类型八 隐零点问题（解析版）

类型八隐零点问题【典例】已知函数1f x=xe—ax+ln x.⑴讨论极值点的个数；fx若是的一个极小值点，且证明2Xo f x fxoO,fXo2Xo—Xo.【解析】⑴解f x=x+le—al+jHx、x+1xe—a,z-------------------------------------------------------=,xe0,+°°.

①当时，尹〉在+8上为增函数，不存在极值点;aWO x0,fx0,

②当时，令xa0hx=xe—a,xh x=x+1e

0.显然函数卜在+8上是增函数，60,又因为当时,一一axf0hx a0,ha=ae—10,必存在使xoO,hXo=O.当时,z为减函数；x£0,xo hx0,f x0,fx当+8时,为增函数.x£xo,hx0,f x0,fx所以，是的极小值点.X=Xo f x综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点.aWO fx a0fx⑵证明由得，r v1f xo=0,ER x e°=a,0A vf xo=e—a xo+ln x=x e°1—x—In x°,000因为所以fx0,1—xo—In xoO,令rgx=l—x—ln x,g x=—1—~0,在+8上是减函数，且⑴gx0,g=0,由⑴得所以gxg xl,xo£O,1,设6x=ln x—x+1,0,1,当时，所以6为增函数，x£0,1x0,x即6x61=0,x0,即所以一In xx—1,In xl—x,所以所以xlnx+lx,e x+l

0.因为所以x£0,1,e°x+10,1—Xo—In Xol—Xo+1—xoO,相乘得e”1—xo—In xoxo+12—2x°,设，〉则〃司=二〉从而网力在上是增函数,/zx=e—x0,1+0,0,+所以存在玉£』i AJ即二=0,e°-L,x=-lnx.12使得00M%=e—*0又h ij=7e-20,列表如下:a/xo11,+8g00g增函数极大值减函数极小值增函数由表格，可得的极小值为⑴=-；gx g的极大值为gx一％；=—%；+2g%o=%0—l-e+\nx=——2%o+1101因为是关于%的减函数，且不£］、gx083,所以5,1_3gx0乙L所以在］内没有零点.gx0,1又2gl=-g2=e-2+ln20,所以在内有一个零点.gx1,+8综上，只有一个零点.gx【典例】函数〃29x=lnx,g^x=x-x-m+

2.若加求函数厂%=〃的最大值;1=e,x-gx若“尤+％％一无一产在％］恒成立,求实数〃的取值范围.2422£0,22【答案】尸；［1xmax=e—22ln2,+cc.根据题意，代入机求导利用导数研究函数单调性，进而求最值.1=e,2根据题意，则/x+gx/—1—2，在XE0,2］恒成立，提取参数转化成％在］恒成立问题,设x对函数设以幻求导，mx-2e+In%-+2x£0,2hx=x-2e+lnx-x+2,分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围.【详解】2故尸％=—2%+—.1Fx=lnx-x+x+m-2,由/得，；由得，x0Ovxvl/XJvO%

1.・・・尸力在0,1递增,在,+8递减.・•・Fx=Fl=e-

2.max2一九一在九£］恒成立2V/x+gxx2e0,2，加在］恒成立.2—2/+Inx—x+2x£0,2设则v/zx=x-2e+lnx-x+2,h\x=x-le+--

1.当寸，〉x fx10x—10,H.e6,—1,e—e—10,/.h x]

0.x x当时，设〃，〉Ovxvl x—10,x=e-L Mx=e+

40.X JC门、L在递增，又〃一〃”x0,1=Je-20,l=e-l

0.・•・当%£0,%0时,〃九V°；当x£%1时,wx

0.・••当天时，；当宙,时,X£0,/X0X£1“X

0.・••函数人力在天递增,在%」递减,在递增.0,1,2C X1由“工0=/°_得=一，且上々=一/.叫=001------------------------=%—2+In/—+2=%—224+2=3—2X%I1一』,A/zx0,X/z2=ln20120则当］时，则加的取值范围是［xc0,2Mx.=/z2=ln2,in2,y.【典例】已知函数〃的图象在点为自然对数的10x=Q—lx+xlnx e底数处的切线斜率为

4.求实数的值;1⑵若机且机工一对任意恒成立，求力的最大值.cZ,1/%+1%1【答案】=；加的最大值为

1223.由题意得出//=进而可求得实数的值；14,4丫丫-4-1n K-4-1⑵求得/x=x+xlnx,由参变量分离法得出加---------------------------------,构造函数x—1丫丫］丫-4-n-4-1----------------------，利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得gx=y=gx1,+8x—\【详解】〃.,.尸〃

1.x=Q—lx+xlnx,x=lnx+,函数〃x=aTx+xlnx的图象在x=/处的切线斜率为4,・・.广e2=4,即〃+因此，〃；111/=4,=2,3+1=+Wnx+l对任意恒成x1•/mx-l/%对任意X1恒成立，・,・加x-1x-1由知21/x=x+xlnx.立,lnx+2j-l-x+xlnx+l_x-lnx-3//、x+xlnx+1,,,f\令---------------------gx=x-1令〃则x=x-lnx-3,/x=l—LX,.,.〃%=工一一在为增函数，Qxl,111131,+00,,“4=1-ln4v0,“5=2-ln50,・,・存在/£4,5,使〃不=%—In/—3=,当时,函数单调递减；x£l,%o gx0,y=gx当X£XO，+GO时，gx0,函数y=gx单调递增.%==%+£；3+1=%_],gg故有机玉一对恒成立.1X1因此，加的最大值为vx e4,5,.\^-le3,4,

3.0【典例】已知函数/%=11e—ae=

2.

718.若/幻在有两个零点，求〃的取值范围；10,+8加证明存在唯一的极大值点%,且2g%=/%+-1-%,gx、2/1e4【答案】；证明见解析.1a—24⑴设函数px=l-Q/H，求出导数，讨论的范围结合px的变化情况以及零点存在性定理即可求出的取值范围；求出的导数父工=构造函数利用导数判断2gx122—x—2,/2x=2e-x—2,的变化情况即可存在唯一的极大值点，再根据力的性质证明不等式.Ax gx%g0【详解】设函数/二.1px=1-在有两个零点当且仅当在有两个零点./X0,+8px0,+00当时，没有零点;i a0PX0,p%当〉时，依xii a0px=x—2e~.当时，；当时，x£0,2px0x£2,+oo px

0.所以在,单调递减，在单调递增.px22,+8故⑵-当是在的最小值.p=1px[0,+8e

①若即在没有零点；p20,px0,+84

②若〃即〃=二，在只有一个零点;2=0,px0,+84

③若即幺，由于所以在有一个零点,p2v0,p0=l,px0,24当%时，易证一，01p4a=l-^-=l--^-Y l-^^-=l--

0.x ee y2a故在也有一个零点，因此在有两个零点.px2,4px0,+oo综上，/%在有两个零点时，0,+8a—.4证明，2gx=C—x—1,故令x xgx=e2e-x-2,h[x-2e-x-2,li{x}-2e-1,所以在上单调递减，在上单调递增，Ax-oo,In-InL+o22/工112〃20=0,hQn_=2e Jn——2=ln2-l0,/-2=2^---2-2=—0,22〃由零点存在性定理及的单调性知，v/z-2ln,0Zzx2方程在有唯一根，/2x=o-2Jn-2设为/且从而有两个零点七和，2e-/-2=0,/zx0所以在飞单调递增，在/,上单调递减，在单调递增，从而存在唯一的极大值gx-900,+8gx点/即证,由％—得°+2,不,2—2=0e=++步••・如=/泊7-1二审安-玉「1=；-/2+玉”；7=；乙乙1T*T0-取等不成立，所以；得证，g%0又二一，在-*/单调递增，2/ln,gx2L-1所以2得证.g%og-2=/e---2-l=/+/」£、L「、7-2/1从而F/・e4所以Af xo—x e°1—x—In xo2x xo+l1—x=2x l—xo=2x—xo.00o000结论成立.【方法总结】零点问题求解三步曲⑴用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程『并结合的单调性得到零x0=0,fx点的取值范围.⑵以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式.x fx⑶将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时⑴中的零点范围还可以适当缩小.【典例】已知函数己其中为自然对数的底数.当2f x=—In x—x+x,gx=x—e—x2+m e］时,恒成立,求正整数的最大值.x£0,1f xgxm【解析】解当［］时,x£l fxgx,xB|J m―x+2e-In x+x.令］h x=—x+2e—ln x+x,x0,1,所以一；，h x=l—xe“当寸，KxWlH l-x^0,设x则xux=e-x=e+A0,x x所以在］上单调递增.ux0,1因为在区间］上的图象是一条不间断的曲线,ux0,1e-20,ul=e-l0,所以存在使得x euxo=0,o即所以.In b-X当时，；x£0,xo ux0,h x0当时,fx£xo,l ux0,h x

0.所以函数在所上单调递减,在以,上单调递增,所以Ahx0,1hxmin=hxo=―xo+2e°—Inxo+x12—=—xo+2•—+2xo=—1++2x.Xo Xo20因为在上单调递减,y=—l+~+2x x£0,1X又，所以Xo^e1J,hxo=—l++2xo£3,4,所以当时，不等式对任意的恒成立，mW3—x+2e—ln x+x x£0,1]所以正整数的最大值是m

3.【典例】已知函数兀3f x=x+cos x.求函数的最小值；1fx若函数在上有两个零点且《求证2gx=f x—a0,+8xi,X2,x X2,xi+x2时，设显然2x—n sin x hx=2x—n sin x,h x=2—n cosx,h【解析】易知函数为偶函数，故只需求+8时的最小值.『1fx x£[0,fx x=单调递增，而由零点存在性定理知，存在唯一的x h0X0,h S0,x°£0,yl,当xe使得.当时，单调递减，当时，单调递增，h xo=0x£0,xo h x0,hx xR,,52x0,hx而故即h0=0,hgJ=O,x£[0,—y hx0,x£0,—j,f单调递减，又当丁，时，单调x0,fx2x JIn sin x,f x0,fx递增，所以亍.fxmin=1!■•=即函数单调递增，所以Fx FxVF@即当万时，兀-=0,x£0,fxf x,JI JI证明依题意得构造函数2Xi£10,—I,x^l—,+°°I,Fx=f x—fr—x,2r7,F x=f x+f Ji—x=2n—2sinx0,而xiE0,y所以冗一又fXi fXi,fXi=fX2,即冗一此时fX2fXi,X2,n—xiE^—,+°°j.由可知，在仔，上单调递增，所以即1fx+8X2n—X1,Xi+X2n.【典例】已知4f x=x—4x—61nx.求在处的切线方程以及的单调性；1fx1,fl fx对任意有恒成立，求的最2x£l,+°°,xf x—f x x+6k•1-5—12k大整数解;令若有两个零点分别为且为的唯3gx=f x+4x—a—6In x,gx x”X2xiVx2x0gx一的极值点,求证xi+3x4xo.2【解析】因为所以定义域为所以1f x=x—4x—61nx,0,+°°,f x=2x—4—62且「⑴-所以切线方程为.又『P8,fD=-3,y=-8x+5x=~+lx-3,令，解得令金解得所以的单调递减区间为单调递增区间为f x0x3,xV00VxV3,f x0,3,3,+

8./、，/、/,乙小,八十/、K x+xln xx+xln x„,等价于----------------------------，记-------------，则2xf x—f xx+6k1——12k hx=l X—2—In x所以x=l—§o,mxkhxmin,,记则nix=x—2—ln x,n/且hx—~772\刈X—1X—1为上的单调递增函数，且所以存在使得1,+8m3=1—In30,m4=2—In40,x£3,4,0即所以在上单调递减，在8上单调递增，且mxo=O,xo—2—In xo=O,hx1,x°xo,+hxmin=当色所以的最大整数解为=hx°==X°£3,4,k

3.-Xo1证明:23gx=x—aln x,对小洞,则，x+x-g x=2x-3=X X令得、，当时，g X=0,xo=yi xeo,s xo,当+8时，g x0,所以gx在0,J之上单调递减，在卜患，+8,上单调递增，而要使有两个零点，要满足gx gx0V0,0=a2e.因为、令由可得X2y|,gxi=gX2,xi—aln X1=X—aln即所以=普而要证只需证即证X2,x=aln xixi—aln tx.,x+3x4x,3t+Dxi2-\/2a,3t+l2x8a,I20即又所以只需证2222则，3t+l£8a,a0,tl,3t+l ln t-8t+80,4ht=3t+l ln t-8t+8,h t=18t+6In t-7t令+6+p nt=18t+6In t—7t+6+p6t—1则故在上单调递增,nt=181nt+ll+—~2-0tl,nt1,+8nt nlV故在十上单调递增,所以=0,ht1,8ht hl=0,XI+3X24XO.【典例】设函数5f xnx+ax^+bx+c.求曲线在点处的切线方程；1y=fx0,f0⑵设若函数有三个不同零点，求的取值范围；a=b=4,fx c⑶求证2是有三个不同零点的必要而不充分条件.a-3b0fx【解析】⑴解由得2切线斜率=『f xnx+ax+bx+c,f x=3x+2ax+b,k0又所以切点坐标为f0=c,0,c.所以所求切线方程为即y—c=bx—0,bx—y+c=

0.⑵解由得3272a=b=4f x=X+4X+4X+C/.f x=3X+8X+4=3X+2X+2令得fx=0,3x+2x+2=0,2随的变化情况如下:fx,fx X2；11ri+81X—8,—2-

223、尹X00321fX c27解得或x=—2x=-使得fX1=f x=fX3=

0.

2、32由的单调性知，当且仅当可时，函数，有三个不同零点.fx c£1o,f x=x+4x2+4x+c3222,+83’所以，当且万时，存在3r X3^c0c—VO xp—8,—2,X2^—2,—⑶证明当△时，即22一=4a2—12bV0a-3b0,f‘x=3x+2ax+b0,x£OO,+oo,此时函数在区间+8上单调递增,所以不可能有三个不同零点.fx-8,fx当△时，只有一个零点，记作=4@2—12b=0fx=3x+2ax+b x.当时,在区间-8,上单调递增;x£—8,xo fx0,fx xo当+8时,，在区间+8上单调递增.x£xo,fx0,fx xo,所以不可能有三个不同零点.fx综上所述，若函数有三个不同零点，则必有fx A=4a2—12b0,故2是有三个不同零点的必要条件.a-3b0fx当时,2只有两个不同零点，a=b=4,c=0a—3b0,fx=x+4x2+4x=xx+2所以2不是有三个不同零点的充分条件.a-3b0fx因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.a-3b0fx［典例］已知函数xa6fx=e--lnx+aa

0.证明函数在上存在唯一的零点；l/X0,+8若函数在区间上的最小值为求〃的值.2/X0,+8I,【答案】证明见解析；12!2求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明了在上存在1X0,+8唯一的零点即可；根据导函数零点%,判断出的单调性，从而可确定,利用而2/X n=l1nhi以及的单调性，可确定出玉,〃之间的关系，从而的值可求.y=L-lnxX【详解】证明，=一———.1/x=-lnx+a\a

0.f\xx+a•・•靖一〃在区间0,+8上单调递增，-^―在区间0,+8上单调递减，x+a・・・函数，X在0,+8上单调递增.又,令〉r0=a—J=ga=Q—ea0,ga=l—e0,aa ae则在上单调递减，故土ga0,+s gag0=-1,

00.令根=则-------------------------Q+1,f\rri-f\a+1=e02a+1所以函数在上存在唯一的零点.fX0,+8解由⑴可知存在唯一的工£使得广一三即20,+3,i=0,-ax+aQ函数在上单调递增.0,+8x+a・•・当尤£0,4时，f\x0,/x单调递减；当X£%0,48时、/X0,/x单调递增.，厂-•/%min=/%=d—ln%+Q.由*式得------------------------/OOmin=//=^lnX°+Q.I d------------〃显然/+=是方程的解./.In x+=1,10x+ci又•・・y=‘-Inx是单调递减函数，方程」-一lnx0+Q=l有且仅有唯一的解xx^+a+〃=X1,把％代入*式，得，.•.〃=；,即所求实数的值为;.0=1-3-2=1【典例】已知函数7=gx=x+lnx.令妆%=/%-求/%的最小值；1eg%,若/%—之-恒成立，求〃的取值范围.2gx2x+l【答案】；102e,2],有题意知，x根据导数求出函数的单调性，由此可求出函数的最1h[x}=xe-ex+\nx,xe0,4w,小值；原不等式等价于-I”“-1一在£上恒成立,令220,+*x厂，，xxe+x-In x-1，求导得，令姒=易得在x=+lnx,pxx、1J存在唯一的零点方,即；得一，结合函数x0,1x e+lnx0=0,=In ey=x/\o J.11v的单调性得=一，由此可求出答案.%与x°=ln—=—lnx°,【详解】解（）有题意知，）x）（）1h^x=xe-e^x+\nx,xe0,+oo,（（1Ae〃（）（）x=x+l（）-e1+-=x+l/ex）••・当％£（0,1）〃（x）v0,即网力在（0,1）上单调递减,当（）/（尤）＞即/（%）在（）上单调X£1,+00,0,1,+8递增,故光）耳）M21=0,）的最小值为；A h^x0（）原不等式等价于光（））龙2e—x+lnx20—2+1,即比，在工£（,收）上恒成立，+x—lnx—12Zzx等价于xe+x-Inx-在（）上恒成立，x£0,y x//、xxe+x—In x—1/.\n令（）--------------------------，（）x=xe0,+co,JC2xx e+In x「・一（元）=令（），则（力为（）上的增函数,0x=/e+lnx,O0,+8又当时，必%）-⑴＞，

1.0-oo,°=e在（）存在唯一的零点餐,即；0,1x e“+lnx=O,o丫（］、In m—由（）（----------------与，+lnx=0=xe°=-=In-e玉）\玉）/又有＞=，在（）上单调递增，X0,+8,11v・=—,..x0=ln—=—lnx°,2=2,人

0.b2,・・・/的取值范围是y,2].【典例】已知函数工8/1=2—2x+ae1讨论函数的单调性；1当时，判断函数〃零点的个数,并说明理由.24=1gx=x—-f+lnx【答案】答案见解析；只有一个零点，理由见解析.12gx求出导数按〃分类讨论确定了的正负，得函数的单调性；17‘X,X求出导函数对其中一部分，设〉用导数确定它的零点这样可2gx,/zx=e—Lx O,%£0,1,确定的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论.gx【详解】的定义域为〃，当时,则在上1/x R,rx=2x—2e+x2—2x+e=f+a—2e,/%0,/x R是增函数；当〃时，=[炉一2[x2-q]e=x+j2-4k”,所以尸土；x=Oox=J2—a，或〉/-〃；/%0=x-2-a x%0-J2-ax2-a,所以〃犬在卜逝-上是减函数，在00々和上是增函数.a,,2-a-,-2-j2-a,+oo0I当时，2其定义域为2a=l gx=a-l-e——%+In%,0,+,1则gx=x+lx—l e——.。