计算方法引论课后答案

计算方法引论课后答案第一章误差.什么是模型误差，什么是方法误差？1例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式$人=地4「$计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差在计算过程中，要用到我们利用无穷乘积公式计$\pi$,算$\画$的值pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前项的乘积作为的近似值，得9$\pi$这个去掉的无穷乘积公式中第项$\pi\approx

3.xxxxxxxx5$$\pi$9o后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差y xxxx1XX3yxx1XX2XX3XXX2XX2X1XXX1xxxx1XX2yxx1XX2XX3XXX3XX3X1XXX21xxxx2XX3插值函数XXXf xOf xO f xO,xl xxOf x0,xl,x2xxOxx1f x0,xl,x2,x3xxOxx lxx2其中f xOyO,f xO,xlyiyo xlxOfx0,xl,x2f xl,x2fxO,xlx2x0fx0,xl,x2,x3f xl,x2,x3fx0,xl,x2x3xO代入数据得插值函数LagrangeXXX13x3xOx32xl12x3xOx33xl插值函数XXXy i322x1x312x0x32xl723x1x0x32x1牛顿插值法和插值法是数值分析中常用的插值方法Hermite牛顿插值法通过差商的计算来构造插值多项式，可以利用等距节点或非等距节点进行插值插值法则是通过给定的函Hermite数值和导数值来构造插值多项式下面对这两种插值方法进行简要介绍首先是插值法通过差商的计算，可以得到一个次XXX n插值多项式，其中为给定节点数减.可以利用等距节点或非n1等距节点进行插值等距节点的情况下，插值多项式的形式为N_nx=fx_0+f[x_0,x_l]x-x_0+f[x_0,x_l,x_2]x-x_0x-x_l+\cdots+f[x_0,x_l,\cdots,x_n]x-x_0x-x_l\cdotsx-x_{n-1}$$其中表示阶差商，可以通过递归的$f[x_O,x_l,\cdots,x_k]$$k$方式计算得到非等距节点的情况下，插值多项式的形式为N_nx=\sum_{k=0}A{n}f[x_O,x_1,\cdots,x_k]\prod_{j=0}A{k-l}x-xj$$其中同样表示阶差商$f[x_O,x_l,\cdots,x_k]$$k$其次是插值法给定函数值和导数值，可以构造一Hermite个次插值多项式具体的，可以先利用重节点计算差商，2n+l然后构造插值多项式插值多项式的形式为H_{2n+1}x=\sum_{i=0}A{n}\leftfx_i+\sum_{k=0}A{1}\frac{fA{k}x_i}{k!}x-x_i\right\prod_{j=0,j\neq i}A{n}\frac{x-xJA2}{x_i-xJA2}$$其中${表示在处的阶导数，k}x_i$$x_i$$k$$k=0/$o最后，需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值方法和节点，以保证插值结果的精度和稳定性根据第二类边界条件，可得到三次样条插值多项式为2S3x

0.0003x

30.0803x

27.2805x

268.3367x75,76;

0.002x

30.5057x

242.0743xl

038.3964x76,77;

0.0013x

30.3525x

229.5615x

724.8901x77,78;代入计算得到分段线性插值函数的函数值为3x=

75.5三次样条插值多项式的函数值为

2.7905,

2.7919;代入计算得到分段线性插值函数的函数值为三x=

78.

32.962,次样条插值多项式的函数值为

2.

9589.时，；时，；x=79$$fx=79$$x\in[78,79$$fx=79-x$时,；时，；$x\notin[76,79]$$fx=0$$x\in[79,80$$fx=80-x$时，根据已知节点值，代入关系式$x\notin[78,80]$$fx=O$$M$o可得」=$M

0.0058$,$M_2=

0.0067$,$M_3=

0.0036$,$M_4=

0.0071$o因此，在每个区间上的三次样条函数的表达式为$sx=\frac{}}{6}x J-xA3+\frac{MJ}{6}x-x_{j-l}A3+\frac{y_{j-l}-M_{j-l}xJ-x_{j-l}r2}{6}xJ-当x+\frac{yJ-MJxJ-x_{j-l}A2}{6}x-x_{j-l}$o时,$x=

75.5$$I_

575.5=

2.

768175.5+

2.8331_l

75.5=

2.8005$,时,$s

75.5=

78.3$给出$I_

575.5=

3.0621_

478.3+

3.00391_

378.3=

3.0034$o$\sin x$,*$的函数表如下$\cos x$,$\tanbegin{center}begin{tabular}{|c|c|c|c|}XXXx$$\sin x$$\cos x$$\tan x$\\XXXOA\circ$010\\XXX15A\circ$

0.

25880.

96590.2679\\30A\circ$

0.

50.

8660.5774\\XXX45A\circ$

0.

70710.70711\\XXX60A\circ$

0.

8660.

51.7321\\XXX75A\circ$

0.

96590.

25883.7321\\XXX不定义\\90A\circ$10XXXend{tabular}end{center}使用表格中的数据和插值公式，求解以下问题.直接使用表格计算利用插值计算1tan tanl.5695,Lagrange sin和再用计算.结果为cos,sin/cos tan

1.5695tan

1.5695-

771.xxxxxxxx.由于出现小除数，误差被放大.求解三次样条函数已知数据点和边界条件将数据2sx,点带入关系式，得到的方程组，再联立边界条件的方程组，M M解得的值，代入表达式，即可得到所求的三次样条函数M M.证明具有严格对角优势的方阵必可逆证明方程组的

32.62解存在唯一证明假设矩阵按行严格对角占优，如果是奇异的,则A A存在非零向量使得.写成分量形式为x Ax=O其中令指标使得$\sum\limits_{j=1}Ana_{ij}xJ=0$,$i=l,

2.n$$i$则有$x_i=x_{\infty}\neq0$,$a_{ii}x_i=-\sum\limits_{j\neq i}a_{ij}xJ\leq\sum\limits_{j\neq i}a_{ij}xj\leq x_{\infty}\sum\limits_{j\neq因此，i}a_{ij}$$\frac{x_i}{\sum\limits_{j\neqoi}a_{ij}}\geq\frac{1}{\sum\limits_{j\neq i}\frac{a_{ij}}{a_{ii}}+l}0$0这意味着的第个分量为非零数，与矛盾因$x$$i$$x_i=x_{\infty}$此，矩阵非奇异A考虑方程组2$2M+\alpha M_l=\beta$,$1-\alphaM_l+2M_2+\alphaM_3=\beta$,$□$,$l-\alphaM_{n-2}其中+2M_{n-1}+\alpha M_n=\beta$,$l-\alphaM_{n-l}+2M_n=\beta$,系数矩阵为严格对角占优的方阵根据克拉默法则，该方程组存在唯一解.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字

2816.956,

76.000,.322,

501.235,.182,

130.015,

236.

23.解:

816.96,

76.000,.

501.24,.

130.02,

236.

23..下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几3位有效数字？

81.897,

0.008,

136.320,

050.

180.解五位，三位，六位，四位.若用表示，问有多少位有效数字？4$1/4$

0.25解两位.若是经过舍入后得到的近似值，问5$a=

1.1062$,$b=

0.947$,各有几位有效数字？$a+b$,$a\times b$已知$da\frac{1}{2}\cdot10A{-4}$,又$db\frac{1}{2}\cdot10A{-3}$,$a+b=

0.\times10$begin{aligned}oda+b=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdotlOA{-4}+\frac{l}{2}\cdotl0A{-3}=

0.55\times10A{-3}\frac{l}{2}\cdotlOA{-2}end{aligned}所以有三位有效数字；因为$a+b$$a\times b=O.xxxxxxxx\times10$begin{aligned}da\times b=bd a+adb=

0.947\times\frac{1}{2}\cdotlOA{-4}+Ll062\times\frac{l}{2}\cdot10A{-3}=0Atimes10A{-3}\frac{l}{2}\cdotlOA{-2}end{aligned}所以有三位有效数字$a\times b$.设」是经过舍入后作为6$y=

0.9863$,$y_2=

0.0062$,$x_l$,的近似值求值的相对误差限及」\与真值的相$x_2$$y times y_2$对误差限已知二$x_l y_l+dx_l$,$x_2=y_2+dx_2$,$dx_l=l\times10A{-4}$,$dx_2=2\times10A{-4}$obegin{aligned}dx_l+x_2=dx_1+dx_2=l\timeslOA{-4}+2\times10A{-4}=3\timeslOA{-4}\\frac{dx_l+x_2}{x_l+x_2}=\frac{3\times10A{-4}}{y_l+y_2+dx_l+dx_2}\leq\frac{3\times10A{-4}}{y_l+y_2}=\frac{3\times10A{-4}}{

0.9925}\approx

0.0003end{aligned}所以」+的相对误差限为$x x_2$$

0.0003$begin{aligned}dx_l\times x_2=dx_l+dx_2=1\times10A{-4}+2\times10A{-4}=3\times10A{-4}\\frac{dx_l\times x_2}{x_l\times x_2}=\frac{3\times10A{-4}}{y_l+dx_l\timesy_2+dx_2}\leq\frac{3\timeslOA{-4}}{y_l\timesy_2}=\frac{3\times10A{-4}}{

0.}\approx

0.049end{aligned}所以的相对误差限为即$x_l\times x_2$$

0.049$,$y_l\times的相对误差限为y_2$$

0.049$o.给定函数在区间$上的个节点1$fx$[a,b]$$n+l$以及对应的函数值$x_0,x_l,\cdots,x_n$,构造次插值多项式使得$fx_0,fx_l,\cdots,fx_n$,$n$$p_nx$,二则的表达式为$p_nx_i fx_i$,$i=0,l,\cdots,n$$p_nx$op_nx=\sum_{i=0}An fx_iL_ix$$其中为次拉格朗日插值基函数，即:$L_ix$$n$L_ix=\prod_{j=0,j\neq i}An\frac{x-xJ}{x_i-xj}$$.在插值多项式$的基础上，可以通过牛顿插值法来2p_nx$递推计算出即在原有的节点的基$p_{n+l}x$,$x_0,x_l,\cdots,x_n$础上，再添加一个节点并计算出对应的函数值$岖$x_{n+l}$,_{则的表达式为11+1}$$p_{n+l}x$p_{n+l}x=p_nx+\omega_{n+l}x-x_0x-x_l\cdotsx-x_n$$其中为插值节点上的$\omega_{n+l}$$x_0,x_l,\cdots,x_{n+l}$阶差商，即$n+l$omega_{n+l}=\frac{f[x_O,x_1,\cdots,x_{n+1}]}{n+1!}$$.在数值微分中，常用的方法有前向差分、后向差分和中心3差分前向差分公式为fx\approx\frac{fx+h-fx}{h}$$后向差分公式为fx\approx\frac{fx-fx-h}{h}$$中心差分公式为fx\approx\frac{fx+h-fx-h}{2h}$$其中为步长，一般取较小的正数对于高阶导数的数值$h$计算，可以通过多次应用上述公式来递推计算设在三处的值是很容易求得的试以$y=x$,$x=100,121,144$这三个点建立的二次插值多项式，并用此多项式计算$y=x$的近似值，且给出误差估计用其中的任意两点，构造线$115$性插值函数，用得到的三个线性插值函数，计算的近似值，$115$并分析其结果不同的原因解已知建立$x=100,x_l=121,x_2=144;y=10,y_l=l l,y_2=12$,二次插值函数可得LagrangeL_2x=\frac{x-121x-144}{100-121100-144}\cdot10+\frac{x-100x-144}{121-100121-144}\cdot11+\frac{x-100x-121}{144-100144-121}\cdot12$$所以$115\approx L_2l15=

10.7228$o误差$R_2x=\frac{f M\xi}{3!}x-x_lx-x_2x-x$,所以$\xi\inx,x_l,x_2$,$|R_2H5|

0.xxxxxxx$利用前两个节点建立线性插值函数可得:L_lx=\frac{x-121}{100-121}\cdot10+\frac{x-100}{121-100}\cdot11$$所」!X$115\approx LH5=

10.7143$利用后两个节点建立线性插值可得L_lx=\frac{x-144}{121-144}\cdot11+\frac{x-121}{144-121}\cdot12$$所以$115\approx L_l115=l

0.7391$o利用前后两个节点建立线性插值可得L_2x=\frac{-144}{100-144}\cdot10+\frac{x-100}X{144-100}\cdot12$$所以$115\approx L_2l15=

10.6818$o与的真实值比较，二次插值比线性插值效果好，利用前115两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好这说明，二次插值比线性插值效果好，内插比外插效果好.利用式证明2$

2.9$$Rx\leq\max fx\frac{x-x_lx-x_2}{8}$,$x_l\leq x\leq x_2$o证明由式$

2.9$Rx=\frac{f1\xi}{2!}x-x_lx-x_2,x_l\xix_2$$当时,$x_l\leq x\leq x_2$$f\xi\leq\max f*x$,$x-所以x_lx-x_2\leq\frac{x_2-x_lA2}{4}$,Rx\leq\max fx\cdot\frac{x_2-x_lA2}{8}=\maxfx\cdot\frac{x-x_lx-x_2}{8}$$当或时，结论成立$x=x_l$$x=x_2$$Rx=O$,。