素数合数教学课件

素数与合数本课件适合五年级及以上学生，全面系统讲解素数与合数的概念、判定及应用，帮助学生建立扎实的数论基础学习目标掌握素数、合数的定义及判定方法学习如何通过因数分析来判断一个数是素数还是合数能够准确分类给定数字通过练习能够快速判断日常生活中遇到的数字类型培养逻辑分析能力通过素数与合数的学习，提高数学思维和分析能力新课导入你知道这些数的秘密吗？让我们先来看看这些数字卡片思考•这些数字有什么共同点？1•它们之间又有什么不同？•你能将它们分成不同的类别吗？2今天我们将揭开这些数字背后的秘密，了解素数与合数的奥妙世界！345678910因数回顾因数定义小练习找出8的因数如果一个整数a能被整数b整除，则称b是a的因数，a是b的倍数请同学们思考8能被哪些数整除？例的因数有哪些？68÷1=88÷2=46÷1=6，所以1是6的因数8÷4=26÷2=3，所以2是6的因数8÷8=16÷3=2，所以3是6的因数所以8的因数有1，2，4，86÷6=1，所以6是6的因数因此，6的因数有1，2，3，6你能找全的因数吗？1-206的因数1,2,3,6共4个因数7的因数1,7只有2个因数12的因数1,2,3,4,6,12共6个因数思考为什么有些数的因数很少，而有些数的因数很多？这些数有什么不同？因数数量的奥秘发现规律21,22观察表格中的数据，你会发现31,32•有些数只有2个因数（1和它本身）41,2,43•有些数有2个以上的因数51,52思考问题61,2,3,64哪些数只有两个因数？71,72这些只有两个因数的数有什么特点？数学家给这两类数取了特殊的名字...素数（质数）定义235因数1,2因数1,3因数1,5只有两个因数只有两个因数只有两个因数素数定义素数是指只有1和它本身两个因数的自然数（大于1）英文Prime Number又称质数合数定义468因数1,2,4因数1,2,3,6因数1,2,4,8有三个因数有四个因数有四个因数合数定义合数是指除了1和它本身以外，还有其他因数的自然数（大于1）即因数个数大于2的自然数英文Composite Number既不是素数也不是合数1的特殊性1重要结论1只有一个因数1本身1是一个特殊的数素数定义要求只有1和它本身两个因数1既不是素数合数定义要求有1和它本身以外的其他因数也不是合数因此1既不符合素数定义，也不符合合数定义在数学中有着特殊地位历史上，数学家曾对1的分类有过争论，现代数学中已明确将1排除在素数和合数之外是最小素数，也是唯一偶素数2的因数分析的特殊性222的因数1,22是唯一的偶素数因数个数2个为什么2以后的偶数都是合数？根据定义2是素数因为所有大于2的偶数都能被2整除，所以至少有

1、2和它本身三个因数，因此都是合数2是最小的素数这是一个重要的数学发现！的因数与分类3第一步列出所有可能的因数从1开始，尝试是否能整除31能整除33÷1=3第二步继续检查2不能整除33÷2=1余13能整除33÷3=1第三步得出结论3的因数只有1,3因数个数2个根据定义，3是素数的因数与分类4第三步得出结论第二步继续检查4的因数有1,2,4第一步列出所有可能的因数2能整除44÷2=2因数个数3个从1开始，尝试是否能整除43不能整除44÷3=1余1根据定义，4是合数1能整除44÷1=44能整除44÷4=1小结素数与合数的判定方法找出所有因数计算该数能被哪些数整除统计因数个数数一数共有几个因数判断结果•只有两个因数素数•两个以上因数合数•特殊情况1既不是素数也不是合数例题判断的属性17分析过程结论步骤1列出所有可能的因数7的因数只有1,7•1能整除77÷1=7因数个数2个•2不能整除77÷2=3余1根据素数定义7是素数•3不能整除77÷3=2余1小技巧判断一个数是否为素数，只需检查它是否能被小于它的平方根•4不能整除77÷4=1余3的所有整数整除•5不能整除77÷5=1余2对于7，只需检查它是否能被2和3整除即可（因为√7≈

2.65）•6不能整除77÷6=1余1•7能整除77÷7=1例题判断的属性29分析过程结论步骤1列出所有可能的因数9的因数有1,3,9•1能整除99÷1=9因数个数3个•2不能整除99÷2=4余1根据合数定义9是合数•3能整除99÷3=3小技巧我们发现9可以被3整除，所以9肯定是合数•4不能整除99÷4=2余1•5不能整除99÷5=1余4如果一个数能被除1和它本身以外的数整除，它就是合数•6不能整除99÷6=1余3•7不能整除99÷7=1余2•8不能整除99÷8=1余1•9能整除99÷9=1逐步练习判断小于的数20小于20的素数小于20的合数特殊情况通过因数分解，我们可以确定通过因数分解，我们可以确定1既不是素数也不是合数

2、

3、

5、

7、

11、

13、

17、19都是素数

4、

6、

8、

9、

10、

12、

14、

15、

16、因为它只有一个因数18都是合数它们都只有两个因数1和它本身它们都有两个以上的因数全班互动分一分活动规则讨论要点

1.每位同学抽取一张数字卡片（1-30）•你是如何判断手中的数字是素数还是合数的？•有什么快速判断的方法吗？

2.分析自己手中的数字是素数还是合数•你发现了素数和合数有什么规律吗？

3.按照素数和合数分成两组•为什么1号同学可能感到困惑？

4.小组讨论自己组内数字的共同特点•2号同学为什么很特别？

5.代表发言，分享讨论结果素数与合数的可视化素数7只能排成1行7列或7行1列的长方形无法被分解成小的长方形合数6可以排成1×

6、2×

3、3×

2、6×1四种长方形可以被分解成小的长方形合数12有更多的排列方式1×

12、2×

6、3×

4、4×

3、6×

2、12×1有多种分解方式通过数组可视化，我们可以看到素数的独立性（只能排成一行或一列），以及合数的可分性（可以排成多种长方形）生活中的素数素数在信息安全中的应用RSA加密原理简介银行密码、信息加密技术常常利用素数的特性•选择两个大素数p和q•计算它们的乘积n=p×qRSA加密算法是最广泛使用的非对称加密算法之一，它的安全性基于大素数分解的困难性•n的值公开，但p和q保密•由于分解大数非常困难，所以即使知道n，也很难求出p和q许多互联网安全协议都依赖于素数的数学特性•这种困难性保证了加密的安全素数分布趣闻100以内的素数100以内共有25个素数它们是2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97孪生素数相差为2的两个素数称为孪生素数如3,5,5,7,11,13,17,

19...数学家猜测有无穷多对孪生素数素数分布规律素数分布看似杂乱，但遵循数学规律素数定理在n附近，素数的密度约为1/lnn素数越大越稀疏埃拉托斯特尼筛法初识埃拉托斯特尼筛法筛法动画演示这是古希腊数学家埃拉托斯特尼发明的一种筛选素数的方法通过筛法，我们可以筛出100以内的所有素数它是一种简单而高效的算法，可以找出给定范围内的所有素数

1.首先，2是素数，标记所有2的倍数（4,6,

8...）

2.下一个未标记的数是3，它是素数，标记所有3的倍数（6,9,

12...）基本步骤

3.接着是5（素数），标记所有5的倍数

1.列出2到n的所有整数

4.然后是7（素数），标记所有7的倍数

2.标记出2的所有倍数（除了2本身）

5.重复直到所有数都被处理

3.找出下一个未被标记的数（这是一个素数）

6.最终，所有未被标记的数都是素数

4.标记出这个素数的所有倍数

5.重复步骤3和4，直到处理完所有的数素数的数学地位素数1基本单位2合数构成3整数体系4数学大厦5素数被称为数的原子，是构建整个数学大厦的基础它们在数论中占有核心地位，许多重要定理都与素数有关算术基本定理每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积（不考虑排序）这表明素数是构成所有整数的基本单位合数的拆分确定合数例如12寻找最小素数因子12÷2=6继续分解6÷2=3得到素因数分解12=2×2×3所有合数都能表示为素数的乘积，这种表示方式是唯一的（不考虑因子顺序）这就是著名的算术基本定理复合练习给定数字，自分解因数例题将分解为素数的乘积30步骤1尝试用最小的素数2去除30÷2=15继续分解15步骤22不能整除15，尝试下一个素数315÷3=5继续分解5步骤35已经是素数，无法继续分解最终结果30=2×3×5练习请尝试分解以下数字18,24,45,56练一练快速判断素数判断方法例题练习

1.检查是否为1（1既不是素数也不是合数）判断以下数字是素数还是合数

2.检查是否为2（2是素数）17不能被2,3,4整除素数

3.检查是否为偶数且大于2（所有大于2的偶数都是合数）（√17≈

4.12）

4.从3开始，检查是否能被奇数整除，最大检查到该数的平方根23不能被2,3,4,5整除素数（√23≈

4.80）25能被5整除25÷5合数=527能被3整除27÷3合数=9课堂游戏素数大挑战游戏规则游戏提示

1.全班分成4-5个小组1~50中的素数有

2.每组轮流派一名同学上台2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,

473.任务在30秒内说出尽可能多的1~50中的素数共15个素数

4.每说对一个得1分，说错扣1分记忆技巧

5.最终得分最高的小组获胜•2是唯一的偶素数•3以后的素数个位数只可能是1,3,7,9•素数之间的规律可以帮助记忆易错点提醒1的特殊性1既不是素数也不是合数因为1只有一个因数（1本身），不符合素数需要两个因数的定义2的特殊性2是唯一的偶素数所有大于2的偶数都是合数（因为它们都能被2整除）因数个数素数恰好有两个因数（1和它本身）合数有三个及以上因数巩固巩固连线题素数合数•2•4•3•6•5•8•7•9•11•10•13•12•17•14•19•15•23•16练习请在纸上画线，将左边的每个素数与右边的一个合数连接起来，使得它们的和是素数例如2+9=11（素数）拓展位素数有哪些？22110-3031-60两位素数总数两位素数第一组两位素数第二组从10到99之间共有21个素11,13,17,19,23,2931,37,41,43,47,53,59数61-99两位素数第三组61,67,71,73,79,83,89,97观察两位素数的个位数只可能是1,3,7,9（除了2和5之外的所有素数）这是因为所有以0,2,4,6,8结尾的数都是偶数（能被2整除），所有以5结尾的数都能被5整除拓展最大的已知素数2023年最大素数梅森素数2023年，最大的已知素数是形如2^n-1的素数称为梅森素数2^82,589,933−1目前已知的最大素数都是梅森素数这个数有超过2400万位GIMPS（寻找巨型互联网梅森素数）项目是一个分布式计算项目，专门用于寻找更大的梅森素数如果把这个数打印出来，用标准字体大小排版，需要超过5000页纸！寻找大素数对密码学和计算机安全至关重要素数猜想与谜题哥德巴赫猜想每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和例如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7孪生素数猜想存在无穷多对相差为2的素数例如3,5,5,7,11,13,17,19,29,

31...黎曼猜想关于素数分布的著名猜想被认为是数学中最重要的未解决问题之一虽然这些猜想看起来简单，但它们已经困扰数学家数百年，至今仍未完全证明这体现了素数研究的深度和复杂性实践应用怎样用程序判断素数基本算法思路简单代码示例判断一个数n是否为素数的算法步骤function isPrimen{if n=1return false;if

1.如果n≤1，返回不是素数n==2return true;if n%2==0return false;let sqrt=Math.sqrtn;for leti=3;i=sqrt;i

2.如果n=2，返回是素数+=2{if n%i==0return false;}return

3.如果n是偶数且大于2，返回不是素数true;}

4.从3开始，检查到√n，步长为2（只检查奇数）

5.如果n能被任何检查的数整除，返回不是素数

6.否则，返回是素数通过编程，我们可以快速判断非常大的数是否为素数质因数分解步骤继续分解45以90为例步骤22不能整除45，尝试下一个素数3步骤1尝试用最小的素数2去除45÷3=1590÷2=45完成分解继续分解15步骤45是素数，无法继续分解步骤3再次使用3最终结果90=2×3×3×515÷3=5即90=2×3²×5动手练习以内的质因数分解2512的质因数分解12=2×2×312=2²×318的质因数分解18=2×3×318=2×3²24的质因数分解24=2×2×2×324=2³×3练习请尝试分解以下数字15,20,21,25合数的运用举例半素数在密码学中的应用半素数是两个素数的乘积，如15=3×5大型半素数在RSA加密算法中扮演重要角色RSA的安全性基于分解大半素数的困难度安全算法原理RSA选择两个大素数p和q，计算n=p×q公开n但保密p和q即使知道n，找出p和q也非常困难（当p和q非常大时）分解大合数的难度目前最快的算法也需要很长时间才能分解超过300位的大合数这种计算难度保证了加密系统的安全性量子计算可能会改变这一局面国际数学家与素数欧拉高斯黎曼1707-17831777-18551826-1866发现了素数分布的重要规律提出了素数定理的猜想提出了著名的黎曼猜想创立了数论中的欧拉函数数学王子，对素数分布做出深入研究发展了黎曼zeta函数提出了欧拉定理和费马小定理的推广发展了二次互反律对素数分布理论做出重大贡献华夏古代对素数的发现《九章算术》中的素数思想秦九韶的数学成就《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，成书于汉代南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的大衍求一术涉及同余理论虽然没有明确提出素数概念，但在解决分数约分等问题时已经运用了素这与素数理论有深刻联系数的基本原理中国古代数学家虽然没有系统研究素数理论，但在实际应用中已经运用更相减损术和九数法实际上是寻找最大公约数的方法，与素因数分解了相关原理有密切关系这反映了东西方数学发展的不同路径典型错误剖析误判偶数为素数漏判素数除了2以外，所有偶数都是合数有些素数不容易判断，例如

23、

29、31等因为它们都能被2整除需要逐一检查是否有因数常见错误误认为

4、

6、8等偶数是素数记忆技巧素数的个位数只可能是

1、

3、

7、9（除了2和5）的特殊性1最常见的错误将1判断为素数记住1既不是素数也不是合数因为素数定义要求至少有两个因数课后拓展活动找身边的素数活动目标活动提示通过寻找生活中的素数，巩固所学知识，培养数学兴趣•可以提取数字的最后两位或三位进行判断•寻找特殊的素数，如回文素数（如11,101,131）活动内容•记录发现的最大素数和最小素数

1.收集家人的手机号码、车牌号、门牌号等数字•思考生活中素数出现的频率与理论预测是否一致？

2.判断这些数字中是否有素数完成后制作小海报与同学分享你的发现！

3.统计身边出现的素数的频率

4.分享最有趣的发现趣味题谁是质数王？197254最大素数素数总数连续区间100以内最大的素数是97100以内共有25个素数89-97之间有4个素数97的因数只有1和97两个约占100以内自然数的1/4分别是89,91,93,97思考题100-200之间最大的素数是多少？1000以内最大的素数是多少？挑战试着用筛法找出100以内的所有素数，看看你能否找全25个！趣味题素数接龙2游戏规则示例

1.从一个素数开始素数链示例3→1→7→3→1→1→

32.下一个数必须是素数，且与前一个数相连能形成一个新的素数形成的素数序列3,31,317,3173,31731,317311,

31731133.例如从3开始，下一个可以是1（因为31是素数）这个链的长度是

74.然后可以是7（因为317是素数）挑战

5.继续这个过程，看谁能组成最长的素数链你能找到更长的素数链吗？提示可以尝试从不同的素数开始，如2,5,7等奥数挑战题素数求和素数对倍数与素数求50以内所有素数的和找出100以内所有差为2的素数对找出能被3整除的最小素数和2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+4例如3,

5、5,

7、11,

13、17,

19...提示3+5=8，8不是素数；3+5+7=15，15能3+47=328被3整除挑战求500以内所有素数的和反思总结今天你学会了什么？判断方法概念定义•找出所有因数•素数只有1和它本身两个因数的数•统计因数个数•合数有三个及以上因数的数•运用筛选法•1既不是素数也不是合数•特殊性质2是唯一偶素数实际应用数学技能•密码学应用•因数分析•RSA加密算法•素因数分解•数学游戏和趣题•快速判断素数方法•素数在数论中的地位•埃拉托斯特尼筛法素数与合数口诀记忆素数口诀合数口诀两个因数素数定，多于两者合数名，一和自身不可分因数个数三及增二三五七为素数，四六八九皆合数，十一十三十七同十二十四十五同偶数只有二为素，素数相乘得合数，其余皆是合数成记牢规则辨分明素数表（）1-1001-102,3,5,74个11-2011,13,17,194个21-3023,292个31-4031,372个41-5041,43,473个51-6053,592个61-7061,672个71-8071,73,793个81-9083,892个91-100971个观察表格，尝试发现规律

1.素数的分布似乎越来越稀疏

2.每个十位数区间的素数个数不同

3.素数的个位数只可能是1,3,7,9（除了2和5）巩固测验

（一）判断题判断以下数字是素数还是合数29,35,51,67,91填空题填写40-60之间的所有素数___,___,___,___,___分类题将以下数字分为素数和合数两类11,14,17,20,23,26,29,32,35,38思考题为什么所有大于5的素数的个位数只能是1,3,7,9？巩固测验

（二）1质因数分解将以下数字分解为素数的乘积36,45,56,70,842最大公约数利用质因数分解，求下列数对的最大公约数24,36,35,49,32,483最小公倍数利用质因数分解，求下列数对的最小公倍数12,18,15,25,8,244综合应用若一个两位数能被3和5整除，它是素数还是合数？为什么？一个数的所有因数为1,2,4,5,10,20，这个数是多少？它是素数还是合数？延伸阅读推荐《素数之音》这本书讲述了素数背后的数学故事和历史适合对数学有兴趣的高年级学生《数学之美素数世界》这本图文并茂的科普书介绍了素数的奥秘含有丰富的图示和有趣的数学活动《数学家的故事》介绍了欧拉、高斯等研究素数的数学家的生平和贡献了解素数研究的历史脉络在线资源推荐数学乐（www.shuxuele.com）、NCTM素数活动网站、中国数学奥林匹克官网等学习建议与自我评价梳理思维导图用思维导图整理素数与合数的知识点，包括•基本定义与特征•判断方法与技巧•实际应用场景•重要的素数与合数性质制作自测卡片自制素数与合数的记忆卡片•卡片正面写数字，背面标明其类型和因数•重点记忆100以内的素数•定期复习，加强记忆自我评价完成以下自评问题•我能准确区分素数和合数吗？•我能熟练进行质因数分解吗？•我理解素数在数学中的重要性吗？•我知道如何应用所学知识解决实际问题吗？本课小结与祝贺本课小结祝贺你！•学习了素数与合数的定义与区别你已成为素数与合数小达人！•掌握了判断素数与合数的方法数学是一门充满奇迹的学科•了解了质因数分解的步骤与应用素数是数学王国中最神秘的宝藏之一•探索了素数在数学中的重要地位•认识了素数在现实生活中的应用希望你能继续探索数学的奥秘发现更多数学之美！。