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文本内容:
立体几何
3.
1.2017•全国HI如图，四面体/颇中，%是正三角形，△/
⑦是直角三角形，AABD=/CBD,AB=BD.1证明平面4/J_平面45a⑵过力的平面交必于点反若平面力尾把四面体/66P分成体积相等的两部分，求二面角〃一力£—C的余弦值.1证明由题设可得△/应运△6B/Z从而又为直角三角形，所以/力戊二90，取〃的中点，连接〃0,BO,则〃0J_£DO=AO,又因为是正三角形，故夕，力G所以/〃仍为二面角〃一NC一8的平面角，在RtZVI仍中，B@+0#=Ak又AB=BD,所以加+〃4=加+力=力=尔九故N〃必=90,所以平面/〃C_L平面ABC.2解由题设及1知，OA,OB,勿两两垂直，以为坐标原点,而为x轴正方向，应为y轴正方向，应为z轴正方向,I涝I为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,ON则0,0,0,Jl,0,0,〃0,0,1,B0,4°，以一L3，由题意知，四面体/86F的体积为四面体48口的体积的士从而后到平面49的距离为〃到平面相的距离的即E为必的中点，得/,坐二半,A底-1,0,1,9=1,0,
0.乙乙,设平面/切的法向量为〃]=X1,yi,Z1,平面4r的法向量为融=X2,2,Z2,AE9n=0,则一解得n=1l,坐，I，、/〃♦I J//7i=0,AE•/2=0,解得n=0,—1,小，
2、4•z2=0,设二面角〃一/£一为0,易知为锐角,I n•m|布则cos~\nA\nA~7,
2.2017•河南百校联盟模拟在如图所示的直三棱柱/8C—48C中，D,夕分别是AC,4A的中点.1求证〃平面/CG4；⑵若AB1BC,AB=BC,N/第=60°,求直线比与平面/8C所成角的正切值.⑴证明取/夕中点人连接加；EF.在△/比中，因为〃尸分别为8C,的中点,所以加〃〃；又〃四平面/⑶4,/欠平面力的4,所以小〃平面4如人在矩形/微4中，因为其尸分别为4瓦/夕的中点，所以笛4,又第:平面4s4,44u平面G4,所以£F〃平面4CG
4.因为DFC EF=F,所以平面阳〃平面因为〃度平面班F,故庞〃平面/CG
4.⑵解因为三棱柱4笈G为直三棱柱，所以比工即，又AB1BC,ABC BB尸B,所以比工平面/必M.因为BB尸BB\,所以△力阴g△颂，AB尸CB\,又/ACB,=60°,所以△/8C为正三角形，所以48=74#+丽=扰=/48,所以阳=43取力3的中点连接加，CO,所以/合_1_伙，ABx±CO,所以4」平面比已所以平面1占UL平面优巳点方在平面46c上的射影在6上，所以NZCO即为直线和与平面44C所成的角.在中，8g坐伤=坐%,所以tan NBC0=
77.=•DC/
3.（2017•中原名校豫南九校模拟）如图，在矩形业
⑦中，AB=1,AD=a,为J_平面力比〃且为=1,E,尸分别为血，力的中点，在欧上有且只有一个点0,使得尸⑴求证平面鹿尸〃平面/W；⑵求二面角砂一的余弦值.〜⑴证明方法一（向量法）以/点为原点，分别以葩，砺，后的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系/xyz,则/0,0,0,Bl,0,0,〃0,80,夕0,0,1,设01,x,0,则91,%-1,®=-l,a—x,0,若PQLQD,则历•初=—1+xQ—x=0,即/—^+1=0,A=才一4=0,/.5=2,x=l.・・・1,1,0,~QD=-1,1,0,又£是力〃的中点，A£0,1,0,BE=-1,1,0,.Qb=BE,.BE//DQ,又痛平面如Q,小平面/W,,庞〃平面PDQ,又少是必的中点,・•・EF//PD,;小平面外Q,P上平面PDQ,・•・/%〃平面PDQ,BECEF=E,BE,EFu平面BEF,，平面庞尸〃平面PDQ.方法二（几何法）题意转化为矩形4
⑦中力垂直于Q〃的点只有一个，则以4为直径的圆与线段比相切，易得比=2,是线段比的中点，由龙〃EF//DP,易得两平面平行.
（2）解设平面^的一个法向量山=（必y,z）,由
（1）知，济=（—1,0,~BQ=0,1,0,则m•BF—m•BQ=0,•••—x+z=y=0,乙取z=2,得卬=1,0,2,同样求得平面庞的一个法向量〃=（1，1，2）,cos〈出n）「二面角E—BF—Q为锐角,・•・二面角/一如一0的余弦值为惮.且必=勿=AD,E,F分别为PC,M的中点.
4.2017•云南大理统测在四棱锥P—ABCD中,底面力颔是正方形，侧面为J_底面ABCD,⑴求证〃平面必〃；⑵在线段48上是否存在点G,使得二面角一切一G的余弦值为半，若存在，请求出点G0的位置；若不存在，请说明理由.⑴证明连接力乙由正方形性质可知，与劭相交于点凡所以在△必中，EF//PA,又为u平面必〃E因平面必〃所以绪〃平面PAD.2解取/〃的中点连接OR OF,因为必=如，所以如，助，又因为侧面力底面/比〃交线为力〃,所以FOJ_平面ABCD,以为原点，分别以射线40和OP为x轴，p轴和z轴建立空间直角坐标系Oxyz,不妨设AD=2,则0,0,1,z-l,0,0,d-b2,0,假设在上存在点GL a,0,0a2,y则〃C=—1,2,—1,PD=—L0,—1,DG=2,a,
0.因为侧面为〃_L底面力及力，交线为4〃且底面是正方形，所以徵_L平面以〃，则“，必，由为2+4=/万，得PDLPA,又PDC CD=D,PD,七平面勿C,所以必平面外，即平面的一个法向量为9=1,0,-
1.设平面/W的法向量为刀=x,y,z,PD9n—0,f—x—z=0,由，即彳U-n=0,〔2x+”=0,z=—x9亦即12x尸一_a可取〃=a,—2,—a./一I\PA9n2a y[3K所以cos PA,n==r-i，=Q2\PA\\n\镜义73解得3=1或H=—1舍去.所以线段四上存在点G,且G为47的中点，使得二面角C一切一G的余弦值为手.
5.2017•吉林长春检测已知三棱锥A-BCD中，△/%是等腰直角三角形，且ACLBC,BC=2,平面宽9,AD=
1.1求证平面力比1平面/必；⑵若£为4的中点，求二面角/一四一〃的余弦值.1证明因为/〃，平面比〃比u平面比仅所以49_LBG又因为4CJ_a；ACH AD=A AD,平面/四9所以及北平面/
⑦，又况t平面/比；所以平面力比LL平面ACD.2解由已知可得=福，如图所示建立空间直角坐标系,A由已知C0,0,0,80,2,0,4/0,1,D他,0,0,惇,1,3落=镉,0,1,而^^,0,0,设平面力方的法向量〃=（小，yi,Zi）,第xi+©=0,叫n•0=0,,1_■^-Xi+yi+-zi=0,乙乙、〃•CE=3令矛1=1,得〃=（1,0,一小）,设平面㈤的法向量卬=（如.Z2）,小X,2=0,m•CD=0,,也,1%+5Z2c\Xi\叫_0,乙乙令收=1,得卬=（0,1,—2）,二面角力一6F一〃的余弦值cos227,n）=\n\m\n\\m\2^/
556.（2017•福建厦门模拟）如图，在梯形力区刀中，AB//CD.AD=DC=CB=\,ZABC=60°,四边形/板为矩形，平面〃平面/比〃CF=
1.⑴求证比工平面/仍⑵点〃在线段）上运动，设平面物仍与平面”所成二面角为0（^^90°），试求cos e的取值范围.⑴证明在梯形/阅9中，因为AB〃CD,AD=DC=CB=\,/ABC=60,所以胴=2,所以Ad=A^+Bd—2AB•BC・cos60°=3,所以所以8dC因为平面力愧，平面ABCD,平面ACFEC平面ABCD=AQ的=平面/成〃所以成工平面“7^⑵解建立以直线勿，CB,6F为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图所示,令FM=A OW4则0,0,0,小小,0,0,B0,1,0,0,1,所以葩=一福，1,0,就=4,-1,1,设4i=x,y,z为平面肱伤的一个法向量,n\•AB=,1•BM=a,、/Z2i•〃2所以COS d=因为772=1,0,0是平面厂”的一个法向量.因为0W4W第，所以当4=0时，cos有最小值手当时，cos0有最大值;所以cosOR乙。
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