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星期六（综合限时练）解答题综合练（设计意图训练考生在规定时间内得高分，限时80分钟.）
1.（本小题满分12分）设等差数列｛｝的前〃项和为S,注+a=24,%=143,数列｛4｝的前〃项和为Tn,满足2a-1=几北一（a—1）（〃£N*）.
（1）求数列｛a｝的通项公式及数歹u，的前n项和；⑵是否存在非零实数3使得数列仍〃｝为等比数列？并说明理由.解
（1）设数列｛｝的公差为必由iSii=11^6=143,，条=13,又含+a=24,解得a=11,d=
2.因此｛｝的通项公式是/=+（/—5）X2=2〃+l（〃£N*）,所以I1-919^,a a+\212〃十12〃十n n从而刖”项的和为3x5+5x75）（2〃+1）（2〃+3）=队35572〃+12〃+3j—6〃+9，
（2）因为a=3,2a一1=几北一（a—1）（〃£N*）,19所以4〃=几Tn—20北=丁4〃+下.A A当n=1时，b\=；TA3当时,bn=Tn—北-1=
141.所以A+i=46〃（〃22）,若伉｝是等比数列，则有＞=4左,=612而金=7，所以勺=2,与坊=4打矛盾，故数列｛4｝不是等比数列.b\
2.（本小题满分12分）钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠.某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分别以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶.⑴指出这组数据的众数和中位数；⑵若所得分数不低于
9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”，若从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；⑶以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该学校人数可视为很多任选3人，记f表示抽到“非常了解”的人数，求f的分布列及数学期望.解1众数
8.6；中位数；=O87_.|7_05O.乙.*⑵设4表示所取3人中有了个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件4则PG4=〃4+，4=拌+户=说.Lie Cie3f的可能取值为0,1,2,
3.P f=0=33=64;WAD=瑞『磊；，=2=嗜|=/；P§=3=，焉.所以f的分布列为:0123272791p64646464272791E W—OX—+1X—+2XT-+3X—=
0.
75.64646464另解f的可能取值为0,1,2,3,则f〜《3,Pf=〃=C88,所以£f=3X,=
0.
75.
3.本小题满分12分如图，在三棱柱/心43G中，侧面AO归，底面力为8侧棱与底面力回成60的角，M=2,底面力回是边长为2的正三角形，其重心为G点，夕是线段即上一点，且6夕=；6a1求证曲〃侧面A4心6；⑵求平面笈G夕与底面4%所成锐二面角的余弦值.⑴证明连接8石并延长，交回于点凡连接/A,AF.♦△B,ECrXFEB,BE=[EC I,:.BF=1BC,，点b为■中点.乙乙FG FE1••G为△四的重心，・・・内=弁=全FA FB\Z♦.GE//ABx,/笈u平面初心氏网平面力448•・〃〃侧面AABB♦2解侧面44出田，底面力比；ZA AB=60°,M=^=2,取46中}点，则4，平面力为口以〃为坐标原点，以射线和、0B、%分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.则4（0,-1,0）,B（0,1,0）,C（小,0,0）,•,畔由•,盛明命=停-匕L=1’14（0,0,小）,R（0,2,小）,G诉1,小）,6f半，0,0n•BiE=0,设平面的法向量为n=a,b,c）,则由j_n•浜=0,又平面力%的法向量卬=0,0,1,VIL—y[3）./.cos（227,ri）^/3+l+3•17故平面5G£与底面力理所成的锐二面角的余弦值为工厂.
4.本小题满分12分已知椭圆区号+方=1包＞40过点《1,一当，且离心率e邛,直线/与月相交于4两点，/与X轴、y轴分别相交于a〃两点，为坐标原点.⑴求椭圆少的方程;⑵判断是否存在直线/,满足2龙三痈十而，2应=所必若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由./+国j解1由已知得盅解得才=2,9=1,；一2，2•••椭圆月的方程为5+7=1・乙2假设存在直线7夕=4工+勿后£0交椭圆于〃由，》,川及，%两即a〃为线段/眦点，交X轴于Cc,0,交y轴于〃0,d.由2成三而十应42OD=ON+~OC,得讹=而,筋=比,的三等分点，由y=Ax+勿，取y=0,得＜=一£即《一0,取x=0,得d=m,y=kx+m,即〃0,ni.联立〈Vy+y=h乙K.得1+24x+4kmx+2ni—2=,
①-1_4km••E十及-1+242,•••、〃为线段物V的三等分点，4km m则1+2女2—飞解得4—士汇.方程
①化为2V+2班/〃x+2/〃2—2=
0.叔7日-y]2/n-yl4-2/n—y]2/n+yl4-解得xi—2X2~2-，u解得勿=土害.一也加
一、4_2苏_II由25大21112同理求得当A=平时，m=•4・•满足条件的直线,存在，方程为亚亚4a也,-
5.y-或y-2」
25.本小题满分12分已知函数f{x}={ax+a—lx—才+3d—l]ea£R.⑴若函数Mx在2,3上单调递增，求实数a的取值范围；f x⑵若d=0,设gx=---------7—+ln x—x,斜率为k的直线与曲线y=gx交于/小，巾，尔如e%其中XiX2两点，证明Xi+X2Q
2.⑴解f x=\_ax+才+1x-\ra]e,当石20时,V^e2,3,・••Ax在2,3上单调递增;当aVO,•..「才在2,3上单调递增，f才=ax+d x+3•e2O,ai当一la0时，得一aWxW—L a依题意知2,3Q—a,—,得一〈WaVO；a_]3ii当a=-1时，ff x=一x—1尸•eWO,不合题意，舍去；iii当3V—1时，得一-a依题意知2,3c——a,得—
3.a aoo综上得—8,—3]U—+o+ln x%—In x1,fx2证明当=0时，gx=^^-e口口、十/,、In也一In x\八In A2—In X\h、—.、即证小+生•2,k—,要证x+x2A2,X2—X1我一X1•尼一Xi0,即证1n—-------^―9一TXl—+1Xi14v—12人/、2x—1则力x=——、？〉0,・・・力才在1,令力x—Inx,..xl,4=2x十1x x十1x%+12^-1}+8单调递增，力x力1=
0.，].n.即Xi+在42成立.-+1X
16.请同学从卜面所给的三题中选定一题作答A.木小题满分10分选修4-1几何证明选讲.如图，已知点在圆直径座的延长线上，勿切圆于/点,平分线
⑦交于点人交四于点〃
（2）若/夕=/乙求伫宓解
（1）・・・/为圆的切线，・・・/8=/口乙又・・・切是NH的平分线，.ZACD=ZDCB.N5+/DCB=ZEAC-\-/ACD,9即ZADF=ZAFD.又丁跖为圆的直径，.Z/JAE=9Q°,・•・//〃/=180-ZZM£=45°.乙⑵•/B=/EAC,/ACB=/ACB,:・XACEs XBCA,AC AE••瓦=瓦・又•AB=AC,.ZB=ZACB=30°,AE「・Rt△/跖中，-^=tan8=tan30°=~~,AD O・丝一立••犷犷3,B.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程（x=2cos a,在平面直角坐标系＞分中，已知曲线的参数方程为土厂（〃为参数），以直角坐标ly=^5sin o系原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为QCOS6⑴求曲线的普通方程与直线1的直角坐标方程;⑵设点尸为曲线上的动点，求点尸到直线,距离的最大值及其对应的点尸的直角坐标.22XV解
（1）曲线的直角坐标方程为彳+==1,4□Qcos（夕一司=2^2化简为Pcos9+Psin9=4,・••直线1的直角坐标方程为%+y=
4.⑵设点〃的坐标为（2cos a,yfdsin），,口…+小入”412cos ci+A/5sin—41CL得夕到直线1的距离d=J----------------号---------L.2A/S令sin0=鼻，cos=当，则d=o oV
27、历当sin a+0=-1时，乙,3nH此时+0=24冗+-^~,46Z,乙3n一2kx+——0=0-C尸OS一0=sin..COS Q=COS,3nsin a=sinl2A Ji_2即点尸的坐标为u，C.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设关于x的不等式12x—a|+|x+31三2x+4的解集为A.
（1）若w=l,求/；⑵若/=R,求的取值范围.H解
（1）当X
2、寸，2x—l+x+322x+4,乙当一3Vx＜；时,乙1—2x+x+322x+4,-3xW0；当xW—3时，1—2x—x—3N2x+4,/.xW—
3.综上，原不等式的解集/={x|x0,或x22}.⑵当xW—2时，12x—川+|x+3|2022x+4成立.当x—2时，2x—a|+|x+3|=12x~a\+x+322x+4,即12x—a\Nx+1,1得或后七一，oa—1所以H+IW—2或a+l---，得a—2,o综上，a的取值范围为（-8,—2].。
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