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《计算方法》课程习题集
一、计算题
1.已知,f0=1,/⑴=2,/2=4,求/%的二次插值多项式
2.已知/%=%7+/+3%+1,求/[2°,21,...,27],力2°,2；..,27,28]
3.分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点-1,-3,1,0,2,4的二次插值多项式并给出插值余项.
4.利用牛顿插值对如下数据构造一个三次插值多项式Nx,并求N
2.0123Xy
139275.分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点-3,T,0,2,3,-2的二次插值多项式并给出插值余项.
6.已知实验数据，用最小二乘法作二次多项式的数据拟合，写出法方程不求解12345X14786y
7.实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线y=4+qx.012345y
1244.
5568.实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线y=X4682y2112840x-x=1{2―2+=
29.求矛盾方程的最小二乘解2x一2=3X]2—3%1十%=42-22det41—B G—3/10=2U3-26A2,—407224i no2626i所以迭代不收敛.Q B=1,4,2=°，4=五G F乙A乙
122.解因为系数矩阵A=-142是严格的对角占优矩阵，J310,所以Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代都收敛（130——--a a
123.解O时，々%迭代的迭代矩阵是Bj=——0--QWa a二3oV aa由AI—此|=0得4=0,4,3’
02、
24.解
（1）对原方程组，Jaco初迭代矩阵是:Bj=DL+U=、3/20所以当a4的时候，夕（与）1,/ac%・迭代收敛所以⑷-固=分_3,03）=6\Jacobi迭代法不收敛Gazs—Seide/迭代法的迭代矩阵B=D-L~lU=由同-纥|=2（4-3）,知夕（练）=31,G所以Gazs—SehR法也是不收敛的
2、3,
（2）若方程组交换方程的顺序后，系数矩阵变为A=,（23J它是一个严格的对角占优矩阵，所以Jac初迭代法和Gazs-Seide/迭代法都收敛
00.5-
0.
5、
25.解迭代矩阵为=-10-1,、
0.
50.502-
0.
50.5det2/-B=121=222+
1.25,z—
0.5—
0.5A4=0,43=±JE^i，夕当=
1.251,所以Jacobi迭代法不收敛
26.解1将方程改写为x-l=e-v,利用图象可判断出存在唯一的一个根/1,22G迭代格式为%]=1+6一%，迭代函数为0幻=1+,则p{x}=-e~x,因为I0x1=/“1,XG1,2,所以迭代是收敛的=《垃,…
27.解记/=后,/12+则加=J2+/〃2=O,1,2,..../-----1-1对应的迭代函数ex=j2+x,则9x=—2+x2,1所以I9x|=l52+x2|1,即迭代法是收敛的】
28.解1迭代公式为4用二—^,攵=0,1,2,…a+k2对应的迭代函数为°x=—乙，0=——J,a+x+~Q X由于Q1,|0X|=|—所以该迭代法是收敛的a+x a
29.解采用Newton迭代法，--1^-fGkx x3cx-a2a迭代函数为0）=21+号，则0（]）=2—乌33k3一与『y+需’而[%）=金=手由于9（妫）=0,6,故迭代法二阶收敛yja
30.解
（1）设/（%）=，—115,则求/（幻=的正根就是求JH5由于/10=-15011=60,/X=2x0,Vx£[10,1]故方程在[10,11]内有唯一正根2由于尸x=2〉0,故可取％=n,用牛顿法与萼攵=0,12…2々可得4=11,玉=
10.72727273=
10.72380586=
10.72380530故可取/=
10.
723805、计算题1（略）.......
10.已知函数＞=的下列数值，试用两点和三点微分公式计算X=
2.7的一阶和二阶导数
2.
52.
62.
72.
82.9Xy
12.
182513.
463714.
879716.
444618.
174111.求公式J；fMcbc=1[2/1-/1+2/1]的代数精度~I
12.确定求积公式办:=AJ/z+4/2/z中的待定系数，使代数精度尽可能的高,并指出代数精度
13.确定求积公式0/%公=AJO+AJ
①+/2外中的待定系数，使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
14.确定求积公式£fxdx=A_J-h+4/0+中的待定系数，使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
15.计算积分工e%,若用复化梯形公式，问区间应分为多少份，才能保证计算结果有5位有效数字？x+x+x=6123用高斯消去法解方程组h+39-2忍=12%-
16.2+x=1X232%+%+%=
42317.用高斯消去法求解线性方程组:3%+x+2=6X23%+2+2=5X X232-1-P20的LU分解
18.求矩阵-
103、3%—々+玉=-
419.用高斯消去法求解5%1—4%2+3刍=—122%+/+%3=
111120.用列主元高斯消去法解线性方程组132-
221.对于方程组｛-+3=-1,写出Ga如s-Seide/迭代的迭代格式并判断是否X X]22%+7%=2收敛5%1+2%2+七=—
1222.对于方程组v-玉+4%+2=20,分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛2尤1+3+10x=3X23性a
1323.设线性方程组的系数矩阵为12,求能使Jacobi迭代收敛的的取值范—32a围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组|“+^2=是否收敛？为什么？[3x+2=X2]4若将两个方程对调，结论又如何22一工工2+
325.=1对于方程组v+x+x=1,写出Jacobi迭代的迭代矩阵并判断是否收敛232%-1X1+%2-
26.给定方程/%=%-1产-1=0,1分析该方程有几个根以及根所在的大致区间，2给出求根的迭代格式，并判断是否收敛
27.利用迭代法的思想，给出求，2+，2+,2+…十百选7的迭代格式，并讨论收敛性
28.设al,1=-----------------------，1构造/的迭代公式2讨论收敛性.aClH------------------aaH-------
29.应用Newton法于方程d—a=o,求板迭代公式，并讨论收敛阶数
30.利用牛顿迭代法求jn亍的近似值（保留小数点后6位）
二、计算题1（略）……答案x-1%—2x—0%-2X-0x—I,
41.解1L x=2X]十X Z十X今0-10-21-01-22-02-
12.解利用差商和导数的关系，/…，居］=/（〃）（）,n\因为/（%）是7次多项式，所以/⑺⑴=7!,/⑻=0,7!所以2°,2；.・,27]=丁=1,2°,21,…,27,28]=
3.解拉格朗日插值1-2-11*4-2-33x1x-lx-24x+lx-l1------------------二---------------------------------------9/%=—3,力/,即=3/2,f[x x]=4,f[x,x x]=5/6,p20192牛顿插值35Nx=—3+—x+1+—x+1%-1，26VVV插值余项为如片空gllX-2，ST
24.解差商值分别为:/以]=2,/[%,々]=6,f[x,x]=lS,f[x.x,x]=2,/[%,%2，刍]=6,23Q}2/[,,]=4/3,X X XX0P2341Nx=l+2x+2xx-l+-Xx-lx-2,NJ=
23215.解1拉格朗日插值多项式为18xx-32x+3x-3x+3x2由计算可得:/%=-1,几]=2——l/0—-3=1,/%々]=—2—2/3=—4/3了[%,为，/]=—4/3—1/6=—7/187所以牛顿插值多项式为Nx=—1+Q+3——xx+318IH
556.解»产15,Z X=26,Z Xj2=55,=92,i=\z=l i=i⑶误差估计RM*+33，…555=225,£x=979,丫=35832Z=Z=11，51555‘死
26、法方程组为:
1555225925522597935867.解Z3=15,2y=
22.5,£七»二
71.
5.i=ii=l6〃+15Z=2L5法方程组为:15a+55b=
71.5国华之a=22/211=71/70,所以y=22/21+71/70%
44448.解E玉=20,Z»=81,Zk=i20,536oi=l i=l i=\i=l4+20=81法方程组为20a+120/=536解之=-
12.5,b=
6.55，所以y=—
12.5+
6.55%a15
七、
9.解A，A=19勺5法方程组为:（2939々刀山解出X]=------%=-------
11221210.解取/z=
0.l,两点公式有两种:1当/=
2.6,%=
2.7时,
1114.1600f
2.7=—-[/
2.7-/
2.6]=—
14.8797-
13.4637•JL•JL2x=
2.7,x-
2.8,0{
2.7==
2.8-f
2.7]=
15.6490/1•JL三点公式取玉=
2.6,Xj=
2.7,x=
2.8,2f
2.7=-3—[/
2.8-/
2.6]=
14.
90450.1x2“1f
2.7=—-[/
2.8-2/
2.7+f
2.6]=
14.8900v-7•A
11.解取%,…代入公式,得到当/x=1,左边=1,右边=1当/x=x,左边=5,右边二g,当/%=%2,左边二！，右边二，，当/%=137当f%=/,左边二上，右边二己上，5192所以公式具有三次代数精度3/z=A+
412.解令/x=l,x,代入积分公式,v9于=4/1+42/733N33解之a=2九4二26积分公式为£fxdx=-hfh+-hf2h9由于当/%=%之时，左二「x2dx=9h3,^=—/z3,J2所以积分公式具有一次代数精度4+A+A2—3/z
913.解令/x=l,%/,代入积分公式，有{Ah+A2h=-h2]2A+44/=9h3392h39C解之4=w^，A=0,4=w无，积分公式为J fMdx=-hf0+-hf2h,o嚷Q，2h81A A由于当/X=V时，左二，0尤3公=_^^\右=18%4所以积分公式具有二次代数精度A_j+4+A=2/
214.解令/x=l,x,%2,代入积分公式，有1—/z41—4=09h2A_A=-h3l+i14=马％解之A_]=4A=qh,h141C积分公式为\fMdx=-+-hf0+-hf{h}J—h333；力+；帅“x3dx=-h-h3+-hh\X@W Zz—44由于,-h33所以积分公式具有三次代数精度b-a
15.解由〃=1,有|7J/]|12又由于—e,故feZ/x只有一位整数，因此要使积分的近似值有5位有效Jo Jo数字，其截断误差应满足二,1—42⑵2解得/2_Lex14“
4530.4697,〃
267.3088,因此取〃=68,即将区间[0,1]68等
616.解增广矩阵的变换为11161613-22—-3—-355-21-4-7—-11-21等价于方程组:+工+工=6X123—3玉=—5角牛，%=1,x2~~2,=3oX39-7七=-212x+x+x=4l2311八
17.解消元过程:----X2H--%-
0933.-X H—X-3o22x+x+x=4l2311八回代可求出f=1，%2=1，玉=1----X H---—03=3X
318.解4]=〃]]=2,〃=a\213=T12份就可满足要求I]=]/2,13\==3/2,2]/1=3]/11〃22必=3/2,“22—，22132=32—41^12/^225,“33=”33—（，31%3+，32沅23）=1（—1—12所以L=-1/2,U=3/2-1/23/25等价于方程组—1-41-41-
419.解增广矩阵变换为:-4-12-28-28%-/+刍=-4x2-所以,方程组1的解为1由1=3,%=6,%3—=-11195—52=8X35x=—5等价的11-21三角方
20.解:3-23-2程组为-21112七一2+x=1X23-211-211〃+（一7）“，今+（一〈）今+（-〈）厂25X=£3,-2,X]——15£勺404——22222-----------2—1121£7—~2244%2—2%3=L回代可得721——Xn---------434Y（%+1）-C Q丫伏）_）（k）•/V|I4+D=（_]+染+1））
21.解/3留）=（2-2琛包）/7。
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