高考数学二轮复习 专题检测（五）数学文化试题

专题检测

（五）数学文化

一、选择题

1.我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A.104人B.108人C.112人I）.120人解析选B由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为

81008100.3300X8100+7488+6912=300X22500=108,故选B,

2.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是32,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第20项为（）A.180B.200C.128D.162解析选B根据前10项可得规律每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2,公差为2的等差数列.可得从第11项到20项为60,72,84,98,112,128,144,162,180,

200.所以此数列第20项为

200.

3.（2019•昆明市高三调研测试）法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下如图，在半径为1的圆内随机地取一条弦,则弦长超过圆内接等边三角形的边长第的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释固定弦的一个端点4另一端点在圆周上随机选取，其答案为（）11B.-A,23解析选B记等边三角形为△/比；弦的另•个端点为尸.如图，弦/尸-1的长超过48的长，则点分落在劣弧式上，所以所求概率为W.故选B.

4.欧拉公式e1*=cos x+isin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于A.第一象限C.第三象限B.第二象限解析选B依题可知e表示的复数在复D.第四象限平面内对应的点的坐标为cos x,sin%,故e，表示的复数在复平面内对应的点的坐标为cos2,sin2,显然该点位于第二象限，选B.

5.如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了//E从＜/勾股定理.如图是用4个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方G/形.假设直角三角形的直角边长分别为3,5,在正方形4

⑦中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是A nlA解析选A因为直角三角形的直角边长分别为3,5,所以正方形40的面积为32+5249=34,易知四边形石%〃的面积为5—32=

4.故此点取自四边形成/内的概率=—故1I选A.

6.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载一年有二十四个节气，每个节气号gui长损益相同皆是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度.二十四个节气及唇长变化如图所示，相邻两个节气号长的变化量相同，周而复始.若冬至屠长一丈三尺五寸，夏至署长一尺五寸一丈等于十尺，一尺等于十寸，则夏至之后的那个节气小暑暑长是立夏\、小满60芒种:冬蒙彘90夏至A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸解析选B设从夏至到冬至的唇长依次构成等差数列{a},公差为d,a=15,如=135,则15+124=135,解得d=

10.所以a=15+10=25,所以小暑的卷长是25寸.故选B.

7.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长/与高方,计算其体积M的近似公式眸白£2方•它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取为

3.那367么，近似公式3力相当于将圆锥体积公式中的“近似取为（）2225A-7B-T157355C D---50113177解析选A依题意，设圆锥的底面半径为八贝IJ-不兀产力仁诉/力=（2r尸力，11化32b426422简得n故选A.

8.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土,6属水（减去5即得）……如图，这是一个把女进制数a（共有〃位）化为十进制数6的程序框图,执行该程序框图，若输入的匕a,〃分别为5,1203,4,则输出的6=（）/输出6/S3A.178B.386C.890D.14303解析选A执行该程序框图，可得当输入4=5,a=l203,〃=4时，该程序框图的功能是计算并输出Z=3X5°+0X5l+2X52+lX5=

178.故选A.

9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为年（）A.丙酉B.戊申C.己申D.己酉解析选D天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80:10=8,则2029年的天干为己；804-12=6……8,则2029年的地支为酉.

10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，术日以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为弧田面积=；（弦X矢+矢X矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦等7于6米，其弧田弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为孑平方米，则cosZAOB—（）13A——R——2525解析选D如图，依题意4=6,设67=x（x0）,则］（6x+V）7=%，解得x=l.设勿=y,则（y—1尸+9=/,解得y=

5.25+95—7由余弦定理得加夕=不行=药故选D.

11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a，^e{0,1}（7=0,1,2）,传输信息为久为口同打，其中尿=%a,=A的运算规则为00=0,01=1,10=1,11=0,例如原信息为111,则传㊉㊉㊉㊉㊉㊉㊉输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A.11010B.01100C.10111D.00011解析选C对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中的运算规则知力=01=1,方=力/=11=0,故传输信息应是

10110.㊉㊉㊉

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义图像能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，给出下列命题

①对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个;

②函数/U=lnV+严口可以是某个圆的“太极函数”；

③正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；

④函数y=fx是“太极函数”的充要条件为函数p=Ax的图像是中心对称图形.其中正确的命题为A.

①③B.

①③④C.

②③D.

①④解析选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆其“太极函数”有无数个，故

①正确；函数Fx=ln/+的图像如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故

②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图像的对称中心上，则正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故

③正确；函数的图像是中心对称图形，则y=Ax）是“太极函数”，但函数是“太极函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故

④错误.故选A.

二、填空题

13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的樟卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90柳卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为.（容器壁的厚度忽略不计）解析表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1,2,6的长方体的外接球.设其半径为兄

（27）2=62+22+1\解得川=彳，所以该球形容器的表面积的最小值为4兀〃=41答案41Ji

14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理，，及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦，，.设用分别是椭圆彳+〃=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PA,阳分别是RtZXA9的“勾”“股”，则点尸的横坐标为.解析由题意知半焦距=#,又PR1PF,故点P在圆/+/=3上，设以筋力，联V+y=3,立，得b21]+y=l，得《平，乎）故点户的横坐标为平.答案:

15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为

0.618,这一数值也可以表示为加=2sin18°,若/〃2+〃=%则2COS227°-I----------------•解析:由题设刀=4—融=4—4sin*18°=41—sin218°=4cos218°,_____2sin180N4cos218°_2•2sin18°cos18°_2sin36°_2cos吃7—12cos227—1cos54°sin36°”答案

216.2019•合肥市第一次质检部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.▲AA现在上述图⑶中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为.解析由题意可知每次挖去等边三角形的点设题图⑴中三角形的面积为1,则题图⑵I32=4,故在题中阴影部分的面积为1—题图⑶中阴影部分的面积为9图⑶中随机选取一点，此点来自阴影部分的概率为9答案―。