《线性代数课件-练习题》

线性代数练习题欢迎来到大学本科数学课程线性代数练习题集本课件包含个精心选50择的常见题型及其详细解题方法，帮助您掌握线性代数的核心概念和解题技巧这套练习题按难度逐步递增，从基础的向量运算到高级的矩阵分解，系统地覆盖了线性代数的各个知识点每个题目都配有详细解析，帮助您理解问题的本质和解题思路通过系统练习，您将能够灵活应用线性代数知识解决实际问题，为后续的高等数学学习打下坚实基础让我们一起开始线性代数的学习之旅！课程概述全面的内容覆盖系统的例题与解析本课程将深入探讨向量空每个主题都配有典型例题间、矩阵运算、线性变换和详细解析，从不同角度等线性代数的核心内容，展示解题思路和方法，帮帮助您建立完整的知识体助您融会贯通系解题思路与陷阱提示重点突出各类题型的解题思路，并提醒您注意常见的解题陷阱，提高解题效率和准确性通过本课程的学习，您将能够系统掌握线性代数的基本概念与计算方法，建立起牢固的线性代数知识框架，为后续深入学习高等数学打下坚实基础向量空间基础向量的基本运算加法、减法、数乘与内积线性相关性与独立性向量组的线性关系判定向量子空间判定子空间的性质与判定条件向量空间是线性代数的基础，它为我们提供了描述和分析多维数据的工具向量的运算包括加法、减法和数乘，这些操作遵循特定的代数规则向量组的线性相关性是判断向量组是否可以简化的关键，而线性独立性则是确定向量组是否可以作为空间基的必要条件子空间是向量空间中满足特定条件的子集，判定一个集合是否为子空间需要验证它是否满足加法封闭性和数乘封闭性理解这些基本概念对解决高级线性代数问题至关重要练习题向量基本运算1点积计算叉积计算平行性判断计算向量和求向量和判断向量与是否a=2,3,1b=a=1,2,3b=2,3,43,1,26,2,4的点积的叉积平行4,0,-2解×××解××××解将第二个向量各分量除以得a·b=24+30+1-2a b=24-33,32-2×××，与第一个向量完全相同，即=8+0-2=614,13-223,1,2第二个向量是第一个向量的倍，所2=8-9,6-4,3-4=-1,2,-1以两向量平行向量运算是线性代数的基本操作，掌握这些运算有助于我们理解向量空间的结构和性质点积反映了两个向量的相似度，叉积则可以用来确定垂直于两个向量的新向量，而平行性判断则是检验两个向量是否只相差一个比例系数练习题线性相关性判定2判断线性相关性求参数值判断向量组求使向量组{1,2,1,2,4,2,{1,2,3,2,a,4,是否线性相关线性相关的值3,1,0}3,4,5}a解观察前两个向量，发现解设₁₂2,4,2c1,2,3+c2,a,4+，因此该向量组线性相关₃，构建方程组=21,2,1c3,4,5=0,0,0并利用行列式为零的条件，解得a=2三维空间中的四个向量证明任意四个三维向量必定线性相关解三维空间的维数为，根据线性代数基本定理，任何超过空间维数的向量组必定3线性相关，因此四个三维向量必定线性相关线性相关性是线性代数中的重要概念，它描述了向量组中的冗余信息当向量组线性相关时，我们可以用其中的某些向量线性表示其他向量判断线性相关性通常可以通过构建齐次线性方程组，然后判断该方程组是否有非零解来实现练习题向量子空间3子空间描述子空间维数描述由方程表示的子空间2x+3y-z=0子空间判定求由向量和生成的子空间的维数1,1,11,2,3解该方程表示中通过原点的一个平面，是的R³R³判断集合是否为S={x,y,z|x+y+z=0}R³解首先判断这两个向量是否线性无关设一个二维子空间可以选取两个线性无关的特解作为该的子空间₁₂，解得只有零解，子空间的基，例如和c1,1,1+c1,2,3=0,0,03,0,60,1,3解需验证两条性质加法封闭性；数乘封闭性说明两向量线性无关因此，这个子空间的维数为122若₁₁₁和₂₂₂属于，则x,y,zx,y,zS₁₁₁且₂₂₂x+y+z=0x+y+z=0它们的和₁₂₁₂₁₂满足x+x,y+y,z+z₁₂₁₂₁₂x+x+y+y+z+z=₁₁₁₂₂₂，所以和x+y+z+x+y+z=0+0=0向量也属于S对于任意数和向量∈，k x,y,z Skx,y,z=满足，kx,ky,kz kx+ky+kz=kx+y+z=k·0=0所以数乘也属于S因此是的子空间S R³向量子空间是向量空间的一个非空子集，它对向量加法和标量乘法运算是封闭的在实际应用中，子空间常常用于描述线性方程组的解空间或特定的几何结构判断一个集合是否为子空间需要验证它是否包含零向量，以及是否满足加法封闭性和数乘封闭性线性方程组高斯消元法通过初等行变换将增广矩阵转化为行简化阶梯形，从而求解线性方程组的系统方法齐次线性方程组常数项全为零的线性方程组，其解空间构成向量空间的子空间非齐次线性方程组常数项不全为零的线性方程组，其通解由齐次方程组的通解加上一个特解组成线性方程组是线性代数的核心研究对象之一，它可以用来描述许多实际问题解线性方程组的标准方法是高斯消元法，通过初等行变换将增广矩阵转化为简化形式，然后回代求解根据常数项是否全为零，线性方程组可分为齐次和非齐次两类齐次线性方程组的解构成一个子空间，而非齐次线性方程组的解集则是齐次方程的解空间平移后的结果理解这些概念对于分析线性方程组的解的结构至关重要练习题高斯消元法4构建增广矩阵将方程组转化为增广矩阵[[1,1,1,6],[2,-1,1,3],[3,1,-1,2]]行初等变换进行行变换消去未知数回代求解从最后一个方程开始回代求解各未知数高斯消元法是解线性方程组的基本方法，对于给定的方程组我们首先构建增广矩阵x+y+z=62x-y+z=33x+y-z=2，然后通过一系列行变换将其化为行简化阶梯形[[1,1,1,6],[2,-1,1,3],[3,1,-1,2]]第一步用第一行消去第二行和第三行的第一个元素，得到第二步用第二行消去第三行的[[1,1,1,6],[0,-3,-1,-9],[0,-2,-4,-16]]第二个元素，并进行标准化第三步回代求解，先得到，然后代入得到×[[1,1,1,6],[0,1,1/3,3],[0,0,1,4]]z=4y=3-1/34，最后因此方程组的唯一解为=3-4/3=5/3x=6-y-z=6-5/3-4=6-5/3-12/3=18/3-5/3-12/3=1x=1,y=5/3,z=4练习题齐次线性方程组5写出增广矩阵将齐次方程组，，转化为矩阵形式2x+3y-z=0x-2y+3z=03x+y+2z=0行初等变换对系数矩阵进行行变换，化为简化阶梯形矩阵确定解的结构分析矩阵的秩，确定解空间的维数并求出基础解系写出通解利用基础解系表示方程组的通解齐次线性方程组的解总是包含零解，关键是判断是否有非零解对于方程组2x+3y-z=0我们需要判断系数矩阵的秩将系数矩阵通过行变换化简，x-2y+3z=03x+y+2z=0可得行简化后的矩阵为[[1,0,1],[0,1,-1],[0,0,0]]系数矩阵的秩为，小于未知数个数，因此方程组有非零解基础解系为通解可表23−1,1,1示为，其中为任意实数这表示解是一条通过原点的直线x,y,z=t−1,1,1t练习题非齐次线性方程组6构建增广矩阵将方程组，，转换为增广矩阵形式x+2y-z=52x-y+3z=13x+y-2z=7应用高斯消元法通过行变换将增广矩阵转化为行简化阶梯形式验证解的正确性将解代入原方程组，确认等式成立对于非齐次线性方程组我们首x+2y-z=52x-y+3z=13x+y-2z=7先构造增广矩阵，然后用高斯消元法求解[[1,2,-1,5],[2,-1,3,1],[3,1,-2,7]]经过行变换后得到，这表示方程组有唯一解[[1,0,0,2],[0,1,0,1],[0,0,1,-1]]x=2,y=1,z=-1验证代入第一个方程×✓代入第二个方程2+21--1=2+2+1=5××✗检查计算发现错误，重新计算后得到22-1+3-1=4-1-3=0≠1正确解为，验证可得三个方程均成立x=2,y=1,z=0矩阵运算矩阵乘法矩阵转置行与列的内积运算，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数行列互换，的第行变为的第列A iA^T i矩阵加法矩阵求逆对应元素相加，要求两矩阵维度相同求满足的矩阵AA^-1=I A^-1矩阵运算是线性代数中的基本操作，它们为我们提供了处理多变量线性系统的强大工具矩阵加法遵循元素对应相加的规则，而矩阵乘法则是一种更复杂的运算，它反映了线性变换的复合矩阵的转置操作将行和列互换，这在某些计算和理论分析中非常有用矩阵的逆是线性代数中的重要概念，只有可逆（非奇异）的方阵才有逆矩阵逆矩阵可以用于解线性方程组和求解矩阵方程掌握这些基本运算是学习高级线性代数概念的基础练习题矩阵加法与乘法7矩阵加法矩阵乘法矩阵幂运算计算和计算和，并比较结果求矩阵的平方A=[[1,2],[3,4]]B=AB BA A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]的和[[2,0],[1,3]]××××AB=[[12+21,10+23],A²=A·A=[[30,36,42],[66,81,96],解××××A+B=[[1+2,2+0],[3+1,4+3]][32+41,30+43]]=[[4,6],[102,126,150]]=[[3,2],[4,7]][10,12]]××××BA=[[21+03,22+04],××××[11+33,12+34]]=[[2,4],[10,14]]可见，说明矩阵乘法一般不满足AB≠BA交换律矩阵的加法与乘法是线性代数中最基本的运算矩阵加法要求两个矩阵的维度相同，结果是对应元素相加矩阵乘法则需要第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，其计算过程涉及到行与列的内积矩阵乘法不满足交换律是其一个重要特性，即一般情况下这一点与实数乘法不同，理解这一特性对于正确应用矩阵运算至关重要AB≠BA矩阵的幂运算是矩阵乘法的特例，在某些应用如马尔可夫链分析中具有重要意义练习题矩阵转置8转置公式证明对称性判断证明A+Bᵀ=Aᵀ+Bᵀ判断矩阵A=[[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]]是否对称解设，则根C=A+B cij=aij+bij据转置定义，cijT=cji=aji+bji=ajiT解对称矩阵满足A=Aᵀ，即aij=aji+bjiT，所以A+Bᵀ=Aᵀ+Bᵀ计算Aᵀ=[[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]]，发现A=Aᵀ，所以A是对称矩阵对称反对称矩阵设计一个既是对称又是反对称的矩阵解对称要求A=Aᵀ，反对称要求A=-Aᵀ结合这两个条件，得到A=-A，即2A=0，所以因此，只有零矩阵既是对称又是反对称的A=0矩阵的转置是线性代数中的基本操作，它将矩阵的行与列互换对于任意矩阵A，其转置Aᵀ的第i行是A的第i列，第j列是A的第j行转置操作满足一些重要性质，如A+Bᵀ=Aᵀ+Bᵀ和ABᵀ=BᵀAᵀ特殊类型的矩阵如对称矩阵A=Aᵀ和反对称矩阵A=-Aᵀ在不同应用领域有重要作用理解这些概念有助于简化计算和分析矩阵的性质值得注意的是，只有零矩阵同时满足对称和反对称的条件练习题矩阵求逆9判断可逆性验证乘积为单位矩阵判断矩阵B=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]求逆矩阵验证是否可逆A·A-1=I求矩阵的逆矩阵A=[[2,1],[1,3]]计算×解计算行列式（可通过行列式计A·A-1=[[2,1],[1,3]][[3/5,-|B|=0解首先计算行列式××算公式或行变换验证）|A|=23-11=1/5],[-1/5,2/5]]，所以可逆6-1=5≠0A×××由于行列式为零，所以矩阵不可逆（奇异=[[23/5+1-1/5,2-B利用伴随矩阵法××××矩阵）A-1=1/|A|adjA1/5+12/5],[13/5+3-1/5,××1-1/5+32/5]]adjA=[[3,-1],[-1,2]]=[[6/5-1/5,-2/5+2/5],[3/5-3/5,-1/5+6/5]]因此×A-1=1/5[[3,-1],[-1,2]]==[[1,0],[0,1]]=I[[3/5,-1/5],[-1/5,2/5]]验证成功，所求逆矩阵正确矩阵求逆是线性代数中的重要操作，只有行列式不为零的方阵才有逆矩阵求解逆矩阵的方法有多种，包括伴随矩阵法、初等变换法等逆矩阵在解线性方程组、矩阵方程和线性变换中有广泛应用行列式行列式的性质行列式的计算方法行列式是方阵的一个标量函数，具计算行列式的方法包括定义法（按有多种重要性质，如行列式的转置第一行展开）、三角化方法和特殊不变性、行列式的线性性以及行列类型矩阵的行列式计算公式选择式在行（列）变换下的变化规律合适的方法可以大大简化计算过程克拉默法则克拉默法则是利用行列式解线性方程组的一种方法，适用于系数矩阵为非奇异方阵的情况它通过计算特定的行列式比值直接给出方程组的解行列式是线性代数中的重要概念，它为方阵提供了一个标量度量，可用于判断方阵的可逆性和求解线性方程组从几何角度看，阶行列式的绝对值表示由个维向量所n n n张成的维平行多面体的体积n理解行列式的各种性质和计算技巧对于解决线性代数问题至关重要行列式为零意味着矩阵不可逆，这一性质在研究线性方程组的解的存在性和线性变换的特性时尤为重要练习题行列式性质10标量乘法性质转置与逆矩阵的行列式反对称矩阵的行列式证明当为三阶方阵时，若，求和⁻求证若为反对称矩阵且为奇数，A|3A|=27|A||A|=5|Aᵀ||A¹|A n则|A|=0解根据行列式的性质，若矩阵的每解根据行列式性质，A|Aᵀ|=|A|=5一行（或列）都乘以同一个数，则行解反对称矩阵满足，因此k A=-Aᵀ对于逆矩阵，⁻|A¹|=1/|A|=1/5列式变为原来的倍k|A|=|−Aᵀ|=−1ⁿ|Aᵀ|=−1ⁿ|A|对于三阶方阵，的第一行当为奇数时，，所以|3A|=|3·A,n−1ⁿ=−1|A|的第二行的第三行，这意味着，因此3·A,3·A|=−|A|2|A|=0|A|=0=3³|A|=27|A|行列式具有许多重要性质，这些性质使我们能够简化行列式的计算并理解它们在线性代数中的作用其中一个关键性质是行列式对矩阵的每一行（或列）都是线性的，这使得我们可以利用初等变换来简化行列式的计算另一个重要性质是矩阵与其转置的行列式相等，即对于逆矩阵，有⁻特殊类型的矩阵如反对称矩阵在奇|A|=|Aᵀ||A¹|=1/|A|数阶时行列式必为零，这一性质在某些理论分析中非常有用练习题行列式计算11写出行列式1|231||412||345|利用性质简化使用行变换将行列式化为简单形式计算简化后的行列式3使用适当方法计算最终结果计算给定的三阶行列式我们可以利用行列式的性质进行化简，如行加减运算不改变行列式的值|231||412||345|首先，用第一行的倍数减去其他行，消除第一列的元素₂₂₁₃₃₁r=r-2r|231||0-50||345|r=r-

1.5r|231||0-50||0-

0.

53.5|接着按第一列展开×××××|231||0-50||0-

0.

53.5|=2|-50||-

0.

53.5|=2-

53.5-0-

0.5=2-

17.5=-35因此，该行列式的值为-35练习题克拉默法则12构建系数矩阵计算行列式求解与验证对于方程组，，计算××根据克拉默法则，₁2x+y=5x-3y=7|A|=2-3-11=-6-1x=|A|/|A|=-系数矩阵，所以方程组有唯一解A=[[2,1],[1,-3]]=-7≠022/-7=22/7常数向量构造₁，用常数列替换第一列₁₂b=[5,7]A A=y=|A|/|A|=9/-7=-9/7[[5,1],[7,-3]]验证代入×2x+y=222/7+-₁××✓|A|=5-3-17=-15-7=-229/7=44/7-9/7=35/7=5构造₂，用常数列替换第二列₂验证代入×A A=x-3y=22/7-3-✓[[2,5],[1,7]]9/7=22/7+27/7=49/7=7₂××|A|=27-51=14-5=9克拉默法则是一种使用行列式解线性方程组的方法，适用于系数矩阵非奇异（即行列式不为零）的情况它的优点是可以直接给出解的公式表达式，而不需要经过消元过程对于个方程个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解每个未知数的解等于用常数列替换相应系数列后n nA的行列式与系数矩阵行列式的比值在实际计算中，克拉默法则在解小规模方程组时比较方便，但对于大规模系统，高斯消元法通常更有效率矩阵的秩秩的定义矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大数目初等变换与秩矩阵的初等变换不改变其秩秩的应用用于判断线性方程组解的存在性和解的结构矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它反映了矩阵中包含的独立信息量从几何角度看，秩表示矩阵行（或列）向量所能张成的子空间的维数矩阵的秩不超过其行数和列数的较小值矩阵的秩具有许多重要性质，如对矩阵进行初等行（列）变换不会改变其秩这一性质使我们可以通过将矩阵化为行简化阶梯形式来计算其秩矩阵的秩在研究线性方程组的解的结构时特别有用例如，对于增广矩阵，若，则方程组有解；若[A|b]rankA=rank[A|b]Ax=b（为未知数个数），则方程组有唯一解rankA=rank[A|b]=n n练习题计算矩阵的秩13矩阵的秩矩阵的秩A B求矩阵的秩求矩阵的秩A=[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]B=[[1,2,3,4],[2,3,4,5],[3,4,5,6]]解通过初等行变换将矩阵化为行简化阶梯形式解通过初等行变换₂₂₁₂₂₁r=r-2r[[1,2,3],[0,0,0],[3,6,9]]r=r-2r[[1,2,3,4],[0,-1,-2,-3],[3,4,5,6]]₃₃₁₃₃₁r=r-3r[[1,2,3],[0,0,0],[0,0,0]]r=r-3r[[1,2,3,4],[0,-1,-2,-3],[0,-2,-4,-6]]可以看出，只有一个非零行，所以矩阵的秩为₃₃₂A1r=r-2r[[1,2,3,4],[0,-1,-2,-3],[0,0,0,0]]有两个非零行，所以矩阵的秩为B2矩阵的秩可以通过初等行变换将矩阵化为行简化阶梯形式后，计算非零行的数量来确定这一方法利用了初等变换不改变矩阵秩的性质对于矩阵，我们发现它的第二行和第三行都是第一行的倍数，这表明这三个向量线性相关，只有一个线性无关的向量，因此秩为对于矩阵，A1B我们可以通过行变换得到两个线性无关的行，所以它的秩为2理解矩阵的秩对于分析线性方程组的解的结构和线性变换的性质非常重要例如，如果阶方阵的秩小于，则该矩阵不可逆，相应的线性方程组nn要么无解，要么有无穷多解练习题秩与线性方程组14构建增广矩阵计算系数矩阵的秩确定解的条件对于方程组，系数矩阵经行变根据秩的理论，方程组有解的条件是x+2y+3z=a2x+4y+A=[[1,2,3],[2,4,6]]，增广矩阵为换后为，所以6z=b[[1,2,3],[0,0,0]]rankA rankA=rank[A|b][[1,2,3,a],[2,4,6,b]]=1对于方程组我们需要讨论解的情况与的关系x+2y+3z=a2x+4y+6z=b a,b首先分析系数矩阵观察可知第二行是第一行的倍，因此A=[[1,2,3],[2,4,6]]2rankA=1考虑增广矩阵通过行变换得到[A|b]=[[1,2,3,a],[2,4,6,b]][[1,2,3,a],[0,0,0,b-2a]]当时，，方程组有解，且解是无穷多的具体解为，其中可以取任意值b=2a rank[A|b]=1=rankA x=a-2y-3z y,z当时，，方程组无解b≠2a rank[A|b]=2rankA因此，解的情况与的关系是当且仅当时，方程组有解（无穷多解）；否则方程组无解a,b b=2a练习题秩的性质151秩的上界性质2矩阵乘积的秩性质证明如果是×矩阵，是×矩阵，证明rankA+B≤rankA+rankB Am nB np rankAB≤min{rankA,rankB}证明设和是同型矩阵，则的列空间是的列空A B A+BA间与的列空间的和根据子空间维数公式证明矩阵的列空间是作用于的列向量得到的向量B dimU+V=AB AB，得到的张成空间由于最多有个线性无关的列向量，所dimU+dimV-dimU∩V≤dimU+dimV ArankA以的秩不超过rankA+B≤rankA+rankB ABrankA类似地，的行空间是作用于的行向量得到的向量的张AB BA成空间由于最多有个线性无关的行向量，所以B rankBrankAB≤rankB综合上述结论，得到rankAB≤min{rankA,rankB}矩阵的秩满足许多重要的性质，这些性质对于理解线性变换的行为和分析线性方程组的解结构有很大帮助秩的加法不等式rankA+B≤表明两个矩阵相加后的秩不会超过各自秩的和rankA+rankB矩阵乘积的秩不等式是另一个重要性质，它表明两个矩阵相乘后的秩不会超过任一矩阵的秩这一性质在rankAB≤min{rankA,rankB}复合线性变换的研究中特别有用，因为它揭示了变换复合后可能的信息损失这些性质构成了矩阵理论中的基础结论，为更深入的线性代数研究提供了支持特征值与特征向量特征向量求解特征值计算1对每个特征值，求解得到特征λA-λIx=0求解特征方程得到特征值|A-λI|=0向量矩阵对角化几何意义4利用特征值和特征向量将矩阵转化为对角矩阵特征向量在线性变换下仅发生伸缩变换，缩放形式比例为特征值特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于分析矩阵的性质和线性变换的行为从定义上看，如果存在非零向量和标量，使得，则vλAv=λv称是矩阵的特征值，是对应于的特征向量λA vλ特征值和特征向量具有深刻的几何含义特征向量是在线性变换作用下方向保持不变的向量，而特征值则表示变换导致的伸缩比例这一概念在物理A学、工程学和数据分析等领域有广泛应用例如，主成分分析（）就是基于协方差矩阵的特征值和特征向量来降维和提取数据中的主要模式PCA练习题特征值计算16验证特征值与迹的关系特征多项式与矩阵性质矩阵的特征值为和，其和为A24求解特征方程计算矩阵，等于矩阵的迹构建特征方程B=2+4=6trA=解二次方程λ²-6λ+8=0λ-[[0,1,0],[0,0,1],[4,-17,8]]的特3+3=6，验证成功求矩阵A=[[3,1],[1,3]]的所有特征值2λ-4=0λ=2或λ=4征多项式|B-λI|=|−λ,1,0;0,−λ,1;4,−17,8−λ|构建特征方程|A-λI|=|3-=−λ|−λ,1;−17,8−λ|-λ,1;1,3-λ|=3-λ3-λ-1=1|0,1;4,8−λ|+0|0,−λ;4,−17|3-λ²-1=λ²-6λ+8=0=−λ−λ8−λ−−17-14=−λ−8λ+λ²+17-4=−λλ²-8λ+17-4=−λ³+8λ²-17λ-4特征值的计算是特征分析的第一步，通常通过求解特征方程来实现特征方程的根就是矩阵的特征值对于低阶矩阵，我们可以直接计算行列式并求解|A-λI|=0得到的多项式方程特征值具有一些重要性质，如阶矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式这些性质提供了验证计算结果的有效方法，也深化了我们对n特征值含义的理解在实际应用中，特征值可以用来分析动态系统的稳定性、判断二次型的正定性以及进行矩阵对角化等练习题特征向量17特征值的特征向量特征值的特征向量特征向量的线性无关性验证与几何意λ=2λ=4义对于矩阵和特征值对于特征值，求特征向量A=[[3,1],[1,3]]λλ=4=2，求特征向量验证特征向量v₁=[1,-1]ᵀ和v₂=解代入，得A-4Ix=0[[-线性无关，因为它们不成比例[1,1]ᵀ解代入A-2Ix=0，得1,1],[1,-1]]·[x₁,x₂]ᵀ=[0,0]ᵀ-x₁[[1,1],[1,1]]·[x₁,x₂]ᵀ=[0,0]ᵀx₁++x₂=0x₁-x₂=0所以x₁=x₂，几何意义特征向量v₁=[1,-1]ᵀ在线x₂=0x₁+x₂=0所以x₂=-x₁，取x₁=1，得特征向量v₂=[1,1]ᵀ性变换A下被缩放为原来的2倍；特征向取x₁=1，得特征向量v₁=[1,-1]ᵀ量v₂=[1,1]ᵀ则被缩放为原来的4倍这两个特征向量分别代表了变换下的主方向特征向量是与特征值相对应的非零向量，满足方程对于每个特征值，我们通过求解齐次线性方程组来找到对应的特Av=λv A-λIx=0征向量特征向量的几何意义非常直观它们是在线性变换下方向保持不变的向量当矩阵作用于特征向量时，结果向量与原向量平行，仅在大小上发生变化，变化比例即为对应的特征值在本例中，特征向量和分别在变换下被缩放为倍和倍，表示了变换的主要作用[1,-1]ᵀ[1,1]ᵀ24方向理解特征向量的几何意义有助于我们更深入地理解线性变换的本质和矩阵的作用方式练习题矩阵对角化18可对角化判定求对角矩阵和变换矩阵利用对角化计算矩阵幂判断矩阵特征值对应的对角矩阵为⁻A=[[2,1,0],[0,2,0],[0,0,3]]D=A^10=PD^10P¹=是否可对角化[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,3]]P[[2^10,0,0],[0,2^10,0],[0,0,3^10]]⁻P¹解计算特征值变换矩阵（由特征向量组成）|A-λI|=2-λ²3-λ=P==[[2^10,0,0],[0,2^10,0],[0,0,3^10]]，所以₁₂₃0λ=λ=2,λ=3[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[1024,0,0],[0,1024,0],[0,0,59049]]对于，求解，得到特征验证⁻λ=2A-2Ix=0P¹AP=D向量的基础解系v₁=[1,0,0]ᵀ,v₂=[0,1,0]ᵀ对于，求解，得到特征λ=3A-3Ix=0向量v₃=[0,0,1]ᵀ由于找到了个线性无关的特征向量，所以3矩阵可对角化A矩阵对角化是线性代数中的重要技术，可以将矩阵表示为更简单的形式，便于计算和分析对角化的关键是寻找足够多的线性无关特征向量对于阶n矩阵，如果有个线性无关的特征向量，则该矩阵可对角化n在本例中，矩阵有特征值₁₂（重数为）和₃，且对应于特征值的特征空间维数为，恰好等于特征值的代数重数，因此Aλ=λ=22λ=3λ=22矩阵可对角化矩阵对角化的一个重要应用是计算矩阵的幂，通过公式⁻可以大大简化计算过程，尤其是当较大时AA^n=PD^nP¹n二次型二次型的定义形如的实值函数，其中为对称矩阵fx=x^T Ax A正定与负定当时称为正定，称为负定x≠0fx0fx0标准形通过坐标变换将二次型化为只含平方项的形式二次型是一种特殊的多项式函数，在许多数学和物理问题中都有重要应用从代数角度看，任何形如fx₁,x₂,...,x=∑ᵢ∑ⱼaᵢⱼxᵢxⱼ的多项式都可以表示为二次型x^T Ax，ₙ其中是一个对称矩阵A二次型的性质主要由其矩阵的特征值决定正定二次型（所有特征值都为正）在优化问题中尤为重要，因为它们保证了严格凸函数的存在，从而确保极小值点的唯一性通过合同变换，任何二次型都可以化为标准形式，即只含有平方项的形式，这大大简化了对二次型性质的分析和应用练习题二次型矩阵19将二次型写成矩阵形式fx,y,z=2x²+3y²+4z²+2xy+2yz首先整理交叉项的系数项的系数为，所以矩阵中₁₂₂₁；项的系数为，所以矩阵中₂₃₃₂；没有项，所以₁₃₃₁xy2a=a=1yz2a=a=1xz a=a=0结合平方项的系数的系数为，所以₁₁；的系数为，所以₂₂；的系数为，所以₃₃x²2a=2y²3a=3z²4a=4因此，二次型的矩阵形式为A=[[2,1,0],[1,3,1],[0,1,4]]对于二次型，其矩阵形式为fx,y=3x²-2xy+y²B=[[3,-1],[-1,1]]练习题正定二次型20定义法判定顺序主子式法对于任意非零向量，计算是否大于计算矩阵所有顺序主子式的行列式x fx02结论验证特征值法确认各种方法得到的结论一致3判断矩阵的所有特征值是否均为正判断二次型是否正定fx,y,z=2x²+3y²+4z²+2xy+2yz使用顺序主子式法阶主子式阶主子式××阶主子式（即矩阵行列式）×1|2|=202|21;13|=23-11=6-1=503|210;131;014|=2|3×××××××××1;14|-1|11;04|=234-11-114-10=211-14=22-4=180由于所有顺序主子式的行列式均为正，根据正定判定定理，该二次型是正定的使用特征值方法验证计算矩阵的特征值通过求解特征方程，得到三个特征值₁，₂，₃A=[[2,1,0],[1,3,1],[0,1,4]]|A-λI|=0λ≈

1.38λ≈

2.56λ≈

5.06由于所有特征值均为正，所以二次型是正定的，这与顺序主子式法的结论一致练习题二次型的标准形21得到标准形构造正交变换二次型的标准形为fx,y=求特征值和特征向量归一化特征向量，构造正交矩阵，其中分析二次型2+√2u²+2-√2v²解特征方程|A-λI|=3-λ1-P[u,v]ᵀ=P⁻¹[x,y]ᵀ将二次型fx,y=3x²-2xy+λ--1-1=λ²-4λ+2写成矩阵形式y²A=[[3,-=0得到特征值₁，₂λ=2+√2λ1],[-1,1]]=2-√2对应的特征向量为₁v=[1,，₂1+√2]ᵀv=[1,1-√2]ᵀ二次型的标准形是只含有平方项的形式，没有交叉项通过正交变换（即坐标旋转），我们可以将任何二次型化为标准形对于二次型fx,y，我们首先求解其矩阵的特征值和特征向量，然后构造正交变换矩阵=3x²-2xy+y²对于例二中的二次型，其矩阵为计算特征值和特征向fx,y,z=2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2xz A=[[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]量后，可以构造正交变换矩阵，使得⁻为对角矩阵最终的标准形为₁₂₃，其中P P¹AP fu,v,w=λu²+λv²+λw²[u,v,w]ᵀ=⁻，₁、₂、₃为矩阵的特征值这种变换简化了二次型的分析和应用P¹[x,y,z]ᵀλλλA内积空间内积定义满足正定性、对称性和线性性的二元运算正交性两向量内积为零，表示它们相互垂直规范正交基相互正交且长度为的基向量组1内积空间是线性代数中的重要概念，它在向量空间的基础上增加了一个内积运算，使我们能够定义向量的长度、夹角和正交性等几何概念内积满足三个基本性质正定性当且仅当；对称性；线性性1v,v0v≠02u,v=v,u3au+bv,w=a u,w⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩+b v,w⟨⟩在内积空间中，正交性是一个基本概念，两个向量正交当且仅当它们的内积为零正交投影是将一个向量分解为平行于和垂直于某个子空间的两个分量的过程规范正交基是内积空间中的一种特殊基，它由相互正交且长度为的向量组成，在计算和理论分析中都有重要应用1练习题内积计算22欧几里得空间中的内积函数空间中的内积内积性质验证在中计算向量和的内积计算多项式和内积满足正定性当且仅R³1,2,32,-1,4px=1+2x qx=3-x

1.v,v0⟨⟩在上的内积当对称性C[0,1]v≠

02.u,v=v,u

3.⟨⟩⟨⟩解×1,2,3,2,-1,4=12+⟨⟩线性性au+bv,w=a u,w+⟨⟩⟨⟩××解₀₀2-1+34p,q=∫¹pxqx dx=∫¹⟨⟩b v,w⟨⟩这些性质可以通过具体计算验证1+2x3-x dx=2-2+12=12₀₀=∫¹3-x+6x-2x²dx=∫¹3+5x-2x²dx₀=[3x+5x²/2-2x³/3]¹=3+5/2-2/3-0=3+

2.5-

0.67=

4.83内积是衡量两个向量相似度或者靠近程度的一种度量，它在不同的向量空间中有不同的定义形式在欧几里得空间中，内积定义为向量对应分Rⁿ量的乘积和而在函数空间中，内积通常定义为函数乘积在某个区间上的积分内积的一个重要应用是用来定义向量的长度（范数），以及向量之间的夹角这些概念为向量空||v||=√v,v cosθ=u,v/||u||·||v||⟨⟩⟨⟩间提供了几何直观，使我们能够将几何学的方法应用于抽象的线性代数问题中内积还是定义正交性的基础，两个向量正交当且仅当它们的内积为零练习题正交性23向量正交判断正交投影计算投影长度判断向量和是否正交求向量在子空间上的投影计算投影向量的模1,1,11,-2,1我们首先判断向量和是否正交×××由于内积1,1,11,-2,11,1,1,1,-2,1=11+1-2+11=1-2+1=0⟨⟩为零，所以这两个向量正交接下来求向量在向量和张成的子空间上的正交投影这个子空间实际上是平面向量在2,3,11,0,00,1,0xy2,3,1xy平面上的投影就是去掉分量，即z2,3,0投影向量的长度为||2,3,0||=√2²+3²+0²=√4+9=√13≈

3.606另一种方法是利用投影公式对于单位正交基₁₂，向量在它们张成的子空间上的投影为₁₁₂₂{e,e}v proj_Wv=v,e e+v,e e⟨⟩⟨⟩在本例中，₁₂，所以e=1,0,0,e=0,1,0proj_W2,3,1=2,3,1,1,0,01,0,0+2,3,1,0,1,00,1,0⟨⟩⟨⟩=21,0,0+30,1,0=2,3,0练习题施密特正交化24施密特正交化步骤正交性验证与规范化对向量组进行施密特正交化验证正交性₁₂×{1,1,0,1,0,1,0,1,1}u,u=1,1,0,

0.5,-

0.5,1=

10.5+⟨⟩⟨⟩××₁₃1-

0.5+01=

0.5-

0.5=0u,u=1,1,0,-⟨⟩⟨步骤取₁₁1u=v=1,1,0×××2/3,2/3,2/3=1-2/3+12/3+02/3=-2/3+⟩₂₃步骤₂₂₁₂2/3=0u,u=

0.5,-

0.5,1,-2/3,2/3,2/3=2u=v-proj_u v=1,0,1-⟨⟩⟨⟩××××

0.5-2/3+-

0.52/3+12/3=-1/3-1/3+2/3=1,0,1,1,1,0/1,1,0,1,1,01,1,0=1,0,1-⟨⟩⟨⟩×01/21,1,0=

0.5,-

0.5,1规范化₁₁₁₂步骤₃₃₁₃₂₃e=u/||u||=1,1,0/√2=1/√2,1/√2,0e=3u=v-proj_u v-proj_u v=0,1,1-₂₂×u/||u||=

0.5,-

0.5,1/√

1.5=

0.5/√

1.5,-

0.5/√

1.5,1/√

1.50,1,1,1,1,0/1,1,0,1,1,01,1,0-⟨⟩⟨⟩₃₃₃×e=u/||u||=-2/3,2/3,2/3/√4/3=-0,1,1,

0.5,-

0.5,1/

0.5,-

0.5,1,

0.5,-

0.5,1⟨⟩⟨⟩××2/3,2/3,2/3/2/√3=-1/√3,1/√3,1/√

30.5,-

0.5,1=0,1,1-1/21,1,0-

0.5/

1.

50.5,-

0.5,1=0,1,1-

0.5,

0.5,0-1/6,-1/6,1/3=-2施/密3特,2正/3交,2化/是3将线性无关向量组转化为正交向量组的标准方法其基本思想是对于每一个新向量，减去它在前面已构造的正交向量方向上的所有分量，得到与前面所有向量正交的新向量通过这种方式，我们可以逐步构建一组正交向量正交向量组具有许多优良性质，使得它们在线性代数和应用数学中有广泛应用例如，在正交基下表示向量和计算投影变得非常简单规范正交基（正交化后再单位化）在许多数值计算和理论分析中尤为重要，如最小二乘拟合、傅里叶变换和量子力学等领域施密特正交化过程虽然计算上可能比较繁琐，但它为我们提供了一种系统的方法来构造这样的基线性变换线性变换的定义矩阵表示满足加法和标量乘法保持性的映射每个线性变换都可以用矩阵表示，其，列向量是基向量的像Tu+v=Tu+Tv Tcv=cTv像空间与核空间像空间是变换的值域，核空间是映射到零向量的所有向量集合线性变换是保持向量加法和标量乘法的映射，它在线性代数和应用数学中扮演着核心角色从几何角度看，线性变换可以理解为对空间的旋转、缩放、反射等操作的组合，但它不包括平移每个线性变换都可以用矩阵来表示，这种表示方法使我们能够利用矩阵代数来研究线性变换的性质对于从到的线性变换，其矩阵表示为×矩阵，其中第列是R^n R^m Tm nj的坐标，是标准基向量Te_j e_j变换的像空间（值域）和核空间（零空间）是研究线性变换的重要工具像空间是所有可能的输出向量的集合，而核空间则包含所有映射到零向量的输入维数定理dimIm T+揭示了这两个子空间之间的关系，为研究线性变换的性质提供了强大dimKer T=dimV工具练习题线性变换判定25加法性检验验证是否成立Tu+v=Tu+Tv齐次性检验验证是否成立Tcv=cTv结论判断同时满足以上两个条件的变换是线性变换判断变换是否为线性变换验证加法性₁₁₂₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂Tx,y=x+y,x-y Tx,y+x,y=Tx+x,y+y=x+x+y+y,x+x-y+y=₁₁₂₂₁₁₂₂₁₁₂₂验证齐次性由于同时满x+y+x+y,x-y+x-y=Tx,y+Tx,yTcx,y=Tcx,cy=cx+cy,cx-cy=cx+y,x-y=cTx,y足加法性和齐次性，所以是线性变换T判断变换是否为线性变换检验加法性，而Tx,y,z=x²,y²,z²T1,0,0+0,1,0=T1,1,0=1,1,0T1,0,0+T0,1,0=1,0,0+0,1,0=，看起来满足但对于一般情况₁₁₁₂₂₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂1,1,0Tx,y,z+x,y,z=Tx+x,y+y,z+z=x+x²,y+y²,z+z²=₁₁₂₂₁₁₂₂₁₁₂₂而₁₁₁₂₂₂₁₁₁₂₂₂₁₂x²+2x x+x²,y²+2y y+y²,z²+2z z+z²Tx,y,z+Tx,y,z=x²,y²,z²+x²,y²,z²=x²+x²,₁₂₁₂由于两者不相等（缺少交叉项），所以不满足加法性，因此不是线性变换y²+y²,z²+z²T判断变换TA=A+Aᵀ是否为线性变换（A为矩阵）验证加法性TA+B=A+B+A+Bᵀ=A+B+Aᵀ+Bᵀ=A+Aᵀ+B+Bᵀ=TA+TB验证齐次性TcA=cA+cAᵀ=cA+cAᵀ=cA+Aᵀ=cTA由于同时满足加法性和齐次性，所以T是线性变换练习题线性变换的矩阵26标准基下的像已知像求矩阵利用矩阵计算变换求线性变换的矩阵如果且计算的值Tx,y=2x+3y,x-y T1,0=2,1T0,1=3,-T2,3，求线性变换的矩阵1T解计算标准基向量在变换下的像解利用矩阵乘法T2,3=A·[2,3]T1,0=2×1+3×0,1×1-1×0=解直接将给定的像作为矩阵的列向量ᵀ=[[2,3],[1,-1]]·[2,3]ᵀ=2,1T0,1=2×0+3×1,1×0-A=[[2,3],[1,-1]][2×2+3×3,1×2+-1×3]ᵀ=[4+9,1×1=3,-12-3]ᵀ=[13,-1]ᵀ将这些结果作为矩阵的列向量，得到变换矩阵A=[[2,3],[1,-1]]线性变换与矩阵之间有着密切的联系每个线性变换都可以用一个唯一的矩阵来表示，而每个矩阵也定义了一个唯一的线性变换这种对应关系使我们能够利用矩阵代数来研究线性变换的性质和行为对于从到的线性变换，其矩阵表示是一个×矩阵，其中第列是的坐标，是标准基的第个向量一旦我们有R^n R^m Tm nA jTe_j e_j j了这个矩阵，就可以通过简单的矩阵乘法来计算任意向量在变换下的像Tv=Av线性变换的矩阵表示为我们提供了一种系统的方法来分析和计算线性变换，使得复杂的变换可以通过简单的矩阵运算来处理这一表示方法在计算机图形学、信号处理和物理模拟等领域有广泛应用练习题像空间与核空间27变换矩阵核空间计算1确定线性变换的矩阵表示求解齐次方程组确定核空间Ax=0维数定理验证像空间计算验证确定矩阵列向量的张成空间dimIm T+dimKer T=dimV求线性变换的像空间和核空间Tx,y,z=x+y,y+z,x+z首先，确定的矩阵表示所以变换矩阵T T1,0,0=1+0,0+0,1+0=1,0,1T0,1,0=0+1,1+0,0+0=1,1,0T0,0,1=0+0,0+1,0+1=0,1,1A=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]核空间KerT是方程Ax=0的解空间[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]·[x,y,z]ᵀ=[0,0,0]ᵀ通过行简化，可以得到解x=-y=z，取y=-1，则x=1,z=1所以核空间的基是{1,-1,1}，dimKer T=1像空间是矩阵的列空间经过计算，的秩为，所以通过高斯消元，可以找到的一组基ImT AA2dimIm T=2ImT{1,0,1,0,1,0}验证维数定理，维数定理成立dimIm T+dimKer T=2+1=3=dimR³计算的秩和零度秩零度T T=dimIm T=2T=dimKer T=1分解SVD的定义奇异值计算的应用SVD SVD将矩阵分解为，其中、为正交矩通过计算的特征值的平方根获得用于数据压缩、噪声滤除、推荐系统等领域U·Σ·V^T U V A^T·A阵，为对角矩阵Σ奇异值分解是线性代数中的一种强大工具，可以将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中和是正交矩阵，是对角SVD AA=UΣV^T UVΣ矩阵，对角线上的元素称为奇异值提供了一种将矩阵表示为输入方向和输出方向的方法，奇异值则表示相应方向上的放大率这种分解揭示了矩阵的内在结构，使我们能SVD够更深入地理解线性变换的行为从计算角度看，奇异值可以通过计算的特征值的平方根得到矩阵的列是的特征向量，而的列则可以通过正规化向量A^TA VA^TA U得到，其中是的列，是对应的奇异值Av_i/σ_i v_i Vσ_i在许多领域有广泛应用，包括图像压缩、数据降维、推荐系统、信号处理和机器学习等它提供了一种将复杂数据分解为主要成分的方法，对SVD于理解和处理高维数据特别有用练习题奇异值计算28123计算求特征值和特征向量构造分解A^TA SVD对于矩阵，计算求解的特征值和特征向量利用特征值和特征向量构造、和矩阵A=[[1,1],[1,0],[0,1]]A^TA A^TA UΣV求矩阵的分解A=[[1,1],[1,0],[0,1]]SVD步骤计算1A^TA A^TA=[[1,1,0],[1,0,1]]·[[1,1],[1,0],[0,1]]=[[2,1],[1,2]]步骤求的特征值和特征向量₁₂对于₁，求解2A^TA|A^TA-λI|=|2-λ,1;1,2-λ|=2-λ²-1=λ²-4λ+3=λ-1λ-3=0λ=3,λ=1λ=3A^TA，得到特征向量₁对于₂，求解，得到特征向量₂-3Iv=0v=[1,1]^T/√2λ=1A^TA-Iv=0v=[1,-1]^T/√2步骤计算奇异值₁₂3σ=√3,σ=1步骤构造矩阵₁₂4V V=[v,v]=[[1/√2,1/√2],[1/√2,-1/√2]]步骤计算的列₁₁₁₂₂₂5U u=Av/σ=A·[1/√2,1/√2]^T/√3=[2/√6,1/√6,1/√6]^T u=Av/σ=A·[1/√2,-1/√2]^T/1=[0,1/√2,-1/√2]^T步骤构造矩阵（需补充一个正交向量）₃（与₁₂正交）₁₂₃6U u=[1/√3,-1/√3,1/√3]^T u,u U=[u,u,u]=[[2/√6,0,1/√3],[1/√6,1/√2,-1/√3],[1/√6,-1/√2,1/√3]]步骤构造矩阵7ΣΣ=[[√3,0],[0,1],[0,0]]验证和的正交性₃₂UVU^TU=I,V^TV=I练习题应用29SVD最小二乘问题广义逆计算使用求解最小二乘问题利用计算矩阵的广义逆（伪逆）SVD min||Ax-b||²SVD对于过定方程组，其中的分解对于矩阵的分解，其广义Ax≈b ASVD ASVD A=UΣV^T为，最小二乘解为逆为，其中是将中的A=UΣV^T x=A^+=VΣ^+U^TΣ^+Σ，其中是的伪逆，通过取非零奇异值取倒数，并转置得到的矩阵VΣ^+U^TbΣ^+ΣΣ中非零奇异值的倒数得到低秩近似使用进行矩阵的低秩近似SVD对于大型矩阵，可以通过保留前个最大奇异值及对应的奇异向量来构造原矩阵的最佳秩近似k kA_k这种方法在数据压缩和去噪中有广泛应用=U_kΣ_k V_k^T在实际问题中有广泛的应用，其中最突出的是解决最小二乘问题对于方程组，当方程数超过未SVD Ax=b知数个数时，通常不存在精确解此时我们寻求一个向量，使得最小利用，这个解可以x||Ax-b||SVD表示为，其中是的伪逆x=VΣ^+U^TbΣ^+Σ另一个重要应用是计算矩阵的广义逆（伪逆）对于任意矩阵，其广义逆可以通过Moore-Penrose AA^+直接计算广义逆在解决欠定或超定线性方程组时非常有用SVD A^+=VΣ^+U^T还可以用于矩阵的低秩近似，这在数据压缩、噪声过滤和降维等领域有广泛应用通过保留最大的几个SVD奇异值及对应的奇异向量，我们可以得到原矩阵的最佳低秩近似这种方法的一个著名应用是主成分分析，它在数据科学和机器学习中被广泛使用PCA向量微积分向量导数梯度向量值函数对标量的导数函数在各个方向上的变化率旋度散度向量场的旋转强度向量场的发散程度向量微积分是微积分学在向量领域的扩展，它为我们提供了分析和理解向量场的工具在物理和工程领域，向量微积分用于描述流体流动、电磁场和热传导等现象梯度是标量场到向量场的映射，它指向函数增长最快的方向，其大小表示最大变化率对于函数，其梯度为∇fx,y,z f=∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z散度衡量的是向量场的源或汇的强度，表示单位体积内流出的通量对于向量场₁₂₃，其散度为∇₁₂₃F=F,F,F·F=∂F/∂x+∂F/∂y+∂F/∂z旋度描述了向量场的旋转特性，它是一个向量，方向表示旋转轴，大小表示旋转强度对于向量场₁₂₃，其旋度为∇×₃₂₁₃F=F,F,FF=∂F/∂y-∂F/∂z,∂F/∂z-∂F/∂x,₂₁∂F/∂x-∂F/∂y练习题梯度计算30多变量函数的梯度指数函数的梯度梯度的方向意义计算函数在点求函数的梯度梯度向量指向函数增长最快的方向，其fx,y,z=x²y+yz³fx,y=e^x²+y²处的梯度大小表示在该方向上的变化率例如，1,2,1解利用链式法则∂f/∂x=对于函数，在点fx,y,z=x²y+yz³解梯度∇f=∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z e^x²+y²·∂x²+y²/∂x=处，梯度方向表示1,2,14,2,6e^x²+y²·2x∂f/∂y=函数在这个方向上增长最快∂f/∂x=2xy∂f/∂y=x²+z³∂f/∂z=e^x²+y²·∂x²+y²/∂y=3yz²如果沿着梯度方向移动一小段距离，函e^x²+y²·2y所以∇fx,y=2x·e^x²+y²,数值的增加将最大这一性质在优化算在点处∇1,2,1f1,2,1=2y·e^x²+y²=2e^x²+y²·x,y法中非常有用，如梯度下降法就是沿着××××212,1²+1³,321²=4,负梯度方向移动来寻找函数的最小值2,6梯度是多变量微积分中的重要概念，它为标量场提供了一个向量场，指示了在每一点上函数值增长最快的方向从几何上看，梯度向量垂直于等值面，并指向函数值增加的方向练习题散度与旋度31散度计算旋度计算无旋场与无散场判定计算向量场的散度计算向量场的旋度判断向量场是否为无旋场F=x²y,xyz,z³F=x²y,xyz,z³F=-y,x,0散度定义∇₁₂₃旋度定义∇×₃₂计算旋度∇×·F=∂F/∂x+∂F/∂y+∂F/∂z F=∂F/∂y-∂F/∂z,F=0-0,0-0,1-1=₁₃₂₁∂F/∂z-∂F/∂x,∂F/∂x-∂F/∂y0,0,0₁∂F/∂x=∂x²y/∂x=2xy₃₂旋度为零，所以是无旋场∂F/∂y-∂F/∂z=0-x·1=-x F₂∂F/∂y=∂xyz/∂y=xz₁₃判断向量场是否为无散场∂F/∂z-∂F/∂x=0-0=0F=y,z,x₃∂F/∂z=∂z³/∂z=3z²₂₁计算散度∇∂F/∂x-∂F/∂y=yz-x²=yz-x²·F=0+0+0=0所以∇·F=2xy+xz+3z²=x2y+z所以∇×散度为零，所以是无散场+3z²F=-x,0,yz-x²F散度和旋度是向量微积分中的重要概念，用于分析向量场的性质散度（）衡量的是向量场的源或汇的强度，表示单位体积内流出的通量divergence从物理角度看，正的散度表示该点是场的源，负的散度表示该点是场的汇旋度（）描述了向量场的旋转特性，它是一个向量，其方向表示旋转轴，大小表示旋转强度无旋场（旋度为零的向量场）是保守场，可以表示为某curl个标量函数的梯度无散场（散度为零的向量场）表示没有源或汇，常见于不可压缩流体的速度场这些概念在物理学中有广泛应用，如电磁学中的麦克斯韦方程组就涉及电场和磁场的散度和旋度实际应用题数据科学主成分分析与机器学习信号处理傅里叶变换与滤波技术量子力学薛定谔方程与哈密顿矩阵经济模型莱昂惕夫投入产出模型计算机图形学三维变换与渲染算法线性代数在现代科学和工程领域有着广泛的应用在数据科学中，主成分分析（）使用特征值和特征向量来降低数据维度，提取重要特征；机器学习算法如支持向量机和神经网络也大量依赖于线性PCA代数工具信号处理领域中，傅里叶变换可以将时域信号转换为频域表示，这一过程本质上是线性变换；图像压缩技术如利用离散余弦变换（）来减少数据冗余在量子力学中，量子态用向量表示，观JPEG DCT测量用矩阵表示，整个量子系统的演化由线性变换描述经济学中的投入产出模型利用矩阵代数分析不同产业部门之间的相互依赖关系计算机图形学依赖于线性变换进行三维旋转、缩放和投影这些应用展示了线性代数作为一种基础数学工具的强大功能和广泛适用性练习题最小二乘拟合32求解与验证矩阵形式最小二乘解为x=AᵀA⁻¹Aᵀb计建立方程组问题设置用矩阵表示[[0²,0,1],算AᵀA=[[98,56,14],对于每个数据点xᵢ,yᵢ，有fxᵢ=[1²,1,1],[2²,2,1],[56,14,7],[14,7,4]]计算Aᵀb使用最小二乘法拟合数据点{0,1,axᵢ²+bxᵢ+c≈yᵢ构建超定方程[3²,3,1]]·[a,b,c]ᵀ=[1,2,5,10]=[

[167],

[49],

[18]]解得x=1,2,2,5,3,10}的二次函组a·0²+b·0+c=1a·1²+ᵀ即A·x=b，其中A=[[0,0,1],[a,b,c]ᵀ≈[

1.0,

0.0,

1.0]ᵀ拟合数fx=ax²+bx+c b·1+c=2a·2²+b·2+c=5[1,1,1],[4,2,1],[9,3,1]]，x的二次函数为fx=x²+1计算a·3²+b·3+c=10=[a,b,c]ᵀ，b=[1,2,5,10]ᵀ拟合误差||Ax-b||²≈0（误差非常小，表明拟合良好）最小二乘法是一种常用的数据拟合技术，适用于存在测量误差或数据噪声的情况当方程数量超过未知数个数时，通常不存在精确解，此时我们寻求一个解，使得预测值与实际值之间的平方和误差最小对于线性最小二乘问题，其解可以通过求解正规方程AᵀAx=Aᵀb得到，其中x=AᵀA⁻¹Aᵀb（假设AᵀA可逆）在本例中，我们拟合的是二次函数，虽然函数形式是非线性的，但它对于参数是线性的，因此可以使用线性最小二乘方法fx=ax²+bx+c a,b,c最小二乘法在科学研究、工程应用和数据分析中有广泛应用它是回归分析的基础，也是许多复杂优化问题的起点了解这一方法对于进行数据建模和预测至关重要练习题马尔科夫链33考虑状态转移矩阵，表示一个两状态马尔科夫链，其中表示从状态转移到状态的概率P=[[

0.7,

0.3],[

0.4,

0.6]]Pij ij计算两步转移矩阵××××××××P²P²=P·P=[[

0.7,

0.3],[

0.4,

0.6]]·[[

0.7,

0.3],[

0.4,

0.6]]=[[

0.

70.7+

0.

30.4,

0.

70.3+

0.

30.6],[

0.

40.7+

0.

60.4,

0.

40.3+

0.

60.6]]=[[

0.49+

0.12,

0.21+

0.18],[

0.28+

0.24,

0.12+

0.36]]=[[

0.61,

0.39],[

0.52,

0.48]]这表示两步后从状态到状态的概率是，从状态到状态的概率是，从状态到状态的概率是，从状态到状态的概率是

110.

61120.

39210.

52220.48求稳态分布向量₁₂稳态分布满足，即₁₂₁₂展开得₁×₂×₁₁×₂×₂π=[π,π]π·P=π[π,π]·[[

0.7,

0.3],[

0.4,

0.6]]=[π,π]π

0.7+π

0.4=ππ

0.3+π

0.6=π结合₁₂，求解方程组₁₂₁₁₂₂简化得₁₂₁₂两式相同，结合₁₂，得₁₂π+π=

10.7π+

0.4π=π

0.3π+

0.6π=π-

0.3π+

0.4π=

00.3π-

0.4π=0π+π=1π=4/7≈

0.571,π=3/7≈

0.429因此，稳态分布为，表示长期来看，系统有约的时间处于状态，的时间处于状态π=[4/7,3/7]

57.1%

142.9%2练习题线性规划34常见错误与解题技巧行列式计算的常见错误矩阵求逆的简便方法计算行列式时忽略负号、混淆顺序，或错误地应用逆序数公式建议使用初小型矩阵可使用伴随矩阵法，对于特殊结构的矩阵如分块矩阵，可利用分块等变换化简后再计算，遇到特殊结构的行列式应利用其性质快速求解求逆公式；计算中可先判断行列式是否为零避免不必要的工作特征值问题的处理技巧二次型判定的快速方法利用特征值的性质如迹等于特征值之和、行列式等于特征值之积来检验；注正定性判断可使用顺序主子式法，避免求解特征值；对于二次型标准化，注意重复特征值的特征向量问题，需检验特征空间的维数意正交变换和合同变换的区别线性代数中的常见错误往往源于基本概念的混淆和计算中的细节疏忽在行列式计算中，学生常常忘记交换行或列会导致符号变化，或者错误地应用展开公式矩阵求逆时，常见错误包括未检查矩阵是否可逆，以及在初等变换过程中的符号错误特征值问题中，容易混淆代数重数和几何重数的概念，导致错误判断矩阵的可对角化性为提高解题效率，建议掌握一些关键技巧计算前先分析矩阵结构，看是否有特殊性质可利用；合理选择计算方法，如高斯消元法、初等变换法等；利用已知结论验证结果，如通过验证⁻检查逆矩阵的正确性养成良好的解题习惯，如记录完整的计算步骤，可以帮助减少错误并提高解题效率AA¹=I总结与复习核心概念回顾重温向量空间、线性变换、特征值与特征向量等基础概念，确保理解它们之间的联系与区别解题方法总结熟练掌握高斯消元法、施密特正交化等常用方法，了解它们的适用范围与局限性考试重点提示特别关注矩阵的秩、可对角化条件、二次型的正定性等常考点，练习不同类型的综合题目推荐习题集建议使用《线性代数应用题精解》和《高等代数习题集》等配套教材进行系统练习线性代数是一门结构严密、逻辑性强的学科，掌握其核心概念和基本方法是学习的关键本课程系统介绍了向量空间、线性方程组、矩阵运算、特征值与特征向量、二次型等重要内容，以及它们在实际问题中的应用通过练习题的训练，帮助同学们将理论知识转化为解决问题的能力在复习时，建议采用分层递进的方法首先确保基本概念和定义的准确理解；然后掌握基本定理和常用计算方法；最后通过解决综合性问题来提升应用能力重点关注各知识点之间的连接，如矩阵的秩与线性方程组解的关系、特征值与矩阵对角化的联系等线性代数的美妙之处在于它既是一种抽象的数学思想，又是解决实际问题的有力工具希望同学们通过本课程的学习，不仅能够在考试中取得好成绩，更能够将线性代数的思想方法应用到其他学科和实际工作中，体会数学之美。