整式的乘除教学课件

整式的乘除教学课件整式的定义回顾基本概念整式是由数字和字母通过有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子，其中字母的指数必须是非负整数•单项式仅由数字和字母的乘积（或除以常数）构成的代数式•多项式由若干个单项式通过加减运算连接而成的代数式指数的基础知识指数的定义指数表示同一个数字连续相乘的次数例如其中，称为底数，称为指数a n幂的基本性质当为正整数时n•a^1=a•任何不为零的数的零次幂等于1，即a^0=1a≠0指数规则公式同底数幂相乘当两个幂的底数相同时，相乘时指数相加这是整式乘法运算的基础公式之一公式举例•x^2×x^3=x^{2+3}=x^5•y^4×y^2=y^{4+2}=y^6幂的乘法法则法则表述例题展示复杂应用同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加计算计算x^3×x^42a^2×2a^3解x^3×x^4=x^{3+4}=x^7幂的运算易错点指数书写易错法常见错误•将a^2×b错写成a^2b（正确a^2×b或a^2·b）•将ab^2写成a^2b^2（正确a^2b^2是a^2×b^2，而ab^2=a^2b^2）•将a^2+a^3写成a^5（正确不能直接加，应保持为a^2+a^3）指数相加/相乘混淆记住•a^m×a^n=a^{m+n}（乘法时指数相加）•a^m+a^n≠a^{m+n}（加法时不能合并指数）单项式和多项式回顾单项式的定义与特点多项式的结构拆解单项式是只由数字和字母相乘所得的代数式，如多项式是由若干个单项式通过加减运算连接的代数式，如3x²y,-5a²b³,7mn²3x²+2xy-5y²单项式由系数和字母部分组成，如中，为系数，为字母部分3x²y3x²y单项式与单项式相乘运算法则单项式相乘遵循以下步骤系数相乘得到新系数

1.同底数字母的指数相加

2.不同字母保持原样相乘

3.例题计算3x²y×5xy³解系数相乘

1.3×5=15字母的指数相加⁺

2.x x²×x=x²¹=x³字母的指数相加⁺

3.y y×y³=y¹³=y⁴单项式间运算法则归纳运算法则这个公式体现了乘法的交换律和结合律，可以灵活调整乘法顺序，方便计算对于单项式相乘，我们可以将系数与字母部分分别处理例题讲解计算2a²b×3ab³×4a³b²解系数相乘

1.2×3×4=24字母的指数相加⁺⁺

2.a a²×a×a³=a²¹³=a⁶字母的指数相加⁺⁺

3.b b×b³×b²=b¹³²=b⁶单项式相乘练习题练习1练习2计算计算5x³×2x⁴3a²b³×2a⁴b解解系数系数5×2=103×2=6指数⁺指数x³×x⁴=x³⁴=x⁷a²×a⁴=a⁶,b³×b=b⁴答案答案10x⁷6a⁶b⁴练习3计算-2x²y×3x³y²×4xy解系数-2×3×4=-24指数x²×x³×x=x⁶,y×y²×y=y⁴单项式与多项式相乘基础分配律的应用单项式与多项式相乘时，单项式要分别与多项式的每一项相乘，这是基于分配律推广到多项式具体步骤将单项式与多项式的每一项分别相乘

1.每次乘法按单项式乘法法则进行

2.保留原多项式的加减号

3.单项式与多项式相乘例题A例题步骤1计算2x²3x-4y+5应用分配律，将2x²分别与括号内的每一项相乘步骤2结果计算各部分乘积合并得到单项式与多项式相乘例题B例题分析计算-3a²b4a²b-2ab²+6b解

1.应用分配律

2.分别计算注意事项与结果括号展开注意事项•保持原多项式中各项之间的正负号•负号分配时要特别注意符号变化•确保每一步计算都准确无误最终结果多项式和多项式相乘原理1分配律的扩展应用多项式相乘基于分配律的两次应用这表明两个多项式相乘，需要第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项2结合律的辅助作用结合律帮助我们灵活调整计算顺序多项式与多项式相乘步骤详细步骤将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项分别相乘

1.按照单项式相乘法则计算每一对项的乘积

2.将所有乘积项合并为一个多项式

3.合并同类项（如果有）

4.用表格或网格法可以使这个过程更清晰，避免遗漏项算式分解练习对于，分解为a+bc+d•a×c=ac•a×d=ad•b×c=bc•b×d=bd多项式乘法例题详解A例题计算2x+3x-4分配计算第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘•2x×x=2x²•2x×-4=-8x•3×x=3x•3×-4=-12合并同类项将所有乘积连接起来合并同类项多项式乘法例题详解B例题计算3a-2ba+4b错误示范直接将各项系数相乘，得到3a·a+3a·4b-2b·a-2b·4b=3a²+12ab-2ab-8b²=3a²+10ab-8b²这里的错误在于中间的合并同类项12ab-2ab=10ab（正确）正确计算过程

1.3a×a=3a²

2.3a×4b=12ab

3.-2b×a=-2ab

4.-2b×4b=-8b²多项式乘法总结步骤二单项式乘法步骤一分解项按照单项式乘法法则计算每对项的乘积系数相乘，同底数字母的指数相将两个多项式的每一项分别相乘，可以采用网格法或交叉相乘法进行组织加步骤四整理结果步骤三合并同类项将所有乘积项合并，找出同类项（即字母部分完全相同的项），将它们的系数合并整式的除法初步同底数幂相除法则理解整式除法的关键是掌握同底数幂相除的规则这表明同底数的幂相除时，底数不变，指数相减例如x⁵÷x²=x⁵⁻²=x³运算关键点•注意底数不能为0•指数必须是相减而非相除•当mn时，结果为a的负指数幂幂的除法与法则除法公式特殊情况•当m=n时a^m÷a^m=a^0=1a≠0•当mn时a^m÷a^n=a^{m-n}（此时指数为负数，在中学阶段通适用条件（避免除以零）常转化为分数形式）a≠0例如y⁸÷y³=y⁸⁻³=y⁵单项式除以单项式A非零除数条件在进行单项式除法前，必须确保除数不为零对于单项式，这意味着•除数的系数不能为0•除数中的字母（作为变量）不能取使其为0的值通常我们假设所有字母都不为，简化讨论0指数减法操作单项式除法的步骤系数相除被除式系数除数系数

1.÷同字母指数相减被除式指数除数指数

2.-单项式除法例题A例题计算15a⁴b³÷3a²b系数相除15÷3=5字母指数相减的指数，所以a4-2=2a⁴÷a²=a²的指数，所以b3-1=2b³÷b=b²最终结果单项式除法例题B复杂系数组合计算-18x⁵y³z²÷-6x²y⁴z解

1.系数-18÷-6=

32.字母x的指数5-2=3，所以x⁵÷x²=x³

3.字母y的指数3-4=-1，所以y³÷y⁴=y⁻¹=1/y

4.字母z的指数2-1=1，所以z²÷z=z最终结果-18x⁵y³z²÷-6x²y⁴z=3x³·1/y·z=3x³z/y注意当指数为负数时，通常将该字母写到分母，并取其绝对值作为指数单项式除法易错点指数减法错误分母为零问题常见错误除法运算的前提是除数不为，这意味着0•将a⁶÷a²算成a³（错误，正确应为a⁴）•除数的系数不能为0•将x⁴÷x⁵算成x⁻¹（错误，正确应为x⁻¹）•在实际应用中，需要限定字母取值范围，排除使除数为0的情况•将y³÷y³算成y⁰而非1（y⁰=1是正确答案）记住指数是相减，不是相除！多项式除以单项式分配律应用多项式除以单项式时，应用除法的分配律即多项式的每一项分别除以单项式，然后将结果相加操作步骤将多项式的每一项分别除以单项式

1.每次除法按单项式除法法则进行

2.保留原多项式的加减号

3.多项式除以单项式例题A例题计算6x³-9x²+12x÷3x分配除法按照分配律，将每一项分别除以3x单项式除法分别计算每一项最终结果合并得到多项式除以单项式例题B含括号与负号的处理计算4a³b-8a²b²+12ab³÷-4ab解

1.将多项式每一项分别除以-4ab

2.分别计算多项式除以单项式典型错误忽略符号错误常见错误•将6x²-9x÷3x计算为2x-3（正确）•将6x²-9x÷-3x计算为-2x+3（正确）•将6x²-9x÷-3x计算为-2x-3（错误！忽略了原多项式中的负号变化）记住除以负数时，被除式的每一项符号都要改变！遗漏分项错误常见错误•将12a³b+6a²b-18ab²÷6ab直接计算，没有对每一项分别除•只对部分项进行除法运算，漏掉某些项•对原多项式先进行合并，然后再除以单项式（在有些情况下可能导致错误）多项式除法练习与归纳训练题归类计算15x⁴y-20x³y²+25x²y³÷5x²y解练习212a²b³-18a³b²+6a⁴b÷6a²b解2b²-3ab+a²整式的乘法公式引入平方差公式两个式子相乘，一个是和式，一个是差式，且这两个式子中的和完全一样，这a b种特殊乘积的结果是两个完全平方数之差例如x+3x-3=x²-9完全平方公式一个和式的平方等于第一项的平方，加上两倍的两项之积，再加上第二项的平方平方差公式推导代数推导通过多项式乘法规则，我们可以直接计算注意中间的-ab和+ab相互抵消，这是平方差公式的代数本质完全平方公式推导代数推导通过多项式乘法规则，我们可以直接计算注意中间的ab出现了两次，所以有2ab项应用示例乘法公式应用练习平方差练习完全平方练习计算计算2a+5b2a-5b x-7²解使用公式解使用公式a+ba-b=a²-b²a+b²=a²+2ab+b²a=2a,b=5b a=x,b=-72a+5b2a-5b=2a²-5b²x-7²=x²+2×x×-7+-7²=4a²-25b²=x²-14x+49混合练习计算3x+2y²-3x-2y²解3x+2y²=9x²+12xy+4y²3x-2y²=9x²-12xy+4y²乘法公式错题分析常见错误分析错误将写成1a+b²a²+b²纠正，中间漏掉了a+b²=a²+2ab+b²2ab错误将写成2a-b²a²-b²纠正，不是a-b²=a²-2ab+b²a²-b²错误将写成3a+ba-b a²-2ab+b²纠正，不含项a+ba-b=a²-b²ab符号混淆问题注意事项•在平方差公式中，结果始终是第一项的平方减去第二项的平方•在完全平方公式中，当b为负数时要特别注意2ab项的符号•记住-b²=b²，负数的平方是正数整式的乘除综合例题A例题步骤1多项式乘以单项式计算3x²-5xy+2y²×2x÷6y3x²-5xy+2y²×2x=6x³-10x²y+4xy²步骤2多项式除以单项式标准答案最终整理得6x³-10x²y+4xy²÷6y x³/y-5x²/3+2x/3=x³/y-5x²/3+2x/3整式的乘除综合例题B复杂例题计算[2a-b2a+b-a-2b²]÷a+b解2a-b2a+b=2a²-b²=4a²-b²a-2b²=a²-4ab+4b²

1.先计算方括号内的第一部分

2.再计算方括号内的第二部分易错题现场演练1错误案例一学生解答x+3²=x²+3²错误分析漏掉了中间项2ab正确解答x+3²=x²+2×x×3+3²=x²+6x+9解决策略记住完全平方公式的完整形式a+b²=a²+2ab+b²2错误案例二学生解答2x+52x-5=4x²-25x错误分析混淆了平方差公式正确解答2x+52x-5=2x²-5²=4x²-25学生自主探究活动分组操作设计活动目标通过自主设计题目，深化对整式乘除运算的理解分组方法4-5人一组，共4-6组操作步骤

1.每组设计2-3道整式乘除综合运算题

2.题目需包含单项式与多项式的乘除、多项式间的乘法或乘法公式应用

3.题目难度适中，需有完整解答过程

4.小组内交流验证题目的正确性展示与点评展示形式•每组选代表在黑板上书写一道题目及解答•其他小组尝试解答并提出改进建议•教师对题目设计与解答过程进行点评•讨论题目中可能存在的陷阱和解题技巧数学实际应用场景A物理公式中的整式乘除生活算例举例圆柱体的体积公式V=πr²h一个正方形草坪，边长为a米如果要在四周增加一条宽度为米的小路，那么小路的b如果半径增加到原来的倍，高度减少到r2h面积为原来的一半，新体积为大正方形面积小正方形面积-=a+2b²V=π2r²h/2=π·4r²·h/2=2πr²h-a²=2V=a²+4ab+4b²-a²=4ab+4b²这表明体积增加为原来的倍，体现了整式2乘除在实际问题中的应用=4ba+b数学实际应用场景B工程问题中的整式简化一个长方体水箱，长a米，宽b米，高c米若长增加10%，宽减少5%，为保持容积不变，高应如何变化？原体积V=a×b×c新体积V=

1.1a×

0.95b×x=

1.045ab×x设V=V，则abc=

1.045abx解得x=c/

1.045≈

0.957c即高度应减少约

4.3%数学建模过程在设计变速齿轮系统时，不同齿轮半径的比例关系可表示为若两齿轮半径分别为r₁和r₂，角速度分别为ω₁和ω₂，则信息技术与整式运算利用计算器进行整式运算数学软件的应用现代科学计算器可以直接输入和计算代数表达式例如，要计算，可以专业数学软件如、或可以处理复杂的整式运算3x+24x-5GeoGebra MathematicaMatlab•可视化展示多项式乘除的过程和结果在计算器上选择代数模式

1.•执行复杂的代数操作，如因式分解、展开、化简等输入表达式

2.3x+24x-5•生成整式运算的步骤分解，帮助理解计算过程计算器会显示展开结果

3.12x²-15x+8x-10=12x²-7x-10•验证猜想和探索代数规律这种方式可以帮助检验手工计算的正确性合作学习小组成果展示小组成果展示内容第一组整式乘法公式的变形应用•展示如何利用平方差公式简化a+3a-3+a+4a-4•提出观察a+ma-m+a+na-n=2a²-m²+n²第二组代数式与几何图形的联系•利用乘法公式计算特殊几何图形的面积•如a+b²对应一个正方形的面积，可拆分为四个部分第三组实际问题建模•设计一个花坛面积问题，涉及整式乘除•讨论变量取不同值时的结果变化第四组整式运算中的模式发现•研究a+b^n展开式的规律•探索a+b+c²的展开式与a+b²的关系概念迁移与因式分解预告整式乘法将多个因式相乘，得到一个乘积式例x+3x+2=x²+5x+6方向从因式到乘积整式除法将一个式子除以另一个式子例x²+5x+6÷x+3=x+2方向从乘积到部分因式因式分解将一个多项式表示成几个多项式乘积的形式例x²+5x+6=x+3x+2整式运算法则归纳幂的运算法则整式乘法法则•同底数幂相乘a^m×a^n=•单项式乘法系数相乘，同字母指数相加a^m+n•同底数幂相除a^m÷a^n=a^m-•单项式与多项式分配律n a≠0ab+c=ab+ac•幂的幂a^m^n=a^m×n•多项式与多项式每一项分别相乘•同指数幂相乘a^n×b^n=•平方差公式a+ba-b=a²-b²a×b^n•完全平方公式a+b²=a²+2ab+b²•同指数幂相除a^n÷b^n=a÷b^n b≠0整式除法法则•单项式除法系数相除，同字母指数相减•多项式除以单项式每一项分别除•运算顺序先乘方，再乘除，最后加减典型整式运算误区一览常见错误总结错误表达式正确表达式纠错要点a+b²=a²+b²a+b²=a²+2ab+b²记住中间项2aba-b²=a²-b²a-b²=a²-2ab+b²记住中间项-2aba^m×a^n=a^m×n a^m×a^n=a^m+n指数是相加不是相乘a+b×c+d=ac+bd a+b×c+d=ac+ad+bc+bd需要完全展开检查与自测练习1练习题一计算2x-3y3x+2y参考答案6x²-5xy-6y²解析应用多项式乘法，将第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项2x3x+2x2y+-3y3x+-3y2y=6x²+4xy-9xy-6y²=6x²-5xy-6y²2练习题二计算3a²b-6ab²+9ab÷3ab参考答案a-2b+3解析应用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，，3a²b÷3ab=a-6ab²÷3ab=-2b9ab÷3ab=3教师课堂小结知识点回顾

1.整式的基本概念单项式、多项式

2.幂的运算法则同底数幂相乘指数相加，相除指数相减

3.单项式乘法系数相乘，指数相加

4.多项式乘法分配律应用，每项分别相乘

5.乘法公式平方差公式与完全平方公式

6.单项式除法系数相除，指数相减

7.多项式除以单项式每项分别除今日学习收获•掌握了整式乘除的基本法则•理解了乘法公式的推导与应用•学会了利用分配律化简代数表达式•能够进行较复杂的整式乘除混合运算•认识了整式乘除与实际问题的联系学生作业与提高建议课后作业布置基础练习•教材P45习题

2.3第1-8题•课后练习册P15-16第1-10题提高练习•教材P46思考题第1-3题•课后练习册P17挑战题第1-2题预习内容教材

2.4节因式分解初步拓展阅读与思考题推荐书目挑战思考题•《趣味代数》，作者严士健尝试证明以下恒等式•《数学的魅力代数卷》，作者吴大愚•《几何与代数的互译》，作者张景中推广思考推荐网站•中国数学奥林匹克网（www.cmo.org.cn）•如何利用乘法公式快速计算99²、101²等特殊数的平方？•GeoGebra互动数学（www.geogebra.org）•能否找出a+b+c²展开式的规律？•可汗学院数学课程（www.khanacademy.org）课程总结与展望知识点梳理总结在本单元中，我们学习了•整式的基本概念与分类•单项式间的乘除运算•多项式的乘法与除法•乘法公式及其应用•整式乘除在实际问题中的应用这些知识构成了代数运算的基础，为后续学习奠定了坚实基础。