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第讲离心率范围的求法4圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面儿何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.22X V例（）已知双曲线了一力=（於力）的左、右焦点分别为用，点〃在双曲线的右支上,110,0且|阳所|,则此双曲线的离心率的最大值为（）|=4|e457A.§B.jC.2D.答案B解析方法一由双曲线的定义知|胡期
①I—||=2a又|阳松
②|=4|o2故联立
①②，解得|PFi PFi|=-a.|=-.3,|o O在△必£中，由余弦定理，得cos/FiPF.=一，g2•铲•铲2要求e的最大值，即求分相的最小值，cos/5当跳=一时，解得可，cos/A1e=即的最大值为于故选e B.方法二由双曲线的定义知，|所|一|旌|=24又|/|=4|%82，PF\|=~a,|PFi|=~a,O|Og2•「F\F2o oI1=2c,c55即双曲线的离心率的最大值为三.ea3322X V⑵已知尸是以为左、右焦点的椭圆（於力）上一点，若NRPF2=120°,则该a bA,K p+R=l0椭圆的离心率的取值范围是.答案快」）解析当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，〃对两个焦点的张角N内侬逐渐P增大，当点位于短轴端点处时，N万庄最大.P q・・•存在点〃为椭圆上的一点，使得N万旗=120，・••在△用中，RA ZFi^^l20°,・••在饭中，/仍用,RtAR260X V⑶过椭圆C（（力）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一点B,且点B a b=+=1a0在轴上的射影恰好为右焦点凡若《〈|人；,则椭圆的离心率的取值范围是.xO O解析设网）将代入椭圆的方程,G0,x=c22j2Z/2\可得+S=1,解得y=±,4a±；J又・・3（一劣0）,・•・直线然的斜率为a—c a—c,、z------a a~\~c=±1-e・・^|A|0el,—o ou o95解得可〈次、3b椭圆的离心率的取值范围是仔，）I.■能力提升-----------------------------------------------------------------------------------------------------------求离心率范围的常用方法⑴利用椭圆、双曲线中协b,某个量的取值范围确定例构造b,的齐次不等式确定a,c⑵利用图形中的位置关系（如三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等）建立不等式（不等式组），确定e.跟踪演练若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心.1率为（）答案D22XV解析设椭圆的方程为了+方＞力）根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，=1E0,如图所示，、历因为仍所以》由I1=4I1=22又点/在椭圆上，所以言+言，所以才次所以才（才一曲，所以才,所以椭圆的离心=1=3=33/=2所以点力的坐标为率为号坐e已知中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点（）（），P为G与G
2.G GE—g0,£c,0在第一象限的交点，冏且|期.若椭圆的离心率（）||=|A1=5£|,|,则双曲线G35B.|,2A.293的禺心率会的取值范围是（）D.|,3C.2,3答案CX2V2解析设椭圆的方程为「+方=（》）a b190,由阳|=|曲引且|在知,I1=5c22a=cn0[Q=a-52=—z[_p.2c+5X2V2设双曲线的方程为以〃m nF—4=10,0,2c/、同理,可得会==.故ej=e⑵・2c-5322x V已知户是椭圆（出少）上的一点，椭圆长轴的两个端点为B,若，ab
3.104%=120则该椭圆的离心率的取值范围是.答案停）1解析设0是椭圆的短轴的一个端点，则N/Q82N/I阳=120，于是N/Q0260，・・•“》/b,即才》（才一/）,.,.会又.,.椭圆的离心率仁［乎，）30el,
81.22X V（•济宁模拟）设双曲线C,了一方=（於）的左、右焦点分别为£,|内川过人作
4.202310,»0轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为点的坐标为，x4—2c,7/||改若在双曲线的右支上存在点〃使得用倒出川成立，则双曲线的离4|,I1+1I心率的取值范围是.答案嚼解析将代入双曲线的方程，得X=c叭/土弓‘所以卜‘9=±1==577由得号,，所I£0|£41,又在双曲线的右支上存在点〃使得|即|+/|,出川成立，所以为，2d+|0|MQ7Q即2d+-z--X2c,解得e~,2O2因为阳尸阴|+|I I+I0=2a+|N|2a+|,又〉所以/e l,。
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