位似教学课件

图形的位似教学课件本课件为九年级数学专项讲解，全面涵盖位似图形的定义、性质、应用与实例位似是数学中一个重要概念，它不仅是几何学习的基础内容，也与我们日常生活紧密相连通过这套教学课件，学生将系统掌握位似图形的变换规律，了解位似中心、位似比的概念，并能熟练应用位似原理解决实际问题我们将通过丰富的例题和生动的图例，帮助同学们建立直观认识学习目标与导入在本节课中，我们将深入学习位似图形的概念及其在数学和现实生活中的应用通过系统的学习，你将能够掌握位似图形的变换规律，理解位似中心和位似比的概念，并能熟练应用这些知识解决几何问题位似变换在我们的日常生活中随处可见，从照片的缩放、建筑模型的设计，到地图的绘制，都应用了位似原理通过本课的学习，你将能够发现数学与生活的密切联系，提高解决实际问题的能力掌握位似概念理解位似图形的定义、特征及其与相似图形的区别应用变换规律学会位似变换的方法，能进行图形的放大与缩小联系实际应用认识位似在日常生活和实际问题中的广泛应用位似的定义位似是相似的一种特殊情况两个图形是位似的，如果它们满足每组对应点与某一固定点（位似中心）的连线都相交于该点，且所有对应点到该固定点的距离比相同这个固定点被称为位似中心，对应点距离的比值被称为位似比位似图形不仅要求形状相同，还要求对应点连线交于一点，这是位似与普通相似的关键区别确定位似中心连接对应点确定位似比找到所有对应点连线的交点，即位似中心将每个点与位似中心连线，找到对应点的位置计算对应点到位似中心距离之比，即为位似比O k位似与相似的区别虽然位似图形一定是相似的，但相似图形不一定是位似的相似图形只要求对应角相等、对应边成比例，而位似图形还要求所有对应点的连线必须交于一点（位似中心）两个相似图形，若无法找到一个点使所有对应点的连线都经过该点，则它们不是位似图形这种区别在几何问题解决中十分重要，能帮助我们选择合适的方法和定理相似图形的特点位似图形的特点对应角相等对应角相等••对应边成比例对应边成比例••对应点连线可能不相交于一点所有对应点连线必交于一点••可以通过平移、旋转、放大缩小得到只能通过以位似中心为基准点的放大缩小得到•/•/位似中心的概念位似中心是位似图形中一个核心概念，它是两个位似图形中所有对应点连线的交点位似中心的位置对位似变换有决定性影响，它决定了图形如何放大或缩小根据位似中心的位置不同，位似图形可能出现在中心的同侧或异侧位似中心可以位于图形内部、外部，甚至可以是图形的某个顶点不同位置的位似中心会导致不同的位似效果位似中心在图形内部位似中心在图形外部位似中心在图形顶点上图形从内部向外扩张或收缩图形相对于外部点进行放大或缩小图形以顶点为基准点进行变换位似比的含义位似比是位似图形中另一个重要概念，它表示新图形中点到位似中心的距离与原图形中对应点到位似中心距离的比值简单来说，位似比决定了图形放大或缩小的倍数当位似比大于时，表示图形被放大；当位似比小于时，表示图形被缩小；当位似比11等于时，两个图形完全重合位似比的绝对值决定了变换的程度，而符号则反映了图1形是否发生了翻转11=1放大位似缩小位似等大位似新图形比原图形大，位似新图形比原图形小，位似新图形与原图形大小相同，中心到新图形上点的距离中心到新图形上点的距离仅位置可能不同，此时两比到原图形对应点的距离比到原图形对应点的距离图形重合大小生活中的位似实例位似在我们的日常生活中随处可见当我们在电脑或手机上缩放照片时，实际上是在进行位似变换，屏幕中心通常作为位似中心地图使用的比例尺也是位似的应用，地图上的每个点都是按照一定比例缩小的实际地理位置在建筑设计中，模型与实际建筑之间存在位似关系，设计师可以通过小型模型预览最终效果投影仪投射的图像与原始图像也是位似的，光源位置即为位似中心这些例子说明位似原理在现实生活中的广泛应用照片缩放地图比例尺建筑模型手机或电脑上缩放照片时，以屏幕中心或手指触地图是真实地理环境的缩小模型，比例尺表示缩建筑师制作的小型模型与实际建筑之间存在固定点为位似中心进行放大或缩小小的倍数，即位似比的比例关系，是典型的位似应用位似基本性质连线相交位似图形最基本的性质是所有对应点与位似中心的连线相交于位似中心这一性质是位似的定义特征，也是判断两个图形是否位似的重要依据如果两个图形是位似的，那么我们可以找到一个点（位似中心），使得所有对应点的连线都经过该点反之，如果存在这样一个点，那么两个图形就满足位似的基本条件这一性质在几何问题中经常被用来证明图形的位似关系连线交点唯一距离比例恒定所有对应点连线必须交于同一个点，该点即为对应点到位似中心的距离比值相等，该比值即位似中心为位似比变换可逆性夹角保持不变位似变换可以反向进行，原图形和新图形互为对应线段与位似中心连线所成的角度相等位似图形位似基本性质同侧与异侧根据位似中心的位置，位似图形可以出现在位似中心的同侧或异侧当位似比为正时，原图形和新图形位于位似中心的同侧；当位似比为负时，它们位于位似中心的异侧同侧位似是指原图形和位似图形位于位似中心的同一侧，图形方向保持不变异侧位似则意味着两个图形位于位似中心的不同侧，图形方向发生翻转理解同侧与异侧位似对正确绘制位似图形非常重要同侧位似异侧位似位似比为正值位似比为负值•k0•k0原图形和新图形在位似中心的同一侧原图形和新图形在位似中心的不同侧••图形方向保持不变图形方向发生翻转••当时为放大，当时为缩小当时为放大，当时为缩小•k10k1•|k|1|k|1位似基本性质线段平行与共线位似图形中，对应边总是平行的或共线的如果两图形在位似中心的同侧，则对应边平行；如果在异侧，则对应边的延长线相交于位似中心这一性质源于位似变换的几何特性此外，当位似中心不在直线上时，直线的位似是平行直线；当位似中心在直线上时，直线的位似是它自身这些性质在解决位似问题时非常有用，能帮助我们理解图形变换的规律对应边平行同侧位似时，原图形和新图形的对应边始终保持平行关系对应边共线当位似中心位于某条边上时，该边的位似是它自身直线位似直线的位似是平行直线（位似中心不在该直线上）或自身（位似中心在该直线上）位似图形的分类根据位似比的大小，位似图形可以分为放大位似和缩小位似两种主要类型放大位似是指位似比的绝对值大于，图形尺寸增大；缩小位似是指位似比的绝1对值小于，图形尺寸减小1位似比的符号也很重要，正值表示同侧位似，负值表示异侧位似因此，完整的位似分类应考虑位似比的大小和符号，共有四种情况同侧放大、同侧缩小、异侧放大和异侧缩小同侧放大位似同侧缩小位似位似比，新图形比原图形大，两图形在位，新图形比原图形小，两图形在位似k10k1似中心同侧中心同侧异侧缩小位似异侧放大位似，新图形比原图形小，两图形在位，新图形比原图形大，两图形在位似中-1k0k-1似中心异侧心异侧位似中心的四种位置位似中心的位置对位似变换有重要影响，它主要可能出现在四种位置图形内部、图形外部、图形公共顶点上、两图形之间位似中心的不同位置会导致不同的位似效果当位似中心位于图形内部时，图形会从中心向外扩张或收缩；当位于图形外部时，图形相对于该点进行放大或缩小；当位于图形顶点上时，该顶点在变换后保持不变；当位于两图形之间时，通常会形成异侧位似图形内部图形外部图形公共顶点两图形之间当位似中心位于图形内部时，图形当位似中心位于图形外部时，图形当位似中心位于图形顶点上时，该当位似中心位于两图形之间时，通从中心向外扩张或收缩，保持形状相对于该点进行放大或缩小顶点在变换后保持不变，其他点按常形成异侧位似，图形方向可能发不变位似比变化生翻转多边形的位似定义多边形的位似是指，给定一个位似中心和位似比，对原多边形的每个顶点，找到新顶点，O k A A使得且与在的同一射线上新多边形由所有这些新顶点构成OA/OA=kA A O多边形位似变换保持图形的形状不变，只改变大小和可能的方向位似变换后，新多边形与原多边形相似，且对应顶点连线交于位似中心这种变换在几何问题和实际应用中非常有用确定位似中心选取一点作为位似中心O连接各顶点将位似中心与原多边形各顶点连线O按比例取点在每条射线上，按位似比取新顶点，使k OA/OA=k连接新顶点将所有新顶点按原多边形顶点的连接顺序连接，形成新多边形位似变换的类型位似变换可以看作是以位似中心为基准点的放大或缩小操作根据位似比和位似中心的位置，位似变换可以分为多种类型，每种类型都有其特定的几何意义和应用场景位似变换保持图形的形状不变，只改变其大小和可能的方向它不同于平移、旋转等变换，因为位似变换是以一个点为中心的放缩，而不是整体移动或旋转了解不同类型的位似变换有助于我们更好地应用位似原理位似变换的表达式在平面直角坐标系中，位似变换可以用数学表达式表示当位似中心为坐标原点时，点经过位似比为的变换后，得到新点这是位似变换最O0,0Ax,y kAkx,ky简单的数学表达形式如果位似中心不是坐标原点，而是点，那么点的位似变换可以表示为这个公式适用于任意位置的位似中心，是位似变换Oa,b Ax,y Aa+kx-a,b+ky-b的一般表达式1坐标原点为位似中心2一般位置的位似中心3向量形式表示当位似中心为坐标原点时当位似中心为点时用向量形式可以简洁地表示位似变换O0,0Oa,b这是最简单的位似变换表达式，点的坐标直接其中为位似中心，为原图上的点，为位似O A A乘以位似比这个公式可以理解为新坐标等于位似中心坐图上的对应点，为位似比k k标加上位似比乘以原点与位似中心的相对坐标位似图形的画法步骤绘制位似图形需要遵循一定的步骤首先，我们需要确定位似中心和位似比位似中心可以是任意点，而位似比决定了图形的放大或缩小倍数然后，我们将位似中心与原图形的各个顶点连线，并在每条连线上按位似比取点最后，将这些新点按原图形顶点的连接顺序连接起来，就得到了位似图形掌握这些步骤，我们就能准确地绘制任意位似图形确定位似中心1O选择一个点作为位似中心，它可以在图形内部、外部或顶点上2确定位似比k位似比表示放大，表示缩小，表示异侧位似k10k1k0连接位似中心与各顶点3将位似中心与原图形的每个顶点、、连线O A B C...4在连线上按位似比取点在每条射线、、上，找到点、、，使得OA OBOC...A B C...OA/OA=OB/OB=OC/OC=k连接新顶点形成位似图形5按原图形顶点的连接顺序，将、、连接起来，形成新的位似图形A BC...典型例题三角形的位似1让我们通过一个具体例题来理解三角形的位似变换已知三角形的三个顶点坐标为，，，位似中心为原点，位似比，ABC A1,1B4,2C2,5O k=2求位似后三角形的顶点坐标ABC由于位似中心是原点，我们可以直接应用公式计算得到，，这个例题展示了位似变换的基本应用，通过坐标计算Akx,ky A2,2B8,4C4,10得到位似图形的精确位置已知条件计算过程三角形顶点，，对于点•ABC A1,1B4,2C2,5A1,1位似中心原点•O0,0位似比•k=2对于点解题步骤B4,2应用公式

1.Akx,ky分别计算三个顶点的新坐标

2.对于点C2,5绘制新三角形

3.ABC因此，位似后的三角形的顶点坐标为，，ABC A2,2B8,4C4,10例题讲解与练习通过更多例题，我们可以加深对位似变换的理解例如，已知四边形的顶点坐标分别为，，，，位似中心为点ABCD A1,2B3,1C4,3D2,4P2,，位似比，求位似后的四边形的顶点坐标2k=-

0.5ABCD使用公式，我们可以计算出位似后的坐标，，，注意这里为负，意味着是异Aa+kx-a,b+ky-b A

2.5,2B

1.5,

2.5C1,

1.5D2,1k侧位似，图形相对于位似中心发生了翻转1求位似后顶点坐标2求位似后的距离已知正方形的顶点为，，，，已知点和，位似中心为原点，位似比，求位ABCD A0,0B3,0C3,3D0,3A2,3B5,7O k=3位似中心为点，位似比，求位似后正方形的顶似后点的距离O1,1k=2ABCD AB点坐标解应用公式，其中解首先计算和的坐标Aa+kx-a,b+ky-b a=1,b=1,k=2A B××A1+20-1,1+20-1=A-1,-1A32,33=A6,9××B1+23-1,1+20-1=B5,-1B35,37=B15,21然后计算的距离C1+23-1,1+23-1=C5,5ABD1+20-1,1+23-1=D-1,5而原来，所以×，验证了位|AB|=5|AB|=k|AB|=35=15似变换中距离的变化规律练习一指定点位似变换下面我们通过一个练习来巩固对点位似变换的理解已知直线上有一点，点是平面上任一点（不在直线上），求点关于AB C AC:CB=2:3P AB C点的位似变换点，使P C PC:PC=1:2解决这个问题，我们需要利用位似变换的定义和比例关系由于，位似比，在的延长线上，且我们可PC:PC=1:2k=1/2C PC PC=PC/2以通过连接与，然后在上取点，使来解决这个问题P C PC CPC=PC/2已知条件解题步骤直线上有点，连接点和点•ABCAC:CB=2:

31.P C点不在直线上以为位似中心，取位似比•P AB

2.P k=1/2求点关于点的位似变换点在上取点，使•CPC

3.PC CPC=PC/2使•PC:PC=1:2结论分析点是点关于点的位似变换点，满足C CP PC:PC=1:2由可知，位似比，在的延长线上，且PC:PC=1:2k=1/2CPC注意由于位似比，这是一个缩小位似；又因为，所k=1/21k0PC=PC/2以是同侧位似，位于的同侧CPC平面直角坐标系中的位似在平面直角坐标系中，位似变换可以通过坐标变换公式直接计算当位似中心为原点时，点的位似变换后的点的坐标为，其中为位似比O0,0Px,y PPkx,ky k如果位似中心不是原点，而是点，那么点的位似变换后的坐标为这些公式使我们能够精确计算位似变换后点的位置，在解Oa,b Px,y Pa+kx-a,b+ky-b决复杂问题时非常有用k10k1k0放大位似缩小位似异侧位似当时，图形被放大，新点到位似中心的距离是原当时，图形被缩小，新点到位似中心的距离当时，新点与原点位于位似中心的异侧，如k10k1k0k=点到位似中心距离的倍如时，点相对是原点到位似中心距离的倍如时，点时，点相对于原点的位似变换为，k k=23,4k k=

0.53,-13,4-3,-4于原点的位似变换为，距离原点增加一倍相对于原点的位似变换为，距离原点减少图形关于原点发生对称6,

841.5,2一半坐标变换实例1让我们通过一个具体实例来理解坐标变换已知点，位似中心为原点，位似比为，求关于的位似变换点的坐标A2,3O2A O A由于位似中心是原点，我们可以直接应用公式代入，得到××可以验证，，符合位似变换的定义Akx,ky k=2A22,23=A4,6|OA|=2|OA|这个例子展示了最简单的位似坐标变换原始问题解题过程已知点，位似中心为原点，位似比为，求关于的位似变换点代入数据点，位似中心，位似比A2,3O2A O A A2,3O0,0k=2的坐标应用公式Akx,ky解题方法××A22,23=A4,6应用位似变换公式当位似中心为原点时，点的位似变换后坐标为x,y kx,验证ky计算距离和|OA||OA|因此，符合位似变换的定义|OA|=2|OA|坐标变换练习下面我们通过几个练习题来加深对位似坐标变换的理解这些练习涵盖了不同位似中心和不同位似比的情况，帮助我们全面掌握位似变换的计算方法记住，对于一般位置的位似中心，点的位似变换后的坐标为，其中为位似比这个公式适用于任意位置的Oa,b Px,y Pa+kx-a,b+ky-b k位似中心，是我们解决位似问题的重要工具1练习原点作位似中心2练习一般位置的位似中心3练习负位似比的情况123已知点，位似中心为原点，位已知点，位似中心为点，已知点，位似中心为点，P3,4O Q5,7O2,3R1,6O3,2似比，求关于的位似变换点位似比，求关于的位似变换位似比，求关于的位似变换点k=-2P OP k=

0.5Q O k=-1R O的坐标点的坐标的坐标Q R解应用公式，代入解应用公式解应用公式Pkx,ky k=-2Qa+kx-a,b+ky-Ra+kx-a,b+ky-，代入，代入b a=2,b=3,k=

0.5b a=3,b=2,k=-1××P-23,-24=P-6,-8Q2+

0.55-2,3+

0.57-3=R3+-11-3,2+-16-2=由于，这是一个异侧位似，位于k0PQ2+

1.5,3+2=Q

3.5,5R3+2,2+-4=R5,-2的延长线上，且OP|OP|=2|OP|由于，这是一个缩小位似，由于，这是一个等大异侧位似，0k1Q k=-1位于线段上，且与关于对称，OQ|OQ|=

0.5|OQ|R RO|OR|=|OR|放大与缩小的判别标准在位似变换中，如何判断是放大还是缩小？关键在于位似比的绝对值当位似比的绝对值大于时，图形被放大；当位似比的绝对值小于时，图形被缩小；当位似比的绝对值等于时，图形大小不变111需要注意的是，位似比的符号决定了位似是同侧还是异侧，而不影响放大或缩小的判断因此，位似比和虽然一个是同侧位似，一个是异侧位似，但它们都是放大位似，放大倍数都是倍k=2k=-22放大位似图形尺寸增大，新图形比原图形大如或时，图形尺寸增大到原来的倍k=2k=-22|k|1缩小位似图形尺寸减小，新图形比原图形小如或时，图形尺寸减小到原来的一半k=

0.5k=-

0.5|k|1等大位似图形尺寸不变，仅可能改变位置或方向当时，两图形完全重合；当时，两图形关于位似中心对称k=1k=-1|k|=1位似图形的判定如何判断两个图形是否是位似图形？首先，位似图形必须是相似的，即对应角相等，对应边成比例其次，所有对应点的连线必须交于一点，这个点就是位似中心最后，所有对应点到位似中心的距离比必须相同，这个比值就是位似比在判定位似图形时，我们可以选择至少三对对应点（对于多边形），连接对应点，看这些连线是否交于一点如果是，再计算对应点到这个交点的距离比，看是否相同满足这些条件的图形就是位似图形判定步骤常见错误检查两图形是否相似（对应角相等，对应边成比例）仅检查相似性而忽略连线是否交于一点

1.•连接对应点，看连线是否交于一点仅检查几对对应点而不是所有对应点

2.•计算对应点到交点的距离比，看是否恒定混淆位似与仿射变换（仿射变换可以改变形状）

3.•若以上条件都满足，则两图形是位似图形忽略位似比的一致性（所有对应点的距离比必须相同）

4.•生活应用案例建筑模型1位似原理在建筑模型设计中有着广泛应用建筑师在设计大型建筑前，通常会先制作一个缩小的模型，这个模型与实际建筑之间存在位似关系，模型的每个点都是实际建筑对应点的位似变换例如，一个的建筑模型，意味着位似比，即模型上的每个尺寸都是实际建筑对应尺寸的通过这种缩小的模型，建筑师可以直1:100k=

0.011/100观地预览设计效果，进行必要的调整，而不必等到实际建造才发现问题比例尺的模型比例尺的模型比例尺的模型1:1001:2001:500模型中厘米代表实际建筑中米，适合中型建模型中厘米代表实际建筑中米，适合较大型模型中厘米代表实际建筑中米，适合大型建111215筑的展示，如住宅或小型办公楼建筑或包含周边环境的展示筑群或城市规划的宏观展示应用案例地图绘制2地图是现实地理环境的缩小模型，地图与实际地理环境之间存在位似关系地图的比例尺表示地图上的距离与实际距离的比值，这实际上就是一个位似比例如，比例尺的地图，意味着地图上厘米的距离代表实际地理环境中厘米（即1:10000110000米）的距离100在使用地图时，我们可以通过位似原理计算实际距离如果地图上两点之间的距离是5厘米，比例尺是，那么实际距离就是×厘米1:10000510000=50000=500米这种位似变换的应用帮助我们理解和使用地图1:10001:250010:1000000大比例尺地图中比例尺地图小比例尺地图地图上厘米代表实际距离地图上厘米代表实际距离地图上厘米代表实际距离111米，适合城市街道或小米，适合城市或县级公里，适合省级或国家1025010区详图，可显示建筑物轮区域图，可显示主要道路、级地图，显示主要城市、廓、道路等细节比例尺河流、地形等这类地图高速公路网等比例尺越越大，显示的细节越多，平衡了细节与覆盖范围小，覆盖的区域越大，但但覆盖的区域越小细节越少实践演练简笔画转大型墙绘艺术家经常需要将小型草图或简笔画放大为大型墙绘或壁画，这个过程就是一个位似变换例如，将一个厘米×厘米的草图放大为米×米的墙绘，位似比为，墙绘上的每20302310个元素都是草图上对应元素的倍大小10实际操作中，艺术家可以使用网格法进行放大首先在原图上画一个小网格，然后在墙面上画一个按比例放大的网格，最后根据原图中每个小格子的内容，在墙面对应的大格子中按比例绘制这种方法实际上是应用了位似原理创建原始草图在小纸张上绘制完整的设计草图，确定构图和细节绘制参考网格在原始草图上绘制均匀的网格线，将图像分割为多个小方格确定放大比例根据墙面尺寸计算位似比，确定放大后的网格尺寸墙面绘制放大网格在墙面上按比例绘制放大后的网格，保持网格数量与原图相同按格填充内容参照原图每个小格内的内容，在墙面对应的大格中按比例绘制位似与仿射变换的区别位似变换是保持图形形状不变的变换，仅改变大小和可能的方向而仿射变换则更为广泛，它可以改变图形的形状，如将圆变成椭圆，将正方形变成平行四边形在位似变换中，对应点到位似中心的距离比是恒定的，所有方向的放缩比例相同而在仿射变换中，不同方向的放缩比例可以不同，导致图形的变形理解位似与仿射变换的区别，有助于我们在不同场景下选择合适的变换方法位似变换特点仿射变换特点所有方向放缩比例相同不同方向放缩比例可不同••保持图形形状不变可改变图形形状••所有对应点连线交于位似中心平行线变换后仍平行••对应点到位似中心的距离比恒定可包含剪切、拉伸等变形••只能是放大、缩小或反向可以是位似、平移、旋转等的组合••位似中心作图技巧确定位似中心是绘制位似图形的关键步骤有几种常用的技巧可以帮助我们确定位似中心一种是选取两对对应点，连接这些对应点，连线的交点就是位似中心例如，连接和，和，两条连线的交点就是位A A B B似中心O另一种技巧是延长两个位似图形的对应边，这些对应边的交点也位于通过位似中心的直线上通过找到两条这样的直线，它们的交点就是位似中心这些技巧在实际绘图和解题中非常有用1对应点连线法选取两对或多对对应点（如和，和），连接每对对应点，这些连线的交点就是位似中心A A B BO这是最直接的方法，适用于已知位似图形的情况至少需要两对对应点，更多对应点可以提高准确性2对应边延长线法延长位似图形的对应边，这些对应边的交点位于通过位似中心的直线上找到至少两条这样的直线，它们的交点就是位似中心当图形较复杂或对应点不明显时，这种方法特别有用3三角形法对于两个三角形，如果它们是位似的，那么连接对应顶点的三条线必定交于一点，这点就是位似中心这种方法在处理三角形位似问题时非常直观有效位似中心坐标计算在已知两个位似图形的情况下，如何计算位似中心的坐标？一种方法是利用对应点连线的方程组例如，已知和，和Ax1,y1Ax1,y1Bx2,y2，连接和，求它们的交点Bx2,y2AA BBO我们可以分别写出直线和的方程，然后求解这两个方程组成的方程组，得到交点坐标这种方法在处理复杂的位似问题时非常有用，可以精确计算位AA BB似中心的位置通过对应点计算示例计算已知两对对应点、和、，计已知、和、，求位似中心的坐标Ax1,y1Ax1,y1Bx2,y2Bx2,y2A1,2A4,8B3,1B9,4O算位似中心的坐标O直线方程AA y-2/x-1=8-2/4-1=2写出直线的方程

1.AA y-y1/x-x1=y1-y1/x1-x1即，整理得y-2=2x-1y=2x写出直线的方程

2.BB y-y2/x-x2=y2-y2/x2-x2直线方程联立方程组，求解交点坐标BB y-1/x-3=4-1/9-3=1/

23.即，整理得y-1=x-3/2y=x/2-1/2联立方程2x=x/2-1/2解得，代入得x=-1/7y=-2/7因此，位似中心的坐标为O-1/7,-2/7练习二两多边形的位似中心计算让我们通过一个具体练习来掌握位似中心的计算已知两个三角形和的顶点坐标分别为，，和，，，求ABC ABC A1,1B4,2C2,5A2,2B8,4C4,10它们的位似中心和位似比我们可以连接对应顶点、和，计算这些连线的交点通过计算可以发现，这三条线确实交于一点，即原点然后计算位似比AA BBCC O0,0k=|OA|/|OA|=，验证这是一个位似变换|OB|/|OB|=|OC|/|OC|=21提取关键信息2计算连线方程三角形，，直线方程，即ABC A1,1B4,2C2,5AA y-1/x-1=2-1/2-1=1y=x三角形，，直线方程，即ABC A2,2B8,4C4,10BB y-2/x-4=4-2/8-4=1/2y-2，整理得=x-4/2y=x/2+0我们需要找到这两个三角形的位似中心和位似比直线方程，即CC y-5/x-2=10-5/4-2=5/2y-5，整理得=5x-2/2y=5x/2-03求解交点4计算位似比由和可得，解得，y=x y=x/2x=x/2x=0|OA|=√1²+1²=√2|OA|=√2²+2²=2√2代入得位似比y=x y=0k=|OA|/|OA|=2√2/√2=2验证是否也在直线上×，成立验证，0,0CC0=50/2-0|OB|/|OB|=√8²+4²/√4²+2²=2|OC|/|OC|=√4²+10²/√2²+5²=2因此，位似中心的坐标为O0,0确认这是一个位似比为的位似变换，位似中心为原点2O0,0反向位似变换反向位似变换是指，已知新图形、位似中心和位似比，求原图形这是正向位似变换的逆过程例如，已知三角形的顶点坐标，位似中心和位似比，求原三角ABC Ok形的顶点坐标ABC解决这类问题的关键是利用位似变换的可逆性如果点是点关于中心的位似变换，位似比为，那么点是点关于中心的位似变换，位似比为通过这种方AA OkAAO1/k法，我们可以从新图形反推原图形反向位似的计算方法示例计算假设点是点关于中心的位似变换，位似比为已知三角形的顶点坐标为，，，位似中心为Ax,y Ax,y Oa,b kABC A4,6B10,8C6,14，位似比，求原三角形的顶点坐标O2,2k=2ABC利用反向位似公式，，即A x=2+4-2/2=3y=2+6-2/2=4A3,4反向求解点的坐标A，，即B x=2+10-2/2=6y=2+8-2/2=5B6,5，，即C x=2+6-2/2=4y=2+14-2/2=8C4,8因此，原三角形的顶点坐标为，，ABCA3,4B6,5C4,8这等价于将点关于中心进行位似变换，位似比为AO1/k难点讲解异侧位似异侧位似是指原图形和新图形位于位似中心的不同侧，这时位似比异侧位似的作图和k0理解相对复杂一些，因为图形不仅会放大或缩小，还会发生翻转在异侧位似中，如果从位似中心向某点引一条射线，那么点将位于这条射线的反方向上，OAA且理解这一点对正确绘制异侧位似图形非常重要下面我们通过具体例子|OA|=|k|·|OA|来解释异侧位似的作图方法确定位似中心选择一点作为位似中心O连接各顶点将位似中心与原图形各顶点、、连线OABC...在反方向取点在每条射线的反方向上取点、、，使，方向相反ABC...OA=|k|·OA连接新顶点将所有新顶点按原图形顶点的连接顺序连接，形成新多边形多边形位似变换的拓展位似变换不仅适用于三角形，还可以应用于任何多边形，如四边形、五边形、六边形等不管多边形有多少边，位似变换的基本原理都是相同的每个顶点都按照相同的位似比，相对于位似中心进行变换例如，对于一个六边形，我们可以将它的每个顶点都连接到位似中心，然后在每条连线上取点、、、、、，使得ABCDEF OABC D E FOA/OA=，最后将这些新点连接起来，形成新的六边形OB/OB=...=OF/OF=k ABCDEF五边形的位似变换六边形的位似变换不规则多边形对于正五边形，位似变换后仍然是一个正五边形，正六边形的位似变换保持了六边形的所有特性，不规则多边形的位似变换同样保持了原图形的形大小按位似比变化，方向可能翻转（如果是异侧包括内角和边长比例，只改变了整体大小状特征，每个角度和边长比例都不变位似）实战挑战复杂图形位似变换让我们尝试一个更具挑战性的问题对一个复杂的不规则图形进行位似变换假设我们有一个由多个线段和曲线组成的图形，要对它进行位似变换，我们需要对图形上的每个点都进行变换对于曲线，我们可以选取曲线上的若干个点，对这些点进行位似变换，然后用平滑的曲线连接变换后的点对于复杂图形中的每个部分，我们都应用相同的位似中心和位似比，确保整个图形的变换是一致的1分解复杂图形将复杂图形分解为基本元素点、线段、多边形和曲线这样可以简化问题，逐个处理不同的部分，然后再组合起来2处理直线部分对于图形中的直线部分，可以只变换直线的两个端点，然后连接变换后的端点如果直线上有特殊点，也需要单独对这些点进行变换3处理曲线部分对于曲线，选取足够多的点，对这些点进行位似变换，然后用平滑曲线连接变换后的点曲线上的点越多，变换后的曲线就越准确4组合变换结果将所有变换后的基本元素组合起来，形成完整的位似图形确保各部分之间的连接是平滑和准确的，特别是曲线与直线的连接处多中心位似的构造与演示多中心位似是指通过多个位似中心进行连续的位似变换例如，我们可以先以点为中心，位O1似比，将图形变换为；然后再以点为中心，位似比，将变换为这种连续k1F F1O2k2F1F2的位似变换在某些特殊问题中很有用多中心位似可以实现一些单中心位似无法实现的变换效果例如，透视作图就是一种特殊的多中心位似，它能使平面图形呈现出三维效果理解多中心位似的原理，对解决复杂的几何问题有很大帮助1原始图形F选择一个基本图形作为起点，如三角形或四边形2第一次位似变换以点为中心，位似比，将变换为O1k1F F13第二次位似变换以点为中心，位似比，将变换为O2k2F1F24最终图形F2得到经过两次位似变换后的最终图形知识拓展相交与重叠位似在某些特殊情况下，原图形与位似图形可能相交或部分重叠例如，当位似中心位于原图形的边界上，或位似比的绝对值接近于时，两个图形可能会1相交这种情况下，图形的某些部分可能会重叠理解相交与重叠位似的特点，对解决一些复杂的几何问题很有帮助例如，当两个圆相交时，它们的交点位于连接两圆心的垂直平分线上类似地，位似图形的相交也遵循一定的几何规律相交位似的特点重叠位似的特点原图形与位似图形有公共点，但不完全包含一个图形部分或完全包含在另一个内••相交区域形成新的图形当时，位似图形可能完全包含在原图形内••0k1相交点满足位似关系当时，原图形可能完全包含在位似图形内••k1常见于位似中心位于图形边界附近的情况重叠区域的边界点满足特殊的几何关系••拓展练习自设位似比与中心变换为了加深对位似变换的理解，我们可以尝试一些自设的位似比和位似中心的练习例如，给定一个三角形，尝试以不同的位似中心（如内心、外心、重心）和不同的位似比（如、、）进行位似变换，观察并比较结果

0.52-1这种练习可以帮助我们更好地理解位似中心和位似比对变换结果的影响例如，我们会发现以重心为位似中心时，三角形的变换具有特殊的性质；而当位似比为时，位似变换就变成了关于位似中心的中心对称变换-1以重心为位似中心以外心为位似中心以内心为位似中心三角形的重心是三条中线的交点，以重心为位似三角形的外心是三条垂直平分线的交点，以外心三角形的内心是三条角平分线的交点，以内心为中心的变换保持了三角形的平衡性质为位似中心可以得到特殊的几何性质位似中心的变换保持了到边的距离比例位似与图案设计位似变换在艺术和设计中有广泛应用，特别是在创建重复图案和几何艺术作品时通过对基本图形单元进行不同的位似变换，可以创造出丰富多样的图案效果例如，通过以不同的位似中心和位似比对同一个基本图形进行多次位似变换，可以创建出螺旋、放射状或分形等复杂图案这种方法在纹理设计、壁纸图案、地板铺设等领域都有应用位似变换的艺术应用，是数学美与艺术创造的完美结合螺旋图案通过连续的位似变换，使图形单元逐渐缩小并旋转，形成螺旋状图案这种图案在自然界中很常见，如贝壳、向日葵等放射状图案以中心点为位似中心，将基本图形单元向四周扩展，形成放射状图案这种图案常见于花窗、曼陀罗等艺术形式中分形图案通过递归的位似变换，使图形在不同尺度上呈现相似的结构，形成分形图案分形图案具有自相似性，在任何放大倍数下都能看到类似的结构工具辅助演示Mathematica/GeoGebra数学软件如和可以帮助我们更直观地理解和演示位似变换这些软件提供了强大的可视化功能，可以动态展示位似变换的过程，帮助学生建立直观认Mathematica GeoGebra识例如，在中，我们可以创建一个滑块来控制位似比，然后观察图形如何随着位似比的变化而变化我们还可以通过拖动位似中心，实时观察位似图形的变化这种动GeoGebra态演示对于理解位似变换的几何意义非常有帮助演示步骤演示方法GeoGebra Mathematica创建原始图形，如三角形使用的动态功能，可以创建交互式位似变换演示

1.ABC MathematicaManipulate定义位似中心（可以是固定点或可移动点）

2.OManipulate[Graphics[{{Blue,Polygon[{{0,0},{1,0},{0,1}}]},创建一个滑块，表示位似比（可设置范围如到）

3.k-33{Red,Polygon[k*{{0,0},{1,0},{0,1}}+1-k*{cx,cy}]}}],{k,使用位似工具或自定义函数，创建位似图形

4.ABC-2,2},{cx,0,2},{cy,0,2}]观察滑动或移动时，位似图形的变化

5.k O这段代码创建了一个可以调整位似比和位似中心的交互式演示k cx,cy课堂练习三位似中心、变换、比综合练以下是一组综合练习，帮助大家巩固对位似中心、位似变换和位似比的理解这些练习涵盖了我们学过的各种概念和方法，适合作为课堂练习或课后作业在解决这些问题时，要灵活运用位似的定义和性质，选择合适的方法进行分析和计算通过这些练习，你将能够更全面地掌握位似变换的知识，提高解决复杂几何问题的能力1题目位似中心确定1已知两个三角形和的顶点坐标分别为，，和，，ABC ABCA0,0B3,0C0,4A2,2B5,2判断这两个三角形是否是位似图形，如果是，求位似中心和位似比C2,62题目位似图形构造2给定一个正方形，以其中心为位似中心，位似比，作出位似图形然后以顶点ABCD Ok=2ABCD A为位似中心，位似比，作出正方形的位似图形比较这两种不同位似中心下的k=

0.5ABCD ABCD变换结果3题目位似比应用3一个建筑模型的比例尺是，如果模型上测得一个房间的面积是平方厘米，求实际房间的面积如1:2004果要在模型上表示实际建筑中长米、宽米的游泳池，模型上的尺寸应该是多少？534题目位似中坐标计算4已知点关于位似中心的位似图形是点，求位似比如果点关于同一位A3,2O1,1A7,4k B5,1似中心的位似图形是点，求的坐标B B小组探究展示为了加深对位似变换的理解，我们可以组织学生进行小组探究活动将学生分成若干小组，每组选择一个位似变换的应用方向进行探究，如艺术设计、建筑模型、地图制作、计算机图形学等各小组需要完成一个小型项目，包括理论分析和实际操作，最后在课堂上进行展示通过这种方式，学生不仅能够加深对位似变换的理解，还能培养团队合作和实践应用能力，看到数学知识在现实世界中的广泛应用艺术设计组探究位似变换在艺术设计中的应用，如创作基于位似原理的几何艺术作品，分析传统艺术中的位似元素，或设计基于位似的图案建筑模型组研究位似在建筑设计和模型制作中的应用，如制作一个小型建筑模型，分析比例尺的使用，或探讨如何通过位似原理进行空间规划地图制作组调查位似在地图制作中的应用，如分析不同比例尺地图的区别，制作校园微缩地图，或探讨地图投影中的位似变换计算机图形组探索位似在计算机图形学中的应用，如使用编程工具实现位似变换，分析图像缩放算法，或设计基于位似的动画效果常见错误与易混知识辨析在学习位似变换时，学生容易犯一些错误或混淆一些概念例如，常见的错误包括简单地缩放图形而没有考虑位似中心；混淆位似与仿射变换；认为相似图形一定是位似图形等理解这些常见错误和易混概念的区别，有助于我们更准确地掌握位似变换的本质下面我们来分析一些典型的错误和混淆，帮助大家避免在学习和应用中犯类似的错误误区忽视位似中心1错误认识认为位似变换就是简单的缩放，忽略了位似中心的作用正确理解位似变换必须有一个位似中心，所有对应点连线都必须经过该中心没有位似中心的简单缩放不是位似变换误区混淆相似与位似2错误认识认为所有相似图形都是位似图形正确理解位似是相似的特例，位似图形一定是相似的，但相似图形不一定是位似的位似需要满足所有对应点连线交于一点误区忽视位似比的符号3错误认识只关注位似比的绝对值，忽略其符号正确理解位似比的符号决定了位似是同侧还是异侧正值表示同侧位似，负值表示异侧位似，这会影响图形的方向误区混淆位似与投影4错误认识将透视投影误认为是位似变换正确理解位似保持图形的形状不变，只改变大小和可能的方向；而投影可能会改变图形的形状，如将圆投影为椭圆课题回顾与核心结论提炼通过本课的学习，我们系统地掌握了位似变换的概念、性质和应用位似是一种特殊的相似变换，它要求所有对应点连线交于一点（位似中心），且对应点到位似中心的距离比为常数（位似比）位似变换保持图形的形状不变，只改变大小和可能的方向位似比的绝对值决定了放大或缩小的程度，符号决定了是同侧还是异侧位似位似在数学中有重要的理论意义，在实际生活中也有广泛的应用，如地图制作、建筑设计、艺术创作等位似性质位似定义位似变换保持图形形状不变，只改变大小和可能的方向；对应边平行或共线；面积比等于位位似是一种特殊的相似变换，要求所有对应点似比的平方连线交于位似中心，且对应点到位似中心的距离比为常数（位似比）位似作图确定位似中心和位似比，连接中心与各顶点，按比例取点，连接新顶点形成位似图形实际应用坐标变换位似在地图制作、建筑模型、艺术设计、计算机图形学等领域有广泛应用当位似中心为时，点的位似变换Oa,b Px,y为，其中为位似比Pa+kx-a,b+ky-b k能力提升生活难题转化为位似问题位似变换的知识不仅限于解决数学题，还可以帮助我们解决实际生活中的问题学会将实际问题转化为位似问题，是提高应用能力的重要一步例如，打印机中的缩放功能、投影仪的投影、影子的变化等，都可以用位似原理来解释和计算下面我们列举几个实际生活中的问题，并分析如何将它们转化为位似问题来解决通过这些例子，你将看到位似知识的实用价值，也能提高将理论知识应用于实践的能力文档打印缩放工程图纸转换照片放大问题打印机将文档缩放为大小，这是一个位似工程师需要将的建筑图纸转换为的照片放大是典型的位似变换为什么照片放大到A4A51:1001:50变换如何计算缩放比例？如何确保页面内容的详细图，这涉及位似变换如何准确计算新图纸一定程度会变模糊？如何选择合适的放大比例以比例正确？这些问题可以通过位似原理解决上的尺寸？如何处理细节部分？保持清晰度？这些问题都与位似变换有关综合应用真题剖析1让我们通过分析几道历年中考真题，来巩固对位似变换的理解这些题目综合考查了位似的定义、性质和应用，解题过程中需要灵活运用所学知识，是检验学习成果的好方法在解答这些题目时，要注意审题，分析已知条件和问题要求，选择合适的解题策略有些题目可能需要综合运用位似、相似、全等等多个知识点，因此需要有较强的知识整合能力例题例题12如图，在△中，是边上一点，与交于点，是边上一点，与已知点，，位似中心，位似比，求和的位似变换点和ABC DBC ADBC DE ABCE ABA2,1B4,5O1,2k=2ABA交于点，连接的坐标E DEB（）若，，求证平行于；分析与解答1BD:DC=3:2AE:EB=2:3DE AC

（2）若BD:DC=3:2，DE平行于AC，求AE:EB的值应用位似变换的坐标公式分析与解答，其中，Aa+kx-a,b+ky-b Oa,b=1,2k=2（）由，可得是关于的位似中心，位似比；1BD:DC=3:2B D C k1=3/5A1+22-1,2+21-2=A3,0由，可得是关于的位似中心，位似比；AE:EB=2:3A EB k2=2/5B1+24-1,2+25-2=B7,8因此，和分别是和关于点的位似变换点，所以平行于因此，，DECAB DE AC A3,0B7,8（）若，平行于，则是关于的位似变换点，位似比；验证，符合位似变换的定义2BD:DC=3:2DE ACDCB k1=3/5|OA|/|OA|=|OB|/|OB|=2由平行于，可知是关于的位似变换点，且位似比；DE ACEAB k2=k1=3/5因此，AE:EB=3:2综合应用真题剖析2下面我们继续分析一些新课标背景下的位似应用题这些题目更加注重实际应用和思维能力的培养，要求学生能够将位似知识应用到实际问题中，体现了新课标对数学应用能力的重视在解答这类题目时，要特别注意分析问题的实际背景，将实际问题转化为数学模型，然后运用位似知识进行解答这类题目往往没有固定的解题模式，需要灵活思考，综合运用多种知识1应用题地图问题1某地图的比例尺是，小明在地图上量得两个景点之间的距离是厘米，求实际距离是多少米？如果要在地图上表1:100006示实际长度为米的一段公路，应画多长？300解答实际距离地图距离×比例尺厘米×厘米米==610000=60000=600地图上公路长度实际长度÷比例尺米÷米厘米==30010000=

0.03=32应用题投影问题2一个高为米的人站在距离路灯米处，在地面上形成一个米长的影子求路灯的高度

1.

852.4解答这是一个位似问题，路灯灯泡是位似中心，人和影子是位似图形设路灯高度为米，则位似比h k=

2.4/

1.8=4/3由位似中心到对应点距离比等于位似比，可得h-

1.8/5=4/3解得×米h=

1.8+54/3=

1.8+

6.67=

8.473应用题放大镜问题3一个放大镜能将物体放大倍，如果物体到放大镜的距离是厘米，求放大镜到像的距离35解答这是一个位似问题，位似中心是放大镜的焦点，物体和像是位似图形设放大镜到像的距离为厘米，放大镜焦距为厘米d f由透镜公式，以及放大率1/f=1/5+1/d M=d/5=3得厘米，厘米d=15f=

3.75课后拓展与思考我们在日常使用智能手机拍照时，经常会用到缩放功能，那么这个缩放的数学本质是什么呢？实际上，手机相机的缩放有两种光学变焦和数字变焦光学变焦是通过调整镜头焦距实现的，而数字变焦则是对图像进行位似变换处理在数字变焦中，手机会对拍摄的图像进行裁剪和插值处理，这本质上是一种以画面中心为位似中心的位似变换这就解释了为什么数字变焦会导致图像质量下降因为它实际上是对有限像素的图像进行放大，不可避免地会损失细节图像裁剪数字变焦首先裁剪图像的中心区域，相当于选捕捉图像择了位似变换的对象相机传感器捕捉光线信息，形成原始图像数据像素放大将裁剪后的图像放大到原始尺寸，这是一个以画面中心为位似中心的位似变换显示结果像素插值处理后的图像显示在屏幕上，完成数字变焦过程通过算法推测放大过程中缺失的像素信息，尝试恢复细节课堂总结与学习反馈通过这几节课的学习，我们系统地掌握了位似图形的定义、性质、应用与案例位似作为相似的特例，具有特殊的几何意义和广泛的实际应用我们学习了位似中心、位似比的概念，掌握了位似图形的判定方法和作图步骤，了解了位似变换在坐标系中的表达式位似知识与我们的日常生活紧密相连，从地图制作到建筑设计，从艺术创作到照片处理，处处可见位似原理的应用希望同学们能够在今后的学习和生活中，继续探索更多位似的实例，将数学知识与实际应用相结合，真正体会到数学的魅力和实用价值基础知识位似的定义、位似中心、位似比的概念与意义性质应用2位似图形的基本性质、判定方法、作图步骤数学表达位似变换的坐标公式、计算方法、数学模型实践能力位似在实际问题中的应用、解题技巧、综合分析探索创新位似在生活中的发现、跨学科应用、创造性思维。