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高跟鞋的高度选择摘要我们研究的问题是已知人的身高和黄金分割系数求解符合条件的高跟鞋的鞋高，该模型是双目标模型，即使得人在穿上高跟鞋之后既能达到美观的效果，同时又能让双脚感到舒适首先可将舒适度作为约速条件，将穿上高跟鞋后人的黄金分割系数尽可能接近黄金分割率作为目标函数，于是便把这个双目标模型转化成单目标模型，然后我们对人穿上高跟鞋后的脚进行受力分析，得到约束条件的函数表达式，从而对此优化模型进行求解最后我们给定一个具体身高和黄金分割系数便可求得符合条件的高跟鞋的高度关键词黄金分割率，黄金分割系数，舒适度一问题的提出如今走在大街上,我们会发现越来越多的女孩子穿着高跟鞋，为什么会有这么多的女孩子如此痴迷高跟鞋呢？人在穿上高跟鞋后，会很自然的重心前移，保持抬头挺胸的姿势，看起来非常有精神由于女性穿上高跟鞋后身材更接近“黄金分割率即
0.618,在视觉上给人以美感，同时高跟鞋在玩美丽的同时也练就了高超的平衡能力，让女性穿梭在人群中也越发的有自信因此高跟鞋在某种程度上似乎已经成为现代职业女性的标准符号但是我们也知道，过高的高跟鞋会对人的身体健康造成一定程度的损害，由于穿上高跟鞋后，双脚始终呈踮脚的姿势，前脚掌需要承受很大的压力，穿高跟鞋的人会有脚掌疼，脚肚子酸，甚至发生抽搐和轻度痉挛现象，因此也成为职业女性健康的潜在杀手之一，为什么会出现这种现象呢？因为高跟鞋的设计并不符合人体力学原理,如果长期穿高跟鞋,不但会使女性的脚部受到损伤，还会发生腰酸背痛等症状但是穿上适度的高跟鞋有一定的好处,它能减少走路对脑部的震荡，能使人体曲线更加匀称，丰满多姿，提高人的相对高度，同时还可预防驼背，那么鞋跟多高才算合适呢？即既能让人的身材接近黄金分割，达到一定的美感，同时又让能人感觉舒适，就是我们必须考虑的问题希望我们的方案能对穿高鞋的女性朋友在选择高跟鞋的时候有所帮助二问题假设
1.每个人都是正常的脚，即都不是平足
2.每个人的身高和脚的大小的比例一定
3.高跟鞋指的是一般的细跟高跟鞋
4.两只脚同时落地且处于同一水平面上
5.只考虑鞋跟高度对舒适度的影响，不考虑其他因素对它的影响如鞋对脚的摩擦力所引起的不适等
6.只考虑鞋底对它的力，不考虑其它如鞋面鞋帮等对它的力三符号说明110肚脐到脚跟的距离（单位厘米）21人的身高（单位厘米）3h鞋跟的高度（单位厘米）4so黄金分割系数（即肚脐到脚底的距离与身高之比）5c脚的长度（单位厘米）6fi鞋对脚掌的力7f鞋对脚跟的力28G为人的重力四.问题分析通过对所提出的问题的分析不难发现该问题为一个双目标问题，一个目标为选择合适鞋跟高度使人的身高达到黄金分割率，另一个目标是选择合适的鞋跟高度，让人穿上不会难受，即尽量让人感到舒适介于我们的能力，可以将该问题转化成单目标问题，我们不妨将鞋跟高使人感到舒适当成约束条件，将能使人最大程度达到黄金分割率当成目标，综上分析问题转化成优化模型根据我们多方面查阅资料得到，当人的脚掌承受的力为人的体重的40%-65%时，人才会感到舒适，因此我们将能承受的力的限制来作为约束条件根据专家的研究得到人的身高与脚长的关系为c=/77且有一般人的黄金分割系数soe[
0.58,
0.6]于是问题的关键在于确定鞋跟高与人的脚掌受力的关系接下来我们对人脚掌受力作分析经观察我们可以假设整个脚掌的受力集中于点A点，DA=C2/4,脚后跟的所受力集中于B点，距脚后跟C点为C2/8且有高跟鞋的两段分别C2/3,2*C2/3以脚尖作为原点D,水平线作为x轴（如图1所示）给出脚的近似框架（如图2所示）鞋对脚掌的力为fi鞋对脚后跟的力为:f对力f做分解，分解成竖直方向的力f2和沿鞋斜面的力f3；根据竖直方向力的平衡原理为fi+f2=G/2fa现在我们来寻找另一个平衡；力距平衡1支点的确立我们可以将人的质点在脚上的投影点作为支点，即认为人对脚的力是由o点产生的关键是来确定质点的位置与鞋跟高的关系，设点坐标为X根据查找资料可得夕为高跟鞋的坡度A穿平底鞋时即h=0,夕=0时、fi=40%*G/2,f2=60%*G/2,根据力矩平衡fi*x-c/4=c-c/8-x*f解得x=5*c/8B另一个极端点即8=»/2时，这时不妨设人的所有力全落在脚掌上，脚后跟不受力，则根据力矩平衡只有O点与A点重合才能保证fi=G/2,f2=0,所以x=c/
3.利用以上条件我们试图构造出x与夕的函数关系，又根据穿高跟鞋的经验，鞋跟越高，人的重心就会往前移，即x是夕的单减函数一一x对的导数小于0;另一方面随着8的变大，x的变化率变大，因此x的的二阶导数大于；综上所述我们便可将函数设为x=-A*sin9+B0^^/2将8=0,x=5*c/8;8=»/2,x=c/3;代入得至ll A=3*c/8,B=5*c/8所以x=-3*c/8*sin+5*c/8
①2确定了质点的位置O,以点为支点，现在来分析力矩当xo c/3时，将xo代入
①式得到sin97/9,则h214*c/
27.考虑到实际情况若脚长c=24cm,便有hZ
12.4,可见鞋跟过高不符合实际，因此我们只考虑xo c/3的情况受力分析图可以完善为图3图！因为f3的存在脚要保持平衡，那么脚还受到鞋子对它的另一个力，方向与f3相反因此竖直方向力平衡fi+f2=G/2在支点力矩平衡，分析发现f3的力矩为0,故f3不在我们考虑范围之内，从而根据力矩平衡有fiXli^Xh其中h=AE=DE-DE二x-c/4=-3/8csin0+3/8C2I2=EF二—xcxsin^-x~—xc--xcxsin^338经过对上式的分析可以发现f随着的增大而增大当f1二f2=G/4时,人感觉最舒服,此时有1尸12,便可以得到此时的凡很自然便可以得到此时的鞋跟高ho当f1=65%*G/2,fz=35%*G/2是人可以忍受的，当f拒65%*G/2时人便会感到不适，因此我们可以求出当f尸65%*G/2,f=35%*G/2时的鞋跟高h..2综上所述我们便得到鞋跟高满足舒适这一限制的区间[0,hj于是模型转化为;min
0.618-so*l+h4-1+hs.t he[0,hj五模型的建立因为我们是在能承受的力的限制这一条件下来选择鞋高，使得人穿上鞋后能尽量接近黄金分割率，并由模型的分析中得到了脚掌所受的力的大小与人的重力的关系，因此我们将脚掌所受的力的大小做为约束条件，将穿鞋后从肚脐到地面的距离与头顶到地面的距离之比与黄金分割率的差值视为目标函数，目标是使他们的差值尽量接近零由上得到模型模型为min|
0.618—s Xf-Fh4-f-Fh|0s.t.40%X—^f^65%X—22其中XG如果只考虑舒适度只需将约束条件改为f,=50%X-即可2六模型的求解在问题的分析中已经得到了
3.5Ax--csin9+—c8833li——csin0+-c88]13八3厂.八7c‘c/Tth=—CXCOS0+一氐in c00—248242由受力分析的fiXKXS
①fl+f2=-
②2则得h=--fi将其代入
①得2f产一JS再将h和12代如得11+
122133.7O—csin0-----cCCOS H一厂f82^£x13Al2C，——CCOS+——2412㈠由约束条件40%X—f65%\—221337—ccos6+-csin---c40%------------------65%要解此不等式得到sin的范围13八1—ccos，+—C24121337——ccos6+—csin-c因为04把工,不等式40%工必----------------出一显然满足，因此只需解不2131C——CCOS H-------24121337—ccos9+-csin---c等式-^―--------———^-65%即可C—CCOS^+一2412——cxcos0+-csinO———c
0.65x——cxcos0+——c248242412因为sin20+cos20=l,则可由上不等式解的sin的范围又因为h=sin6x—则0h
0.318c3又因为c=,，贝【J0hW
0.318x!77现在对目标函数进行讨论令F=|
0.618—%X什h4-/H-h|Y=（X/H-h）+（计h）dYSo因为方〉°,则Y是单增函数,-Y是单减函数若
0.618—（s°X汁h）♦（汁h）=0得若（・618-＞）/
0.382得到F在区间［0,618-叫内是单调减少函数，在（（
0.618-sO）/,刃）
0.
3820.382是单调增加函数又因为04h
40.318x，得到结论为7⑴如果°618-5）』318/，则h=9618-s0）/
0.
38270.382
（2）如果
0.318xi＜（0-618~5°）Z,贝IJ h=
0.318xi
70.3827137ccos8+—csin一-c G24因为fi=8ccose+Lc2424~122㈡如果小50%义史2可求出h=
0.115c=
0.115x—7七结果分析当给出一位符合我们假设条件的女性的身高和她的黄金分割系数后，我们就可以算出她要穿鞋跟为多高的鞋对她来说是最优的，即她能感觉到即较为舒适又能达到比较美观的效果⑴当（
0.618-50）/^18x」时，她应该穿鞋跟高为0618-s0）/的鞋
030.
38270.382⑵当
0.318x,vQ618—s0）/时,她应该穿鞋跟高为
0.318x，的鞋
70.3827当我们只考虑舒适度，而不考虑美观的话，她应该穿鞋跟高为
0.115x，的鞋7现在我们举例来说明此问题，例如我们对身高为161厘米，黄金分割指数为
0.59的女性进行研究，看多高的鞋跟适合她即So=O.6Q61cc.c161（
0.618—SO）/Freer八一厂/
0.3l8x—=
7.314---------------=
11.
8010.115x J_=
2.
64570.3827㈠若即要考虑美观又要考虑舒适度，因为
0.318X，W（0・618-“）乂满足上面
70.382的情况⑵，因此我们为她选择的鞋高为
7.314厘米因为如果只是考虑美观，也就是达到黄金分割率，她要穿鞋跟高为
11.801厘米的高跟鞋，但我们要考虑到脚的承受力即舒适度，前脚掌所受的力不能超过身体重力的65%,因此她要穿鞋跟高为
7.314厘米的高跟鞋㈡若只考虑舒适度，我们为她选择的鞋高为
2.645厘米八,模型评价我们提出的这一问题比较具有实用性，尤其是对喜欢穿高跟鞋的朋友很有参考价值，并且模型简单易懂，求解方便,不用进行一些复杂的运算和借助一定的软件来求解，方便实用但是我们只是考虑了一般情况下的人群，对于特殊的一些脚与身高不符合专家所提出的脚与身高的比例系数，以及其他如平足人群等，这些问题有待大家进一步讨论。
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