五年级奥数教学课件

五年级奥数教学课件本课件系统涵盖15大奥数知识专题，为五年级学生提供全面的奥林匹克数学训练我们精心设计了系统的知识结构，配合经典例题讲解和解题技巧分析，帮助学生全面提升数学思维能力通过这套教学材料，学生将系统掌握整除与余数、因数与倍数、巧算速算等重要奥数知识点，为小升初数学竞赛打下坚实基础奥数学习的重要性培养核心能力小升初竞赛核心内容奥数学习不仅仅是知识的积累，更重要的是培养学生的逻辑推理与综合奥数知识是小升初数学竞赛的重要组成部分，掌握这些内容将为分析能力通过解决非常规数学问题，学生能够锻炼批判性思维和创造学生在升学考试中提供优势性解决问题的能力这些能力不仅在数学学习中有用，更是孩子未来发展的重要素质基础提升数学兴趣奥数题目具有挑战性和趣味性，能够激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和思维深度全年知识体系导图本课程共涵盖15大专题，按照知识递进逻辑进行编排，帮助学生系统地构建奥数知识网络基础计算规律探索整除与余数、因数与倍数、巧算速算等差数列与数阵、排列组合思维拓展应用问题逻辑推理、几何与拼图、方程应用、数论初步工程问题、和差倍分配、盈亏问题、行程问题各专题之间循序渐进，相互联系，形成一个完整的知识体系，帮助学生逐步提升解题能力基础知识回顾数字与数位十进制的位值理解数的改写与比较大小在进入奥数学习前，我们首先需要巩固对十进制数位值的理解每个数数的改写是奥数中常见的基础操作，包括位的值取决于其位置，从右到左依次是个位、十位、百位、千位等，每•改写为积的形式如5000=5×1000个位置的权值是10的幂•改写为和的形式如3762=3000+700+60+2例如3762这个数，3表示3千，7表示7百，6表示6十，2表示2个1•改写为带分数如7/3=2+1/3比较数的大小需要掌握的基本方法有直接比较、间接比较、转化比较等专题一整除与余数整除是奥数中的重要基础知识，也是后续很多专题的基石我们首先来了解整除的定义及基本性质整除的定义整除的性质如果一个整数a除以另一个整数b•如果a|b且a|c，则a|b±c（b≠0）的商是整数而没有余数，我•如果a|b且b|c，则a|c们就说b整除a，记作b|a例如•如果a|b且a|c，则a|bx±cy，6|24，表示6整除24其中x,y为任意整数余数的概念当一个数a不能被b整除时，a÷b得到的余数r满足0≤r＜b例如25÷7=3余4，其中4是余数整除的判定方法掌握整除的判定规则是解决奥数题的基础技能以下是几个常用的整除判定方法2的整除特征一个数能被2整除，当且仅当其个位数字是

0、

2、

4、6或83的整除特征一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除5的整除特征一个数能被5整除，当且仅当其个位数字是0或59的整除特征一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除例题判断1458能被哪些数整除？解析1+4+5+8=18，能被9整除；末位为8，能被

2、4整除；能被3整除（各位和18能被3整除）；不能被5整除（末位不是0或5）余数问题常考题型余数的基本运算典型例题余数问题是奥数中的常考题型，掌握余数的基本运算规律是解决此类问例题求1^3+2^3+3^3+...+99^3除以100的余数题的关键解析如果a÷b=c余r，那么我们可以写成a=bc+r（0≤r＜b）

1.观察n^3÷100的余数规律余数定理

2.发现100-n^3与n^3关于100的余数之和为

03.将数对进行配对1,99,2,

98...若a÷b余r，c÷b余s，则

4.中间值50^3÷100余数为50^3=125000余0•a+c÷b余r+s%b

5.所以最终余数为0•a×c÷b余r×s%b这里的%表示取余运算练习整除与余数1通过以下练习题，巩固对整除与余数知识的理解和应用1判断题判断1234567能否被3整除？能否被9整除？提示计算各位数字之和，判断其是否能被3或9整除2填空题若正整数n除以7的余数是3，则n+5除以7的余数是多少？提示应用余数的加法性质，考虑n+5÷7的余数与n÷7余数之间的关系3计算题计算2021^2022除以10的余数提示分析2021的个位数，利用同余的性质简化计算以上练习题旨在培养学生运用整除与余数知识解决实际问题的能力，是奥数竞赛中的常见题型专题二因数与倍数约数的定义如果b能整除a，则称b是a的约数（或因数）例如，12的约数有

1、约数特性

2、

3、

4、

6、12倍数的定义任何整数的约数个数是有限的如果a能被b整除，则称a是b的倍数例如，12是3的倍数，因为12能被3整除倍数特性任何非零整数的倍数个数是无限的约数和倍数是互为逆运算的关系如果a是b的约数，那么b就是a的倍数；如果a是b的倍数，那么b就是a的约数公因数与公倍数公因数和公倍数是奥数中的重要概念，也是解决很多问题的基础工具最大公因数GCD最小公倍数LCM两个或多个整数共有的最大因数称为最大公因数两个或多个整数共有的最小倍数称为最小公倍数求法质因数分解法、短除法、辗转相除法（欧几里得算法）求法质因数分解法、公式法（两数的乘积除以最大公因数）例题求36和48的最大公因数和最小公倍数解析方法一质因数分解法36=2^2×3^2，48=2^4×3最大公因数=2^2×3=12最小公倍数=2^4×3^2=144方法二公式法最小公倍数=36×48÷12=144质数与合数质数的定义30以内的质数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他2,3,5,7,11,13,17,19,23,29因数的自然数例如

2、

3、

5、

7、11等分解质因数合数的定义将一个合数写成几个质数乘积的形式，称为分解质因数合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，还有其他因数的自然例如60=2^2×3×5数例如

4、

6、

8、

9、10等分解质因数的方法短除法、根号法25101530以内的自然数质数个数合数个数不包括1和30约占40%约占60%练习因数与倍数强化21求最大公因数和最小公倍数求120和180的最大公因数和最小公倍数提示可以使用短除法或质因数分解法，注意寻找两个数的共同因子2因数个数问题求100的所有正因数的个数提示先对100进行质因数分解，然后利用公式计算因数的总数3约数和与倍数和正整数n的所有约数之和是56，求n的值提示枚举可能的约数组合，或利用约数和公式进行计算这些练习题旨在加深学生对因数、倍数概念的理解，培养分析问题和运用数学知识解决问题的能力通过这些题目，学生可以熟练掌握求最大公因数和最小公倍数的方法，以及因数个数和约数和的计算技巧专题三巧算速算巧算速算是奥数中的重要内容，能够帮助学生提高计算效率和数感掌握这些技巧不仅可以节省解题时间，还能培养数学思维的灵活性拆分法将复杂的数拆分成易于计算的数，如98×102=100-2×100+2=10000-4=9996凑整法将不整的数凑成整数再计算，如99+87+101=100+87+100+1-1=287归一法将数化为单位1，简化计算，如1/2+1/3+1/4可转化为6分之3+2+

1.5同加同减法两数同时加上或减去相同的数，其差不变，如102-97=102+3-97+3=105-100=5这些计算技巧需要通过大量练习来熟练掌握在实际应用中，要根据题目特点灵活选择合适的方法，有时候还需要综合运用多种技巧规律性快速计算例题例题1乘法速算例题2平方差公式应用计算25×38计算101×99方法一拆分法解析运用平方差公式a+ba-b=a²-b²25×38=25×40-2=25×40-25×2=1000-50=950101×99=100+1×100-1=100²-1²=10000-1=9999方法二分配律例题3特殊和的计算25×38=20+5×38=20×38+5×38=760+190=950计算1+2+3+...+100解析运用等差数列求和公式S=a₁+a×n÷2ₙS=1+100×100÷2=101×50=5050掌握这些速算技巧和公式的灵活应用，能够大大提高解题效率，在有限的竞赛时间内解决更多的问题这些方法的核心在于找到数字间的内在联系和规律，培养数学思维的敏锐性练习速算巧算3通过以下练习题，巩固对速算巧算技巧的掌握和应用1计算1+3+5+...+99提示可以用等差数列求和公式，也可以将这些奇数看作n×n-n-1×n-1的形式2计算1×2+2×3+3×4+...+99×100提示寻找规律，尝试将每一项变形为更容易处理的形式，或利用数学归纳法3计算9×11×13×15×...×99提示观察这些数的特点，尝试将它们与其他数的乘积进行比较，寻找简便方法这些练习题的解决需要灵活运用所学的速算技巧，包括拆分法、凑整法、归一法等通过这些练习，学生能够提高计算速度和准确性，同时培养数学思维的灵活性和创造性速算巧算不仅是一种技能，更是一种思维方式，它要求我们打破常规思维的局限，从不同角度审视问题，找到最简捷的解决方案专题四等差数列与数阵等差数列基本定义数阵的概念等差数列是指相邻两项的差值相等的数列如果将首项记为a₁，公差记数阵是指按照一定规律排列的数表，常见的有矩形数阵、三角形数阵为d，则等差数列可表示为a₁,a₁+d,a₁+2d,a₁+3d,...等第n项通项公式a=a₁+n-1d例如，1-9按照3×3排列的数阵ₙ等差数列求和公式123456789前n项和S=a₁+a×n÷2ₙₙ或S=[2a₁+n-1d]×n÷2ₙ在奥数中，数阵问题通常需要找出数字排列的规律，并利用这些规律解决问题等差数列和数阵是奥数中常见的题型，掌握它们的基本性质和求解方法，对于解决相关问题具有重要意义这两类问题都需要学生具备良好的观察能力和模式识别能力数阵与规律填数数阵是按照特定规律排列的数表，在奥数中常见的有九宫格、魔方阵等理解并掌握数阵的排列规律，是解决此类问题的关键九宫格九宫格是3×3的方阵，其中每行、每列和两条对角线上的三个数之和相等这个和称为魔和经典九宫格的魔和为15，数字为1-9不重复填入螺旋数阵数字按照螺旋方式填入方阵中，常见的有顺时针和逆时针两种方式解题关键是找出螺旋路径和数字增长规律杨辉三角每个数等于它肩上两个数之和，第n行的数表示二项式a+b^n展开式中的系数杨辉三角包含多种数学规律，如斐波那契数列、等比数列等解决数阵问题的一般步骤是观察已知数字的分布规律，推断未知数字的可能值，验证是否符合全局规律，最后填入正确答案练习数列与数阵4练习1等差数列求值练习2九宫格填数已知等差数列{a}的首项a₁=5，公差d=3，求在下面的3×3九宫格中，已知部分数字，请填出其余数字，使得每行、ₙ每列和两条对角线上的三个数之和都相等

1.第10项a₁₀的值

2.前15项的和S₁₅258提示利用等差数列的通项公式和求和公式进行计算提示确定魔和，然后根据已知数字推导出未知数字这些练习题旨在巩固学生对等差数列和数阵知识的理解和应用通过解决这些问题，学生能够提高对数字规律的敏感性和分析能力，这对于奥数竞赛中的高阶题目至关重要在解决这类问题时，建议学生先尝试找出简单的规律，再逐步深入分析复杂的模式同时，要注意检验自己的解答是否满足所有条件专题五工程问题工程问题是奥数中的经典应用题型，主要研究在一定时间内完成工作的效率问题，包括牛吃草、管道注水等动态变化情况基本概念效率合并原理工作效率单位时间内完成的工作量，多人（或多台机器）合作时，总效率等通常用1/时间表示于各个效率之和v总=v₁+v₂+...+v完成工作所需时间与工作效率成反比ₙt=1/v（t为时间，v为效率）由此可得联合工作时间t总=1/v总=1/v₁+v₂+...+vₙ常见问题类型固定工作量问题如A、B两人合作多久能完成一项工作动态变化问题如牛吃草、水池注水排水等情况，工作量随时间变化解决工程问题的关键在于准确分析工作效率和工作量之间的关系，建立正确的数学模型在解题时，要特别注意问题中的动态变化因素，如工作效率的变化、工作量的增减等牛吃草模型讲解牛吃草是工程问题中的经典模型，涉及动态变化的工作量根据草的生长情况和牛的吃草速度不同，可分为三种典型题型同吃型草不生长，N头牛吃完需要t天，问M头牛需要多少天？解法M头牛需要t×N/M天关键是牛的数量与吃草时间成反比补吃型草以恒定速度生长，N头牛吃不完若增加到M头牛，t天可吃完，问原有草量是多少天的草产量？解法设原有草量为x天产量，则x+t=t×M/N，解得x=t×M-N/N减吃型草以恒定速度生长，N头牛t天吃完，减少到M头牛需要s天，问原有草量是多少天的草产量？解法设原有草量为x天产量，则x+t×N-1=t×N，x+s×M-1=s×M，联立求解解决牛吃草问题的关键是理解牛每天吃的草量与草每天的生长量之间的关系通常可以设原有草量为x，然后利用比例关系列方程求解在解题过程中，需要注意区分不同的题型，选择合适的解题策略工作效率与流水问题模型工作效率基本公式流水问题模型如果A单独完成工作需要a天，B单独完成需要b天，则对于水池注水排水问题•A的效率vA=1/a（每天完成工作的1/a）•注水管效率为正值（增加水量）•B的效率vB=1/b（每天完成工作的1/b）•排水管效率为负值（减少水量）•合作效率v=vA+vB=1/a+1/b•总效率=各管效率之和•合作时间t=1/v=ab/a+b例如A管每小时注水2吨，B管每小时排水1吨，则总效率为每小时净增加1吨水分析问题求解方程确定每个工作者的效率和工作量使用代数方法求解未知量1234建立方程检验结果根据效率关系列出等式验证答案是否符合实际情况练习工程问题51水池注水问题一个水池，用大水管注满需要5小时，用小水管注满需要8小时如果两管同时注水，多长时间能注满水池？如果水池已有1/4的水，则需要多长时间？提示利用效率公式，大水管每小时完成1/5的工作，小水管每小时完成1/8的工作2牛吃草问题一块草地上的草，5头牛吃15天可以吃完如果草不生长，8头牛吃同样的草需要多少天？如果草以恒定速度生长，且每天的生长量是一头牛一天吃草量的1/2，那么7头牛需要多少天吃完？提示第一问使用反比关系，第二问需要考虑草的生长量3工作效率问题工人甲和乙合作完成一项工作需要12天，已知甲的工作效率是乙的2倍如果他们单独工作，分别需要多少天完成这项工作？提示设乙单独完成需要x天，则甲需要x/2天，利用合作公式列方程这些练习题涵盖了工程问题的不同类型，帮助学生巩固对工作效率与流水问题的理解解决这类问题需要学生准确分析问题情境，建立正确的数学模型，并灵活运用所学的公式和方法专题六和差倍分配问题和差倍分配问题是奥数中的重要应用题型，涉及数量关系的分析和建模这类问题通常给出若干量之间的和、差或倍数关系，要求求出各个量的具体值和问题已知两个数的和与其他条件（如差、比、积等），求这两个数如两数和为10，差为4，求这两个数差问题已知两个数的差与其他条件，求这两个数如两数差为6，积为27，求这两个数倍问题已知两个数的比值与其他条件，求这两个数如甲是乙的3倍，甲比乙多12，求甲、乙各是多少分配问题将一定量的物品按照特定比例或条件分配给几个对象如将90个苹果分给甲、乙、丙三人，比例为2:3:4，各得多少？解决和差倍分配问题的关键在于正确分析题目中给出的数量关系，建立适当的方程或方程组常用的解题方法包括代入法、换元法、方程法、假设法等鸡兔同笼问题详细讲解经典鸡兔同笼问题四种变式例题鸡兔同笼问题是和差倍问题的典型代表，基本形式为

1.基本型已知头数和腿数，求鸡兔各多少只鸡和兔共有n个头，m条腿，求鸡和兔各有多少只？

2.条件变形已知总数和腿数差（或比例）解法步骤

3.对象变形三种动物同笼（如鸡、兔、蜻蜓）

1.设鸡有x只，兔有y只

4.情境变形换成其他具有类似特征的问题（如硬币问题、年龄问题等）

2.根据头数关系x+y=n

3.根据腿数关系2x+4y=m

4.联立方程组求解241鸡的腿数兔的腿数头的数量每只鸡有2条腿每只兔有4条腿每只动物有1个头解决鸡兔同笼问题时，可以采用方程法、假设法、图示法等多种方法其中，方程法最为通用，而假设法（如设全是鸡，多出的腿数除以2即为兔的数量）在一些简单情况下更为直观练习和差倍问题6通过以下练习题，巩固对和差倍问题的理解和应用1鸡兔同笼变式一个笼子里有若干只鸡和兔，共有35个头，94条腿问笼中各有多少只鸡和兔？提示设鸡有x只，兔有y只，列出关于头数和腿数的两个方程，联立求解2比例分配问题甲、乙、丙三人共有135元钱，已知甲的钱是乙的2倍，乙的钱是丙的3倍问三人各有多少钱？提示设丙有x元，则乙有3x元，甲有6x元，根据总和列方程求解3年龄问题现在父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄将是儿子年龄的

2.5倍问现在父子两人各是多少岁？提示设现在儿子x岁，父亲4x岁，10年后分别是x+10岁和4x+10岁，利用新的比例关系列方程这些练习题涵盖了和差倍问题的不同类型，帮助学生熟练掌握解决这类问题的基本方法解题时要注意分析清楚各个量之间的关系，建立正确的方程，并进行合理的解释和验证专题七逻辑推理逻辑推理是奥数中的重要内容，它培养学生的逻辑思维和推理能力这类问题通常涉及逻辑关系的分析、假设验证、信息整合等思维过程真假推理排序推理逻辑谜题分析陈述的真假关系，推断出符合所有条件的结根据给定的条件，确定人或物的顺序关系分析谜题中的逻辑关系，找出符合条件的答案论如甲比乙高，乙比丙高，推断三人的身高顺例如找出说谎者和诚实者，或推断某事件的发例如我是女生这句话是假话，推断说话者的性序生顺序别解决逻辑推理问题的基本方法包括正向推理法（从已知条件出发，逐步推导结论）、反向推理法（从可能的结论出发，验证是否符合条件）、假设法（通过假设和验证排除错误选项）、穷举法（列出所有可能情况，逐一验证）等逻辑推理不仅是奥数的重要内容，也是培养学生批判性思维和问题解决能力的有效途径通过这类训练，学生能够提高分析问题、寻找规律和推断结论的能力信息还原与假设法信息还原法假设法信息还原是一种从已知条件出发，通过逻辑推理逐步恢复完整信息的方法基本步骤包括假设法是在无法直接得出结论时，通过假设可能的答案，然后验证其是否符合所有条件的方法基本步骤包括

1.整理所有已知条件

1.列出所有可能的假设

2.寻找确定性信息（即可以直接得出的结论）

2.对每个假设进行逻辑推导

3.利用确定信息推导更多结论

3.检验推导结果是否与条件矛盾

4.重复步骤2-3，直到还原全部信息

4.排除矛盾的假设，保留符合条件的结果逻辑表格法用表格整理信息，通过排除法确定答案适用于谁拥有什么类型的问题真值表法列出所有可能的真假组合，根据条件筛选出符合的情况适用于真假判断问题决策树法将问题分解成一系列二分决策，通过树状结构展示所有可能路径适用于复杂的多步骤推理练习逻辑推理7通过以下练习题，巩固对逻辑推理方法的理解和应用123真假话问题物品归属问题推理谜题甲、乙、丙三人中，有一人总是说真话，有一人小明、小红、小华三人各有一件物品笔、书、一位侦探在调查一起案件，嫌疑人A、B、C中有总是说假话，还有一人有时说真话有时说假话尺已知一人是犯罪者三人各做了一个陈述已知

1.小明没有笔；A说不是我做的甲说我总是说真话

2.小红没有尺；B说是C做的乙说甲总是说假话

3.书不是小华的C说B在撒谎丙说我有时说真话，有时说假话问三人各有什么物品？已知三人中只有一人说的是真话，其他人都在撒问谁总是说真话，谁总是说假话，谁有时说真谎问谁是犯罪者？提示利用表格法或穷举法，根据条件排除不可话有时说假话？能的情况提示分析每种可能性下陈述的真假情况，找出提示分析每种可能性，找出符合所有条件的唯符合只有一人说真话的唯一解一解专题八排列组合初探排列的基本概念组合的基本概念排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列的方法组合是指从n个不同元素中取出m个元素的方法数，不考虑元素的顺序数记作Pn,m或A_n^m记作Cn,m或C_n^m全排列是指n个不同元素的所有可能排列，记作Pn,n或n!计算公式Cn,m=Pn,m/m!=n!/[m!n-m!]计算公式Pn,m=nn-1n-

2...n-m+1=n!/n-m!组合数的性质•Cn,m=Cn,n-m•Cn,0=Cn,n=1•Cn,m=Cn-1,m-1+Cn-1,m24664的阶乘从4中取2的排列数从4中取2的组合数4!=4×3×2×1=24P4,2=4×3=12C4,2=4!/2!×2!=6排列组合是计数问题的重要工具，在奥数中有广泛的应用理解排列与组合的区别（是否考虑顺序）是学习这一专题的关键排列组合的基础题型排列组合在奥数中有多种常见题型，熟悉这些基本题型和解法是解决此类问题的基础列表法公式法递推法适用于元素较少的情况，通过列出所有可能的情况应用排列组合的基本公式直接计算利用递推关系解决复杂问题，将大问题分解为小问来计数题例如从5个人中选出3人组成委员会的方法数为例如求由

1、

2、3组成的所有两位数的个数，可C5,3=10例如用递推公式求解斐波那契数列或走楼梯问以直接列出12,13,21,23,31,32，共6个题解决排列组合问题的基本步骤

1.明确问题是排列还是组合（是否考虑顺序）

2.确定元素总数n和需要选取的元素个数m

3.分析是否有特殊限制条件（如相邻、不相邻等）

4.选择合适的方法（公式法、分步法、递推法等）

5.计算结果并验证在解决较复杂的排列组合问题时，常用的策略是分类计数，即将问题分解为几个互不重叠的子问题，分别计算后求和练习排列组合81基本排列问题有5名学生参加比赛，获得冠、亚、季军的可能情况有多少种？提示这是一个从5人中取3人进行排列的问题，使用排列公式P5,32组合计数问题班级里有8名男生和7名女生，需要选出5人组成学习小组，其中至少包含2名女生请问有多少种不同的选法？提示可以使用总情况减去不符合条件的情况，即C15,5-C8,4+C8,5或者直接计算C7,2×C8,3+C7,3×C8,2+C7,4×C8,1+C7,5×C8,03排列限制条件问题将5个不同的小球排成一列，要求红球不能放在最左边，蓝球不能放在最右边，有多少种不同的排列方法？提示使用总情况减去不符合条件的情况，即5!-排列中红球在最左边的情况数+排列中蓝球在最右边的情况数-两种情况的交集这些练习题涵盖了排列组合的基本应用，帮助学生巩固对相关概念和解题方法的理解在解题过程中，学生需要注意问题是排列还是组合，是否有特殊的限制条件，以及如何选择合适的计数方法排列组合是奥数中的重要内容，也是培养学生逻辑思维和分析能力的有效工具通过这些练习，学生能够提高对复杂问题的分解和解决能力专题九盈亏问题盈亏问题是一种常见的应用题类型，主要研究实际量与标准量之间的差异关系这类问题通常涉及到商品买卖、工作效率等实际情境盈亏问题的基本概念盈亏问题的基本模型盈亏问题的解决方法盈实际量大于标准量，表示多出或盈余设标准量为x，有两种不同情况方程法根据盈亏关系列方程求解亏实际量小于标准量，表示不足或亏损情况一每份用a，共b份，则a×b比x多p（盈）盈亏相抵法利用盈亏相抵的关系简化计算盈亏问题的本质是分析不同条件下盈亏情况的变情况二每份用c，共d份，则c×d比x少q（亏）比例法利用盈亏与份数或单位量的比例关系求化规律解则有a×b=x+p，c×d=x-q盈亏问题在奥数中常见的情境包括分配问题（如分粮食、分物品等）、工程问题（如材料使用、工作效率等）、商业问题（如定价、盈亏平衡等）解决这类问题的关键在于正确理解盈亏关系，建立合适的数学模型盈亏分析图解盈亏问题的图解法典型例题与分析图解法是解决盈亏问题的直观方法，通过数轴或表格展示盈亏关系，帮助理解和解决例题有一批糖果，如果每人分4颗，则多出6颗；如果每人分5颗，则少12颗问共问题有多少人和多少颗糖果？基本步骤图解分析

1.在数轴上标出标准量的位置•设人数为x，糖果总数为y

2.标出盈余和亏损的位置•条件一4x+6=y（每人4颗，多6颗）

3.通过比例关系分析问题•条件二5x-12=y（每人5颗，少12颗）

4.利用相似三角形或等比关系求解•联立方程4x+6=5x-12•解得x=18（人数），y=78（糖果数）标准值亏损情况确定问题中的标准量分析亏损条件与标准量的关系1234盈余情况盈亏比较分析盈余条件与标准量的关系利用盈亏关系建立方程求解练习盈亏问题91基本盈亏问题学校买来一些篮球分给各班，如果每班分6个，则多出8个；如果每班分8个，则少4个问学校有多少个班级？买来了多少个篮球？提示设班级数为x，篮球数为y，列出方程6x+8=y和8x-4=y，联立求解2盈亏转换问题工厂订购一批零件，如果每箱装40个，则最后一箱只能装25个；如果每箱装35个，则正好装满问这批零件共有多少个？需要多少箱？提示设箱数为x，零件总数为y，根据装箱情况列方程，注意最后一箱的特殊情况3多条件盈亏问题某工厂生产一批产品，如果每天生产60件，则需要15天；如果每天生产80件，则需要12天；如果每天生产100件，则需要多少天？提示设产品总数为x，则有60×15=x和80×12=x，求出x后，计算生产100件每天需要的天数这些练习题涵盖了盈亏问题的不同类型，帮助学生巩固对盈亏关系的理解和应用在解题过程中，学生需要注意分析问题中的盈亏情况，建立正确的方程，并对结果进行合理的解释盈亏问题的解决需要灵活运用代数知识和比例关系，通过这些练习，学生能够提高分析问题和建立数学模型的能力专题十行程问题行程问题是奥数中的重要应用题型，涉及速度、时间和路程三者之间的关系，以及相遇与追及等典型情境基本公式时间计算速度v×时间t=路程s时间t=路程s÷速度v平均速度=总路程÷总时间需注意时间单位的转换（小时、分钟、秒）速度计算路程计算速度v=路程s÷时间t路程s=速度v×时间t常见单位千米/小时、米/秒等注意区分单程、往返和总路程行程问题中常见的题型包括

1.相遇问题两物体从相向而行，计算相遇时间或地点

2.追及问题一物体追赶另一物体，计算追上时间或地点

3.流水行船问题考虑水流速度对船只行进的影响

4.平均速度问题计算不同速度阶段的平均速度行程问题典型模型分解相遇问题模型追及问题模型两个物体相向而行，相遇时的基本关系一个物体追赶另一个物体，追上时的基本关系•路程关系s₁+s₂=S（总路程）•路程关系s₁=s₂+d（d为初始距离）•时间关系t₁=t₂=t（相遇时间相同）•时间关系t₁=t₂=t（追上时间相同）•相遇时间t=S÷v₁+v₂•追上时间t=d÷v₁-v₂（v₁v₂）例题甲、乙两地相距120千米，小明从甲地出发以每小时4千米的速度例题小明和小红在环形跑道上跑步，跑道长400米小明速度为每分走向乙地，同时小红从乙地出发以每小时6千米的速度走向甲地问他们钟150米，小红速度为每分钟100米如果他们同时从同一地点出发同向多长时间后相遇？相遇地点距离甲地多远？奔跑，问小明第一次追上小红需要多少时间？分析问题建立模型求解方程确定问题类型（相遇、追及等）选择合适的行程模型利用行程公式计算明确已知条件和求解目标列出速度、时间、路程关系注意单位的一致性练习行程问题101相遇问题甲、乙两城市相距360千米，小明从甲城出发骑自行车前往乙城，速度为每小时20千米；出发2小时后，小红从乙城出发开车前往甲城，速度为每小时60千米问他们在出发后多少小时相遇？相遇点距离甲城多少千米？提示注意小明已经行驶了2小时，相遇时小明的总行驶时间比小红多2小时2追及问题在一条笔直的公路上，小明以每小时5千米的速度匀速行走小红出发时比小明晚了半小时，但她以每小时8千米的速度追赶小明问小红需要走多长时间才能追上小明？追上时，他们分别走了多少千米？提示计算小明领先的距离，然后利用追及公式求解3流水行船问题小船在静水中的速度为每小时8千米，河水的流速为每小时2千米小船从甲地出发，顺流而下到达乙地后立即逆流返回甲地，往返共用了10小时问甲、乙两地相距多少千米？提示顺流速度为8+2=10千米/小时，逆流速度为8-2=6千米/小时，设甲乙两地距离为x千米，列方程求解这些练习题涵盖了行程问题的主要类型，帮助学生巩固对速度、时间和路程关系的理解和应用在解题过程中，学生需要注意分析问题情境，选择合适的行程模型，并正确运用相关公式专题十一几何基础与拼图基本几何图形面积计算公式在奥数中，常见的基本几何图形包括常用的面积计算公式•三角形等边三角形、等腰三角形、直角三角形•三角形S=1/2bh（底×高÷2）•四边形正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形•平行四边形S=bh（底×高）•圆形圆、扇形、圆环•梯形S=1/2a+ch（上底+下底）×高÷2•圆形S=πr²（π×半径的平方）掌握这些基本图形的特性和计算公式是解决几何问题的基础在复杂图形中，可以利用分割、补充等方法转化为基本图形求解七巧板五格拼板几何分割七巧板是由一个正方形分割成的七块不同形状的平面拼图，可以五格拼板由5个相同的正方形拼成不同形状，共有12种基本形几何分割是研究如何将一个图形切割并重新组合成另一个图形的组合成各种图形式问题七巧板拼图培养空间想象力和几何直觉，是几何拼图的经典例通过研究如何用这些形状铺满特定区域，培养组合思维和空间想这类问题锻炼创造性思维和对图形性质的理解子象能力剪拼与变换问题剪拼与变换问题是几何奥数中的重要内容，这类问题考察学生对图形的理解和空间想象能力剪拼法基本原理剪拼法的核心思想是通过切割和重组，将一个图形转化为另一个图形，同时保持面积不变常见的操作包括•平移将图形的一部分移动到另一位置•旋转将图形的一部分绕某点旋转一定角度•翻折将图形的一部分沿某线翻转通过这些基本操作，可以解决许多复杂的面积问题几何变换方法几何变换是研究图形在平面上的移动和形变规律常见的几何变换包括•平移变换图形整体沿某个方向移动一定距离•旋转变换图形绕某个点旋转一定角度•对称变换图形关于某条线或某个点的对称•相似变换图形按比例放大或缩小掌握这些变换方法有助于解决图形中的位置关系和面积计算问题面积灵活处理在解决面积问题时，常用的技巧包括•分割法将复杂图形分割成简单图形求和•补充法在原图形基础上补充成规则图形，再减去多余部分•转化法通过剪拼变换，将图形转化为已知面积的图形•代数法利用坐标或代数方程求解几何问题灵活运用这些方法，可以简化计算，解决复杂的面积问题练习几何与拼图111面积计算问题如图所示，在边长为6厘米的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且BE=CF=2厘米求四边形AECF的面积提示可以考虑将四边形AECF分解为两个三角形AEC和AFC，分别计算面积后求和；或者用正方形面积减去三角形BEA和三角形CFA的面积2剪拼变换问题将一个边长为8厘米的正方形沿对角线剪成两个全等的三角形，然后拼成一个平行四边形求这个平行四边形的面积和周长提示剪出的两个三角形是全等的直角三角形，拼成的平行四边形的面积等于原正方形的面积，而周长需要考虑三角形的斜边长度（可用勾股定理计算）3几何变换问题在坐标平面上，正三角形ABC的三个顶点坐标分别为A0,

0、B4,0和C2,2√3将这个三角形绕点A逆时针旋转60°得到三角形ABC求三角形ABC的面积和三个顶点的坐标提示旋转变换不改变图形的大小，所以旋转后的三角形与原三角形面积相等顶点坐标可以通过旋转变换公式计算这些练习题涵盖了几何与拼图的基本应用，帮助学生巩固对图形性质和变换规律的理解在解题过程中，学生需要灵活运用所学的几何知识，培养空间想象能力和逻辑推理能力专题十二方程与应用题一元一次方程基础方程的应用范围一元一次方程是形如ax+b=0（a≠0）的方程，其中x是未知数，a和b是已知常数方程是解决实际问题的强大工具，在奥数中有广泛应用解一元一次方程的基本步骤•数字问题求满足特定条件的数•几何问题求图形的尺寸、面积等

1.去分母（如有分数，乘以最小公分母）•实际应用解决日常生活中的数量关系问题

2.去括号（分配律展开所有括号）

3.合并同类项（将含x的项和常数项分别合并）掌握方程的建立和求解方法，是奥数学习的重要内容

4.移项（将含x的项移到方程一边，常数项移到另一边）

5.求解（解出x的值）分析问题1理解题意，确定已知条件和求解目标2设未知数选择合适的未知数，通常是问题中要求的量列方程3根据已知条件，建立未知数与已知量的关系式4解方程按照解方程的步骤，求出未知数的值检验结果5将解代入原问题，验证是否满足所有条件设未知数解应用题设未知数是解决应用题的关键步骤，正确选择和设置未知数可以大大简化问题解决过程以下是两个典型例题的详细解析鸡兔同笼问题年龄问题问题笼子里有鸡和兔共12只，共有32条腿，求鸡和兔各有多少只？问题小明现在的年龄是小红的3倍，5年后小明的年龄将是小红的2倍求小明和小红现在各是多少岁？解析解析

1.设鸡有x只，则兔有12-x只

1.设小红现在x岁，则小明现在3x岁

2.根据腿的数量关系2x+412-x=

322.5年后，小红x+5岁，小明3x+5岁

3.化简2x+48-4x=

323.根据5年后的关系3x+5=2x+

54.整理-2x=32-48=-

164.化简3x+5=2x+

105.求解x=8（鸡的数量）

5.整理3x-2x=10-

56.兔的数量12-8=

46.求解x=5（小红现在的年龄）验证8只鸡有16条腿，4只兔有16条腿，共32条腿，符合条件

7.小明现在的年龄3x=3×5=15验证现在小明15岁，小红5岁，比值为3；5年后小明20岁，小红10岁，比值为2，符合条件在设置未知数时，通常有以下几种策略•选择问题中直接要求的量作为未知数•选择能够简化关系式的量作为未知数•对于多个未知量，可以选择其中一个作为基本未知数，用它表示其他未知量练习12方程应用广泛训练1数字问题一个两位数，个位数字比十位数字大2，这个两位数恰好是各位数字之和的8倍求这个两位数提示设十位数字为x，则个位数字为x+2，两位数表示为10x+x+2，各位数字之和为x+x+2=2x+2根据条件列方程并求解2工程问题甲、乙两人合作完成一项工作需要8天已知甲单独完成这项工作需要12天，乙单独完成需要多少天？提示设乙单独完成需要x天甲的效率为1/12，乙的效率为1/x，根据合作效率关系列方程1/12+1/x=1/8，求解x的值3几何问题一个长方形的周长是24厘米，面积是32平方厘米求这个长方形的长和宽提示设长为x厘米，宽为y厘米根据周长条件2x+y=24，即x+y=12；根据面积条件xy=32联立这两个方程求解这些练习题涵盖了方程应用的不同领域，帮助学生巩固对方程建立和求解的理解在解题过程中，学生需要注意分析问题情境，选择合适的未知数，建立正确的方程，并对结果进行合理的解释和验证方程是连接数学与现实的桥梁，掌握用方程解决实际问题的方法，是提高数学应用能力的重要途径通过这些练习，学生能够提高分析问题和建立数学模型的能力综合提升奥数趣味题奥数趣味题是培养学生数学兴趣、锻炼创新思维的重要内容这些题目通常具有新颖的思路和巧妙的解法，能够激发学生的求知欲和思考欲火柴棒数学通过移动、添加或移除火柴棒，使等式成立或形成特定图形这类题目培养空间想象力和创造性思维例如移动一根火柴，使等式5+2=3成立（可以将+改为-，或将5改为0等）数字填充在特定的格子中填入数字，使其满足一定的规律或条件这类题目锻炼观察能力和数字敏感性例如在九宫格中填入1-9的数字，使每行、每列和对角线的和都相等逻辑推理游戏通过已知条件，运用逻辑推理解决谜题这类题目培养严密的逻辑思维能力例如找出说谎者和诚实者，或推断物品的所属关系等解决奇思妙想型题目的关键在于打破常规思维，从多角度思考问题，善于发现隐藏的规律和联系这些题目不仅能够提高解题能力，更能培养创新精神和解决实际问题的能力教师和家长可以鼓励学生多尝试这类题目，在轻松愉快的氛围中体验数学的乐趣，培养对数学的兴趣和热爱拓展专题数论初步奇偶性数字谜题奇偶性是数的基本性质，在奥数中有广泛应用数字谜题是利用数字的特性或规律设计的脑筋急转弯，如•奇数不能被2整除的整数，形如2k+1•找出符合特定条件的数•偶数能被2整除的整数，形如2k•解密数字序列的规律•完成数字魔方阵等奇偶性运算规律进制转换•奇±奇=偶，奇±偶=奇，偶±偶=偶•奇×奇=奇，奇×偶=偶，偶×偶=偶进制转换是研究不同计数系统之间的转换关系•十进制以10为基数的计数系统•二进制以2为基数的计数系统•其他常见进制八进制、十六进制等21016二进制基数十进制基数十六进制基数计算机的基本语言我们日常使用的进制用于编程和计算机科学数论是数学的基础分支，了解数论初步知识有助于培养学生的数感和解决问题的能力通过这些拓展内容，学生可以接触到更广阔的数学世界，为后续的学习打下基础易错点总结与点评在奥数学习过程中，学生常常会遇到一些易错点和误区及时总结和纠正这些问题，有助于提高解题的准确性和效率概念混淆计算错误思路局限例如混淆约数与倍数、混淆排列与组合例如加减乘除运算失误、小数点位置错误例如固定思维模式，缺乏灵活性建议明确定义，理解本质，多做对比练习建议保持专注，养成检查习惯，提高计算能力建议多角度思考，尝试不同解法，开拓思维历年高频易错题集锦

1.整除与余数忽略余数的范围（0≤r＜b）

2.行程问题遗漏相遇时间相等这一基本条件

3.盈亏问题在建立方程时符号使用错误

4.工程问题未正确理解动态变化过程

5.几何拼图面积计算错误或遗漏部分区域对于这些易错点，建议学生在平时学习中注意以下几点•重视基础知识，牢固掌握基本概念和公式•养成规范的解题习惯，包括审题、分析、解答和检验•多做错题分析，总结错误原因，避免重复犯错•注重思维方法的训练，提高逻辑推理和创新能力奥数竞赛真题赏析通过分析近年五年级奥数竞赛的经典原题，可以帮助学生了解竞赛的出题方向和难度水平，掌握解题技巧和方法数论类真题几何类真题逻辑推理类真题例题求满足条件的最小正整数n，使得n+

1、n+

2、n+

3、n+4中例题一个长方形的周长是20厘米，对角线长是

8.5厘米，求这个例题在一次测验中，全班学生的平均分是85分男生的平均分是恰好有两个数能被3整除长方形的面积82分，女生的平均分是87分已知男女生人数比为3:2，全班共有多少名学生？解析分析连续四个数中被3整除的可能情况，利用同余的性质找出解析利用周长和对角线的关系，建立方程求解长和宽，再计算面符合条件的n积解析利用平均分的加权平均关系，建立方程求解总人数分析这些真题，可以发现以下特点•题目设计巧妙，考查知识点综合应用•注重思维能力的培养，特别是分析问题和解决问题的能力•难度适中，在基础知识上有一定的拓展和提升•紧密结合实际，具有一定的实用性和趣味性在备战奥数竞赛时，建议学生多做真题练习，熟悉出题风格；注重解题思路的总结；培养灵活的思维方式；保持良好的心态，享受解题的乐趣训练讲评与答疑时间训练讲评和答疑是巩固知识、解决疑问的重要环节通过师生互动和同伴讨论，可以加深对奥数知识的理解和应用常见问题集锦疑难解答解题策略Q1如何区分排列组合问题？Q2解决应用题时如何正确设未知数？Q3遇到复杂问题时如何下手？A1排列考虑顺序，组合不考虑顺序例A2一般选择问题中直接询问的量作为未A3可以尝试以下策略分解为小问题；如，从3人中选2人做正副班长是排列问题知数；或者选择能够简化问题的量；对于多从特殊情况入手；寻找规律和模式；尝试不（因为角色不同），而从3人中选2人参加比个未知量，可以选择其中一个，用它表示其同的解法；画图辅助思考等赛是组合问题（因为不区分角色）他量除了以上常见问题，还可以针对学生在学习过程中遇到的具体困难进行个别指导建议学生在平时学习中养成记录疑问的习惯，及时提出并解决对于理解困难的知识点，可以通过多种方式加深理解•多角度解释从不同视角理解同一个概念•类比联系将新知识与已知内容建立联系•实例说明通过具体例子理解抽象概念•应用实践在解题中应用和巩固知识家庭作业与拓展建议为了巩固课堂所学知识，提高解题能力，特布置以下家庭作业和拓展学习内容这些内容既包括基础巩固，也有进阶挑战，帮助学生全面提升奥数水平基础巩固能力提升研究性作业完成教材对应章节的基础题目，确保对核心概念尝试解决每个专题中的1-2道挑战题，这些题目难选择一个感兴趣的专题，进行深入探究，可以查的理解和掌握每个专题选做3-5道典型例题，度适中，需要综合运用多种解题方法鼓励尝试阅资料，设计新题，或尝试发现新的解题方法，形成解题思路总结不同解法，比较优劣培养研究精神具体作业建议

1.专题练习每周完成1-2个专题的习题，包括基础题和提高题

2.错题订正建立个人错题本，分析错误原因，重新解答

3.模拟测试每月完成1-2套模拟试题，锻炼考试能力

4.拓展阅读推荐阅读《奥数趣味题100例》《数学思维训练》等书籍学习方法建议制定合理的学习计划，保持每天20-30分钟的奥数学习时间；注重思考过程，不急于求解；善于总结规律，形成自己的解题思路；与同学交流讨论，互相学习和启发总结与激励知识回顾奥数学习方法建议本课程系统讲解了五年级奥数的15大专题，包括整除与余数、因数与倍夯实基础数、巧算速算、等差数列与数阵、工程问题、和差倍分配、逻辑推理、排列组合、盈亏问题、行程问题、几何基础、方程应用等重要内容牢固掌握基础知识和方法，为解决复杂问题打下基础这些知识点既是小学奥数的核心内容，也是小升初考试的重要基础通过系多角度思考统学习，学生应该已经掌握了各类题型的基本解法和思路对同一问题尝试不同解法，培养灵活的思维方式注重过程重视解题思路和方法，而不仅仅关注结果奥数学习不仅是为了竞赛和考试，更重要的是培养科学的思维方式和解决问题的能力这些能力将对学生的未来学习和发展产生深远的影响希望同学们在奥数学习的道路上保持好奇心和探索精神，享受数学思考的乐趣，培养严谨的逻辑思维和创新能力记住数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具最后，祝愿所有同学在奥数学习中取得优异成绩，在数学的世界中不断发现新的奥秘和乐趣！。