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解答题滚动练
51.2017•北京如图，在四棱锥483中，底面四
⑦为正方形，平面为〃，平面/比〃点〃在线段阳上，勿〃平面物a PA=PD=#,AB=
4.1求证物为小的中点；⑵求二面角B-PD-A的大小；⑶求直线就与平面夕加所成角的正弦值.⑴证明设£物交于点色连接阳如图.D C因为如〃平面MAC,平面MACH平面PDB=ME,所以PD〃ME因为四边形/仇力是正方形，所以£为劭的中点，所以〃为分的中点.2解取力〃的中点，连接OR OE.因为为=必，所以2L44又因为平面为〃_L平面/比〃且勿七平面必〃，所以平面ABCD.因为碇平面/比〃所以勿L值因为四边形是正方形，所以OEIAD.如图，建立空间直角坐标系犯％cy则〃0,0,p,〃⑵0,0,6—2,4,0,勃=4,-4,0,展⑵0,一也f4%—4y=0,n•BD=G,则_n•Pb=Q,2^—^2z=
0.设平面8〃〃的法向量〃=x,y,z,令x=1,则y=1,z=M,于是Z2=b b镜.平面必〃的法向量为0=0,1,0,g、i/\n*p]所以COS〈72,p—IIII—Q.\n\p\2由题意知二面角B—PD—A为锐角，
（3）解由题意知可一1,2,，r2,4,0,MC=3,2,所以它的大小为彳.JT o设直线,力与平面皮沙所成的角为a,则,/-,177|2msin a=|cos77,MC）\=-------~a~9\n\\MC\9所以直线,与平面所成角的正弦值为呼.
2.（2017•安徽太和中学模拟）新一届班委会的7名成员有4B,三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.⑴若正、副班长两职只能由4B,三人中选两人担任，则有多少种分工方案？⑵若人B,三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解
（1）先确定正、副班长，有虐种选法，其余全排列有点种，共有虚虎=720（种）分工方案.⑵方法一设4三人的原职务分别是a,b,c,当/比任意一人都不担任助c职务时有解A种；当中一人担任助c中的职务时，有C；A；A加种；当/比中两人担任助c中的职务时，有3C；A A；A；种；当/仇中三人担任He中的职务时，有2A种；故共有A A+C A；A幅+3或A A；+2A i=134Al=3216（种）分工方案.方法二担任职务总数为A；种，当力担任原职务时有储种，同理回各自担任原职务时也各自有解种，而当力反BC勿同时担任原职务时各有点种；当加同时担任原职务时有A；种,故共有解一3就+3点一A；=134A=3216（种）分工方案.
3.已知数列｛｝满足=1,a+尸a+2,数列伉｝的前〃项和为S”且3=2—
4.⑴求数列EJ,gj的通项公式；⑵设Cn=abnj求数歹U｛c｝的前〃项和Tn.n f）解
（1）因为a=l,a+I—a=2,所以｛｝是首项为1,公差为2的等差数列,所以a=1+（Z7—1）nX2=2z—
1.又当〃=1时，b\=S\=2—b\,所以4=1,当〃22时，S=2—4,Sn-12bn—1,由
①一
②，得b“=~bn+ba_i,即广-=3，O-\Nn所以｛〃，｝是首项为1，公比为1的等比数列,2〃一32〃一1+2〃
（2）由
（1）知Cn=B^nbn=n-l,则n/口112,22/7—1〜277—1
③一
④得可北=夕+不■+2+2〃112/7-11—万2/7-12〃+3-----1—=3--2T2nr「I2/+3所以=62〃—
4.已知椭圆的两个焦点为公（一击，0）,后（4，0）,也是椭圆上一点，若茄•施=0,砺|•|/施|=
8.⑴求椭圆的方程；⑵直线/过右焦点£（m,0）（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点4B,在x轴上是否存在一个定点以沏0）,使得西•为的值为定值？若存在，写出〃点的坐标（不必求出定值）；若不存在，请说明理由.解1由题意，c=乖,|/奶「+1，桁「=4o2=20,I肪|・|/晒1=8,•••|施|+|阖尸=|如+|既「+
2.•网=36,解得「姐|十|觇1=6,即2a=6,Aa=3,=a—=4,ID CJ椭圆的方程为++2=L2%J-1⑵方法一设直线/的方程为产物+\/^代入椭圆方程并消元整理得4/〃,+9V—1队-x+45—36/〃2=
0.设力小，必，B@,㈤是方程
①的两个解，由根与系数的关系得18#45-36/;/为十用=4/2+9,小及=彳/2+9，[_]6（才2—/）=混[（不用一力（1+质）+51=4/〃2+9,PA・PB=1x「Xo,yi）•（x—xo,%）=（M—照）（用一照）+y%=xi热一质（XI+E）+/+%理2（4袁一36）zz/+9/-18季照+29一164//72+94/；72W+94〃/+9令汤•~PB=3则4一36%,+9岔一1队后照+29=tW+9,比较系数得4芯一36=41且9■一18m吊+29=93消去方得36/—36X9=36/—72小曲+294,解得不=米内..•.在X轴上存在一个定点娉4，0,使得汤•为的值为定值一号.方法二当直线与X轴不垂直时，设直线1的方程为y=4x—mAW0,代入椭圆方程并消元整理得9/+4/-18^5^+45^2-36=0,设加名，a,B,㈤是方程
①的两个解，由根与系数的关系得18击如45后一36汨+及=4+9~石弱=4+9471理=42（X1-4）（X2一亚）=42[汨及—^5（+^）+5]—-16/4+9PA•PB=xo,yi）•（A2—Ab,%）=（小一照）（生（XL一照）+y乃=为生一照（小+在）+/+y%=9■一18乖照+29吠+4岔一364+9A2令成•PB=3则（9右一1队后照+29）为+4总-36=X4+9后）,9■一1队屈+29=92，且4芯-36=43解得照=看小，此时方的值为一号.当直线/与x轴垂直时，/的方程为代入椭圆方程，解得・•・当直线/与X轴垂直时，行•沏也为定值124~819综上，在x轴上存在一个定点娉4，0）,使得汤•沏的值为定值一*。
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