x甲_L_7624V解析设被污损的数字为，由茎叶图知乙=甲污损处可取数字，X X90,X=89+.0,1,2,…X共种，而甲〉乙时，污损处对应的数字有共种，9,10xx89+-90,x£N,6,7,8,9,4542故工甲〉王乙的概率为正=£.105小生2答案5正方体〃的棱长为a,在正方体内随机取一点必则点物落在三棱锥
9.内的概率为.解析因为正方体力比〃的棱长为D45G4所以三棱锥BrA\BC\的体积;・）•a•a•d=a、，正方体ABCD-A\B\C\D\的体积为a,乙o13a61所以在正方体内随机取一点弘则点物落在三棱锥内的概率为*4%ao答案76
三、解答题（•天津高考）年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继
10.20192019续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项72,108,12025附加扣除的享受情况.应从老、中、青员工中分别抽取多少人？1抽取的人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有人，分别记为B,Q〃，E,£享22564受情况如下表，其中表示享受，表示不享受.现从这人中随机抽取人接受采访.“X”62员工A BC DE F项目子女教育O O X O X O继续教育X X OX O O大病医疗X X XOX X住房贷款利息O OX XO O住房租金X XOX XX赡养老人O OXXXO
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设〃为事件“抽取的人享受的专项附加扣除至少有一项相同“，求事件发生的概率.2解由已知得老、中、青员工人数之比为由于采用分层抽样的方法从中抽取16910,位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取人、人、人.256910
①从已知的人中随机抽取人的所有可能结果为〃
⑥，262{48},{4{4},{4内，{夕，出〃},{B,日，{夕，用，{a〃},{C,月，仍£},{D,月，出月，共种.U,{C,15
②由表格知，符合题意的所有结果为B}{A,加，，{B,{4{48,{4a{890,出R,{G£},[C,月，{〃月，出R,共种.11所以事件必发生的概率P由=
2.15•安徽五校联盟第二次质检一汽车厂生产B,三类轿车,每类轿车均有舒适型和
11.20194标准型两种型号，某月的产量单位辆如表:力类轿车8类轿车类轿车舒适型100150Z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取辆，其中有A类轿车辆.5010⑴求的值；z用分层抽样的方法从类轿车中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中25任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；21用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下
3889.4,
8.6,
9.2,
9.把这辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数£设样本平6,
8.7,
9.3,
9.0,
8.2,8KW8,7eN,均数为京求|必一的概率.x|
0.5解设该厂这个月共生产轿车〃辆，由题意得斗=；所以〃则1100300=2000,2=2000-100+300-150+450-600=
400.a400设所抽样本中有辆舒适型轿车，由题意得标=币得2a1a=2,10005所以抽取的容量为的样本中，有辆舒适型轿车，辆标准型轿车.523用分别表示辆舒适型轿车，用氏，氏分别表示辆标准型轿车，用片表示事件“在4,423,3该样本中任取辆，至少有辆舒适型轿车”.从该样本中任取辆包含的基本事件有Bi2124,4,4,9Bz9氏，B,B,氏，Bi,,Bi,B,氏，氏，共个，4,4,4,4,4,10其中事件事包含的基本事件有盼,区，共个.4,4,A,5,4,■,A,■,4,5,4,4,777故〃皮=而，即所求的概率为m.样本平均数义设D表示事件
39.4+
8.6+
9.2+
9.6+
8.7+
9.3+
9.0+
8.2=
9.O从样本中任取一个数£1W W8,|必一，则从样本中任取一个数有个I/WN,x|W
0.5”8基本事件，事件〃包括的基本事件有共个.
9.4,
8.6,
9.2,
8.7,
9.3,
9.0,6所以即所求的概率为方o44已知二次函数f{x—ax2—4bx-\-
2.
12.任取片{—记在区间［上是增函数”为事件求/发生的1a£{L2,3},1,1,2,3,4,“Fx1,+84概率.任取小£{记“关于的方程有一个大于的根2b|a+46—6W0,a0,Z0},x fx=01和一个小于的根”为事件B,求发生的概率.18解因为有种取法，有种取法，则对应的函数有义个.1a36535=15因为函数的图象关于直线对称，若事件/发生，则於且红Ax0WL3a数对⑸的取值为共种.♦L-1,2,-1,2,1,3,-1,3,155|所以以⑷=-=^.153集合力对应的平面区域为△力仍，如图，其中点2{86|a+46—6W0,50,0}Rt26,0,/o,139则△加的面积为义炉乙乙乙556=5若事件夕发生，则事⑴即0,a—4b+
20.所以事件对应的平面区域为△心.8a+48—6=0,得交点坐标为〃（，）471c A
21.3^X2=l.2~23—46+2=0组一一大题专攻强化练B，则△板的面积为Jx又0乙为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加全国中学生奥林匹克数学竞赛，现L对这两名学生以往的若干次数学竞赛成绩进行分析，数据如下:甲j6542701952085765902请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学1生参加竞赛；请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在与之间的概率大小进行2x—s x+s选择，请给出你的选择结果；按照第问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞31赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在分以上的概率.88参考数据，・
67448.2,^
64.624^
8.0,^
62.44^
7.9,^
75.44^
8.
7.能解平均值172+74+75+76+80+82+85+89+95+96x=
82.4,甲=70+71+72+76+85+87+88+90+92+93正・4,x=82乙=乙样本方差高$[222272-
82.4+74-
82.4+-+95-
82.4+96-
82.4]=
67.44,70-
82.牙甲=牙222由4+71-
82.4/+…+92—
82.4+93—
82.4]=75,44,于扁所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.Vs2,由于s甲=、[^=、/
67.2,s乙=y[^=、
75.所以2x=X
82.4,
48.
448.7,x+s
90.6,x甲乙=比甲甲=在之间的成绩有s
74.2,x sx s75,76,80,82,85,89,63甲一甲=甲一甲与甲+甲所以产甲在之间的成绩有=77=-x s
91.1,x s
73.7,x sx s76,105乙+乙=乙一乙=乙一乙与乙+乙5131所以行=因为所以派甲同学去参加比赛.85,87,88,90,21U z0Z乙=从份试卷中任意抽取份共有种取法，份试卷的分数均在分以上的有31024528889,95,89,共种，故陈老师为该生分析的数学试卷分数都在分以上的96,95,96,388115,•济南市学习质量评估某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了位客户
2.2019100试用该产品，每人一台,试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价.经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满2意”的客户多人，“对性能不满意”的客户中恰有可选择了退货.10请完成下面的义列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性12299%能满意之间有关”？对性能满意对性能不满意总计购买产品不购买产品总计该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽2样，随机抽取位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有张奖券，奖券上分别印有64200元、元、元和元字样，抽到奖券可获得相应奖金.位客户有放回地进行抽取,每人4006008006随机抽取一张奖券，求位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于元的概率.6500n Qad—be八中〃a+6c+d a+c b+d—+6+c+d,
0.
1500.
1000.
0500.
0250.010ko
2.
0722.
7063.
8415.
0246.635解设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为则不购买产品的人数为1x,2%由此并结合题意可列出表对性能满意对性能不满意总计购买产品X50不购买产品2x50总计天3^+103100由表可得所以3x+10+3x=100,x=
15.12C.-D.-O乙解析选B Vr
（2）=6,A212+ZZ7=6,解得勿=
2.由/（）得即而［］x24,2,+224,—3,3,3—11故根据几何概型的概率计算公式，得）的值不小于的概率P=~一故选Ax43-（—3）3B.（•广东六校第一次联考）在区间［门上随机取两个实数b,记向量必=
3.2019—n,a,。
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