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第七章非线性方程求根
一、重点内容提要
（一）问题简介求单变量函数方程（
7.1）的根是指求（实数或复数），使得.称为方程（
7.1）的根，也称为函数的零点.若可以分解为其中m为正整数，满足，则是方程（
7.1）的根.当ni=l时，称为单根；当ml时，称为m重根.若充分光滑,是方程（
7.1）的m重根,则有/（%*）=尸（X*）=...=/（ra-1）（x*）=w0若在［a,b］上连续且，则方程（
7.1）在（a,b）内至少有一个实根，称［a,b］为方程（
7.1）的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.
（二）方程求根的几种常用方法
1.二分法设在［a,b］上连续，，则在（a,b）内有根.再设在（a,b）内仅有一个根.令，计算和.若则，结束计算；若，则令，得新的有根区间；若，则令，得新的有根区间.，.再令计算,同上法得出新的有根区间，如此反复进行，可得一有根区间套%-%=…=占也-ax^b/=0,1,2,…也—a〃=〈an n且22故因此，可作为的近似根，且有误差估计（
7.2）
2.迭代法将方程式（
7.1）等价变形为（
7.3）若要求满足则；反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程（
7.1）的根等价于求的不动点由式（
7.3）产生的不动点迭代关系式（也称简单迭代法）为（
7.4）函数称为迭代函数.如果对任意，由式（
7.4）产生的序列有极限则称不动点迭代法（
7.4）收敛.定理
7.1（不动点存在性定理）设满足以下两个条件
1.对任意有
2.存在正常数，使对任意，都有（
7.5）则在上存在惟一的不动点.定理
7.2（不动点迭代法的全局收敛性定理）设满足定理
7.1中的两个条件，则对任意，由（
7.4）式得到的迭代序列收敛.到的不动点，并有误差估计式（
7.6）和（
7.7）定理
7.3（不动点迭代法的局部收敛性定理）设为的不动点，在的某个邻域连续,且，则迭代法（
7.4）局部收敛.收敛阶的概念设迭代过程（
7.4）收敛于方程的根，如果迭代误差当时成产下列渐近关系式1-[a,b]=[—1,0],夕％=--尸--
0.458962267答案⑴0；2；
33、建立一个迭代公式计算，分析迭代的收敛性，取,计算.答案:・
4、试分别采用和的斯蒂芬森迭代法求方程在区间内的根,要求.答案取，其解分别为和.
5、由方程求二重根，试用牛顿法
7.13,有重根时的牛顿法
7.15,
7.16计算,要求.答案三种方法均取,分别得々4=
1.414213568,玉=L414213562,£=
1.
414213562.
6、用弦切法求方程的根，要求.答案取，用式
7.17得.
7、用抛物线法求解方程在附近的根，要求.答案:取
8、试构造一个求方程根的收敛的迭代格式，要求说明收敛理由，并求根的近似值,使.答案:有根区间，不动点迭代式，取,另外，也可用牛顿迭代法求解得
9、试确定常数，使迭代公式产生的序列收敛到，并使其收敛阶尽可能高.答案:利用定理
7.4可得，且，此时迭代法三阶收敛.
10、，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.答案:利用定理
7.4可得
五、课后习题全解
1、用二分法求方程的正根，要求误差小于0・
05.解设，故[1,2]为的有根区间,又,故当时，单增，当时单增.而，由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式
7.2知要求误差小于
0.05,只需，解得，故至少应二分6次.具体计算结果见表7-
7.表7-
70121.
511.
521.
751.
51.
751.
62521.
51.
6251.
5625341.
56251.
6251.
593751.
593751.
6251.6093755即.
2、为求在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式:1,迭代公式；2,迭代公式；3,迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解取的邻域［L3,
1.6］来考察.120x=1+二£［L3,L6］,|0x|二|—二区二L11当时，X X1・3，故迭代公式在上整体收敛.2当时^x=l+x2,/3e［
1.3,
1.6］I1=11-11—L=
0.52213l+x2r,1+
1.32户故在［
1.3,
1.6］上整体收敛.1-11叭4=-f-,|P X1=1--------------1---------------1⑶在万2%-D
21.6-1故发散.由于⑵的L叫小，故取2中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需即取计算结果见表7-
8.表7-
811.
48124803441.
46704797321.
47270573051.
46624301031.
46881731461.465876820由于，故可取.
3、比较求的根到三位小数所需的计算量1在区间［0,1］内用二分法；⑵用迭代法，取初值.解1因，故，用二分法计算结果见表7-
9.表7-
90010.
50.
5100.
50.
250.
25200.
250.
1250.
125300.
1250.
06250.
062540.
06250.
1250.
093750.
0312550.
06250.
093750.
0781250.
01562560.
07781250.
093750.
08593750.
007812570.
08593750.
093750.
089843750.
0039062580.
089843750.
093750.
091796870.
0019531290.
089843750.
0917968755100.
0898437550.
090820310.
00097656110.
090332030.
090820312212120.
090332030.
00048828130.
090332030.
090820311114120.
090576170.
000244140.
090454100.
0905761710.
00012207110.
090454100.
000061030.
090515130.
0905761715610.
090515130.
00003051670.
0905761710.090545653I x-x*区」=
0.000030517-xlO-4,^«x1414此时2”2具有三位有效数字.⑵当时，，故迭代试在［0,
0.5］上整体收敛.取，迭代计算结果如表7-10所示.表7-
1010.
140.
09051261620.
0894829080.
090526468530.
09063913560.090524951|4-1*1I4一天区
0.00000720-x W4此时I—L2故精确到三位小数.
4、给定函数，设对一切，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根.证明由于，为单增函数，故方程的根是惟一的（假定方程有根）.迭代函数一由及得，，故，由此可得I x-x^\L\x_-x*|...Z|/-x*0k fook k}即.
5、用斯蒂芬森迭代法计算第2题中⑵的近似根，精确到.解记第2题中⑵的迭代函数，3的迭代函数为，利用迭代式
7.11,计算结果见表7-
11.表7-
1101.
501.
511.
46555848511.
46734228621.
46557123321.
46557608531.
46557123231.
46557123241.
4655712326、设，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.解要求三阶收敛到的根，根据定理
7.4,应有.于是由%*=x*_px*f x*_qx*/2x*=x*夕%*=1-px*/x*=09”x*=-2P/x*-x*-2qx*x*f=0得故取即迭代至少三阶收敛.
7、用下列方法求在附近的根.根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字.⑴用牛顿法；⑵用弦截法，取；⑶用抛物线法，取.解/I0,/20,/%=3/_3=3/-120,7%=6%0,对⑴取,用牛顿迭代法
1.X=
1.888888889,%=
1.879451567,|与一]*1一义10计算得2,故.⑵取，利用弦截法%=
1.981093936,x=
1.880840630,%=
1.879489903,|%K^xl-3得，2,故取.
3.抛物线法的迭代式为2fgvv+signMylw2-4fxf[x,x_,x_]k k k xk2w=f[x,x_]+f[xk k1k，Xl，Xk-2迭代结果为，=
1.87801539,匕=
1.879386866已达四位有效数字.=L953967549Z
8、分别用二分法和牛顿迭代法求的最小正根.解显然满足.另外当较小时，，故当时，，因此，方程的最小正根应在内.记，容易算得，因此［4,
4.6］是的有限区间.对于二分法，计算结果见表7-
12.表7-
1204.
04.
64.
314.
34.
64.
4524.
454.
64.
52534.
454.
5254.
487544.
48754.
5254.
5062554.
48754.
506254.
49687564.
48754.
4968754.
492187574.
49218754.
4968754.
4945312584.
49218754.
494531254.
49335937594.
4933593754.
494531254.493445313此时.19f\x=-tan%2v0J x=-2tan x-----0若用牛顿迭代法求解，由于cos-x，故取,迭代计算结果如表7T3所示.表7-
1314.
54573212244.
49341219724.
50614558854.
49340945834.
4941716364.493409458所以的最小正根为.
9、研究求的牛顿公式证明对一切且序列是递减的.证法一用数列的办法，因由知，且,又由故，即单减有下界.根据单调原理知，有极限.易证起极限为.证法二设,易知在内有惟一实根.对应用牛顿迭代法，得利用例7-9的结论知，当时，单减有下界，且.当时，此时，从起，单减有下界,且极限为.
10、对于的牛顿公式，证明收敛到，这里为的根.证明见例7-
10.
11、用牛顿迭代法和求重根的牛顿迭代法
7.15和
7.16书中式
4.13,
4.14计算方程的一个近似根,准确到，初始值.解的根为2重根，即用牛顿法迭代公式为令，贝人迭代到.用求重根的迭代公式
7.15,迭代迭代公式为取贝1J不二
2.000000,%=
1.900996,x=
1.895512,x=
1.895494,x=
1.895494四次345迭代达到上面的结果.若用公式
7.16,则有将及代入上述迭代公式，得取得%=
1.801749,%=
1.889630,玉=
1.895474,2=
1.895494,天=L895494结果与公式
7.15的相同.
12、应用牛顿迭代法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.解设，牛顿迭代公式为当；当时一，因此，对于，当时，根据例7-9的结论知，牛顿序列收敛到.当时,%-y[a=-%0\fa=（孤+2%）0,%l[a3x3x00从起，牛顿序列收敛到.对于，当时,.由牛顿法产生的序列单增趋于.当时,之后迭代也收敛.当时，迭代式变为该迭代对任何均收敛，但收敛速度是线性的.
13、应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值.解，所以牛顿迭代公式有易知.故取时，迭代收敛.对于，取，迭代计算，得%=
10.33043478,々=
10.70242553,x=
10.7237414,3%=
10.72380529,毛=
10.72380529故.
14、应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求解对于，因此牛顿迭代法为x.n-a
11、a.八i crznxk+\~xk—=—［（n-l）%^H0,l,2,・・.nx nxk k根据定理
7.4知对于，牛顿法公式为“空（〃吗，m…/
（七）〃a4*+D-Xk+\根据定理
7.4知
15、证明迭代公式是计算的三阶方法.假定初值充分靠近根,求证明记，则迭代式为且.由的定义，有对上式两端连续求导三次，得代依次入上三式，并利用，得所以由定理
7.4知，迭代公式是求的三阶方法且
16、用牛顿法解方程组取.解记，则「4，1斤（%»）=2；，尸（x,y）『=742x-2y11尔4y牛顿迭代法为（丫（扑1）、严）［/（此严）,\y代入初值，迭代计算，得丫J
1.
581250000、
1.
58113834、2y⑴J-
11.225000000,-J224744898,丫xfl.
581138830、_
1.
58138830、4严厂
11.22474487-J.224744871；
7.8则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=l时称线性收敛,pl时称超线性收敛，p=2时称平方收敛.定理
7.4收敛阶定理对于迭代过程
7.4,如果在所求根的邻近连续，并且
7.9则该迭代过程在点的邻近是收敛的，并有
7.10斯蒂芬森Steffensen迭代法当不动点迭代法
7.4只有线性收敛阶，甚至于不收敛时，可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为
7.11此法也可写成如下不动点迭代式
7.12定理
7.5斯蒂芬森迭代收敛定理设为式
7.12中的不动点，则是的不动点；设存在，，则是的不动点，则斯蒂芬森迭代法
7.11是2阶收敛的.
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法，其计算公式为其迭代函数为
7.13牛顿迭代法的收敛速度当时,容易证明，，，由定理
7.4知，牛顿迭代法是平方收敛的，且
7.14重根情形的牛顿迭代法当是的m重根时，迭代函数在处的导数，且.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m知道,则迭代式
7.15求重根二阶收敛.当m未知时，一定是函数的单重零点，此时迭代式%=%〃/-Ax®Mk EgAZ=0,l,2,…
7.16也是二阶收敛的.简化牛顿法如下迭代法称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛，可采用牛顿下山法.具体方法见教材.
4.弦截法将牛顿迭代法
7.13中的用在，处的一阶差商来代替，即可得弦截法
7.17定理
7.6假设在其零点的邻域内具有二阶连续导数，且对任意有，又初值，，则当邻域充分小时，弦截法
7.17将按阶收敛到.这里p是方程的正根.
5.抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根.若已知的三个近似根，，用过的抛物线方程的根近似代替的根，所得的迭代法称为抛物线法，也称密勒Muller法.当在的邻近有三阶连续导数，，则抛物线法局部收敛，且收敛阶为.
二、知识结构图方二分法及其收敛性程不动点迭代法及其收敛性理论近似不动点迭代法的加速技巧一Stef fense昉法求根方法求牛顿迭代法及其收敛性根J弦截法插值型迭代法多点迭代［抛物线法基本概念单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶
三、常考题型及典型题精解例7-1证明方程x3-%-1=0在［1,2］上有一个实根X*,并用二分法求这个根,要求IX1X*|求-
3.若要求IX1x*|106,需二分区间［1,2］多少次？解设fx=x3—%—1,则fl=-l0,f2=50,故方程fx=0在［1,2］上有根X*.又因fx=3xT,所以当xc［l,2］时,FX根0,即有x=0在［1,2］上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.表7-1k
0211.
511.
511.
2521.
51.
251.
37531.
3751.
251.
312541.
3751.
31251.
343851.
13431.
31251.
3282681.
31251.
320471.
32041.
32821.
324381.
32431.
32821.
326391.
32431.
32821.3253此时x『l.3253满足|x*|4r^0-977xW3W3,可以作为x*的近721U似值.若要求|x-x*|10-6,只需|x「X*|-^10一6即可,解得k+
119.932,c八K1k即只需把［1,2］二分20次就能满足精度要求.例7-2已知函数方程x-2e=l,⑴确定有根区间［a,b］;2构造不动点迭代公式使之对任意初始近似X£［a,b］,迭代方法均收敛；3用所构造的公式计算根的近似值,要求|Xk-|10解⑴令
①x=x-2e、-l,由于f2=-10,f3=^-l0,因此区间⑵3]是方程f x=0的一个有根区间.又因F x二xTe,lim f x=+oo,lim f x=-l,X—+ccXf-COf⑴=一当时f x单增，x〈l时f x单减,故fx=0在-oo,+oo内有且仅有一X1根X*,即x*e[2,3].2将x-2/=1等价变形为x=2+X,x e[2,3].则0x=2+e，.由于当x e[2,3]时2W°x43,|p3|=|^-21故不动点迭代法Xk+1=2+ef,k=0,1,2,...,对Wx°e[2,3]均收敛.3取x0=
2.5,利用Xk+i=2+e』进行迭代计算,结果如表7-2所示.表7-2k
02.
512.
0820849990.
41791500122.
1246700040.
04258500532.
1194723870.
000519761742.
1200949760.000622589此时X1已满足误差要求，即x*2％=
2.
120094976.例7-3考虑求解方程2cosx-3x+12=0的迭代公式2x=4+k+1—cosx^,k=0,1,2,...1试证:对任意初始近似x°该方法收敛;GR,⑵取x0二4,求根的近似值Xk+1,要求|-x l10-3；Xk+1k⑶所给方法的收敛阶是多少？2解1由迭代公式知,迭代函数0x=4+4cosx,32_-00,+
8.由于9X的值域介于4--与4+-之间，且33l9x故根据定理
7.1,
7.2知，9x在-cc,+oo内存在惟一的不动点x*,且对Vx°eR,迭代公式得到的序列｛xj收敛于x*.2取x0=4,迭代计算结果如表7-3所示.表7-3k
0413.
5642375870.
43576241323.
3919951680.
17224241933.
3541248270.
03787034143.
3483333840.
00579144353.
3475299030.000803481此时已满足误差要求，即
（3）由于，故根据定理
7.4知方法是线性收敛的，并且有例7-4对于迭代函数，试讨论
（1）当C为何值时，产生的序列收敛于；
（2）C为何值时收敛最快？
（3）分别取，，计算的不动点，要求解
（1）,,根据定理
7.3,当，亦即时迭代收敛
（2）由定理
7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快
（3）分别取，并取，迭代计算结果如表7-4所示表7-
401.
201.
211.
481.
41336958611.
3979898991.
414209303621.
4141205051.
4142153271231.
4142135591341.414213562此时都达到.事实上，例7-5给定初值以及迭代公式,常数证明
（1）该,代函数是二阶收敛的；
（2）该迭代产生的序列收敛的充要条件是.解
（1）显然，迭代函数为，且，即是的不动点.又，所以，，由定理
7.4知，迭代是二阶收敛的，且.
（2）因，令，则然而故由此可知等价于，而又等价于，即.注
（1）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明,另外，本题迭代式实际上是对使用牛顿迭代法而得.例7-6对为的一个不动点，验证迭代对任意不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的，并说明斯蒂芬森迭代计算的不动点时的收敛阶.解由于，当时，且有，介于与0之间，若，迭代不收敛.若改用斯蒂芬森迭代（
7.12）,可得，根据定理
7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.由于，故用斯蒂芬森迭代计算不动点时，收敛阶.（请读者注意，这一结论与定理
7.5的结论是否矛盾）例7-7当R取适当值时，曲线与相切，试用迭法求切点横坐标的近似值，要求不少于四位有效数字，且不必求R.解的导数，由确定的函数的导数满足，由两曲线相切的条件，可得即令，则在内有实根.又，故仅有一个根,构造迭代公式则当时,.故迭代收敛.取,计算结果如表7-5所示.表7-
501.
50.
01875221.
4826710.
00142311.
48124831.482563由于，故可取，即可保证两曲线切点的横坐标的近似值具有四位有效数字.例7-8曲线与在点附近相切，试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值，使.解两曲线的导数分别为和，两曲线相切，导数相等，故有令，则，故区间是的有根区间.又当时，，因此在上有惟一实根.对应用牛顿迭代法,得计算公式由于，故取迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.表7-
602.
031.
70681528712.
29305555641.
70002561121.
8177835921.75继续计算仍得，故.注本题也可令，解得切点横坐标满足方程，用有重根时的牛顿迭代法
7.15式计算，此时.仍取，经四步可得.例7-9牛顿迭代法收敛定理设在上具有二阶连续导数，且满足条件⑵在上⑶满足.则由牛顿迭代法产生的序列单调收敛于在内的惟一实根，并且是平方收敛的.证明因在上连续，由条件⑴知，方程在内有根,又由于条件⑵知在上恒正或恒负，所以在上严格单调，因而是在内的惟一实根.条件1,2共有四种情形1/a0,fb0,f0,fx0,Vx e[a,b];1fG0S0©,尸30,Vxe[a.b];于于3G0,b0,f\x0,/V0,Vxe[ab];94/«0JS0,/,U0,/x[a,b].0,VXG仅就⑴进行定理证明，其余三种情况的证明方法是类似的.由可知，再由知单增且.又由牛顿迭代法知又台劳展开得/%=/%+/%0%—%+★/记0%-%o2其中介于与之间.利用，得/%1/湛JU21%inO1*一%22/U/X+//XX*-九+1/4x*-/2=由以及前面证明的，有一般地，设，则必有且同样由台劳公式19/G=f\x+/U x-xj+-/砥X f2k及，得1/©g2JU/UinO^-xy xxk Mk27U/%+/々XX*—//*一42=0根据归纳法原理知，数列单调下降有下界，因此有极限.设.对迭代式两端取的极限，并利用.的连续性知，即.由上述证明知，有关系式，即对于单根，牛顿迭代法是平方收敛的.例7-10设函数具有二阶连续导数,是由牛顿迭代法产生的序列，证明解牛顿迭代法为其中介于与之间，介于与之间，根据式
7.14得黑臊%二；理冷=遮1尸X*2厂代例7-11设具有连续的阶导数，是的重根是由牛顿迭代法产生的序列，证明证明1因是的重根，则可以表示成所以区-x^mhx*一k由牛顿迭代法得区-x*尸[mhx+々-x*\x]k kmh{x+尤后一x*/z\xk k-=a joXk—Xg fDfg/_]一X*〃/!/_]Z—[加力4+4—x*/z4]mhXkT+Xi-x*/z々t九*/mhx+{x-\xX*k kk利用及1的结论得⑶先证明牛顿迭代函数的导函数因是的重零点，则由假设，具有阶连续导数，得0,-⑼*w0/%*=/x*=..・=/〃ix*=且其中介于与之间，故有的胃书落一所以lim------~~—----------=lim--------------=------------—=miXg-2x+281-砥）］_（1_km注结论⑴和都表明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论⑶可以用来计算重根数.例7-12考虑下列修正的牛顿公式（单点斯蒂芬森方法）设有二阶连续导数，，试证明该方法是二阶收敛的.证明将在处作台劳展开，得19fE+=/%+/@”5+/Xk其中介于与之间，于是fXk+fXk二〃々=f[fXk+半—半yr____________V*v*v*xk\~x-xk~x_+由于是的单根，故所以fXk=h{x+%-X*/2，区k“虫4—X*WX〃k kv-V*—V*V*xk\~x-xk~x---------------------------------------------------------i-------------------+hx+x-x^h\x+-/1Wf^kkk1_________________k4—X*1八心+x左-x*〃\x+-/n^/U kA层⑺+/—X*2/%+4-％*4+114力々乙即迭代法是二阶收敛的.
四、学习效果测试题及答案
1、证明方程在内有一个实根,并用二分法求这个根.若要求，需二分区间多少次（答案当时对分次数.）
2、对方程，确定及，使对任意均收敛，并求出方程的各个根，误差不超过.。
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