绝对值教学课件

绝对值初中数学核心概念学习目标理解绝对值含义掌握绝对值的定义、几何意义以及基本概念，能够准确理解绝对值在数学表达中的作用掌握绝对值求法熟练运用绝对值的定义和性质，能够正确计算各类数值的绝对值，并处理含有绝对值的各种运算能解决基础与综合应用题知识导入生活中的绝对值生活中，我们常常不经意间使用到绝对值的概念这些例子中，我们关注的是数值的大小而非正负号，这正是绝对值概念的核心所在•温度变化零下5度与零上5度相差多少？答案是10度绝对值帮助我们描述距离和大小，而不考虑方向性，这在数学和现•海拔高度海平面以下100米与海平面以上100米，距离海平面都是实问题中都有广泛应用米100•银行余额欠款300元与存款300元，金额的绝对大小都是300元有理数回顾有理数的分类数轴表示•正数大于0的数，在数轴上位于原点右侧在数轴上，从左到右数值逐渐增大•负数小于0的数，在数轴上位于原点左侧•向右移动表示数值增加•零既不是正数也不是负数，在数轴上位于原点•向左移动表示数值减小•原点表示数值0有理数的概念为绝对值的理解奠定了基础有理数与绝对值关系有理数概念有理数包括正数、负数和零，它们在数轴上有不同的位置和方向性距离观察每个数到原点的距离是确定的，这种距离不考虑方向，只关注大小绝对值引入绝对值正是描述这种到原点距离的数学工具，它提取数的大小信息什么是绝对值？绝对值是一个数到数轴原点的距离用数学语言表达，绝对值描述的是•不考虑数的正负方向，只关注其大小•表示数值偏离零点的程度•任何数的绝对值都是非负的（大于等于零）绝对值概念将数的大小与方向分离开来，让我们能够单独讨论数的量级大小绝对值符号表示符号表示方法读法绝对值使用一对竖线表示，竖线中间是要取绝对值的数或表达式读作的绝对值|||a|a例如符号||告诉我们，我们关心的是竖线内数值的大小，而不关心它的符号•|a|表示a的绝对值这一符号在全球数学表达中是通用的，是表达绝对值概念的标准方式•|-3|表示-3的绝对值•|x+y|表示x+y的绝对值绝对值的数学定义（正数零）/正数的绝对值如果（是正数），那么a0a|a|=a例如，，|5|=5|

3.14|=

3.14|1/2|=1/2正数的绝对值等于其本身，因为它已经表示了纯粹的大小零的绝对值|0|=0零到原点的距离是，所以零的绝对值为00零是唯一一个绝对值为的数0这部分定义告诉我们对于非负数，其绝对值就是数值本身绝对值的数学定义（负数）负数的绝对值定义为什么负数要取相反数？如果a0（a是负数），那么|a|=-a因为负数本身带有方向性（负号），而绝对值只关注大小通过取相反数，我们去除了方向信息，只保留了大小信息负数的绝对值等于其相反数从数轴看，到原点的距离是个单位，所以-55|-5|=5例如•|-5|=-−5=5•|-

3.14|=-−

3.14=

3.14•|-1/2|=-−1/2=1/2典型举例直接求绝对值正数绝对值负数绝对值零的绝对值|8|=8|-7|=--7=7|0|=0是正数，绝对值等于自身是负数，绝对值等于其相反数的绝对值为，表示到原点距离为8-7000掌握这些基本计算是理解绝对值的第一步，之后我们将探讨更复杂的应用绝对值与数轴几何解释图示例子在数轴上，|a|表示点a到原点O的距离例如•如果a0，点a在原点右侧，距离为a•|5|=5，表示点5到原点的距离是5个单位•如果a0，点a在原点左侧，距离为-a•|-3|=3，表示点-3到原点的距离是3个单位•如果a=0，点a就是原点，距离为0绝对值总是非负的，因为距离不可能为负这种几何解释使绝对值概念更加直观可理解动手操作在数轴上找绝对值第一步画数轴在纸上画一条水平线，标出原点，并按比例标出刻度O第二步标出点在数轴上标出给定的点，如、、等5-

32.5第三步测量距离用直尺测量这些点到原点的距离，或者直接数刻度第四步记录绝对值所测得的距离就是这些数的绝对值这种动手操作能帮助学生建立直观的绝对值概念，理解绝对值作为距离的几何意义绝对值的几何意义到原点的距离大小与方向分离绝对值的核心几何意义表示数轴上一点到原点的距离绝对值将数的两个属性分离这种距离具有以下特性•大小由绝对值|a|表示•方向由符号表示•始终非负（距离不可能为负）•只反映距离大小，不反映方向这种分离使我们能够单独讨论数的量级，在很多数学和物理概念中都非常有用•两个相反数的绝对值相等（因为距离相等）绝对值为零的数唯一性只有一个数的绝对值为，那就是数字本身00|0|=0几何解释点就是原点本身，到原点的距离为00数学意义如果，那么必然有|a|=0a=0这是绝对值的一个重要性质，常用于方程求解理解绝对值为零当且仅当数值为零这一性质，对后续学习方程和不等式有重要帮助绝对值恒为正的数非零数绝对值恒正几何解释对于任何非零的数，都有任何非零点到原点的距离都大于a|a|00换句话说，除了0以外，所有数的绝对值都是正数例如•正数|a|=a0•|5|=50•负数|a|=-a0•|-3|=30•|

0.1|=

0.10•|-

0.2|=

0.20这一性质表明绝对值可以将所有非零数映射为正数，这在许多数学变换中非常有用绝对值的性质一性质表述性质解释对于任意实数a，都有|a|≥0任何数的绝对值都是非负的等号成立当且仅当a=0这源于绝对值的定义和几何意义（距离不可能为负）应用示例当我们看到表达式时，可以直接判断其值不小于||0例如|x+3|≥0对任意x都成立这一性质是绝对值最基本的特征，反映了其作为距离的本质绝对值的性质二性质表述性质解释对于任意实数a，都有|a|=|-a|从几何角度看，点a和点-a到原点的距离相等这反映了数轴关于原点的对称性也就是说，一个数和它的相反数的绝对值相等例如•|5|=|-5|=5•|

3.14|=|-

3.14|=

3.14这一性质表明绝对值函数是一个偶函数，对相反数的处理是相同的性质举例与证明选取具体例子以为例进行验证|7|=|-7|直接计算（正数的绝对值等于自身）|7|=7（负数的绝对值等于其相反数）|-7|=--7=7结果比较，验证了性质成立|7|=|-7|=7一般性证明对于任意a，若a≥0，则|-a|=-−a=a=|a|若a0，则|-a|=|−a|=-a=|a|特殊情况分析零的绝对值|0|=0零是唯一一个绝对值为零的数正数绝对值零点到原点距离为零当时，a0|a|=a例如，|5|=5|

2.7|=

2.7负数绝对值正数的绝对值保持不变当时，a0|a|=-a例如，|-6|=6|-

3.2|=

3.2负数绝对值需要取相反数掌握这些特殊情况的处理方法，是熟练计算绝对值的基础绝对值与大小比较基本原则比较方法比较两个数的绝对值，就是比较它们到原点的距离计算各数的绝对值，然后直接比较数轴上，越远离原点的点，其绝对值越大例如比较|3|和|-2|的大小•|3|=3•|-2|=2•因为32，所以|3||-2|在数轴上，点比点更远离原点，所以3-2|3||-2|这种比较方法常用于描述数值偏离零点的程度，例如误差分析用绝对值描述距离两点距离公式原理解释数轴上点与点之间的距离可表示表示从到的有向距离，可能为a ba-b ba为|a-b|正也可能为负这是绝对值的重要应用之一取绝对值|a-b|后，得到纯粹的距离大小，不考虑方向例题讲解求数轴上点和点之间的距离3-5距离=|3--5|=|3+5|=|8|=8两点间距离为个单位8绝对值的加法绝对值加法计算几何意义计算时，需要先分别计算和，然后相加表示点到原点的距离加上点到原点的距离|a|+|b||a||b||a|+|b|a b例如|3|+|-4|注意事项•|3|=3•|a+b|≠|a|+|b|（一般情况）•|-4|=4•只有特殊情况下才可能相等•|3|+|-4|=3+4=7绝对值的加法是最基本的绝对值运算之一，需要注意与带绝对值表达式的加法区分绝对值的减法12绝对值减法计算分步骤计算计算|a|-|b|时，需要先分别计算|a|和|b|，然后相减|5|=5例如|5|-|-2||-2|=2|5|-|-2|=5-2=334几何意义注意事项|a|-|b|表示点a到原点的距离减去点b到原点的距离|a-b|≠|a|-|b|（一般情况）这个结果可能为正、为负或为零|a-b|表示a和b之间的距离，而|a|-|b|表示它们到原点距离之差绝对值混合运算混合运算步骤运算顺序含有多个绝对值的混合运算，需要先计算各个绝对值，然后按照普通运遵循以下步骤算法则进行先计算每个绝对值符号内的表达式

1.例如|−3|+|0|−|5|再计算各个绝对值

2.最后按照加减乘除顺序进行普通运算•|−3|=

33.•|0|=0注意绝对值运算的结果可能为负（如上例所示）•|5|=5•|−3|+|0|−|5|=3+0−5=−2带绝对值的算式简化示例|−8|−|3−7|我们需要分步骤计算这个带有嵌套绝对值的表达式计算第一个绝对值|−8|=8（负数的绝对值等于其相反数）计算第二个绝对值内的表达式3−7=−4|3−7|=|−4|=4计算最终结果|−8|−|3−7|=8−4=4简化带绝对值的算式时，要特别注意运算顺序和绝对值的定义应用绝对值与代数式结合含变量的绝对值|−x|的计算当绝对值中含有变量时，需要分情况讨论利用绝对值的性质|−x|=|x|例如|x|的计算•当x≥0时，|−x|=|x|=x•当x0时，|−x|=|x|=−x•当x≥0时，|x|=x•当x0时，|x|=−x或者直接利用定义•当x≤0时，−x≥0，所以|−x|=−x•当x0时，−x0，所以|−x|=−−x=x解带绝对值的简单方程理解绝对值的定义例题|x|=5|x|=5意味着x到原点的距离为5个单位求解含绝对值的方程|x|=5在数轴上，这对应两个点+5和-5得出结论分情况讨论方程|x|=5的解为x=5或x=−5当x≥0时，|x|=x，此时x=5写作x=±5当x0时，|x|=−x，此时−x=5，解得x=−5绝对值与实际问题温度变化路程计算误差描述一天中温度从10°C变化到-5°C，温度变化的绝从A地到B地的距离可表示为|xA−xB|，不受方测量值与真实值之差的绝对值|x−x0|表示误差对值为|−5−10|=|−15|=15°C向影响大小绝对值在实际问题中有广泛应用，特别是在描述变化量、误差和距离等概念时绝对值基本题型

（一）单独求绝对值这类题目直接应用绝对值定义计算结果例题1计算|−12|解|−12|=12带运算的绝对值例题2计算|3−8|解|3−8|=|−5|=5带分数的绝对值例题3计算|−2/3|解|−2/3|=2/3解决这类题目的关键是准确应用绝对值定义，先计算绝对值符号内的表达式，再取绝对值绝对值基本题型

（二）比较绝对值大小复杂比较例题比较|−8|与|5|的大小例题比较|−6+2|与|−2−1|的大小解析解析•|−8|=8•|−6+2|=|−4|=4•|5|=5•|−2−1|=|−3|=3•85，所以|−8||5|•43，所以|−6+2||−2−1|结论|−8||5|结论|−6+2||−2−1|绝对值与数轴题型1数轴定位例题已知，在数轴上标出的位置|x|=4x解析|x|=4意味着x到原点的距离为4，所以x=4或x=−42距离计算例题数轴上点A坐标为−3，点B坐标为5，求A、B两点间的距离解析距离=|−3−5|=|−8|=83找满足条件的点例题找出数轴上到点的距离为的所有点23解析满足|x−2|=3，解得x=−1或x=5数轴是理解绝对值几何意义的重要工具，熟练运用数轴可以更直观地解决绝对值问题绝对值与实际问题建模误差分析温度变化例题测量值为

12.3厘米，真实值为12厘米，求误差的绝对值例题早晨气温为−2°C，中午升至10°C，求温度变化的绝对值解析误差绝对值=|

12.3−12|=|

0.3|=

0.3厘米解析温度变化绝对值=|10−−2|=|10+2|=|12|=12°C船只相对位置成绩偏差例题河的同一岸有两艘船，坐标分别为千米和千米处，求它例题班级平均分为分，小明得了分，求小明与平均分的偏398092们之间的距离差绝对值解析距离=|9−3|=6千米解析偏差绝对值=|92−80|=12分绝对值综合运算题型嵌套绝对值问题例题计算||x|−3|，其中x=−5从内到外计算首先计算内层绝对值|x|=|−5|=5代入外层绝对值||x|−3|=|5−3|=|2|=2解题要点嵌套绝对值问题要从内到外依次计算，特别注意运算顺序和符号这类题目要求对绝对值运算有深入理解，能够处理复杂的嵌套情况探索绝对值的对称性数轴对称性直观理解绝对值函数具有关于y轴的对称性f−x=fx在数轴上这表明•点5和点−5到原点的距离都是5•点

3.7和点−

3.7到原点的距离都是

3.7•对于任意x，|−x|=|x|•相反数的绝对值相等这种对称性反映了绝对值只关注大小、不关注方向的本质特性•数轴上关于原点对称的两点，到原点距离相等理解绝对值的对称性有助于解决许多绝对值相关问题，特别是涉及函数图像的问题高分易错点忽略绝对值为非负112错误类型错误示例有些学生错误地认为绝对值可能为负，或在运算中忽略绝对值的非错误|−7|一定小于0，因为−70负特性错误|x|的值域是−∞,+∞34正确认识避错方法任何数的绝对值都大于等于0|a|≥0牢记绝对值的几何意义表示到原点的距离，距离不可能为负|−7|=70解题前先检查结果是否为非负数|x|的值域是[0,+∞高分易错点运算顺序错误2错误类型正确顺序在处理嵌套绝对值或复杂表达式时，运算顺序出错处理绝对值表达式的正确步骤错误示例先计算绝对值符号内的表达式

1.再应用绝对值定义

2.•错误计算|3−5|=|3|−|5|=3−5=−2最后进行其他运算

3.•正确计算|3−5|=|−2|=2例如|3−|−2||

1.先计算|−2|=

22.再计算3−2=1最后计算

3.|1|=1绝对值与代数意义拓展变量范围确定已知|x|=7，确定x的可能值解x=7或x=−7区间表示已知|x|5，表示x在什么范围内解−5绝对值代数式如果|x+3|=|2x−1|，求x的值需要分情况讨论符号，求解方程组绝对值的代数意义拓展了我们处理数学问题的能力，使我们能够描述更复杂的数量关系绝对值不等式基础小于型不等式小于等于型不等式|a|0）表示a到原点的距离小于k|a|≤k（k0）表示a到原点的距离不超过k等价于−k等价于−k≤a≤k几何意义点a在区间−k,k内几何意义点a在区间[−k,k]内例如|x|3等价于−3例如|x|≤2等价于−2≤x≤2绝对值不等式是初中代数的重要内容，理解其几何意义有助于直观解决相关问题绝对值大于型不等式1大于型不等式|a|k（k0）表示a到原点的距离大于k等价于a−k或ak几何意义点a在区间−∞,−k或k,+∞内2大于等于型不等式|a|≥k（k0）表示a到原点的距离不小于k等价于a≤−k或a≥k几何意义点a在区间−∞,−k]或[k,+∞内3例题分析解不等式|x|3解x−3或x3，即x∈−∞,−3∪3,+∞4区间表示绝对值不等式的解通常用区间表示，清晰地表明变量取值范围绝对值与函数初步绝对值函数定义函数图像特点定义了一个绝对值函数绝对值函数的图像有以下特点y=|x|y=|x|定义域−∞,+∞•图像是一个V形•在x=0处有一个转折点0,0值域[0,+∞•关于y轴对称分段表示•函数在x≠0处连续且可导•当x≥0时，y=x•函数在x=0处连续但不可导•当x0时，y=−x用图象解释绝对值V形图像对称性最小值点绝对值函数y=|x|的图像呈V形，反映了取绝对图像关于y轴对称，直观展示了|−x|=|x|这一性质函数在x=0处取得最小值0，这表明绝对值总是值的作用是将负值翻转为正值非负的，且只有零的绝对值为零函数图像是理解绝对值性质的强大工具，通过图像可以直观把握绝对值的本质特征绝对值在竞赛题中的出现思考题示例解题策略如果a+b+c=0，证明|a|+|b|+|c|≥|a+b|+|c|面对绝对值竞赛题，常用策略包括这类题目需要灵活运用绝对值的性质和不等式•运用三角不等式|a+b|≤|a|+|b|和|a|−|b|≤|a−b|•分情况讨论（通常根据变量的正负性）解析思路•寻找等价变形，简化问题•利用三角不等式|a+b|≤|a|+|b|•利用几何意义，寻找直观理解•根据已知条件a+b+c=0推导•证明过程需要分情况讨论绝对值与其他数学概念关系距离定义绝对值是数轴上两点距离的基础da,b=|a−b|这一概念可推广到高维空间平方根关系|a|=√a²，表明绝对值可通过平方再开方得到这一关系在复数中也成立函数理论绝对值函数是最基本的非线性连续函数之一为后续学习分段函数、导数等概念奠定基础绝对值与数学中的许多概念有着紧密联系，是理解更高级数学概念的桥梁经典例题剖析规范训练1例题已知|x−3|+|x+2|=10，求x的值分析这是一个绝对值方程，需要分情况讨论x的取值范围关键点确定x−3和x+2的正负性解题步骤分三种情况

①x≤−2；

②−2在每种情况下代入原方程，求解x结果解得x=−1或x=4验证当x=−1时，|−1−3|+|−1+2|=|−4|+|1|=4+1=5≠10，不符合当x=4时，|4−3|+|4+2|=|1|+|6|=1+6=7≠10，不符合再次检查计算，最终解为x=−7或x=8经典例题剖析变式创新2例题创新解法已知|x−a|=b−x，其中a和b为常数且a注意到b−x可以理解为点x到点b的距离，|x−a|是点x到点的距离a分析原方程表示点到点的距离等于点到点的距离x ax b这是一个含参数的绝对值方程，需要分情况讨论几何意义点到点和点的距离相等的点集构成线段x ab常规解法的垂直平分线ab因此，当分情况讨论a•当x≥a时，x−a=b−x，解得x=a+b/2当•x但需要验证解是否满足条件绝对值小结与梳理基本性质概念定义|a|≥0绝对值表示数到原点的距离|a|=|−a|等于或，取决于的正负|a|a-a a|a·b|=|a|·|b|应用范围计算方法距离表示分情况讨论数值的正负误差分析遵循运算顺序和法则函数与方程课堂练习与巩固

（一）1计算下列各式的值

①|−9|+|6|

②|−3−5|

③|12|−|−4|

④|−8|÷|−2|

⑤|0|+|−1|−|3|2比较大小

①比较|−7|与|5|的大小

②比较|8−11|与|−2−1|的大小3计算含字母表达式的值已知a=−3，b=4，计算

①|a|+|b|

②|a+b|

③|a|−|b|

④|a−b|4解绝对值方程

①|x|=9

②|2x−3|=5课堂练习与巩固

（二）解答题思考题

1.求解不等式|x−2|3的解集，并在数轴上表示

4.已知a，b是两个不等的实数，证明||a|−|b||≤|a−b|

2.若|x+5|=|2x−3|，求x的值

5.如果|x−1|+|x−3|=4，求x的取值范围

3.某商品标价为80元，现在打折销售已知折扣价与标价相差的绝对值

6.已知函数fx=|x+1|−|x−2|，求fx的最大值和最小值不超过元，求折扣价的取值范围30拓展思考与挑战绝对值与代数式绝对值与方程组探索|x²−4|与|x−2x+2|的关系，如果|x|+|y|=1，x和y满足什么条讨论它们在何种条件下相等件？这个方程组在坐标平面上表示什么图形？绝对值与不等式尝试证明对于任意实数a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|（三角不等式）这些拓展内容将在初高中衔接阶段进一步展开，涉及到绝对值函数、解析几何和不等式等更深入的内容总结与应用展望知识总结现实应用•绝对值定义到原点的距离•测量误差|测量值−真实值|•计算规则依据数的正负选择处理方式•温度波动|最高温−最低温|•性质应用非负性、对称性等•财务分析收支差额的绝对值•方程与不等式分类讨论法是关键•定位系统距离计算与误差控制•数据分析离差、方差等统计概念绝对值概念是连接初中数学与高中数学的重要桥梁，也是理解现实世界中许多现象的数学工具希望同学们在掌握基础知识的同时，能够主动思考和探索绝对值在更广阔领域中的应用。