课件《竖直面内的匀速圆周运动实例分析》

竖直面内的匀速圆周运动实例分析欢迎来到《竖直面内的匀速圆周运动实例分析》专题讲解本课件将深入剖析高中物理必考知识点竖直面内的匀速圆周运动，这是物理竞赛和高考——的重要考点我们将通过实际案例，结合力学和运动学理论，全面分析竖直面内圆周运动的特点、受力情况及解题方法课程内容从基础概念入手，逐步深入到复杂实例分析，帮助同学们建立系统性的物理思维希望通过本次学习，同学们能够掌握这一重要知识点，提升解题能力和物理素养圆周运动基础回顾匀速圆周运动的定义运动学参数质点做圆周运动且速率保持不角速度单位时间内转过的ω变的运动尽管速率不变，但角度，单位为；周期rad/s T由于运动方向不断变化，因此完成一周运动所需的时间，单是变加速度运动位为；线速度物体在圆周s v上运动的瞬时速度，单位为m/s基本关系式角速度与周期关系；线速度与角速度关系，其中ω=2π/T v=ωR为圆周半径；向心加速度，指向圆心R a=v²/R=ω²R竖直面与水平面圆周运动区别水平面圆周运动竖直面圆周运动在水平面内做圆周运动时，重力方向垂直于运动平面，不影响运在竖直面内做圆周运动时，重力方向与运动平面共面，直接参与动状态重力被支持面平衡，向心力通常由拉力或摩擦力提供向心力的形成重力对向心力的贡献随物体位置变化而变化向心力大小在圆周上各点均相等，方向始终指向圆心典型例子向心力合成情况复杂，最高点和最低点受力情况明显不同典型如转盘上的物体、水平甩绳等例子如过山车环形轨道、竖直甩绳等向心力的定义与公式向心力定义向心力是使物体做圆周运动的必要条件，它是指向圆心的，大小恒定的力向心力不是一种新的力，而是已有的力在指向圆心方向上的分量向心力公式向心力大小向，其中为物体质量，为F=mv²/R=mω²R m v线速度，为圆周半径，为角速度Rω与合外力关系在匀速圆周运动中，物体所受合外力必须指向圆心，且大小等于向心力在竖直面圆周运动中，合外力通常由重力和其他力（如张力、支持力）共同组成分析竖直面圆周运动的两种情形物体绕固定圆周运动圆锥摆绳子细节/物体在固定轨道上运动，如过山车沿物体由绳子或杆连接做圆周运动，如环形轨道运行此时，轨道对物体提竖直甩绳此时，绳子对物体提供张供支持力，与重力共同形成向心力力，与重力共同形成向心力绳子对物体的张力随物体位置不同而轨道对物体的支持力（正压力）随物变化，在最低点最大，在最高点最小，体位置不同而变化，在最低点最大，当速度过小时，在最高点绳子可能会在最高点最小失去张力两种情形的共同点均受重力影响；向心力来源复杂且随位置变化；存在临界状态（最小速度限制）；能量转化遵循守恒定律竖直面内的受力分析步骤明确物体受力首先识别物体所受的全部力重力（）、支持力张力（）、摩mg/N/T擦力（若有）等重力方向始终竖直向下，大小为；支持力方向垂直mg于接触面；张力方向沿绳杆方向/建立受力图根据物体所处位置（最高点最低点其他位置），建立合适的坐标系，//通常以圆心为原点，指向物体方向为正方向正确绘制各个力的方向和大小关系，明确哪些力提供向心力列出力学方程应用牛顿第二定律，明确向心力向，分析各力在指向圆F=mv²/R心方向的分量，列出方程求解未知量对于最高点和最低点，通常可直接列出标量方程，简化计算力学分解要点力的矢量性质力是矢量，具有大小和方向重力分解方法竖直向下，参与向心力形成张力支持力方向/张力沿绳方向，支持力垂直于接触面坐标系选择最高最低点选径向切向坐标系/-在竖直面圆周运动中，力的分解是解题的关键应根据物体在圆周上的不同位置，选择合适的坐标系进行分解在最高点和最低点，可选用指向圆心的径向坐标系；在其他位置，可采用极坐标系或直角坐标系重力总是竖直向下，可分解为径向和切向分量在最低点，重力的径向分量与支持力张力共同提供向心力；在最高点，重力的径向分量与支持力张力方向相//反，需根据大小关系确定向心力来源动能守恒与圆周运动动能变化势能变化在竖直面圆周运动中，若速度保持不变，物体高度变化导致重力势能变Ep=mgh则动能恒定；若速度变化，化，最高点势能最大，最低点势能最小Ek=½mv²则动能随速度平方变化速率求解机械能守恒利用，可求解不无摩擦情况下，动能与势能之和保持不Ek1+Ep1=Ek2+Ep2同位置速率关系变，可用于求解不同位置的速度运动学量的求解最低点——最低点受力分析最低点受两个主要力作用

①竖直向下的重力；

②支持力（固定轨道）或张力（绳连接），方向竖直向上mg N T向心力方程在最低点，向心力方向竖直向上根据牛顿第二定律或通过此方程可求解支持力、张力或速度N T-mg=mv²/R N T v临界状态分析当速度较小时，支持力或张力可能出现特殊值若已知支持力或张力，可求解对应的速度；若已知速度，可计算相应的支持力或张力N T v NT运动学量的求解最高点——最高点受力情况最高点同样受两个主要力作用重力（竖直向下）和支持力或张力（竖直向上）mg NT向心力方程建立2在最高点，向心力方向竖直向下，根据牛顿第二定律或mg-NT=mv²/R临界速度分析当或时，达到临界状态，此时，可得临界N=0T=0mg=mv²/R v=√gR最高点是竖直面圆周运动的关键位置，其受力分析直接关系到整个运动的可行性在最高点，若支持力为零或张力为零，说明物体处于临界NT状态，此时物体恰好能够通过最高点而不脱离轨道或使绳子松弛若速度小于临界速度，物体将无法完成完整的圆周运动；若速度大于临界速度，物体将在最高点受到向下的支持力或张力作用理解最高点临界速度是解决竖直面圆周运动问题的关键典型实例一小球竖直圆周运动实例描述最低点分析最高点分析一个质量为的小球，由长度为的轻绳最低点张力最低，最高点张力最高，m L T=mg+mv²/LT=mv²/L-mg连接，在竖直平面内做匀速圆周运动张力等于重力与向心力之和张力等于向心力减去重力求解在不同位置的张力和运动学量当小球以最小速度运动时，临界条件当时，最高，小球vmin=√gL v²=gL T=0最高点张力恰好为零，此时最低点张力恰好能完成圆周运动；当时，小球Tv²gL这是竖直面圆周运动的基本模型，理解最低无法通过最高点；当时，绳子在最=mg+mg=2mg v²gL这一模型对掌握复杂情况具有重要意义高点仍有张力典型实例二过山车环形轨道实例描述质量为的过山车沿半径为的竖直圆形轨道运行，分析其在不同位置的受m R力情况和速度条件过山车与轨道间存在支持力，方向垂直于轨道最低点受力最低点支持力最低，支持力等于重力与向心力之和N=mg+mv²/R支持力越大，乘客感受到的重力越大，这就是过山车刺激感的来源3最高点受力最高点支持力最高，支持力等于向心力减去重力当N=mv²/R-mg时，最高，过山车恰好不会脱离轨道；当时，过vmin=√gR N=0vvmin山车无法通过最高点能量分析通常过山车在进入环形轨道前具有较高位置，通过能量守恒可计算进入环形轨道后的速度，从而判断能否安全通过最高点例题精讲轨道最低点分析例题精讲轨道最高点分析题目描述临界条件分析一辆质量为的过山车从高处滑下，进入半径为的过山车能够通过最高点的临界条件是最高点处的速度满足500kg20m v竖直圆形轨道若要使过山车能够顺利通过轨道最高点，最低高，即高≥√gR v点的最小速度应为多少？×≥√10m/s²20m=√200m/s=

14.14m/s能量守恒应用速度计算根据机械能守恒，忽略摩擦，最低点动能与最高点动能和势能将高代入，得低高v=

14.14m/s v²=v之差相等低高××，所以低½mv²=½mv²+mg2R²+4gR=200+41020=1000v=

31.62m/s实例拓展变半径情况在实际应用中，我们常遇到变半径的竖直面圆周运动，如连接绳长度可变的圆锥摆、非标准圆形的过山车轨道等这种情况下，运动半径不再是常量，而是位置的R函数解决变半径问题的关键是应用能量守恒和角动量守恒对于无摩擦情况，总机械能守恒₁₁₂₂对于绳长可变的情况，还需考虑绳长½mv²+mgh=½mv²+mgh变化对张力和角速度的影响，通常可利用角动量守恒₁₁₁₂₂₂（质量不变时）m vr=mvr在解决变半径问题时，通常先找出系统的守恒量，再结合具体约束条件，如最高点临界条件、最低点受力分析等，求解所需的未知量圆锥摆与竖直面运动比较圆锥摆特点竖直面运动特点二者本质区别圆锥摆是一种特殊的圆竖直面圆周运动中，小圆锥摆中，重力提供张周运动，小球沿水平圆球在竖直平面内运动，力的竖直分量，张力的周运动，绳子与竖直方绳长等于圆周半径重水平分量提供向心力；向成固定角度绳长力直接参与向心力的形竖直面运动中，重力直θL与圆周半径的关系为成，在不同位置对向心接参与向心力的形成，r重力的分量力的贡献不同在最高与支持力或张力共同作r=Lsinθ平衡绳子张力点和最低点，重力方向用圆锥摆运动平面垂mg·cosθ的竖直分量，提供向与半径共线，分析相对直于重力方向，而竖直T心力的是张力的水平分简单面运动平面平行于重力量方向T·sinθ摩擦对竖直面运动的影响静摩擦力作用摩擦系数限制在实际的竖直面圆周运动中，如静摩擦力有上限，fs,max=μsN汽车过弯、摩托车在球面内壁表其中是静摩擦系数，是正压μs N演等，静摩擦力起着重要作用力当所需的静摩擦力超过这一静摩擦力方向总是垂直于物体的上限时，会发生打滑这对赛车运动方向，平行于接触面，可能过弯、摩托车特技表演等有重要参与提供向心力影响动摩擦影响存在动摩擦时，机械能不再守恒，需考虑能量损耗动摩擦使物体速度逐渐减小，可能导致物体无法完成完整的圆周运动解题时需结合功能关系，考虑摩擦做功的影响环形滑梯实际问题模型建立环形滑梯可视为竖直面内的圆形轨道，人物体在重力作用下沿轨道滑动/与理想模型不同，实际滑梯存在摩擦力，且人体并非质点，这使得分析更加复杂受力分析滑动过程中，人物体受到三个力作用重力（竖直向下）、支/mg持力（垂直于轨道表面）、摩擦力（沿轨道切线方向，阻碍运N f动）这三个力共同决定了运动状态能量转化从入口到出口，重力势能转化为动能，同时部分能量因摩擦而损耗摩擦力做负功，使总机械能减少，这会影响物体能否通过最高点实际设计中需确保入口高度足够，以提供足够的初始势能小球从斜轨进入圆轨实例斜轨段分析衔接点处理小球在斜轨上滑动时，重力分解为沿轨小球从斜轨进入圆轨的衔接点是关键1道方向和垂直于轨道方向两个分量沿此时小球速度取决于斜轨长度、高度差轨道方向的分量提供加速度，垂直分量和摩擦情况衔接需平滑，避免冲击与支持力平衡能量守恒应用圆轨段分析利用能量守恒原理，计算小球在不同位进入圆轨后，需分析小球能否通过最高置的速度，判断能否完成全程运动，以点关键是比较进入速度与临界速度v及可能的脱离点的大小关系vmin=√gR案例摩天轮匀速转动

9.8N/kg

0.1m/s重力加速度典型线速度影响乘客在不同位置的受力感受摩天轮通常转速较慢，乘客感受舒适60m常见半径大型摩天轮半径可达几十米摩天轮是竖直面圆周运动的典型应用，其座舱通常保持水平，乘客主要受两个力作用重力mg和座舱支持力由于摩天轮通常转速较慢，向心力相对较小，乘客感受主要来自重力N mv²/R在最低点，支持力略大于重力，；在最高点，支持力略小于重力，N=mg+mv²/R N=mg-由于通常远小于，乘客在不同位置的重力感受变化不大摩天轮的设计需平衡mv²/R v²/R g观景体验与乘坐舒适度，既要足够高以提供良好视野，又要控制转速使乘客不感不适实例自由球抛到竖直轨道抛射阶段小球以初速度₀在重力作用下做抛体运动，遵循抛体运动规律v接触轨道小球接触轨道时，需考虑碰撞是否为弹性，以及接触点的位置和速度方向沿轨道运动接触后，小球沿轨道运动，需分析能否通过最高点能量守恒判断利用能量守恒，判断小球在最高点的速度是否满足v≥√gR在这一实例中，我们需结合抛体运动和圆周运动知识若小球从高处抛出，初始具有重力势能和动能，接触轨道后，部分能量可能因碰撞而损失后续沿轨道运动时，还需考虑摩擦损耗关键问题是小球能否通过轨道最高点，这取决于最高点处的速度是否满足利用能量守v≥√gR恒，比较初始能量与最高点所需最小动能和势能之和，可以判断小球能否成功通过整个轨道竖直面抛物圆周临界速度空中秋千、游乐场经典案例空中秋千原理环形轨道设计极限速度计算空中秋千本质上是一个大型单摆，由绳索许多刺激性游乐设施包含环形轨道，如过游乐设施的设计需考虑人体承受极限一和座椅组成初始拉至一定高度，释放后山车的环形轨道、钢轮过山车的回旋部分般认为，垂直加速度不应超过，以避3-5g在重力作用下摆动，遵循单摆运动规律等这些设施需精确计算轨道最高点的临免乘客不适对环形轨道，需计算最低点但与简单单摆不同，空中秋千的摆动幅度界速度，确保安全通过设计时通常使车的向心加速度，并控制在安全范围a=v²/R较大，不能使用小角度近似辆在进入环形轨道前具有足够的势能内同时，速度也不应过低，否则可能无法通过最高点案例奥林匹克铁饼运动铁饼特性质量约，直径约，边缘较厚，中心较薄2kg22cm物理分析运动员旋转过程中铁饼做近似竖直平面的圆周运动技术要点3增大出手速度，优化出手角度约度35-45奥林匹克铁饼运动是竖直面圆周运动的实际应用运动员手持铁饼，在转圈过程中，铁饼近似在竖直平面内做圆周运动运动员需通过加速旋转，增加铁饼的线速度，最终以最佳角度释放铁饼在旋转过程中，铁饼受到运动员手的拉力（类似于绳索的张力）和重力的作用拉力提供主要的向心力，使铁饼做圆周运动铁饼出手后，在重力和空气阻力作用下做抛体运动优秀运动员能使铁饼在出手时具有适当的旋转，产生升力效应，延长飞行距离技术好的选手可以投掷超过米远70飞机回旋飞行动作分析基本原理受力分析飞行员受力飞机回旋飞行（如筋斗、俯冲等）本质飞机在回旋飞行中主要受三个力作用飞行员在回旋过程中体验过载，即感受上是在竖直面内的圆周运动与其他案重力（竖直向下）、升力（垂直于机翼到的重力是实际重力的倍数最大过载例不同，飞机通过调整升力方向来提供平面）和推力（沿飞机轴向）通常出现在最低点，可达几个g向心力在筋斗的最高点，升力方向向下，与重过高的过载会导致飞行员血液下沉，视在回旋过程中，飞机的升力方向始终垂力共同提供向心力；在最低点，升力方力模糊甚至失去意识，因此战斗机飞行直于机翼平面，通过改变机翼姿态，可向向上，需要大于重力才能提供足够的员需穿特殊服装，接受特殊训练以适应使升力指向圆心，产生向心力向心力高过载环境匀速圆周运动中的能量变化势能变化动能特点在竖直面圆周运动中，物体高度不断变化，在匀速圆周运动中，物体速率保持不变，因12因此重力势能也在变化最高点势Ep=mgh此动能恒定这是匀速圆周运动Ek=½mv²能最大，最低点势能最小，两点势能差为的基本特征之一2mgR机械能守恒功的作用若无外力做功（如自由下落或抛体运动），为保持速率不变，外力需对物体做功，抵消则机械能守恒，动能减少量等于势能增加量重力势能的变化上半圆周，外力做正功；这种情况下，物体在最高点速度最小，最低下半圆周，外力做负功一个完整周期内，点速度最大外力做功为零牛顿第二定律在圆周运动中的应用牛顿第二定律基本形式分解为与分量Fx Fy牛顿第二定律表明，物体的加速度与在复杂情况下，可将各力分解为方x所受合外力成正比，与质量成反比向和方向分量，建立方程组求解y在圆周运动中，加速度方向通常选择轴指向圆心，轴与轴垂a=F/m xy x指向圆心，大小为直，然后计算各力在这两个方向的分a=v²/R量向心加速度与合外力关系根据牛顿第二定律，物体做圆周运动必须有指向圆心的合外力，且满足向向F=ma这一关系式是分析圆周运动的基础=mv²/R在竖直面圆周运动的分析中，牛顿第二定律是最基本的理论工具通过建立合适的坐标系，将各力分解为径向和切向分量，可以系统分析物体在不同位置的运动状态特别是在最高点和最低点，由于重力方向与半径方向共线，可直接列出标量方程最低点N-，最高点（轨道情况）或最低点，最高点mg=mv²/R mg-N=mv²/R T-mg=mv²/R mg-（绳索情况）对于轨道的其他位置，则需考虑重力的径向分量对向心力T=mv²/R mg·cosθ的贡献运动循环周期与速度公式周期定义角速度线速度Tωv周期是物体完成一次圆周角速度表示单位时间内线速度是物体在圆周上运Tωv运动所需的时间，单位为转过的角度，单位为弧度动的瞬时速度，单位为米//秒周期与频率互为倒秒角速度与周期秒线速度与角速s frad/s m/s数关系在匀速的关系为角度和半径的关系为T=1/fω=2π/T圆周运动中，周期与半径速度也可表示为，线速度与周期的ω=v/R v=ωR和速度有关其中为线速度，为半径关系为T=2πR/v vR v=2πR/T三式关联、、三者之间存在紧Tωv密联系，知道其中两个即可求出第三个基本关系式，T=2π/ω=2πR/v，ω=2π/T=v/R在解题v=ωR=2πR/T中灵活运用这些关系式可以简化计算实际高速弯道赛车过弯——赛车极限速度取决于轮胎摩擦力和弯道倾角侧向支持力来自轮胎摩擦力和弯道倾斜分力弯道设计倾斜角度增加以提高过弯极限速度在赛车比赛中，高速过弯是竖直面圆周运动的实际应用赛车在弯道上近似做部分圆周运动，需要足够的向心力保持轨迹这种向心力主要来自两个方面一是轮胎与地面间的静摩擦力，二是弯道倾斜产生的分力（如果弯道有倾角）赛道弯道通常设计成内侧低外侧高的倾斜弯道，这样可增加向心力来源当赛车以速度过弯时，需要的向心力为如果弯道倾角为，v mv²/Rθ则支持力的分量会贡献部分向心力，剩余部分由摩擦力提供极限情况下，摩擦力达到最大值，此时可求得最大安全速度N N·sinθμsN·cosθ圆周运动中常见错因忽略重力方向张力支持力误判/在竖直面圆周运动中，最常见的另一常见错误是误判张力或支持错误是忽略重力方向对向心力的力的大小和方向在最低点，张影响重力不仅提供物体重量，力支持力大于重力；在最高点，/还直接参与向心力的形成在最张力支持力小于重力特别是/高点和最低点，重力分别减小和在临界情况下，最高点的张力/增加所需的支持力或张力支持力可能为零，这是判断最小速度的重要条件受力图不正确许多学生在绘制受力图时出错，特别是对力的方向判断不准确在竖直面圆周运动中，支持力或张力方向始终垂直于接触面或沿绳杆方向，不/一定竖直重力方向始终竖直向下，不随物体位置变化竖直面圆周运动临界状态分析临界状态定义刚到最高点的临界状态是指物体恰好能通过圆周轨道最高点，支持力或张N力恰好为零这是判断物体能否完成完整圆周运动的重要条件T速度条件根据牛顿第二定律，在最高点临界状态下，，解得临界mg=mv²/R v=√gR当物体速度小于此值时，无法通过最高点；大于此值时，在最高点仍有支持力或张力能量分析从能量角度看，物体要通过最高点，最低点的机械能必须不小于最高点的机械能加上高度差产生的势能变化即低临界½mv²≥½mv²+mg2R实际应用在过山车、环形滑梯等设计中，必须确保车辆或物体在最高点的速度不小于临界速度为保证安全，通常设计速度比临界速度高，以应对摩擦等20%-30%因素的影响受力图示传统误区最高点错误分析常见错误将最高点处的重力方向错误地画成指向圆心，或忽略重力对向心力的贡献正确分析重力方向始终竖直向下，在最高点重力的全部大小都贡献给向心力，而支持力或张力的方向指向圆心外最低点错误分析常见错误忽略重力与支持力张力的合力才是向心力，或错误地认为重力提供向心力正确分析在最低点，重力方向与向心力方向相反，支持力或张力必须大于重力，才/能提供足够的向心力一般位置错误分析常见错误不正确分解重力的径向和切向分量，或忽略重力对切向运动的影响正确分析在一般位置，重力需分解为径向和切向两个分量，径向分量影响向心力，切向分量影响物体沿轨道的加速度复杂实例带摩擦斜面结合/摩擦斜面综合分析/实际问题中，常遇到带摩擦的斜面与圆周运动结合的复杂情况，如赛车道的高速弯道这类问题需同时考虑斜面对重力的分解、摩擦力的作用以及向心力的形成建立坐标系和受力图解决此类问题的关键是建立合适的坐标系和正确的受力分析通常选择以运动方向为切向、指向圆心为法向的坐标系，分析各力在这两个方向的分量重力需分解为斜面方向和垂直于斜面的分量，再进一步分解临界条件分析对于带摩擦的斜面圆周运动，临界条件更为复杂需考虑摩擦力的最大值以及斜面倾角对向心力的影响在最高速情况下，通常是摩擦力达到最大值；在最低速情况下，则是物体恰好能通过最高点变速圆周运动特殊实例在实际情况中，许多圆周运动并非匀速，而是变速的例如单摆运动、秋千摆动、物体在竖直圆形轨道上自由滑动等这些变速圆周运动的特点是速度随位置变化，通常在最低点速度最大，最高点速度最小分析变速圆周运动时，关键是识别物体所受的力及其作用除了提供向心力的分量外，还需考虑切向分量产生的切向加速度，导致速度变化例如，单摆运动中，重力的切向分量使摆球加速或减速；物体在竖直圆形轨道上自由滑动时，重力的切向分量也会改变物体速度解决变速圆周运动问题，通常可应用能量守恒原理，分析不同位置的机械能关系，或使用牛顿第二定律，分析切向加速度与速度变化的关系对于特定轨迹，还可结合运动学方程求解环形水槽实验

9.8m/s²

0.5m重力加速度典型水槽半径影响临界速度计算实验装置尺寸参考

2.21m/s临界速度半径时的最小速度要求

0.5m环形水槽实验是演示竖直面圆周运动的经典物理实验实验装置由一个竖直放置的圆环轨道构成，内部可放置小球或液体当整个装置绕竖直轴旋转时，小球或液体会在轨道内做圆周运动实验中，通过调节旋转速度，可观察小球或液体在不同速度下的运动状态当速度达到临界值临v界时，小球或液体恰好能通过最高点而不脱落这一实验直观地展示了竖直面圆周运动的=√gR临界条件，验证了理论分析的正确性通过测量旋转角速度和轨道半径，可计算线速度，ωR v=ωR并与理论预测值比较，分析误差来源物理竞赛题型精讲综合应用题物理竞赛中常见综合性强的竖直面圆周运动题目，涉及多个知识点融合，如动力学与能量守恒相结合、圆周运动与碰撞问题结合等解答此类题目需全面掌握相关原理，灵活应用解题策略面对复杂题目，建议先分析物体受力情况，明确向心力来源；然后结合具体条件，选择合适的物理规律（牛顿定律或能量守恒）；最后通过数学求解得出答案关键是正确建立物理模型和数学方程典型模型竞赛常见的典型模型包括变质量圆周运动（如漏水小车）、非理想约束（如绳子可伸长）、复合运动（如圆周运动与直线运动叠加）等这些模型超出基础题目范围，需深入理解物理本质难点突破竞赛难点主要在于问题的开放性和综合性突破方法是强化基础知识，培养物理直觉，多做不同类型题目，提高分析和解决问题的能力注重方法的积累和思维的训练，而不仅是公式的记忆受力合成及三角形法则扩展力的矢量性质三角形法则力是矢量，具有大小和方向，符合矢量两个力的合成可用三角形法则将两力加法规则在竖直面圆周运动中，合外按比例画出，首尾相连，则从起点到终力必须指向圆心点的矢量即为合力多边形法则分解简化多个力的合成可用多边形法则各力按复杂系统可通过将力分解为分量，再分比例首尾相连，从起点到终点的矢量即别合成，简化计算过程为合力动画演示竖直面运动路径动画演示是理解竖直面圆周运动的直观方式通过计算机模拟，可以清晰展示物体在竖直圆周运动中的轨迹、速度变化和受力情况特别是对于变速圆周运动，动画可以直观显示速度在不同位置的变化规律在教学中，动画可以展示多种实际运动轨迹，如单摆大角度摆动、过山车沿环形轨道运行、自由下落的物体在圆形轨道上滑动等通过调整参数（如初始速度、摩擦系数），可以观察不同条件下的运动状态，加深对物理规律的理解现代教学软件还可以实时显示物体的受力分析和能量变化，使抽象的物理概念变得具体可见拓展天体轨道与竖直面运动异同相似点不同点联系天体运动与竖直面圆周运动都需要向心向心力来源不同天体运动的向心力来天体运动可以看作一种特殊的圆周运动，力两者都遵循牛顿运动定律，向心力自万有引力，大小为；竖直面其向心力完全由万有引力提供如果将GMm/r²使物体做曲线运动而不是直线运动向圆周运动的向心力通常由支持力张力与竖直面圆周运动推广到太空环境，消除/心力的计算公式相同向重力共同提供地球重力影响，两者的差异将减小F=mv²/r两种情况下，向心力大小都与速度的平轨道形状不同天体轨道通常是椭圆方成正比，与半径成反比，这反映了基（特殊情况下是圆形），而竖直面圆周理解两种运动的异同，有助于形成统一本的物理规律运动通常限定在圆形轨道上天体运动的物理观念，认识到相似物理现象背后中，速度和位置遵循开普勒定律，而竖的共同规律这体现了物理学的统一性直面圆周运动更多受到地球重力的影响和普适性拓展平抛运动圆周模型类比平抛运动特点圆周运动类比平抛运动是物体在水平初速度和竖直平抛运动可视为圆周运动的一种极限重力作用下的运动，轨迹为抛物线情况想象一个半径极大的圆，其一水平方向速度保持不变，竖直方向做小段弧可近似为抛物线当初速度足匀加速运动平抛运动是高中物理中够大时，平抛物体的轨迹可以闭合成重要的复合运动类型圆（如人造卫星绕地球运行）能量转化对比平抛运动中，水平动能保持不变，竖直方向动能与势能相互转化；竖直圆周运动中，若速度不变，则动能恒定，势能随高度变化若速度变化，则动能和势能均变化平抛运动与竖直面圆周运动在物理本质上存在联系牛顿认识到，如果水平抛出的物体初速度足够大，轨道会因地球曲率而形成闭合轨道，这就是人造卫星绕地球运行的原理这种情况下，重力提供向心力，使物体做圆周运动在教学中，通过平抛运动与圆周运动的类比，可以帮助学生建立更加统一的物理观念，认识到不同运动形式之间的内在联系这种联系反映了物理学的统一性，也体现了牛顿力学体系的强大解释力竖直圆周运动实验设计实验设计设计简易竖直圆周运动实验装置，包括透明圆形轨道、小球、测速装置和数据采集系统实验目的是验证临界的理论结论v=√gR材料准备准备有机玻璃圆环（内径光滑）、钢球、电子计时器、高速摄像机、数据处理软件等材料选择应考虑耐用性和精度要求实验执行控制小球从不同高度释放，记录能否通过最高点；或固定释放高度，改变轨道半径，观察结果变化使用高速摄像机记录小球运动过程，分析速度变化数据分析根据实验数据，计算临界速度与的关系，分析误差来源，如摩擦力影√gR响、测量误差等通过多次实验取平均值，提高结果准确性相似例题归纳总结最高点最低点受力分析/此类题目要求分析物体在圆周轨道最高点或最低点的受力情况，计算支持力张力、速度等物理/量解题关键是应用牛顿第二定律，正确写出向心力方程最低点，最高点N-mg=mv²/R mg-N=mv²/R临界条件判断此类题目要求判断物体能否通过最高点，或计算通过最高点的临界条件解题关键是应用临界v，并结合能量守恒原理分析物体在不同位置的速度关系=√gR能量转化分析此类题目涉及物体在竖直圆周运动中的能量转化，如从斜面滑入圆形轨道的问题解题关键是应用能量守恒原理，分析动能和势能的转化关系，并结合临界条件判断运动情况复合条件问题此类题目通常综合多个条件，如摩擦、变速、非圆形轨道等解题需综合应用多个物理规律，如牛顿定律、能量守恒、动量守恒等，建立方程组求解这类题目难度较大，需全面分析物理情境习题训练已知最高点速度，求最1低点张力题目描述质量为的小球由长度为的轻绳系住，在竖直平面内做匀速圆周运动已知2kg

1.5m小球通过最高点时速度为，求小球通过最低点时绳子的张力5m/s解题思路由于是匀速圆周运动，小球在最高点和最低点的速度相同，都是根据牛顿第5m/s二定律，在最低点，绳子张力与重力的合力提供向心力计算过程最低点张力最低××T=mg+mv²/R=2kg10N/kg+2kg5m/s²/

1.5m=20N+

33.3N=

53.3N答案小球通过最低点时绳子的张力为注意在匀速圆周运动中，必须有外力做功

53.3N才能保持速率不变，因为重力势能在变化习题训练变半径运动的能量分析2题目描述质量为的小球固定在长为的轻质细绳一端，另一端系在光滑水平桌面上的小钉上

0.5kg1m初始条件小球初始在离桌面高处由静止释放，开始摆动

0.6m求解要求求小球运动过程中绳子最小张力解析由能量守恒，初始状态小球只有重力势能，释放后动能和势能相互转化初始势能初××小球运动过Ep=mgh=

0.5kg10N/kg

0.6m=3J程中，最低点势能为零，速度最大，此时动能最大，得最大最大×Ek=3J v=√2Ek/m=√23J/

0.5kg=√12m/s绳子张力最小出现在最高点在最高点，小球可能达到的最大高度等于初始高度，此时速度为零但如果小球能做圆周运动通过最高点，最高

0.6m点高度为绳长减去初始高度差，即，且需要一定速度最高点向心力由重力和张力提供，，若张力为零，则临界1m-

0.6m=

0.4m mg-T=mv²/R v×通过能量守恒，可以验证小球能否达到此速度，从而确定绳子最小张力=√gR=√

100.4=2m/s习题训练过山车轨道三点力分析31点（最低点）A过山车质量为，轨道半径为，点速度为求点支持力500kg15m A18m/s A点（最高点）B假设点速度为，求点支持力B12m/s B3点（侧面位置）C点位于水平位置，轨道与水平面夹角为°，速度为求点支持力C6015m/s C解析点（最低点）支持力A××NA=mg+mv²/R=500kg10N/kg+500kg18m/s²/15m=5000N+10800N=15800N点（最高点）支持力×B NB=mv²/R-mg=500kg12m/s²/15m-5000N=4800N-5000N=-负值表示支持力方向向下，与预期相反，说明假设错误实际上，过山车在最高点的速度必须满200N足×才能保持接触，而题目给的速度小于此值，因此过山车会脱离轨道v≥√gR=√1015=

12.25m/s点（侧面位置）重力沿径向分量为°×，支持力C mg·cos30=5000N

0.866=4330N NC=mv²/R-°×mg·cos30=500kg15m/s²/15m-4330N=7500N-4330N=3170N习题训练最小速度条件下的临界分析4习题训练实际生活案例分析拓展5摩托车特技表演摩托车能在竖直墙面行驶的物理分析摩托车质量为，轮胎与墙面的静摩擦系数为，圆形轨道半径为求摩托车至少需要多大的速度才能在竖直墙面上行驶200kg

0.810m而不掉落？如果摩托车速度为，驾驶员体重为，求驾驶员在最高点和最低点感受到的体重分别是多少？15m/s70kg宇航员训练舱宇航员离心训练舱的物理分析训练舱为半径的圆形轨道，宇航员质量为若要模拟的过载环境，训练舱应以多大的角速度旋转？宇航员在此过载下的感受是什5m80kg3g么？长期处于这种环境对人体有何影响？结合生理学分析高铁弯道设计高速铁路弯道的物理设计分析高铁质量为吨，弯道半径为，设计最高速度为分析弯道需要的超高（外侧轨道比内侧高）角度，以及超高设计如5007000m350km/h何减小离心感受，提高乘坐舒适度探讨不同国家高铁弯道设计标准的差异重难点回顾与思维导图核心公式向心力向，临界速度1F=mv²/R vmin=√gR受力模型最低点，最高点N-mg=mv²/R mg-N=mv²/R能量分析机械能守恒Ek1+Ep1=Ek2+Ep2临界条件最高点或，临界速度N=0T=0vmin=√gR竖直面圆周运动的重难点主要集中在向心力的形成与分析、临界条件的判断、能量守恒的应用以及复杂情境的综合分析掌握这些核心概念和方法，是解决相关问题的关键思维导图可以帮助系统梳理知识点之间的联系圆周运动的基本特征（角速度、线速度、周期关系）竖直面圆周运动的特殊性（重力参与向心力形成）受力分析→→（最高点、最低点、一般位置）临界条件（最小速度要求）能量分析（动能与势能转化）实际应用（过山车、摩天轮、特技表演等）通过这种系统的知识架→→→构，可以更有效地应对各类问题答案与要点提示习题答案最低点张力为要点提示匀速圆周运动中，速度大小不变但方向变化，需要向心力在最低点，张力和重力共同作用，张力需大于重力才能提供向心力

153.3N习题答案绳子最小张力为零，出现在最高点要点提示变半径问题中，能量守恒是关键小球从静止释放后，动能与势能相互转化张力最小出现在最高点，需判断小球能2否仅靠重力势能转化为动能通过最高点习题答案点支持力，点情况不可能（车辆会脱离轨道），点支持力要点提示不同位置的支持力计算需考虑重力分量对向心力的贡献最高点存在最3A15800N BC3170N小速度限制，低于此速度物体无法保持接触侧面位置需分解重力的径向和切向分量总结与提升建议掌握核心概念深入理解向心力本质、临界条件、能量转化等基础概念，建立系统的知识框架多样化练习尝试不同类型的题目，从基础到综合，培养灵活应用物理规律的能力实验与观察通过实验或观察实际现象，加深对物理规律的直观理解实际应用探索关注生活中的相关现象，分析背后的物理原理，培养应用意识竖直面圆周运动是高中物理中的重要知识点，掌握它不仅有助于应对考试，也能帮助理解许多日常现象提升建议一是强化基础，牢固掌握向心力、牛顿定律、能量守恒等基本原理；二是注重方法，熟练应用受力分析、能量分析等解题策略；三是拓展视野，了解实际应用和前沿发展后续可拓展阅读圆周运动的相关应用，如航天领域的轨道设计、交通领域的弯道设计等也可进行探究性学习，如设计和制作简易的竖直圆周运动演示装置，验证理论结论通过这些方式，不仅能加深对知识的理解，还能培养科学探究精神和创新能力。