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第四篇平面向量■应用能力提升YINGYONG NENGUTISHENG,在实践中升华思想第节平面向量的概念及线性运算1【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的基本概念1,9平面向量的线性运算3共线向量问题4,10三点共线问题2,5,7综合问题6,8,11,12,13,14,15基础对点练时间分钟30,给出下列命题:1
①向量与向量的长度相等,方向相反；AB BA——
②AB+BA二o；
③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；
④AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是A A2B304Dl解析:
①正确;
②中AB+BA二0,而不等于0;
③正确;
④中AB与CD所在直线还可能平行,综上可知
②④不正确.故选A.
2.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列三点一定共线的是B AA,B,C BA,B,DCB,C,D DA,C,D解析因为所以三点共线.BD=BC+CD=_5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB,A,B,D解析:若三点共线,则存在实数入，使得M,N,P MP=X PN,所以OP—OM—ON—OP,所以入=人1+P M+N,OM+ZON mXn►___________即+入入P=1+=1a+1+b,m他二——T，+入1Xn因为不共线，所以入a,b I1+入a[31所以+入+入=m+n=l+1i.答案1如图所示，已知是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点,汽则等
3.AB0C,D AB=AC,AD=b于（）D11A a-2b B2-b11Ca+2b D2a+b解析:连接由点是半圆弧的三等分点，CD,C,D1-1——AB—得CD〃AB且CD=2=2%1—►—►—►______________所以二AD AC+CD=b+2a.故选D.设分别是的三边上的点，且则
4.D,E,F4ABC BC,CA,AB DC=2BD,CE=EA AF=FB——22——与AD+BE+CF BCA反向平行同向平行A B互相垂直既不平行也不垂直C D1-解析由题意得—BC AD=AB+BD=AB+3,一T T T-ACHE=BA+AE=BA+3,一1—T T T-BACF=CB+BF=CB+31———————因此AD+BE+CF=CB+3BC+AC-AB2T L--BC-BC=CB+3=-3,故与反向平行.AD+BE+CF BC故选A.
5.2016•温州八校检测设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数的值为P BA-2B-l01D2解析因为BC=a+b,CD=a-2b,—►—►—►所以BD=BC+CD=2a~b.——又因为三点共线,所以共线.A,B,D AB,BD——设二所以入AB xBD,2a+pb=2a-b,所以2=2入,入,p=_所以人=1,p=-l.故选B.•山东济南一模是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满
6.20160A,B,C PAB AC-►-——足:=入入则的轨迹一定通过的OP A+|AB|+|AC|,£[0,+8,p^ABC B外心内心重心垂心A BC D解析作的平分线——NBAC AD.►►AB AC—―►——因为二人P A+|AB|+|AC|,—►—►―►ABACAD所以AP二入|AB|+|AC|=入，・|AD|入，金[0,+8,所以AP二|AD|・AD,►所以AP〃AD.所以的轨迹一定通过的内心.P AABC故选B.（•广东佛山模拟）如图，一直线与平行四边形的两边分别交于
7.2016EF ABCDAB,AD E,F2T L两点，且交其对角线于其中，—►—AD K,AE=5,—►—ARAF=2,二人则人的值为（）AK AC,AD C2222A9B7C5D32T1T—__AJD—____________AD解析因为AE=S,AF=2,5-~»-AE--»贝|JAB=2,AD=2AF,由向量加法的平行四边形法则可知AC=AB+AD,5T5，―►—►—►―►_AE-—~-►所以二=入入AK xAC=x AB+AD2+2AF=2AE+2X AF,5由三点共线可得入入E,F,K5+2=1,2所以入二故选5A.►►►三明一中月考在中,为的中点为的中点，若二人口
8.2016•4ABC D BC,0AD AOAB+BC,则…等于.解析:因为为的中点,D BCTTTT—BC所以AD=AB+BD=AB+2,又因为为的中点，0ADL LL--AD-AB-BC所以AO=2=2+4,113所以入+u=2+4=43答案:z导学号给出下列命题:
9.|18702218|——►►
①向量的长度与向量的长度相等；AB BA
②向量与平行,则与的方向相同或相反；a ba b
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同；
④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.►►解析:
①与是相反向量，模相等,正确;
②由方向是任意的且与任意向量平行，不正确;AB BAo
③相等向量长度相等、方向相同，又起点相同，则终点相同;
④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确.答案:
②④已知向量其中不共线，向量问是否存在这样的实数入，
10.a=2ei-3e,b=2e+3e,e e2c=2e1-9e2,212b,使向量=入与共线？U da+u bc解:二人d2ei-3e+u2ei+3e22二2入+2uei+_3入+3『e2,要使与共线，则应有实数使二d ck,d kc,即人入「2+2uei+-3+3ue2=2ke9ke2,入+|22p=2k,即［入卜=得入二-3+3-9k,—2u.故存在这样的实数入，,只要入二-口，就能使与共线.u2d c能力提升练时间分钟15华中师大附中期中是所在平面内一点,
11.2016•M aABC MB+2+|MD|-MC一2=0,D为AC中点，则BM|的值为A11A3B2Cl D2解析如图所示，因为是的中点，延长至使得二D ACMD E,DE MD.所以四边形为平行四边形,MAEC1-1一TT所以二T-ME MD2=2MA+MC一一33因为内,--MA-MC MB+2+2—―—――3►►►►所以MB=-2MA+MC=-3MD|MD||MD|所以二|MB||-3MD|=
3.故选A.导学号也口图所示,在中,点在线段上,设
12.18702219AABC AD=DB,F CD二则的最小值为AB aAC=b,AF=xa+yb,x+y+1D点A6+2B64隹隹C6+4D3+2解析由题意知AF=xa+yb=2xAD+yAC,因为三点共线，C,F,D所以即2x+y=l,y=l-2x.由题图可知且x0xWL1412x+1——7所以x+y+l=x+l・x=x•x.x+1x2+2x-1222令fx=X・x，则fl x=x-x,令得或二-也T舍.f x=0,x=/T x当时，*当X〉根-1且时,0XA/^-1x0,x#l fx
0.所以当时,取得极小值,亦为最小值,最小值为也TX=^-1fX f屈=业业曲.-1--12=3+2故选D.枣庄模拟若点是所在平面内的一点，且满足||二|
13.2016•04ABC OB-OB OC_OA|,+2则的形状为.4ABC解析二OB+OC_2OA OB-OA+OC—OA=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC所以|AB_AC|=|AB+AC|.故为矩形的三个顶点，为直角三角形.A,B,C AABC答案:直角三角形广州一调已知和点满足若存在实数使得
14.2016•4ABCMMA+MB+MC=o,m成立,则=.AB+AC=gAMm解析由已知条件得如图,延长交于点，MB+MC=—MA,AM BCD则为的中点.DBC延长交于点，BM ACE延长交于点，CM ABF同理可证分别为的中点，E,F AC,AB即为的重心，M4ABC2T1所以~AD—AM=3=3AB+AC,即AB+AC=3AM,贝lj m=
3.答案32-T-AD T如图所示,在中,分别是的中点,为
15.4ABC D,F BC,AC AE=3,AB=—二——AC b.►►►►►⑴用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；求证:三点共线.2B,E,F一1⑴解:延长到使~’-AG ADG,AD=2,连接得到BG,CG,oABGC,所以AG=a+b,1-1——AG—AD=2=2a+b,2Tl LI--AD---AC-卜AE=3=3a+b,AF=2=211BE=AE-AB=3+b-a=3b-2a.a11―-―__►►►BF=AF-AB=2i-2b-2a.3a=2-—一►BF⑵证明由⑴可知BEM,又因为有公共点所以三点共线.BE,BF B,B,E,F好题天天练导学号在中,设三边的中点分别为则等于
1.187022214ABC AB,BC,CA E,F,D,EC+FA1---BDA BDB21-T-ACC ACD21—―——解析如图,►►►EC=2AC+BC,1FA=2CA BA+1所以EC+FA=2BC+BA=BD.故选A.
2.设a,b是不共线的两个非零向量,记M=ma,ON=nb,op=a a+B b,其中m,n,a,B均为实a p数,若三点共线，则mWO,nWO,M,P,N m+n=。
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