有关矩阵秩的重要结论

有关矩阵秩的重要结论在考研数学线性代数中，秩为的矩阵具有特殊意义,1往年常考察其相关知识点其一是秩为矩阵的特征值，特征值的计算是一个基本考1点，其计算方法很多，包括根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法，同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题下文将对秩为的特殊矩阵的特征值的计算方法做些分析，并提1供典型例题供大家参考其二是秩为矩阵是否能相似对角化，知道结论可以秒出1结果其三是将秩为矩阵拆为两列向量的乘积，在很多大1题中常会用至h

一、秩为1的矩阵的特征值分析若〃阶矩阵（阳）的秩为则/的特征值为4=1,4=4=…=4-1=o,=ZQ；当Zano时，o为/的/=i/=i重特征值；当£即=时，为/的〃重特征值这个结〃-100/=1论可以用不同的方法证明如下（需要重点掌握）证法1（方程组法）若火（）则及的基础解系含4=1,=0〃-1个线性无关解向量，由于所以这〃-个线性无关的解向4r=0=0・x,1量都是属于特征值的特征向量，因此至少是的重特征值，设0044则由特征值=4—••=_[=0,的性质即得由此可知,4+4—_]+4〃=X4=Z%，H F1=11=1当尸时，为力的〃重特征值；当\〃=时，为o-100i=i i=i力的〃重特征值法2（特征方程法）若阳）则/的列向量组的秩为/=1,1,不妨设力的第一列为（尸）则其它a=…,4J0,列均可由线性表示，于是/可表示为1（々也必,也必,其中）=（也,,〃）4=4・・4）=4=1,4・・・A—Q/]A--地——生%A—詈%■\AE-A\=・・・叫*3/=2,一%h九一a b--^2nIqn-他不也，0=4_•;=1■■A故4=4=・・・=4-=0,4=工咕,Z=1由于力=%b j=%,所以%=ah，故A,=Z也=£册，;/=1i=\由此可知，当时,为的〃-重特征值；当0041E=0/=i i=i时，为的〃重特征值04

二、典型例题分析例设/为三阶矩阵，的每行元素之和为的通L45,4c=0解为41—1+k32rT解由题意知,即皿=其中4144=5,%=1]:「、2令％=-1a则由题意知，Aa=0,Aa=023a、a是对应于特征值％=九=0的线性无关特征向量;由于线性无关，且是三维向量，所以夕可由火线性表示，41,%,设.=x a+x a+x a，解此方程可得x}2233=—2,%=8,X-,=—1,X3于是£=从而8«-%-24，Ap--Aa-2Aa=40,40,40’.23从上面的分析和例题看到，对于秩为的〃阶矩阵，零是1其〃重或〃T重特征值，如果是〃重，则非零特征值是矩—1阵的主对角线元素之和；另外还看到，秩为的矩阵可以分解1为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值；秩为的矩阵对应的齐次线性方1程组的基础解系含〃个解向量，这些都是秩为的矩阵的一-11些特性，希望以上内容对扩展大家的思路有所帮助

三、秩为矩阵的其他重要结论1若，，且0=1矩阵力都可以拆成两向量乘积，即力其中和尸为非零列向1量2A〃=邓丁溺…邓丁=卬•A,令人惊喜的是尸“=〃4=Z/=1若=则矩阵/可相似对角化，否则不可相似对30,角化。