柳重堪高等数学教学课件

柳重堪《高等数学》教学课件欢迎使用柳重堪《高等数学》教学课件，这套课件专为工科及理科基础课程精心设计，全面覆盖高等数学上下册的主要知识点本教材对应117学时的电视/网络课程，为您提供全面系统的高等数学学习体验目录函数与极限函数概念、初等函数、极限理论、连续性导数及其应用导数定义、求导法则、微分应用、优化问题积分及其应用不定积分、定积分、面积计算、体积计算空间解析几何与向量代数空间坐标系、向量运算、直线与平面方程多元函数微分学多元函数、偏导数、全微分、极值问题重积分与曲线曲面积分二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分微分方程基础高等数学课程定位培养逻辑与抽象思维能力理工科核心基础课程高等数学课程不仅传授知识，更重要的是培养学生的逻辑推理能力和抽象思维作为理工科专业的核心基础课程，高等数学为学生提供了解决工程技术问题的能力通过严密的数学推导和抽象概念的学习，学生能够建立起严谨的思维方数学工具它是物理学、工程学、计算机科学等众多学科的理论基础，是现代式，这对于解决复杂问题至关重要科学技术的基石教材概述1分册结构2教材特色配套资源《高等数学》教材分为上册与下册两部分由柳重堪等资深教授编著，是国内发行量较上册主要涵盖函数、极限、导数、积分等基大的高等数学教材之一教材特点是内容精础内容；下册侧重于多元函数、重积分、微炼、例题丰富、理论与实践结合紧密，难度分方程等进阶知识，体系完整，结构清晰适中，非常适合自学与课堂教学学习目标与方法核心学习目标推荐学习方法高等数学学习不仅要掌握基础理论，更要熟练掌握解题技巧学习目标包括•注重例题和习题训练，通过实践加深理解理解数学概念的本质；掌握各类计算方法；培养建立数学模型的能力；提高逻•做好课前预习和课后复习的结合辑推理水平•善用教材配套资源，观看视频课程成功学习高等数学将使你具备分析和解决复杂问题的能力，这是现代工程师和•组建学习小组，通过分组讨论促进理解科学家必备的素质•建立知识图谱，将各章节内容有机联系第章函数与极限1函数概念与表示函数是描述变量之间依赖关系的数学模型本章将从集合与映射角度引入函数概念，讨论函数的表示方法，包括解析式、图像、表格等多种表达形式初等函数类型与性质系统介绍幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数的基本性质与图像特征这些函数是高等数学的基础工具，了解它们的性质对后续学习至关重要极限思想的引入极限是微积分的核心概念，本章将从直观认识入手，逐步引入数列极限和函数极限的严格定义，并阐释极限思想在数学和现实问题中的应用极限的定义与运算数列与函数极限极限的重要性质极限是微积分的基础概念，可分为数列极限和函数极限数列极限研究数列项•唯一性若极限存在，则极限值唯一随着项数增大的变化趋势；函数极限则关注自变量趋于某值时函数值的变化•局部有界性若极限存在，则函数在趋近点附近有界•局部保号性若极限为正/负，则函数在趋近点附近保持正/负•四则运算法则极限的和、差、积、商运算规则ε-δ定义当x→x₀时，fx→A∀ε0，∃δ0，当0|x-x₀|δ时，有⟺•夹逼准则若fx≤gx≤hx且lim fx=lim hx=A，则lim gx=A|fx-A|ε极限计算典型例题夹逼定理经典应用求limn→∞1+1/n^n时，可利用夹逼定理通过二项式展开并舍去高阶项，证明这个极限夹在2和3之间，进而精确求得e的值例证明limn→∞1+1/n^n=e洛必达法则应用当遇到0/0或∞/∞型未定式时，洛必达法则是强大的计算工具通过求导数之比代替原函数之比，往往能化简计算过程例求limx→0e^x-1-x/x^2指数、对数型极限指数、对数型极限常与无穷大量有关，掌握一些等价无穷小替换和变形技巧，能够有效处理此类问题例求limx→0x^a·ln x无穷小与无穷大无穷小等价替换泰勒近似简单举例无穷小量是指极限为0的变量，是极限理论中的重要概念无穷小等价替换是泰勒级数是高等数学中的重要工具，它可以将函数表示为无穷多项式之和在极限计算的有力工具，能够大大简化计算过程极限计算中，常利用泰勒展开式的前几项进行近似计算•e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...+x^n/n!+...当x→0时等价无穷小•sin x=x-x³/3!+x^5/5!-...sin x≈x•cos x=1-x²/2!+x^4/4!-...•ln1+x=x-x²/2+x³/3-...|x|1tan x≈x例如，计算limx→01-cos x/x²时，可用cos x≈1-x²/2代入，得到结果e^x-1≈x为1/2ln1+x≈x1-cos x≈x²/2连续与间断点连续函数定义函数fx在点x₀连续，当且仅当

①fx₀有定义；

②limx→x₀fx存在；

③limx→x₀fx=fx₀即函数值等于函数在该点的极限值，表现为图像无间断间断点类型第一类间断点左右极限都存在•可去间断点左右极限相等但不等于函数值•跳跃间断点左右极限存在但不相等第二类间断点至少有一侧极限不存在，如无穷间断点、振荡间断点重要定理连续函数具有重要性质，是解决实际问题的理论基础•介值定理在[a,b]上连续的函数必取到介于fa与fb之间的任何值•零点定理若fa·fb0，则a,b内至少存在一点ξ使fξ=0•最值定理在闭区间上连续函数必有最大值和最小值导数与微分导数定义与几何意义可导与不可导实例导数是函数变化率的度量，定义为函数在一点可导意味着该点的切线存在唯一，图像光滑常见不可导情况包括•尖点如|x|在x=0处左右导数不相等•垂直切线如y=∛x在x=0处导数为无穷大几何意义函数图像在点x₀,fx₀处的切线斜率物理意义描述瞬时变化•跳跃点如分段函数在分段点可能不可导率，如速度是位移对时间的导数微分是函数增量的线性主部，记为df=fxdx，是线性近似的基础基本求导法则四则运算法则复合函数求导和差法则u±v=u±v链式法则y=fgx乘法法则u·v=u·v+u·v y=fgx·gx除法法则u/v=u·v-u·v/v²这是处理复杂函数最常用的方法基本初等函数导数x^n=nx^n-1反函数求导sin x=cos x若y=fx的反函数x=φy存在cos x=-sin x4则φy=1/fx，其中x=φye^x=e^xln x=1/x隐函数与参数方程求导隐函数微分法步骤经典隐函数实际应用例题隐函数是指无法直接用y=fx表示，而是以Fx,y=0形式给出的函数求导步隐函数求导在实际问题中有广泛应用，如求曲线的切线方程、法线方程等骤如下例题求曲线x³+y³=3axy在点a,a处的切线方程

1.对方程两边同时求导，注意y是x的函数解对方程两边求导3x²+3y²y=3ay+3axy

2.将含有y的项移到一边，其余项移到另一边整理得y=ay-x²/y²-ax

3.解出y，得到导数表达式在点a,a处y=a²-a²/a²-a²，为不定型例如，对于方程x²+y²=1，求导得2x+2yy=0，解得y=-x/y使用洛必达法则或隐式微分，最终得到切线方程为x+y=2a导数存在性的判别1单侧导数的概念函数在一点的导数存在，当且仅当该点的左导数和右导数都存在且相等左导数f₋x₀表示x从左侧趋近x₀时的导数极限，右导数f₊x₀则是从右侧趋近时的极限f₋x₀=limh→0⁻[fx₀+h-fx₀]/hf₊x₀=limh→0⁺[fx₀+h-fx₀]/h2不可导点的分析常见的不可导点类型包括•尖点左右导数存在但不相等，如|x|在x=0处•角点图像在该点有转角，如y=|x-1|在x=1处•垂直切线点导数为无穷大，如y=∛x在x=0处•跳跃点函数不连续，导数必不存在•振荡点如y=x²sin1/x在x=0处3不可导但连续的函数举例一个典型的例子是y=|x|函数，它在x=0处连续但不可导虽然左右极限都等于0，满足函数连续性条件，但左导数为-1，右导数为1，两者不相等，因此在x=0处不可导另一个例子是y=x^2/3在x=0处连续但不可导，导数趋于无穷大这说明函数连续是可导的必要但非充分条件高阶导数与常用技巧阶导数的概念递推与归纳法结合n函数fx的n阶导数是指对fx求n次导数的结果，记为f^nx高阶导数在求解复杂函数的高阶导数时，递推公式与数学归纳法常常结合使用例如，求物理中有重要应用，如加速度是位移对时间的二阶导数1+x^a的n阶导数一些基本函数的高阶导数有规律可循设y=1+x^a，则y=a1+x^a-1，y=aa-11+x^a-2，...•e^x的n阶导数e^x^n=e^x归纳可得y^n=aa-

1...a-n+11+x^a-n•sin x的n阶导数sin x^n=sinx+nπ/2莱布尼茨公式是求复合函数高阶导数的重要工具•cos x的n阶导数cos x^n=cosx+nπ/2•x^m的n阶导数当nm时为0；否则为m!/m-n!·x^m-n其中C_n^k表示组合数，即从n个元素中取k个的方法数导数的应用总览1函数单调性判断利用一阶导数的符号判断函数的增减性•若fx0，则函数在该区间上单调递增•若fx0，则函数在该区间上单调递减•若fx=0，则x为函数的驻点（可能是极值点）2极值点的确定寻找函数的极值点需要综合一阶导数和二阶导数

1.求解fx=0，得到驻点

2.若fx₀0，则x₀为极小值点

3.若fx₀0，则x₀为极大值点

4.若fx₀=0，需要进一步分析3凹凸性与拐点分析利用二阶导数研究函数的凹凸性•若fx0，则函数在该区间上为凹函数（向上凸）•若fx0，则函数在该区间上为凸函数（向下凸）•若fx₀=0且前后fx变号，则x₀为拐点4曲线最值判定流程求函数在区间[a,b]上的最值，遵循以下步骤

1.求解fx=0，得到所有内部驻点

2.计算端点值fa和fb

3.计算所有驻点处的函数值

4.比较所有值，最大的是最大值，最小的是最小值极值与最值问题闭区间极值定理应用经济与工程优化案例函数fx在闭区间[a,b]上的最值必定在以下位置之一导数在经济与工程中有广泛应用，如

1.区间内的驻点，即fx=0的点•利润最大化求解利润函数Px的极值

2.区间内函数不可导的点•成本最小化找出成本函数Cx的最小值

3.区间端点a和b•材料优化如求最小表面积的容器设计•效率最大化如寻找最佳生产批量求解步骤

①求出所有上述点；

②计算这些点处的函数值；

③比较大小，确定最值这一方法广泛应用于最优化问题的求解例生产x件产品的总成本Cx=3000+10x+

0.01x²，求单位成本最低时的产量解单位成本cx=Cx/x=3000/x+10+

0.01x，求导并令cx=0，得x=√300000≈548件函数图像与微分确定定义域与特殊点绘制函数图像的第一步是确定函数的定义域，以及函数图像上的特殊点，如函数值为零的点、不连续点等这些点往往是理解函数行为的关键分析导数与单调性通过计算一阶导数并分析其符号，可以确定函数的增减区间将定义域划分为若干区间，在每个区间上确定函数是增函数还是减函数，这有助于理解函数的整体变化趋势研究二阶导数与凹凸性通过分析二阶导数的符号，确定函数的凹凸区间和拐点凹函数fx0的图像向上凸，凸函数fx0的图像向下凸拐点是函数由凹变凸或由凸变凹的点确定渐近线分析函数在无穷远处的行为，确定水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线渐近线反映了函数在极限情况下的趋势，是理解函数整体行为的重要工具综合绘制图像结合以上分析结果，绘制函数图像确保图像在关键点（如极值点、拐点、不连续点）处的行为正确，并正确反映函数的整体趋势和特性罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数fx满足

①在闭区间[a,b]上连续；

②在开区间a,b内可导；如果函数fx满足

①在闭区间[a,b]上连续；

②在开区间a,b内可导，则至少

③fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0存在一点ξ∈a,b，使得几何意义如果曲线的两个端点高度相同，则曲线上至少有一点的切线平行于x轴罗尔定理告诉我们，满足条件的函数在区间内必有一个水平切线这一定理是几何意义曲线上存在一点，该点处的切线平行于连接曲线两端点的割线微分学中的基本定理，也是拉格朗日中值定理的特例物理意义如果fx表示位移，则存在一个时刻，物体的瞬时速度等于平均速度拉格朗日中值定理是微分学的核心定理，是证明许多重要结论的基础不定积分基础原函数与积分符号积分基本性质如果函数Fx的导数是fx，即Fx=fx，则称Fx为不定积分具有以下基本性质fx的原函数一个函数的原函数不唯一，相差一个常数•∫[fx±gx]dx=∫fxdx±∫gxdx不定积分记为∫fxdx=Fx+C，其中C是积分常数不•∫kfxdx=k∫fxdx k为常数定积分与导数互为逆运算，即[∫fxdx]=fx•∫f[φx]φxdx=∫fudu u=φx这些性质是进行积分运算的基础，尤其是第三条性质，是换元积分法的理论依据常用积分公式以下是一些基本积分公式•∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1•∫1/x dx=ln|x|+C•∫e^x dx=e^x+C•∫sin x dx=-cos x+C•∫cos x dx=sin x+C•∫sec^2x dx=tan x+C•∫1/√1-x^2dx=arcsin x+C•∫1/1+x^2dx=arctan x+C换元积分法变量替换的基本思想典型分式与三角型积分换元积分法是通过变量替换将复杂积分转化为简单积分的方法其基本思想一些典型的换元积分例子是设u=φx，则dx=φxdu，将∫fφxφxdx转化为∫fudu•∫Rsin x,cos xdx型可令t=tanx/2进行有理化换元法主要有两种形式•∫Rx,√ax²+bx+cdx型根据判别式情况选择不同换元

1.第一类换元法令u=φx，将x表示为u的函数，然后对u积分•∫Re^xdx型令u=e^x简化计算

2.第二类换元法令x=ψt，将积分变量从x变为t，然后对t积分•∫Rxdx，其中R是有理分式采用部分分式分解选择合适的换元是解决积分问题的关键，通常需要根据被积函数的形式选择恰例计算∫sin²x cos³x dx当的替换变量解令u=sin x，则du=cos xdx，原积分变为∫u²cos²x cos xdx=∫u²1-u²cos xdx=∫u²1-u²du=∫u²-u⁴du=u³/3-u⁵/5+C=sin³x/3-sin⁵x/5+C分部积分法1分部积分基本公式2复杂函数分解原则3对称分部积分法应用分部积分法基于导数的乘积法则，其基本公在选择u和v时，通常遵循ILATE原则，按某些特殊形式的积分可以通过多次应用分部式为照以下顺序选择u积分法，利用其对称性得到方程，然后求解

1.I反三角函数Inversetrigonometric functions例如，计算I=∫e^x·sin xdx

2.L对数函数Logarithmic functions第一次分部积分u=sin x，v=e^x，得I=

3.A代数函数Algebraic e^x·sin x-∫e^x·cos xdxfunctions，如多项式、有理函数等第二次分部积分计算J=∫e^x·cos xdx，这一方法特别适用于被积函数是两类不同函

4.T三角函数Trigonometric得J=e^x·cos x+∫e^x·sin xdx=数的乘积，如幂函数与三角函数、幂函数与functions e^x·cos x+I指数函数、三角函数与指数函数等关键在于选择合适的ux和vx，使得

5.E指数函数Exponential functions代入得I=e^x·sin x-J=e^x·sin x-∫vxuxdx比原积分更容易计算例如，计算∫x·e^xdx时，选择u=x（代数e^x·cos x-I函数），v=e^x（指数函数）解得I=e^x·sin x-e^x·cos x/2+C有理函数积分与特殊积分部分分式展开常见型特殊积分举例有理函数是指两个多项式的商Px/Qx计算有理函数的积分，关键是将其除了有理函数积分，还有一些特殊类型的积分需要特定技巧分解为简单部分分式之和分解步骤•∫sin^m xcos^n xdx根据m、n的奇偶性选择不同策略

1.若分子次数不小于分母，先进行多项式长除，得到多项式与真分式之和•∫sinaxsinbxdx,∫cosaxcosbxdx利用积化和差公式

2.将分母因式分解为不可约因式的乘积•∫√a²±x²dx使用三角换元或双曲换元

3.对每个不可约因式，按其重数和类型设置待定系数•∫Rx,√ax²+bx+cdx根据判别式使用特定换元

4.通过待定系数法求解这些系数例计算∫dx/√1-x²例如，对于分母为x-a^m的因式，对应的部分分式形式为解令x=sin t，则dx=cos t dt，原积分变为∫cos tdt/cos t=∫dt=t+C=arcsin x+C定积分的定义1问题的起源定积分概念源于计算曲边图形的面积问题人们发现，通过将区域划分为无数个小矩形，然后求和，可以近似计算复杂图形的面积当划分越来越细时，近似值趋于一个固定值，这就是定积分的直观理解2和的极限定义将区间[a,b]分为n个子区间，在每个子区间上取一点ξᵢ，构造黎曼和当最大子区间长度λ→0时，如果S的极限存在且唯一，则称此极限为函数fx在区间[a,b]上的定积分，ₙ记为3黎曼积分思想黎曼积分是最常用的定积分理论一个函数在区间上可积的充要条件是函数在区间上有界，且不连续点集的测度为零实际上，连续函数、单调函数、有限个不连续点的函数都是可积的4几何意义当fx≥0时，∫₍ₐ,ᵦ₎fxdx表示曲线y=fx与x轴及x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积若fx有正有负，则定积分表示上方面积减去下方面积的代数和定积分计算方法基本函数直接积分换元、分部积分混合技巧利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的基本步骤定积分的换元法有所不同，需要同时改变积分上下限

1.求出被积函数的一个原函数Fx

2.计算Fb-Fa的值例如，计算∫₀²x²dx其中x=φt，a=φα，b=φβ原函数Fx=x³/3，则∫₀²x²dx=[x³/3]₀²=2³/3-0=8/3分部积分法同样适用于定积分此外，一些特殊定积分有固定结果，如•∫₀^π/2sin xdx=1•∫₀^π/2cos xdx=1例计算∫₀^π/2x·sin xdx•∫₀¹x^n dx=1/n+1n-1解令u=x，dv=sin xdx，则du=dx，v=-cos x∫₀^π/2x·sin xdx=[-x·cos x]₀^π/2+∫₀^π/2cos xdx=[-π/2·cosπ/2+0·cos0]+[sin x]₀^π/2=0+0+1-0=1积分上限函数与微积分基本定理积分上限函数的性质牛顿莱布尼茨公式与实际例题-设函数fx在区间[a,b]上连续，定义积分上限函数微积分基本定理的第二部分是著名的牛顿-莱布尼茨公式积分上限函数具有以下重要性质其中Fx是fx的任一原函数这个公式将定积分的计算转化为不定积分的计算，极大地简化了定积分的求解过程

1.Fx在[a,b]上连续

2.若fx在点x₀处连续，则Fx在x₀处可导，且Fx₀=fx₀例题若fx=sin x，求证Fx=∫₀^x sintdt=1-cos x

3.特别地，Fa=0证明令Gx=1-cos x，则Gx=sin x=fx，且G0=1-cos0=0=F0由微积分基本定理，Fx=fx=sin x，且F0=0根据导数的唯这一结论建立了定积分与导数之间的直接联系，是微积分基本定理的第一部一性定理，可知Fx=Gx=1-cosx分定积分应用面积I曲边梯形面积两曲线围成的面积极坐标下的面积计算最基本的定积分应用是计算曲边梯形的面积，即函数图像与x轴对于两个函数fx和gx，若在区间[a,b]上有fx≥gx，则这两在极坐标系中，曲线r=rθ从θ=α到θ=β所扫过的扇形面积为及两条垂线所围区域的面积个函数的图像与x=a、x=b所围成的区域面积为这一公式在处理圆形、螺线等极坐标曲线时特别有用例如，计如果fx有正有负，则上式计算的是函数图像上方面积减去下方如果两曲线有交点，需要先求出交点坐标，然后分段积分在实算心形线r=a1+cosθ所围成的面积面积的代数和若要计算实际面积，需要分段积分际应用中，有时需要利用对称性或分割区域来简化计算其中f₊x=max{fx,0}，f₋x=max{-fx,0}定积分应用体积II旋转体体积公式空腔旋转体与分段旋转法旋转体是指平面区域绕坐标轴旋转形成的立体图形计算旋转体体积的基本方法是截面法，即将对于两个曲线fx和gx fx≥gx≥0所围区域的旋转体，可以使用空腔法体积看作许多薄片的叠加绕x轴旋转当曲线y=fx a≤x≤b,fx≥0所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为绕y轴旋转同理，当绕y轴旋转时，体积为对于复杂的区域，可能需要分段计算或使用柱壳法这两个公式也被称为盘面法公式，因为每个截面都是圆盘形状例计算y=x²和y=x所围区域绕x轴旋转所得旋转体的体积解两曲线交点为0,0和1,1，应用公式得定积分应用长度与作功III曲线弧长计算平面曲线的弧长可以通过定积分计算对于函数y=fx a≤x≤b的图像，其弧长为参数方程表示的曲线x=xt,y=ytα≤t≤β的弧长为极坐标曲线r=rθα≤θ≤β的弧长为变力沿直线作功物理中，力F沿直线从点a移动到点b所作的功为如果力的大小和方向随位置变化，需要考虑力在位移方向的分量例计算弹簧从自然长度拉伸到长度L所需的功解根据胡克定律，弹力F=kx，其中k为弹簧常数，x为形变量液体压力与功当液体对竖直平板产生压力时，总压力等于其中ρ为液体密度，g为重力加速度，hx为深度，wx为宽度将液体从一个容器抽到高处所需的功为其中Ah为不同深度处的液体横截面积积分中常见错误及克服1换元时的常见错误在使用换元积分法时，容易出现以下错误•忘记转换积分变量∫fgxdx≠∫fudx，正确的是∫fudu·dx/du•忘记转换积分限定积分换元后，必须同时改变积分上下限•选择不当的换元有时选择不合适的换元会使积分变得更复杂克服方法严格按照公式操作，在换元后检查是否完成了所有必要的转换，尝试不同的换元方法并比较难易程度2分部积分的顺序问题分部积分法中，u和v的选择直接影响计算的复杂度•选择不当可能导致循环，无法得到结果•未遵循ILATE原则可能增加计算难度•某些情况下需要连续多次分部积分克服方法遵循ILATE原则选择u和v，对于循环型积分，可以利用循环关系列方程求解，必要时尝试其他积分方法3上下限变化的陷阱在处理定积分时，上下限的处理常有陷阱•换元后忘记转换积分限，或转换错误•在区间可加性应用中分割点选择不当•处理奇偶性或周期性时积分限设置错误•当被积函数在某点不连续时未正确处理克服方法换元后仔细检查新的积分限，确保连续性，利用函数的对称性简化计算，遇到不连续点时应分段积分空间解析几何基础空间直角坐标系向量基本概念空间直角坐标系由三条互相垂直的坐标轴组成，通常记为x轴、y轴和z轴空空间向量是有大小和方向的量，可用有序三元组表示a=a₁,a₂,a₃向量的间中的点P用有序三元组x,y,z表示，表示点P到三个坐标平面的有向距离模长为两点P₁x₁,y₁,z₁和P₂x₂,y₂,z₂之间的距离为两点P₁x₁,y₁,z₁和P₂x₂,y₂,z₂确定的向量为空间中的球面方程为向量运算包括加减法a±b=a₁±b₁,a₂±b₂,a₃±b₃其中x₀,y₀,z₀为球心坐标，r为球的半径数乘λa=λa₁,λa₂,λa₃单位向量eₐ=a/|a|向量投影projba=a·b/|b|多元函数与极限二元及多元函数概念二重极限与路径依赖性二元函数是指形如z=fx,y的函数，其中自变量是有序对x,y，因变量是z二二元函数fx,y在点x₀,y₀的极限定义为元函数的几何表示是三维空间中的曲面多元函数的定义域是n维空间的子集，值域是实数集的子集如三元函数w=fx,y,z，四元函数u=fx,y,z,t等意味着对于任意ε0，存在δ0，使得当0√x-x₀²+y-y₀²δ时，有|fx,y-二元函数的等值线（等高线）是平面上满足fx,y=c的点的集合，直观地表示了L|ε函数的变化特性与一元函数不同，二元函数的极限可能存在路径依赖性，即沿不同路径趋近同一常见二元函数点时，函数值可能收敛到不同极限例如•平面z=ax+by+c•抛物面z=x²+y²•双曲抛物面z=x²-y²当x,y→0,0时，沿y=x路径得到极限1/2，沿y=0路径得到极限0，说明极限不存•球面x²+y²+z²=r²在判断二重极限存在的常用方法

1.利用极坐标变换

2.考察沿不同路径的极限

3.使用夹逼定理或等价无穷小代换偏导数定义与计算1偏导数的定义2偏导数的计算法则3二元函数偏导例题对于二元函数z=fx,y，关于x的偏导数是计算偏导数时，将不参与求导的变量视为例1求fx,y=x²y+sinxy的偏导数指固定y值，将z视为x的函数，然后求导常数，然后应用普通导数的规则解fxx,y=2xy+y·cosxy数•和差法则u±vx=ux±vxfyx,y=x²+x·cosxy•乘法法则uvx=uxv+uvx例2求fx,y=ex²+y²的偏导数•除法法则u/vx=uxv-uvx/v²解令u=x²+y²，则fx,y=eu•复合函数法则若z=fgx,y，则zx=fxx,y=eu·ux=ex²+y²·2xfg·gx同理，关于y的偏导数是fyx,y=eu·uy=ex²+y²·2y几何意义fxx₀,y₀表示曲面z=fx,y在点x₀,y₀,fx₀,y₀处与y=y₀平面的交线的切线斜率多元泰勒公式泰勒展开基本形式近似计算在工程中的应用二元函数fx,y在点x₀,y₀附近的泰勒展开式多元泰勒公式在工程计算中有广泛应用

1.函数值近似计算使用一阶或二阶泰勒展开近似计算复杂函数值

2.误差分析估计测量误差或计算误差的传播

3.优化算法牛顿法等优化算法的理论基础

4.物理模型许多物理模型中的线性化近似例利用泰勒公式近似计算√

1.02²+

0.98²其中Rn是n阶余项一阶泰勒展开（线性近似）为解设fx,y=√x²+y²，在点1,1处展开fx1,1=x/√x²+y²|1,1=1/√2fy1,1=y/√x²+y²|1,1=1/√2这实际上是函数在点x₀,y₀处切平面的方程∴f

1.02,

0.98≈f1,1+fx1,

11.02-1+fy1,

10.98-1=√2+1/√2·

0.02+1/√2·-

0.02=√2≈

1.414二重积分定义与性质1二重积分的定义2二重积分的性质3可迭代性（费比尼定理）设函数fx,y在有界闭区域D上有界，将D分割为二重积分具有以下基本性质二重积分最重要的性质是可迭代性，即可以转化n个小区域ΔSi，在每个小区域内任取一点为两次一重积分（先一个变量，再一个变量）•线性性质∬D[αfx,y+βgx,y]dS=ξi,ηi，构造黎曼和α∬Dfx,ydS+β∬Dgx,ydS•区域可加性若D=D₁∪D₂且D₁∩D₂的测度为0，则∬Dfx,ydS=∬D₁fx,ydS+∬D₂fx,ydS•保号性若在D上fx,y≥gx,y，则当小区域的最大直径λ→0时，若Sn的极限存在且∬Dfx,ydS≥∬Dgx,ydS或者唯一，则此极限称为fx,y在区域D上的二重积分，记为•估值不等式若m≤fx,y≤M，则mSD≤∬Dfx,ydS≤MSD•中值定理存在点ξ,η∈D，使得∬Dfx,ydS=fξ,ηSD几何意义当fx,y≥0时，二重积分表示以D为底，以z=fx,y为顶的立体体积其中D是x型区域a≤x≤b,φ₁x≤y≤φ₂x，或y型区域c≤y≤d,ψ₁y≤x≤ψ₂y这一定理大大简化了二重积分的计算，是多元积分计算的基础二重积分的计算直角坐标求解极坐标与积分区域划分技巧在直角坐标系中，计算二重积分的步骤当积分区域具有极坐标特征或被积函数包含x²+y²时，极坐标变换常能简化计算

1.确定积分区域D的边界，表示为x型区域或y型区域

2.选择积分次序（先x后y，或先y后x），通常选择能简化计算的顺序

3.设置积分限，写出迭代积分表达式

4.分别计算内层和外层积分极坐标下的面积元素dxdy=rdrdθ，二重积分转化为例计算∬Dx+ydxdy，其中D是由抛物线y=x²和直线y=2x所围成的区域解抛物线与直线交点为0,0和2,4表示为x型区域积分区域描述为α≤θ≤β，r₁θ≤r≤r₂θ例计算∬Dx²+y²dxdy，其中D是圆x²+y²≤a²解采用极坐标变换，得计算内层积分∫x²2xx+ydy=xy+y²/2|x²2x=2x²+2x²/2-x·x²+x⁴/2=2x²+x²-x³-x⁴/2计算外层积分∫022x²+x²-x³-x⁴/2dx=3x³/3-x⁴/4-x⁵/10|02=3·8/3-16/4-32/10=8-4-16/5=4-16/5=20/5-16/5=4/5对于复杂区域，可以将其分割为多个简单区域，分别计算后求和常微分方程基础一阶可分离变量方程一阶齐次方程一阶线性方程形如gyy=fx或gydy=fxdx的方程称为形如y=fy/x的方程称为齐次方程形如y+Pxy=Qx的方程称为一阶线性方可分离变量方程程求解步骤求解步骤求解步骤（常数变易法）

1.令u=y/x，则y=ux，y=u+xdu/dx

1.分离变量，将方程整理为gydy=fxdx的

1.求出对应齐次方程y+Pxy=0的通解y=

2.代入原方程，得到关于u的可分离变量方程形式Ce-∫Pxdx

3.解出u=φx，再代回y=ux得到原方程的

2.两边积分∫gydy=∫fxdx+C解

2.令C=Cx，代入原方程求解Cx

3.解出y=φx,C

3.积分得Cx，代回得原方程的通解例求解y=x+y/x例求解y=y/x通解公式y=e-∫Pxdx[∫Qxe∫Pxdxdx+解令u=y/x，则y=ux，y=u+C]解分离变量得dy/y=dx/x，两边积分得lny=xdu/dx，代入得u+xdu/dx=x+ux/x=1lnx+lnC=lnCx，解得y=Cx+u整理得xdu/dx=1，分离变量得du=dx/x，积分得u=lnx+C，代回得y=xlnx+Cx典型应用与建模案例物理中的速度、位移计算经济学增长模型举例微分方程在物理问题中有广泛应用，特别是在描述运动时微分方程在经济学中也有重要应用，例如•速度与位移关系v=dx/dt，其中x是位移，t是时间•复利增长模型dP/dt=rP，其中P是资金，r是利率•加速度与速度关系a=dv/dt=d²x/dt²•有限资源增长模型dP/dt=rP1-P/K，其中K是环境容量•牛顿第二定律F=ma=m·d²x/dt²•市场价格调整模型dp/dt=αDp-Sp，其中D是需求函数，S是供给函数例一个质点在阻力与速度成正比的介质中运动，求其运动方程例索洛经济增长模型设阻力为-kv，外力为F，则设kt是人均资本，s是储蓄率，δ是折旧率，n是人口增长率，则当F为常数时，这是一个二阶常系数线性微分方程，可解得其中fk是人均产出函数在柯布-道格拉斯生产函数fk=Akα下，方程可解得稳态人均资本k*，满足sfk*=n+δk*随着时间增加，指数项趋于零，质点以恒定速度F/k运动典型习题解析极限计算定积分应用微分方程问题求limx→0sin3x-3sinx/x³问题求由曲线y=x²,y=2-x²围成的区域面问题求微分方程y=y²sinx的通解积解析利用泰勒展开，sinx=x-x³/6+解析分离变量，得dy/y²=sinx dxox³，代入得解析首先求两曲线的交点，解方程x²=2-两边积分∫dy/y²=∫sinx dxx²，得x²=1，x=±1-1/y=-cosx+C区域面积为解得y=1/cosx-C这里需注意验证解的有效性，当cosx=C时，解不存在=limx→03x-9x³/6+ox³-3x+3x³/6+ox³/x³=limx→0-9x³/6+3x³/6+ox³/x³==2-2/3--2+2/3=4/3+4/3=8/3limx→0-6x³/6+ox³/x³=-1课堂互动与自学指导建议课堂小组讨论网络视频课后资源利用/VCD高等数学学习需要思考和讨论，建议在课堂上进行以下互动形式高等数学的学习可以充分利用多媒体资源进行辅助•概念讨论以小组为单位，讨论重要概念的理解和应用

1.配套VCD教程每章节对应的视频讲解，可以反复观看难点内容•解题比赛教师提供挑战性问题，小组合作解决

2.网络视频资源•错解分析分析常见错误解法，加深理解•公开课视频知名大学的高等数学课程•应用探讨讨论数学概念在专业领域的应用•解题视频针对典型习题的详细解析•互教互学学生轮流讲解题目，培养表达能力•概念讲解抽象概念的形象化解释

3.学习平台利用在线学习平台进行自测和练习这些互动形式能够激发学习兴趣，加深对知识的理解，培养团队合作和解决问题的能力

4.学习建议•视频与教材结合先学教材，再看视频加深理解•做好笔记观看视频时记录关键点和解题思路•问题导向带着问题看视频，更有针对性学习总结与能力提升创新应用1将数学知识应用于解决实际问题，培养创新思维分析推理2培养逻辑分析能力，能够从定理出发推导结论计算技能3掌握各种计算方法，提高计算准确性和速度知识理解4理解基本概念、定理和公式的含义及应用条件知识记忆5记住基本定义、公式和定理，形成知识基础高等数学学习是一个由浅入深的过程，从基础知识的记忆到最终的创新应用，每一步都至关重要在学习过程中，要注重理论与实践的结合，培养解决实际问题的能力理论知识串联方面，可以通过以下方式提升构建知识图谱，明确各章节的内在联系；总结解题思路和方法，形成自己的方法论；定期回顾和反思，巩固已学知识实践创新能力的培养则需要尝试解决开放性问题；将数学工具应用于专业领域；参与数学建模等实践活动通过这些方式，将使高等数学从课本知识转变为思维工具高等数学学习展望与建议1后续高阶数学课程衔接高等数学是后续数学课程的基础，与之密切相关的课程包括•复变函数研究复数域上的函数，是电气、控制等专业的重要工具•数学物理方程研究物理现象中的偏微分方程，广泛应用于物理、工程领域•概率论与数理统计处理随机现象和数据分析，几乎所有学科都需要•线性代数研究线性空间和线性变换，是大数据、人工智能等领域的基础•泛函分析研究函数空间，是现代数学和理论物理的重要工具在学习高等数学时，应当注意与这些后续课程的衔接，为将来的学习打好基础2推荐参考书目除了柳重堪的《高等数学》教材外，以下参考书籍也值得推荐•《高等数学》（同济大学编）内容全面，例题丰富，是国内最常用的教材之一•《数学分析》（华东师范大学编）理论性强，适合希望深入学习的学生•《普林斯顿微积分读本》直观形象，物理背景丰富，有助于理解•《微积分的历程》介绍微积分的历史发展，有助于理解概念的来源•《数学分析中的典型问题与方法》针对常见难点问题的详细讲解此外，还可利用在线学习资源，如中国大学MOOC、学堂在线等平台的高等数学课程3终身学习与数学素养数学学习不应止步于课程结束，而应成为终身学习的一部分数学素养的培养对个人发展有重要意义•思维能力数学训练培养逻辑思维和抽象思维能力•问题解决数学方法论有助于分析和解决各种实际问题•批判精神数学的严谨性培养批判性思考习惯•创新能力数学思维是创新的重要基础建议在专业学习和工作中，持续关注数学的应用，将数学思维方式融入日常思考，不断提升自己的数学素养这将使你终身受益，在各个领域都能游刃有余。