《菱形》教学设计 课件

《菱形》教学设计八年级数学冀教版下册专题教学本课件全面讲解菱形的概念、性质、判定方法及实际应用，培养学生的几何思维和空间想象能力课题引入探秘菱形世界在我们的日常生活中，菱形随处可见从传统风筝、交通标志到高级珠宝首饰，菱形的优美形态被广泛应用那么，什么是菱形？它有哪些独特的几何特性？今天，我们将一起探索菱形的奥秘课时目标与要求知识目标掌握菱形的定义、基本性质及判定方法能力目标培养空间想象与逻辑推理能力素养目标提高几何思维和数学应用能力知识回顾四边形家族在学习菱形之前，让我们先回顾四边形家族的其他成员平行四边形矩形正方形对边平行且相等四个角都是直角四边相等•••对角相等对边平行且相等四个角都是直角•••对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线相等且互相垂直平分•••菱形的定义菱形定义从定义可知，菱形同时具有以下两个基本特征菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边都相等•作为平行四边形，它的对边平行四条边的长度都相等•简单来说菱形是所有边都相等的平行四边形菱形的基本性质概览边的性质四条边长度相等对角线性质对角线互相垂直平分角的性质对角相等，对角线分别平分两组对角对称性质具有轴对称和中心对称性性质一边长全等菱形的四条边长都相等这一性质使菱形在实际应用中具有特殊价值这是菱形最基本的特性，也是其定义的直接体现•结构稳定性好受力均匀•如图所示，菱形的四条边长都是ABCD a能够保持形状不变•AB=BC=CD=DA=a性质二对角线互相垂直菱形的两条对角线和互相垂直，且在交点处成角AC BD O90°证明思路利用三角形全等证明，可以证明在菱形中，△≌ABCD AOB△DOA推理过程由于两个三角形全等，所以∠∠AOB=DOA结论由于这两个角互补，且相等，所以它们都是直角，即对角线⊥AC BD性质三对角线平分两个内角对角线平分内角证明要点在菱形中以对角线平分∠为例ABCD AC BAD对角线平分∠和∠在△中，（菱形性质）•AC BAD BCD

1.ABD AB=AD对角线平分∠和∠所以△是等腰三角形•BD ABC ADC

2.ABD等腰三角形的顶角平分线垂直于底边

3.因此平分∠

4.AC BAD性质四对角线平分彼此菱形的两条对角线互相平分，即在交点处和O AO=OC BO=OD平行四边形性质延伸推理重要结论菱形是特殊的平行四边形，平行四边因此菱形对角线必然互相平分，交点这意味着菱形具有中心对称性，交点O O形的对角线互相平分是两条对角线的中点是对称中心菱形的判定方法小结判定方法一判定方法二四边相等的四边形是菱形四边相等的平行四边形是菱形判定方法四判定方法三平行四边形一条对角线平分两角则对角线互相垂直的平行四边形是菱为菱形形判定方法一四边相等样题解析证明思路已知四边形满足，证明它是菱形由已知条件，四边形的四边相等ABCD AB=BC=CD=DA

1.ABCD连接，得到△和△

2.AC ABC ADC由边边边判定，△≌△

3.ABC ADC所以∠∠，∠∠

4.ABC=ADC BCA=DCA由对边平行的判定可知，∥，∥

5.AB DC BC AD因此，是平行四边形且四边相等，即为菱形

6.ABCD判定方法二对角线垂直例题已知平行四边形ABCD，对角线AC⊥BD，求证ABCD是菱形第一步在平行四边形ABCD中，连接对角线AC和BD，它们相交于点O第二步由平行四边形性质，O是两对角线的中点，即AO=OC，BO=OD第三步由已知AC⊥BD，即∠AOB=90°第四步在△AOB和△BOC中，AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD=90°由斜边、直角边判定，△AOB≌△COD第五步所以AB=BC=CD=DA，即ABCD是菱形判定方法三对角线平分内角互动证明题已知平行四边形中，对角线平分∠和∠，证明是菱形ABCD AC BADBCD ABCD证明思路结论推导由已知，平分∠，即∠∠综合以上推理

1.ACBADBAC=DAC平分∠，即∠∠

2.AC BCDBCA=DCA四边形是平行四边形•ABCD在△中，∠∠

3.ABC BAC=BCA且满足，•AB=BCAD=DC所以△是等腰三角形，

4.ABC AB=BC由平行四边形性质，，•AB=DCBC=AD同理可证△是等腰三角形，

5.ADC AD=DC因此•AB=BC=CD=DA所以是菱形•ABCD作业巩固基础判定1下面哪些图形是菱形？请判断并说明理由图形图形图形图形A BC D四边相等，四角相等四边相等，对角线垂直对边平行相等，邻边不等对角线垂直，但不是平行四边形菱形与平行四边形关系关系说明核心区别菱形是平行四边形的特例，满足平行四边形的所有性质，特征平行四边形菱形并有自己的独特性质对边平行且相等平行且相等不是所有的平行四边形都是菱形，只有当平行四边形的四边相等时，它才是菱形邻边不一定相等必定相等对角线互相平分互相垂直平分菱形与正方形、矩形区别菱形正方形四边相等，对角线互相垂直平分，四边相等，四角都是直角，对角线对角不一定相等相等且互相垂直平分特殊关系矩形正方形既是特殊的矩形，也是特殊对边平行相等，四角都是直角，对的菱形角线相等且互相平分生活中的菱形实例赏析常见菱形应用菱形受欢迎原因传统风筝的基本框架菱形在生活中广泛应用，主要因为•道路警示和指示标志•结构稳定性好•钻石切割的几何形状•受力均匀，不易变形•中式传统窗格设计•视觉效果突出•现代建筑外立面设计•几何美感强•金属网围栏的网格结构•空间利用率高•菱形与对称性轴对称性菱形有两条对称轴，即它的两条对角线沿对角线折叠，两半完全重合中心对称性菱形具有中心对称性，对称中心是两对角线的交点旋转180°后与原图形完全重合对称性应用菱形的对称性使它在设计和工程中有特殊价值，如建筑结构、装饰图案等菱形面积公式推导菱形面积公式公式理解这个公式非常直观菱形可以被对角线分成个全等的直角三角形•4其中，₁和₂分别是菱形的两条对角线长度d d每个三角形的面积为₁₂•d×d/4四个三角形的总面积即为菱形面积•因此，菱形面积₁₂•=d×d/2面积公式推导详细步骤第一步确认已知条件设菱形ABCD的两条对角线分别为AC=d₁和BD=d₂，交于点O第二步利用对角线性质由菱形性质知道，对角线互相垂直且平分，即AC⊥BD，AO=OC，BO=OD第三步分割为三角形对角线将菱形分成四个全等的直角三角形△AOB，△BOC，△COD，△DOA第四步计算单个三角形面积以△AOB为例，其面积为S△AOB=1/2×AO×BO=1/2×d₁/2×d₂/2=d₁×d₂/8第五步求菱形总面积S菱形=4×S△AOB=4×d₁×d₂/8=d₁×d₂/2典型例题已知对角线长求面积例题解答已知菱形的两条对角线长分别为厘米，厘根据菱形面积公式ABCD AC=6BD=8米，求菱形的面积ABCD代入已知数据所以，菱形的面积是平方厘米ABCD24变式训练已知边长与一内角求面积例题解答思路已知菱形的边长为厘米，一个内角为，求菱形当已知边长和一个内角时，可以用三角函数求面积ABCD560°aθ的面积ABCD代入数据菱形的面积约为平方厘米ABCD

21.65菱形的作图方法一利用一边和一角作菱形的步骤第一步1画一条线段AB，长度为菱形的边长第二步2以A为圆心，AB为半径，画一个圆第三步3以B为顶点，画出与AB形成给定角度的射线第四步4在此射线上取点C，使BC等于AB第五步5以C为圆心，AB为半径，画一个圆第六步6以A为圆心，AB为半径的圆与以C为圆心的圆交于点D第七步7连接AD和CD，完成菱形ABCD的作图菱形的作图方法二利用对角线作菱形的步骤第一步1画两条互相垂直的线段AC和BD，相交于点O第二步2确保O是两条线段的中点，即AO=OC，BO=OD第三步3连接AB、BC、CD、DA四条线段第四步4完成菱形ABCD的作图这种方法直接利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，作图简便直观菱形在几何证明中的应用1典型应用案例证明过程证明问题在菱形中，连接对角线，证明三角形在菱形中，由定义知道ABCD AC

1.ABCD AB=BC是等腰三角形ABC在△中，

2.ABC AB=BC所以△是等腰三角形

3.ABC进一步地，如果取菱形的任意三个顶点，都可以形成一个等腰三角形这说明菱形的四个顶点两两之间的距离只有两种可能应用分割与组合问题2菱形的分割与组合在几何问题中非常有用分割为三角形两个三角形组菱形铺砌菱形嵌套成菱形对角线将菱形菱形可以无缝大菱形可以分两个全等的三分成四个全等铺砌平面，常割成若干个相角形沿一边拼的三角形，便用于装饰设计似的小菱形接可形成菱形于面积计算应用论坛数学竞赛真题赏析3竞赛真题解题思路如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，对角线AC=8，求菱

1.在菱形中，对角线互相垂直平分形的面积设另一对角线，则是两对角线的交点

2.BD=2x O由于∠，可在直角三角形中使用三角函数

3.A=60°AOB，其中

4.sin60°=BO/AO AO=AC/2=

45.BO=BD/2=x所以

6.x=4×sin60°=4×√3/2=2√

37.BD=2x=4√3菱形面积

8.S=1/2×AC×BD=1/2×8×4√3=16√3小组讨论菱形的多样利用请分组讨论以下问题建筑领域1菱形在建筑结构中有哪些应用？举例说明其优势艺术设计2如何利用菱形的几何特性创造视觉效果？试设计一个基于菱形的图案自然科学3自然界中有哪些菱形结构？这些结构为什么采用菱形？工程应用4在桥梁、电塔等工程结构中，菱形桁架有什么特殊价值？动手活动折纸菱形通过折纸制作菱形，加深对菱形性质的理解准备材料1准备一张正方形纸第一步2将纸张对折，然后展开，形成中线折痕第二步3将左下角折到中线上的任意位置第三步4将右下角也折到同一点第四步5将上部多余的纸张向后折叠第五步6展开，一个完美的菱形就完成了巩固训练判断与选择1选择题1下列四边形中，一定是菱形的是（）A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.四边相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形选择题2在菱形ABCD中，如果∠A=120°，则∠C等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°选择题3菱形的面积为20平方厘米，一条对角线长为8厘米，则另一条对角线长为（）A.4厘米B.5厘米C.8厘米D.10厘米巩固训练计算与解答2计算题计算题12已知菱形的边长为厘米，对角线厘米，求对角在菱形中，已知∠，边长为厘米，求菱形的面ABCD5AC=8ABCD A=45°6线的长度和菱形的面积积和对角线长度BD计算题3已知菱形的周长为厘米，对角线和互相垂直，且，求菱形的面积ABCD28AC BDAC=BD思维拓展菱形的变式1问题探究思考分析边长相等但对角线不垂直的四边形是否存在？如果存在，若四边形四边相等，则它一定是菱形

1.它是什么图形？而菱形的对角线必然互相垂直

2.因此，不存在边长相等但对角线不垂直的四边形

3.这个结论告诉我们四边相等是菱形的充要条件，对角线互相垂直是菱形的必要条件思维拓展特殊菱形实例2正方形等边菱形对角线特例当菱形的一个内角为时，菱形成为所有菱形的边都相等，但特殊情况下当菱形两对角线相等时，菱形也成为90°正方形，其所有内角都是对角相等时形成正方形正方形90°特殊菱形的研究帮助我们理解四边形家族的内在联系，正方形是矩形和菱形的交集巧用菱形解竞赛题竞赛题示例解题思路如图，四边形中，，且∠∠，根据已知，，且∠∠ABCD AB=BC=CD ABC=BCD=90°

1.AB=BC=CDABC=BCD=90°求证⊥AC BD注意到四边形不是菱形（因为只有三边相等）

2.连接和，交于点

3.AC BDO在△中，且∠，所以△是等腰直

4.ABC AB=BC ABC=90°ABC角三角形同理，△也是等腰直角三角形

5.BCD利用等腰三角形性质和向量方法，可以证明⊥

6.AC BD课堂小测验判断题1菱形的对角线一定相等（）填空题2在菱形中，对角线的交点到各顶点的距离_____计算题3已知菱形的对角线，，求菱形的周长ABCD AC=6cm BD=8cm证明题4证明菱形的对角线是菱形内角的平分线知识网络整理性质定义四边相等、对角线互相垂直平分、对四边相等的平行四边形角线平分内角判定应用四边相等、对角线垂直、对角线平几何证明、工程结构、艺术设计分内角作图面积一边一角法、对角线法₁₂S=d×d/2菱形易错点提醒误区一对角线长度菱形的对角线不一定相等，只有在菱形是正方形时对角线才相等误区二内角大小菱形的四个内角不一定都相等，只有对角相等（即∠A=∠C，∠B=∠D）误区三判定条件四边形对角线互相垂直不足以判定它是菱形，还需满足是平行四边形或四边相等误区四与正方形关系不是所有菱形都是正方形，只有当菱形的一个角是直角时，它才是正方形数学史菱形的起源词源探究中国古代的菱形一词源于古希腊语，最初指一种可以旋转的魔法中国古代称菱形为菱，最早可追溯到战国时期的几何研Rhombus轮盘，形状为等边四边形古希腊数学家欧几里得在其著究《周髀算经》和《九章算术》中都有对菱形面积计算作《几何原本》中系统研究了菱形的性质的记载古代建筑、窗格和家具装饰中常见菱形图案，如传统窗棂中的田字格变形菱形在科学与艺术中的应用工程结构伊斯兰艺术晶体结构现代建筑桁架结构中的几何图案中的许多矿物晶体菱形外立面设菱形单元提供菱形排列创造呈菱形结构，计既美观又有了极高的稳定出复杂而和谐如方解石和石助于建筑结构性和承重能力的视觉效果英强度课堂互动生活中菱形创意拍摄大赛活动说明活动要求请同学们在日常生活中寻找并拍摄菱形物体或图案，可以每位同学至少提交张原创照片

1.2是自然界中的、建筑中的、生活用品中的等各种菱形照片需标注拍摄地点和物体名称

2.简单说明为什么这个物体采用菱形设计

3.可以适当添加创意元素

4.照片将在班级展示，评选出最有创意、最美丽和最特别的菱形作品课外链接高阶平面图形探究风筝四边形两组邻边分别相等的四边形，具有一条对角线为对称轴梯形有且仅有一组对边平行的四边形，是平行四边形的推广圆内接四边形四个顶点都在同一个圆上的四边形，对角互补这些高阶四边形各有特性，与菱形既有联系又有区别，进一步探究可以加深对平面几何的理解家庭作业安排基础作业1完成教材页练习题题P78-801-10探究作业2搜集两例生活中的菱形，并画图分析其特征及应用原理挑战作业（选做）3尝试证明在菱形中，顶点到对角线的距离相等请在下节课前完成作业，并准备简要分享你对菱形的新发现课堂反馈与自评请完成以下自评表菱形定义菱形性质我能准确描述菱形的定义和基本特征我能说出菱形的主要性质并理解其证明100%80%菱形判定菱形应用我能运用菱形的判定方法解决实际问我能识别生活中的菱形并理解其应用题价值60%90%答案讲解基础判定题1选择题答案选择题答案12正确答案正确答案D C解析对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形而、解析在菱形中，对角相等，即∠∠，∠∠所A BA=CB=D和选项都不是菱形的充分条件以如果∠，则∠也等于CA=120°C120°选择题答案3正确答案B解析根据菱形面积公式₁₂，代入，₁，得到₂S=d×d/2S=20d=8d=5答案讲解综合应用题2计算题答案1已知菱形的边长为厘米，对角线厘米代入，₁，得ABCD5AC=8a=5d=8对角线的长度BD在菱形中，边长与对角线₁、₂存在关系a dd菱形的面积₁₂平方厘米S=1/2×d×d=1/2×8×6=24答案讲解小测验答案3判断题1答案错菱形的对角线不一定相等，只有当菱形是正方形时对角线才相等填空题2答案等于各对角线长度的一半菱形的对角线互相平分，所以对角线交点到各顶点的距离分别等于各对角线长度的一半计算题3答案厘米20解析菱形边长满足₁₂，所以a a²=d²+d²/4=6²+8²/4=36+64/4=25a=5厘米菱形周长厘米=4a=4×5=20延伸拓展题参考解析拓展题证明思路如图，在菱形中，对角线和交于点，点是边在菱形中，对角线⊥ABCD AC BDOP AB

1.ACBD上的一点，连接和，证明⊥PC PDPC PD设向量，

2.OA=x,0OB=0,y则，

3.OC=-x,0OD=0,-y设在上，有

4.P ABP=OA+t·OB-OA利用向量的点积，可证⊥

5.PC PD这道题体现了菱形的对称性和向量方法在几何证明中的应用，是对基础知识的深化和拓展本节课要点回顾定义1菱形是四边相等的平行四边形，具有特殊的几何性质性质2四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角判定3四边相等、对角线垂直、对角线平分内角等判定方法面积4菱形面积等于两对角线乘积的一半作图5一边一角法和对角线法作菱形应用6几何证明、工程结构、艺术设计等实际应用感谢与总结通过本节课的学习，我们深入探索了菱形这一特殊四边形的奥秘菱形不仅是数学概念，更是我们身边随处可见的几何形状数学源于生活，菱形处处可见从风筝、钻石到建筑结构，菱形的稳定性和对称美深深地融入了我们的日常希望大家能够带着好奇心，继续探索更多数学美的奥秘，发现数学与生活的紧密联系下节课我们将继续探索四边形家族的其他成员，敬请期待！。