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一、选择题（文）曲线尸在点（）处的切线方程为（）
1.xe+2x—10,—1A.y=3x—1B.y=—3%—1C.y=3x~\-1D.y=—2x—l［答案］A［解析］=）k=y|x=0C+xe+2|x=0=3,・・・切线方程为夕=
3.一1,故选A.（理）（吉林市质检）若函数（）（［］）在点处的切线平行于函2014•f x=2sinx x£0,n P数g（x）=2/・弓+1）在点处的切线，则直线园的斜率（）OA.18D.2C3［答案］C[解析]十x=2cosx,[0,Ji x£[—2,2],g x=,+22,设则由题意知PX1,71,0x2,%,当且仅当时，等号成立,x=l2,V^e[0,11],且A2cosxi=2M^+现一刀8・.•Xi=0,X2-Xi3［方法点拨］导数的几何意义
1.函数（）在处的导数（）就是曲线（）在点（〃照））处的切线的斜y=f x x=xo fxo y=f x xo,率，即左二手（照）.求曲线）的切线方程的类型及方法
2.y=Ax（）已知切点〃（照，）求（）过点〃的切线方程1%,y=F x求出切线的斜率（照），由点斜式写出方程；（）已知切线的斜率为求人=又）的切线方程2k设切点以两，）通过方程（照）解得照，再由点斜式写出方程；K,4从而且因此g—3=c—1W0,120,=L此时，］f\x=x-\-ax+1—a=x+1\_x+3—lx+l—a,因函数有三个零点，则己—才+一有两个异于一的不等实根，f+118=01所以/==才+一〉且一一a—I—41—a2H30,I a—1+1—aWO,33解得乙乙d£—8,—3U1,-U-,+°
0.综上c=l.［方法点拨］用导数研究函数综合题的一般步骤第一步，将所给问题转化为研究函数性质的问题.若已给出函数，直接进入下一步.第二步，确定函数的定义域.第三步，求导数解方程确定/的极值点F X,F x=0,‘X X=Xo.第四步，判断在给定区间上的单调性和极值，若在左侧f右侧/、〉/X x=x°f W0,x0,则为极大值，反之为极小值，若在两侧不变号，则=照不是的极值Fxo FxoX=xo f X X/X点.第五步，求/的最值，比较各极值点与区间端点的大小，最大的一个为最大值、X Ha,/6最小的一个为最小值.第六步，得出问题的结论.济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进
8.行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为方现已知相距的/、两家化工厂污染源的污染强度分别为正数、
00.36km8a它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设b,y/C=xkm.试将表示为的函数；1y x⑵若时，在处取得最小值，试求的值.a=l yx=66kh［解析］设点受污染源污染指数为一，点受污染源污染指数为应一,其中1c AC8x6b—x为比例系数，且冷A
0.分k kh从而点处污染指数y=-+^—0x
36.一才x36⑵因为所以,尸｝kba=l,36:,1b y—+——ri,x3b—x令V=°，得、=品,当（］时，函数单调递减；当（［强仁，+8）时，函数单调递增.X00,时，函数取得最小值,又此时解得经验证符合题意.x=6,b=25,所以，污染源的污染强度的值为
8625.［方法点拨］,解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化1为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法.而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.利用导数解决优化问题的步骤
2.
①审题，设未知数；
②结合题意列出函数关系式；
③确定函数的定义域；
④在定义域内求极值、最值；
⑤下结论.
9.2015・重庆理，20设函数〃x=上^竺a a2£R.e（）若）在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点（汽））处的切线方1Hx x=0a1,1程；（）若）在［+8）上为减函数，求二的取值范围.2Ax3,［解析］第一问主要考查了导数的几何意义，导数的求导公式以及极值问题，属于简单题型.第二问属于主要考查了导数的求导公式以及单调性的应用，是高考常考题型，属于简单题型.v v6x+a e—3x-Vax e—3x+6—a x+a（）对）求导得/（）1Hx x=X2=Xe e因为）在处取得极值，所以，（）即Mx x=00=0,=
0.」/、、3%./—3x+6%rz当时，---------------------，a=0Fx=—,f x=7e e-/、、33故〃一，⑴=一.1=f e e33从而在点汽处的切线方程为一—化简得Hx1,17——=1,3X—=
0.e e/、/，/、-3x2+6—a x~\-a⑵由⑴知--------------------------，f3=7----------------］才6-a—y+36由解得gx=0xi=6令gx——3x+6-a x+a,6—a+d2+36当〈时，即/故/为减函数；x xigx0,x0,x当时，即/故/为增函数；gx0,x0,x当时，即/故为减函数；xX2gx0,x0,Hx由在［+8上为减函数，知及=空且卢Hx3,69解得》一了乙a故的取值范围为一|,+8a［方法点拨］利用导数研究函数最值的一般步骤
1.求定义域；求导数/、，；求极值，先解方程/、验证在根左右两侧12x3x=0,F x值的符号确定单调性，若在左侧〉右侧则广加为极大值，反之/、照为x=x°fx0,F x0,极小值，若在两侧的值不变号，则不是的极值点；求最值，比较各极值x=x Ax x=x Fx4点与区间］的端点值、的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.61a*6已知在某区间上的极值或极值的存在情况，则转化为方程的根的大小或存
2.fx Fx=0在情况.文已知函数苏在［］上单调递减且满足
10.Fx=+bx+ce0,1/0=1,/I=
0.求的取值范围；1a设求在［］上的最大值和最小值.2gx=Hx—/x,gx0,1［解析］由得1H0=l,Fl=0c=l,a+b=—1,则［］f{x}—ax—5+1%+l e\［f%=ax+5-1x—a\Q依题意须对于任意有〈0,1,Fx
0.当於时，因为二次函数一〃的图象开口向上，而一水所以须0y=a/+Q—10=0,即水；fl=a-le0,01当时，对任意有符合条件；a=l x£0,1Fx=V—16*0,Mx当时，对于任意7A符合条件；3=00,1,f x=—%e0,/X当水时，因不符合条件.00=—a0,Hx故的取值范围a OWaWl.因为2gx=―2ax+l+a e,g x=—2ax+l—a e,当己=时，v在处取得最小值在处取得最大值10g jr=e0,gx x=0g0=1,x=l gl=e.当时;对于任意有〈在处取得最大值在处取ii a=l0,1g‘x=-2xe*0,gx x=0g0=2,x=l得最小值gl=
0.当〈水时，由得〉iii01gx=0x=uL
0.乙a1——用1
①若『即时，在［］上单调递增，在处取得最小值21,OCWq gx0,1gx x=0g0在处取得最大值=1+a x=l gl=1—ae.
②若宁〈即々水时，在处取得最大值钝，在乙乙乙乙1,1gx g4=2x=0a ua a a或处取得最小值,而x=l gO=l+a,gl=l—ae,1e—1贝当不〈后二时，在处取得最小值；lj7gx x=0g0=1+H3e十1e—1当〈水时,在处取得最小值⑴1gx x=l g=1—ae.t IJL［点评］本题考查导数运算，二次函数、恒成立问题、导数应用等，考查分类讨论数学思想,体现导数的工具作用.第问中不要漏掉.第⑵问分类的依据是判定在［］13=0,3=1gx0,1上的单调性.理设函数〃为正整数，、为常数.函数在处的切线/X=wxl—x+6x0,a y=/x1,”1方程为x+y=L⑴求、的值；a b求函数的最大值；2*x证明3f{x—.ne［分析］根据导数的几何意义及点在直线牙+旷=上可求得、11,*113b.⑵通过求导判定的单调性求其最大值.f{x}⑶借用第⑵问的结论的最大值小于人,构造新的函数关系.fxne［解析］因为由点在直线上，可得即1Hl=6,1,6x+y=l1+6=1,6=0,因为f1f x=anx~—a+1Z,所以1=—a又因为切线的斜率为一+y=l1,所以一即a=—l,5=1,故a=l,b=0,由知，〃—一£21Fx=x言…=5+1-令/解得=皆不x=0,即在+8上有唯一零点F x0,x=±.〃十1在上，*故单调递增;0,*5o,Hx/+1而在缶，+8上,人〈，故/•单调递减.5n故「3在,+8上的最大值为木=为〃后H1—/7+1•一〃+1⑶令；力贝01=1nLi+0,lj L,//\11t—1/\0t=]~2——
7210.在上，/方故分单调递减；0,10,0而在+8上力单调递增.1,0t0,0故力在+8上的最小值为00,0l=o.所以方力001,BP lntl—^^
1.令得也，1=1+L In47n n77+I即严In3lne,n所以噜〃*即一e,上〃+〃〃+1nen1由知，2fxW-7TT—,〃十1ne故所证不等式成立.［点评］本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调性，在判断单调性和求函数的最大值时一定要注意函数的定义域.已知切线上一点非切点，求人入的切线方程39=设切点照，利用导数求得切线斜率班，再由斜率公式求得切线斜率，列方程组270,F解得心再由点斜式或两点式写出方程.若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定
3.切线的斜率，再由左=/照求出切点坐标刘，兄，最后写出切线方程.在点处的切线即是以尸为切点的切线，，一定在曲线上.
4.12过点的切线即切线过点，不一定是切点，所以本题的易错点是把点作为切点.2因此在求过点〃的切线方程时，应首先检验点是否在已知曲线上.P已知为定义在一8,+8上的可导函数，且对于恒成立,且为自然对数
2.Fx fxx x£R e的底，则下面正确的是2012A./De•/0,/2012e•/02012B.AlXe•AO,A2O12e•Z02012C.rle•r0,r2O12e•/o2012D.rle-Ao,r2O12e•f0［答案］Af x［解析］设尸X-——,e、r rf x•e—ef xf x—f x则---------------------------------------------------------------------9x=-=7,e e对于恒成立，■:x x£R才即/在上为增函数，:.P0,x x£R•••尸⑴b0,F2012F0,、r io f2012f onn即10920120,eee eArle/O,2012A2012e/
0.［方法点拨］函数的单调性与导数
1.在区间内，如果〉那么函数在区间上单调递增.如果1那么函数46Fx0,fx Q,6f W0,在区间/上单调递减.fx6利用导数研究函数的单调性的步骤.
2.找出函数的定义域；1fx⑵求；fx在定义域内解不等式f3Fx0,f x
0.求单调区间或证明单调性，只需在函数的定义域内解或证明不等式〉或/
3.Mx“x O〈x O.若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式三或在
4.0FxW0单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想.•新课标理，设函数/是奇函数〃的导函数，当时，
3.2015H12x xx£R x—1=0,x01则使得成立的的取值范围是xf%-/W0,Ax0XA.—8,-I u0,1B.-1,0U1,+ooC.—8,-1U-1,0D.0,1U1,+8［答案］A［解析］考查导数的应用.f x xfx—fX记函数-------------，则---------------------------------，因为当时，gx=g x=x0xfX-X X故当〉时，9所以在+8上单调递减；又因为函数是奇函数，F0,x0g^r0,gx0,Axx£R故函数是偶函数，所以在一上单调递减，且.当水时，gx gx8,0g—l=gl=001gx0,则〉；当时，〈则综上所述，使得成立的的取值范围是一8,Fx O—1gx0,Ax0,Fx0x故选-1u0,1,A.［方法点拨］.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根1据解题的需要可以构造新的函数通过研究的性质如单调性、极值等来解决原问题是gx,gx常用的方法.如在讨论/一的符号时，若/一的一部分为力xxx,x的符号由力所决定，则可转化为研究力的极最值来解决，证明时，可构造函数xxFxgx力转化为力的最小值问题等等.x=Fx—gx,x应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的
2.解题思路有以下两种分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值或值域，然1后求解.换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决.2有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决一是根与系数的关系与判别式，二
3.是结合函数值的符号或大小、对称轴、判别式用数形结合法处理.和函数与方程思想密切关联的知识点
4.
①函数,当时转化为不等式y=fx y0fx
0.
②数列是自变量为正整数的函数.
③直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题.
④立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.注意方程或不等式有解与恒成立的区别.
5.含两个未知数的不等式函数问题的常见题型及具体转化策略
6.毛在上的最小值在b],X2^[C9d\,Fxig[a,b]gx[c,d]上的最大值.〉生在上的最大值在23[a,b],[c,FE=Fx[a,6]gx[c,d]上的最小值.在3上的最小值〉在3Vxi£[a,b],3[c,d],Axigx2=rx[a,gx[c,上的最小值.d]在上的最大值在上的最大值.4mx]£[a b\,V X2^[r,d],FE gx2=fx[a,6]gx[c,d]⑸,当在金卜，时，在3上的值域与在］上的值域m x\e[a,b]d]Fxi=gX2oFx[a gx[c,d交集非空.［］［在［］上的值域在［6Vxi£a,b,3C,FE=gx2=Fx a,5U gx c,］上的值域.［］［］〃在［］上的值域在［77V x^c,d,3a,b,Ax=gx2=x a,b3gxc,2上的值域.M文已知函数人=丹的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所
4.X y=Fx示，则该函数的图象是［答案］B［解析］本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.由导数的几何意义可得,在［］上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在［］上y=Fx—1,00,1则逐渐变小，故选B.理石家庄市质检定义在区间［］上的函数的图象如下图所示，以力2014•0,1Hx0,A0,庾、为顶点的△/回的面积记为函数则函数的导函数，的大致图象1,Ml Cx,Hx Sx,Sx Sx为［答案］D［解析］:力、夕为定点，为定值，・•・△/回的面积Sx随点到直线力夕的距离而变化，而,随x的变化情况为增大一减小一0一增大一减小，・•・△/比的面积先增大再减小，当尔B、三点共线时，构不成三角形；然后△/比的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.［方法点拨］由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于轴上方
1.x的部分对应的增区间，下方部分对应/的减区间，与轴的交点对应函数可能的极值点，Ax Xx导函数的单调性决定函数/增长的速度；X由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对
2.应/的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性.x已知常数、、都是实数，的导函数为的解集为
5.a b c Fx—ax-\-bx+cx—34f x,f x0若的极小值等于一则的值是3—2Wx3},Fx115,a811A——一R一223C.2D.5［答案］c［解析］依题意得，的解集是［］于是有员x=3af+2bx+cW0-2,3,30,-2+32bc==-7~9-2X3T,6a6a3a・函数在处取得极小值，于是有•=—£,c=-18a Fxx=3F3=27a+96+3c981故选-34=-115,--5=-81,a=2,C.乙
二、解答题文已知函数曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为一
6.f\x=/—3/+^x+2,y=Fx0,2x
2.⑴求；a证明当时，曲线与直线只有一个交点.2ki y=Fx kx—2［分析］由导数的几何意义可把斜率用来表示，再由斜率公式可求出的值；把曲1d d2线与直线只有一个交点转化为函数只有一个零点作为本问的切入点，利用分类讨论的思想和利用导数判断函数的单调性来判断所设函数的单调性，从而得出此函数在每个区间的单调情况，进而求出零点个数，解决本问.［解析］⑴，/x=3f—6x+”f0=5,2由题设得一一=—所以2,w=L a由知，21M=x-3x+x+
2.设gx=f{x—kx-\-2=x—3x+1—A x+
4.由题设知1-
40.当寸，一一单调递增,一肘所以在一xWOH g x=3/6x+l40,gx g—1=0,g0=4,gx=08,］上有唯一实根.0当〉时，令力才则x0=f—3/+4,gx=/x+1—A xh{x}.力在上单调递减，在十上单调递增，所以h x=3x-6x=3xx—2,x0,22,8方gx/%22=0,所以在+8上没有实根.gx=00,综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点.gx Ry=Hx2理已知函数力、为常数的图象与轴交于点曲线在点处的切线斜f=e-axa y4y=A A率为一
1.求的值及函数的极值；1a Mx证明当〉时，x；2x0%e证明对任意给定的正数总存在照，使得当照，+8时，恒有『〈比二3c,［分析］由导数的几何意义可求出》的值，再根据极值的定义求解；构造函数12］证明其在+8上的最小值大于；根据的结论可知时结论成gx=e—30,032立，当代时，令〃=工〉转化为证明〉成立.构造函数为11,x21nx+ln4x=x—21nx—ln4c求解.［解析］由得1Fx=e*—ax,f x=e—a又一得0=1—5=—1,a=
2.所以vf{x=e—2x,f x=e—
2.令得f x=0,x=ln
2.当〈时，单调递减；x ln2f x0,Fx当时,〉单调递增;xln2f x0,Fx所以当时，有极小值.x=ln2Fx且极小值为ln2fln2=e-21n2=2-ln4,无极大值.Fx令令则x2g=e*—g U=e—2x.由得，即1g x=Fx2Fln2=2—ln40,g%
0.所以在上单调递增，又gx Rg0=l0,所以当时,即vx0gx g00,x e.⑶
①若则又由知，当时入/,所以当时，2取刖eWce,2x0x0%ce,当胸，时恒有=0+8x CQ
②若令=工〉要使不等式人看成立，只要丁加成立，而要使/加成立，0*1,41,c则只要只要〉攵成立，^lnW,x21nx+ln2x—2令力x=x—21nx—lnR,则//入=1一一=------------,所以当x〉2时，h’x0,力不在xx+8内单调递增2,取〉所以力在+8内单调递增xo=16416,x xo,又力xo=16/r—21n16A—lnA=8A—ln2+3A—ln^+5A易知力所以力加Ink Aln2,5A0,
0.即存在照=—1,c当照，+8时，恒有xtce c综上，对任意给定的正数，总存在当灰，时，恒有/〈久;Xo,+82［方法点拨］函数在某点处的导数等于经过该点的切线的斜率；极值点满足导数等于但满足导数等于的并不一定是极值点，应注意根据极值的定义判断；在证明有些导数问题0,0时，要注意借助上问的结论.文四川文，已知函数,其中
7.2015•21f{x=2x\,nx+x—2ax+aa
0.设是的导函数，讨论的单调性；1gx Hxg证明存在使得恒成立，且在区间+8内有唯一解.2£0,1,Hx20Hx=01,［解析］本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.由已知，函数广的定义域为1x0,+8,gx=f x=2x-1—Inx—a,巾、22x—1r所以-----------------g x=2——=.xx当时，f单调递减，0,1gx0,gx当+8时，f单调递增.xl,%0,gxg由f解得2f x=2x—1—lnx—a=0,a=x—l—lnx9令一2Ox=2xlnx+/2xx-1—Inx+x-1—lnx=l+lnx2—2xlnx,则01=1O,Oe=22—e0,于是，存在照£使得1,e,0Ab=
0.令照一一其中4=1lnAb=uxo,ux=x—1—InxxNl,由〃知，函数〃在区间+8上单调递增，x=1--^0x1,x故照0=ul ue=e~2l,即・0,1当时，有/照%o=0,Fxo==0再由知，/在区间+8上单调递增.1x1,当岗时，从而；xCl,f x0,Fx FXo=0当+8时，f从而/；Xo,f x0,lx Mxo=0又当］时，xR0,1f{x=x—a—2xlnx0,故+8时，xe0,*x
20.综上所述，存在使得恒成立，且/在区间+8内有唯a£0,1,Ax20x=01,一解.（理）（•江苏，）已知函数广（），才力⑸）2015194=4+2+5£R.⑴试讨论）的单调性;Ax⑵若一〃（实数是与〃无关的常数），当函数）有三个不同的零点时，的取6=Ax a［解析］考查利用导数求函数单调性、极值、函数零点.u|,+8值范围恰好是（一8,）-3U⑴先求函数导数，通过讨论导函数零点求解；（）通过构造函数，利用导数与函数关系求2解.2a令解得及=一手.1f x=3f+2ax,fx=0,x=0,当时，因为，（%）所以函数）在（一8,a=0=3/^0,Hx+8）上单调递增;2a当时，a0-----------—oo,-32a\所以函数（）在一8,，（+8）上单调递增，在/X0,）上单调递减;
0、时，f正2a\.,/y,+8f xo,0,当时，30—8,0U了时，J rx0,）上单调递增，在（2ay,+8o,上单调递减.所以函数/（）在（一8,）x0,T42a而3+5,则函数Ax）有三个乙
（2）由
（1）知,函数十）的两个极值为*0）=6,I水30,0,2a零点等价于r
（0）•才+伙0,从而《4或,430b--a乙3衣仅I0272a+8时，时，fU0,f%0,,0f%0,4又所以当於寸，b=c—a,013—a—a+cQ9乙I4或当水时,乙0—a—a+c
0.I，Ml|，则在（一8,）上（）且在+oo—3g a0,因为函数）有三个零点时，的取值范围恰好是（-8,）J—d+c,Ax d-3（）上目（汁〉均恒u|,+80成立,。
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